二項述語の二重量化「∀x∀y  P(x,y)」 「∀x,y P(x,y)」　


　・「∀x∀y  P(x,y)」 「∀x,y P(x,y)」の定義 

　・「∀x∀y  P(x,y)」 「∀x,y P(x,y)」の意味

　・「∀x∀y  P(x,y)」 「∀x,y P(x,y)」読み下し例


※二項述語二重量化一覧/多重量化一覧　

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※総目次
 

「∀x∀y  P(x,y)」 「∀x,y P(x,y)」　の定義



【要旨】

　「∀x∀y  P(x,y)」 「∀x,y P(x,y)」は、

　 P(x,y)を2回普遍量化した

　　　「∀x (∀y  P(x,y) )」

　を表す。


【詳細】

　「∀x∀y  P(x,y)」 「∀x,y P(x,y)」とは、
　下記手順でつくった命題「∀x (∀y  P(x,y) )」の略記。


　　【step1:普遍量化1回目】　　
　
　　二項述語P(x,y)
　　　　「x,yは関係・条件Pを満たす」
　　の変項yを全称量化子で束縛して普遍量化し、

　　変項xのみを含む一項述語　∀y  P(x,y)　
　　　　　「xは、すべてのyにたいして関係・条件Pを満たす」
　　をつくる。
 ※関連事項：　
　・「∀x∈S ∀y∈T  P(x,y)」の定義　
　・「∃x∃y P(x,y)」の定義/「∃x∀y P(x,y)」の定義/「∀x∃y P(x,y)」の定義


【文献−数学一般】
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子による二重量化(pp.52-54);§3存在量化子による二重量化(pp.60-61);§5異種の量化子による二重量化(pp.69-74);
　・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀x∀y",";2.5(pp.100-2):"∃x∃y";2.6(pp.103-5):∀∃,∃∀;

【文献−数学基礎論】
　・井関『集合と論理』1.5 (pp.28-29)
　・前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(p.21-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-2５)。
　・新井紀子『数学は言葉』2.3例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀(⇒∃)(p.９0);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコを省略してよい。(p.100);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;

【文献−分析哲学・論理学】
　・野矢『論理学』2-2-2-多重量化(pp.96-9９)

　




　　【step2:普遍量化2回目】　　

　　step1で得られた
　　変項xのみを含む一項述語　　
　　　　　∀y  P(x,y)　　「xは、すべてのyにたいして関係・条件Pを満たす」
　　の変項xも全称量化子で束縛して普遍量化。

　　得られた命題が

　　　∀x (∀y  P(x,y) )　 「すべてのxは、すべてのyにたいして、関係・条件Pを満たす。」



※具体例
　　→「∀x,y ( x loves y )」「∀x∀y ( x loves y )」　　真であればよいが、世の中そんなにハッピーではないみたい。
　　→「∀n,x ( n>x )」
　
　　


→∀x∀y  P(x,y) 　
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「∀x∀y  P(x,y)」 「∀x,y P(x,y)」　の意味



　P(x,y)を、
　変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとする二項述語・2変数命題関数
　とすると、　

　「∀x,y P(x,y)」「∀x∀y  P(x,y)」 すなわち「∀x (∀y  P(x,y) )」　は、

　　「《議論領域X》《議論領域Y》から、どの対象を選んでも、
　　　《議論領域Xから選んだ対象》を変項xへ、
　　　《議論領域Yから選んだ対象》を変項yへ
　　　代入すると、
　　　x-y間の関係・条件P(x,y)が成り立つ。」

　と主張する命題を意味する。


※具体例
　　→「∀x,y ( x loves y )」「∀x∀y ( x loves y )」　
　　　　真だと言えるほどには世の中ハッピーでもないみたい・・・。
　　→「∀n,x ( n>x )」




※関連事項：　
　・「∀x∈S ∀y∈T  P(x,y)」の意味　
　・「∃x∃y P(x,y)」の意味/「∃x∀y P(x,y)」の意味/「∀x∃y P(x,y)」の意味


【文献−数学一般】
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子による二重量化(pp.52-54);§3存在量化子による二重量化(pp.60-61);§5異種の量化子による二重量化(pp.69-74);
　・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀x∀y",";2.5(pp.100-2):"∃x∃y";2.6(pp.103-5):∀∃,∃∀;

【文献−数学基礎論】

　・井関『集合と論理』1.5 (pp.28-29)
　・前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(p.21-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-2５)。
　・新井紀子『数学は言葉』2.3例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀(⇒∃)(p.９0);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコを省略してよい。(p.100);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;

【文献−分析哲学・論理学】
　・野矢『論理学』2-2-2-多重量化(pp.96-9９)

　




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「∀x∀y  P(x,y)」 「∀x,y P(x,y)」の読み下し例



・「すべてのxとすべてのyが、関係Pにある」
　　　　　[野矢『論理学』2-2-2-多重量化(p.98)]
　
・「すべてのxとすべてのyに対して、P(x,y)」
　　　　　[齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2(p.54)]

・「任意のx、任意のyに対して、P(x,y)」
　　　　　[井関『集合と論理』1.2 (式2.1)(p.7脚注1)]

・「任意のxと任意のyに対して、P(x,y)」
　　　　　[齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2(pp.52-53)]


・「xを任意の『Xに属す対象』、yを任意の『Yに属す対象』とすれば、P(x,y)」
　　　　　[井関『集合と論理』1.2 (式2.3)(p.8):]

・「どんなx、yをとっても、P(x,y)」
　　　　　[井関『集合と論理』1.2例2(1)(p.11)「∀x,y∈R (x≠yかつx<y ⇒ ∃z∈R(x<z<y))」]

・「どんなxとどんなyをとっても、P(x,y)が真のとき、このときに限って真になる命題」
　　　　　[井関『集合と論理』1.5 (p.28)]




※具体例
　　→「∀x,y ( x loves y )」「∀x∀y ( x loves y )」
　　→「∀n,x ( n>x )」
　　


 ※関連事項：　
　・「∀x∈S ∀y∈T  P(x,y)」の読み　
　・「∃x∃y P(x,y)」の読み/「∃x∀y P(x,y)」の読み/「∀x∃y P(x,y)」の読み


【文献−数学一般】
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子による二重量化(pp.52-54);§3存在量化子による二重量化(pp.60-61);§5異種の量化子による二重量化(pp.69-74);
　・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀x∀y",";2.5(pp.100-2):"∃x∃y";2.6(pp.103-5):∀∃,∃∀;

【文献−数学基礎論】
　・井関『集合と論理』1.5 (pp.28-29)
　・前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(p.21-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-2５)。
　・新井紀子『数学は言葉』2.3例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀(⇒∃)(p.９0);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコを省略してよい。(p.100);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;
　
【文献−分析哲学・論理学】
　・野矢『論理学』2-2-2-多重量化(pp.96-9９)

　






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