順序と順序集合の定義[数学についてのwebノート]

順序と順序集合の定義
[トピック一覧：順序･順序集合の定義]
・順序の公理(順序･順序集合)、全順序･全順序集合、狭義順序、部分順序集合　
・順序同型写像･順序同型　
※順序集合関連ページ：順序集合のの諸概念(最大最小･極大極小･上界下界・上限sup下限inf)、
　　　　　　　　　　　双対順序･双対順序集合･双対概念･自己双対的･双対命題･双対原理　
　　　　　　　　　　　整列順序・整列順序集合、整列定理･ツォルンの補題　　　

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順序の公理：　(半)順序(semi/ partial)order・順序関係order relation、(半)順序集合(semi/ partially) ordered set
[斎藤『数学の基礎:集合･数･位相』1章§３順序1.3.1(p.21); 松坂『集合･位相入門』第3章§１-A;B(p.87);
　『岩波数学辞典（第三版）』項目168.順序 (pp.440-1).神谷・浦井『経済学のための数学入門』2.1.1節定義2.1.1(p.57).]
（設定）
X:　集合
x,y : Xの元
R(x,y)：X上の2項関係　
（本題）
X上の2項関係R(x,y)が
　1.反射律reflexive law：　任意のx ∈Xについて、R(x, x )　
　2.反対称律antisymmetric law：　任意のx ,y ∈Xについて、R(x,y) かつR(y, x) ならば、x=y　
　　　　　　　　　　※むしろ、この対偶
　　　　　　　　　　　　「任意のx ,y ∈Xについて、
　　　　　　　　　　　　　x≠yならば、
　　　　　　　　　　　　　R(x,y)と R(y, x)のいずれかであって、両方は同時に成り立たない。」
　　　　　　　　　　　のほうが、「反対称律」という名称になじむ。　　
　3.推移律transitive law：　任意のx, y,z ∈Xについて、P (x, y)かつP (y,z) ならば、P (x,z)である。
を満たすとき、　
X上の2項関係R(x,y)を、X上の(半)順序関係・(半)順序（ブルバキ的には順序「構造」）といい、
　
と表す。
順序が定義された集合Xを、台集合・台とよび、
台集合Xと順序の組を、(半)順序集合と呼ぶが、省略して、「順序集合X」などということもある。
※このように、順序は定義されるので、順序が定義されたところでは必ず、以下が成り立つ。
　1.反射律：　任意のx ∈Xについて、　
　2.反対称律：　任意のx ,y ∈Xについて、かつならば、x=y　
　　　　　　　　　　※むしろ、この対偶
　　　　　　　　　　　　「任意のx ,y ∈Xについて、
　　　　　　　　　　　　　x≠yならば、
　　　　　　　　　　　　　かのいずれかであって、両方は同時に成り立たない。」
　　　　　　　　　　　のほうが、「反対称律」という名称になじむ。　　
　3.推移律transitive law：　任意のx, y,z ∈Xについて、かつならば、である。
※狭義順序<は、上記の順序≦から、派生的に定義される。→狭義順序<　　
※順序集合の例：
・自然数上の大小関係"≦"は、順序の3条件を満たす、したがって、自然数と"≦"の組は順序集合。
・実数上の大小関係"≦"は、順序の3条件を満たす、したがって、実数と"≦"の組はは順序集合。
・集合Xのべき集合上P(X)上で、集合Xの部分集合間の包含関係"⊂"は順序の3条件を満たし、
　　したがって、P(X)と"⊂"の組は順序集合。
　[斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』第1章§３順序1.3.2-2(p.21); 松坂『集合・位相入門』第3章§１-A(p.88);]　

