順序集合上の諸概念
[トピック一覧:順序集合上の諸概念]
・最大元・最小元、極大元・極小元
・上界・上に有界、下界・下に有界、有界、上限sup･最小上界lub、下限inf･最大下界glb、順序完備
・稠密・自己稠密、直後・直前の元、全順序集合における直後･直前の元の性質　
※順序集合関連ページ：順序と順序集合の定義、
　　　　　　　　　　　双対順序･双対順序集合･双対概念･自己双対的･双対命題･双対原理　
　　　　　　　　　　　整列順序・整列順序集合　、整列定理･ツォルンの補題　　

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定義：最大元・最小元 maximum/minimum
　　[斎藤『数学の基礎:集合･数･位相』1章§３順序1.3.5(p.22); 松坂『集合･位相入門』第3章§１-C(p.90);
　　『岩波数学辞典（第三版）』項目168.順序B諸定義 (pp.440-1).]
（設定）
X:　集合
：X上の順序関係
：順序集合
A: 　Xの部分集合。つまり、A⊂X
a:　　Aの元。つまり、 a∈A 　
（本題）
・集合Aの元aが「集合Aの最大元」であるとは、
　Aに属すあらゆる元xにたいして、が成り立つこと
　　　　　つまり、a∈Aが、(∀ x ∈A)　　を満たすこと。
　をいう
・集合Aの元aが「集合Aの最小元」であるとは、
　Aに属すあらゆる元xにたいして、が成り立つこと
　　　　つまり、a∈Aが、(∀ x ∈A)　　を満たすこと。
　をいう。
・最大元・最小元は、存在することもあれば、存在しないこともある。
・最大限・最小元が存在する場合、ひとつしかない。
・集合Aに最小上界・上限が存在し、それが集合Aに属すならば、
　集合Aの最小上界・上限は集合Aの最大元である。
　　　[斎藤『数学の基礎:集合･数･位相』1章§３順序1.3.5(p.23);松坂『集合･位相入門』第3章§１-C(p.92)]
・集合Aに最大下界・下限

が存在し、それが集合Aに属すならば、
　集合Aの最大下界・下限は集合Aの最小元である。
　　　[斎藤『数学の基礎:集合･数･位相』1章§３順序1.3.5(p.23);松坂『集合･位相入門』第3章§１-C(p.92)]
（記法）
集合Aの最大元を、maxA、集合Aの最小元を、minAと書く。

※最大元･最小元は互いの双対概念

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定義：極大元・極小元 maximal/minimal
　　[斎藤『数学の基礎:集合･数･位相』1章§３順序1.3.5(p.22); 松坂『集合･位相入門』第3章§１-C(p.90);
　　『岩波数学辞典（第三版）』項目168.順序B諸定義 (pp.440-1).]
（設定）
X:　集合
：X上の順序関係
：順序集合
A: 　Xの部分集合。つまり、A⊂X
a:　　Aの元　。つまり、 a∈A
（本題）
・集合Aの元aが「集合Aの極大元」であるとは、
　Aに属すいかなる元xにたいしても、が成り立たないことをいう。
　　　つまり、(∀ x ∈A)　　
・集合Aの元aが「集合Aの極小元」であるとは、
　Aに属すいかなるにxにたいしても、が成り立たないことをいう。
　　　つまり、(∀ x ∈A)　
・極大元・極小元は、存在することもあれば、存在しないこともある。
・極大限・極小元が存在する場合、複数あるばあいもある。
・max Aが存在するならば、max AはAの唯一の極大元。
・min Aが存在するならば、min AはAの唯一の極小元。
※極大元･極小元は互いの双対概念