※下位類型：全順序･全順序集合、整列順序・整列集合

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定義：全順序total order、線形順序linear order、全順序集合totally ordered set,linearly ordered set
[斎藤『数学の基礎：集合･数･位相』第1章§３順序1.3.1(p.21);松坂『集合･位相入門』第3章§１-A;B(pp.87-9);
　『岩波数学辞典（第三版）』項目168.順序 (pp.440-1).神谷・浦井『経済学のための数学入門』2.1.1節定義2.1.1(p.57).]
（設定）
X:　集合
：X上の順序関係
：順序集合
（本題）
Xの任意の元x,yについて、
　　　　　または　　の少なくともいずれか一方が成立するとき、
X上の順序関係をとくに、全順序・線形順序とよび、
順序集合を、全順序集合・線形順序集合とよぶ。
※全順序集合の例：
・自然数上の大小関係"≦"は、全順序の定義を満たす、したがって、自然数と"≦"の組は全順序集合。
・実数上の大小関係"≦"は、全順序の定義を満たす、したがって、実数と"≦"の組は全順序集合。
※上位類型：順序・順序集合　
※下位類型：順序環・順序体　

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定義：狭義順序
[斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』第1章§３順序1.3.1(p.22);]
（設定）
X:　集合
：X上の順序関係
：順序集合
（本題）
かつx≠yを、x<yとかくと、
以下が満たされる。
1. 任意のx∈Xにたいして、 x< xではない
2. 任意のx,y∈Xにたいして、x < y かつ y < xということはない。
3. 任意のx,y,z∈Xにたいして、x < y かつ y < zならば、x < z　
この関係"<"を狭義順序という。

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定義：部分順序集合　
[松坂『集合・位相入門』第3章§１-B(p.89);]
（設定）
X:　集合
：X上の順序関係
：順序集合
A : Xの部分集合。ただし空集合ではないとする。つまり、A⊂XかつA≠φ　
（本題）
は、X上の順序関係だから、定義より、
Xの任意の元について、反射律・反対称律・推移律が満たされている。
したがって、Xの部分集合Aの任意の元についても、反射律・反対称律・推移律が満たされるから、
　Aの任意の元a,bに対して、
　　　　⇔　　　
　として、M上の順序関係を定義できる。
　このようにしてつくった順序集合を、順序集合の部分順序集合という。
　また、通常、M上の順序関係を単にと書く。

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定義：順序同型写像order isomorphism、順序同型 order isomorphic
[斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』第1章§３順序1.3.1(p.22); ; 松坂『集合・位相入門』第3章§１-D(p.94);
『岩波数学辞典（第三版）』項目168.順序E (p.441).]
（設定）
:　順序集合
:　順序集合
f：AからBへの全単射(双射)　
（本題）
・fがAからBへの順序同型写像であるとは、
　　任意のx,y∈Aに対して、
　　　　　　ならば、　　
　　　　　かつ
　　　　　ならば、　　
　　が成り立つことをいう。　
・AからBへの順序同型写像が存在するとき、AとBは順序同型であるといい、
　　　
　などと表す。

※関連概念：代数としての同型、順序環・順序体における同型　

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（reference）
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』岩波書店、1985年、項目156Ａ.実数の公理系 (pp. 417-418), 168.順序 (pp.440-441).
[集合論についてのテキスト]
斎藤正彦『数学の基礎：集合・数・位相』東大出版会、2002年。第1章§３順序(pp.21-33)。
松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年、第3章§１順序集合(pp.87-96)
ブルバキ『数学原論・集合論・要約』東京図書、1968年、§6順序集合(pp.36-43)。
[解析学についてのテキスト]
高木貞二『解析概論改訂第三版』岩波書店、1983年、pp.1-5.
杉浦光夫『解析入門I』岩波書店、1980年、pp.1-9.
Walter Rudin,Principles of Mathematical Analysis,Mcgraw-Hill,1953-1976.
=ウォ－ルタ－・ルディン『現代解析学』共立出版、1971年、第1章。
Колмогоров и Фомин, Элементы Теории Функций и Функционального　Анализа　＝コルモゴロフ・フォミーン（山崎三郎訳）『函数解析の基礎第2版』岩波書店、1971年。第1章§4全順序集合、超限数。

[数理経済学についてのテキスト]
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.56-64