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定義：上界upper bound・上に有界bounded from above
　　[斎藤『数学の基礎:集合･数･位相』1章§３順序1.3.5(p.23); 松坂『集合･位相入門』第3章§１-C(p.91);
　　『岩波数学辞典（第三版）』項目168.順序B諸定義 (pp.440-1). 神谷・浦井『経済学のための数学入門』p.59]
（設定）
X:　集合
：X上の順序関係
：順序集合
A: 　Xの部分集合。つまり、A⊂X

b:　　Xの元。つまり、 b∈X
a:　　Aの元。つまり、 a∈A
（本題）
・集合Xの元bが、「(集合Xのなかでの)集合Aの上界upper bound」であるとは、
　　Xの元bが、Aに属すいかなる元aにたいしても、
　　　　　つまり、(∀ a∈A)　
　　を満たすことをいう。
・集合Aが「(集合Xのなかで)上に有界bounded from above」であるとは、
　　「(集合Xのなかでの)集合Aの上界upper bound」が存在することを言う。
　　　つまり、（∃ b∈X）(∀ a∈A)　

※活用例：上限･最小上界、有界、実数における上界・上に有界、

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定義：下界(かかい) lower bound・下に有界bounded from below
　　[斎藤『数学の基礎:集合･数･位相』1章§３順序1.3.5(p.23); 松坂『集合･位相入門』第3章§１-C(p.91);
　　『岩波数学辞典（第三版）』項目168.順序B諸定義 (pp.440-1). 神谷・浦井『経済学のための数学入門』p.59]
（設定）
X:　集合
：X上の順序関係
：順序集合
A: 　Xの部分集合。つまり、A⊂X

b:　　Xの元。つまり、 b∈X
a:　　Aの元。つまり、 a∈A
（本題）
・集合Xの元bが、「(集合Xのなかでの)集合Aの下界(かかい)lower bound」であるとは、
　　Xの元bが、Aに属すいかなる元aにたいしても、
　　　　　つまり、(∀ a∈A)　
　　を満たすことをいう。
・集合Aが「(集合Xのなかで)下に有界bounded from below」であるとは、
　　「(集合Xのなかでの)集合Aの下界lower bound」が存在することを言う。
　　　つまり、（∃ b∈X）(∀ a∈A)　

※「下界」･「下に有界」の双対概念：上界・上に有界

※活用例：下限・最小下界、有界　

　

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定義：有界bounded　　
　　[斎藤『数学の基礎:集合･数･位相』1章§３順序1.3.5(p.23); 松坂『集合･位相入門』第3章§１-C(p.91);
　　『岩波数学辞典（第三版）』項目168.順序B諸定義 (pp.440-1). 神谷・浦井『経済学のための数学入門』p.59]
（設定）
X:　集合
：X上の順序関係
：順序集合
A: 　Xの部分集合。つまり、A⊂X

b, b' :　　Xの元。つまり、 b, b' ∈X
a:　　Aの元。つまり、 a∈A
（本題）
・集合Aが「(集合Xのなかで)有界bounded」であるとは、
　集合Aが上に有界かつ下に有界であること。
　　　つまり、（∃ b, b' ∈X）(∀ a∈A)　

　　

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定義：上限supremum・最小上界least upper bound　
　　[斎藤『数学の基礎:集合･数･位相』1章§３順序1.3.5(p.23); 松坂『集合･位相入門』第3章§１-C(p.91);
　　『岩波数学辞典（第三版）』項目168.順序B諸定義 (pp.440-1);
　　神谷・浦井『経済学のための数学入門』p.59;杉浦『解析入門I』p.6.; ルディン『現代解析学』項目1.34.]
（設定）
X:　集合
：X上の順序関係
：順序集合
A: 　Xの部分集合。つまり、A⊂X
（本題）
[簡潔な定義]
　　集合Aの(集合Xでの)「最小上界least upper bound」「上限supremum」とは、　　
　　Aの(集合Xのなかでの)上界をすべてあつめた集合の最小元のこと。
[最小元の語義に遡った定義]
　　集合Aの(集合Xでの)「最小上界least upper bound」「上限supremum」とは、　　
　　集合Aの(集合Xでの)任意の上界bにたいして、
　　　
　　を満たすAの(集合Xでの)上界b*
　　のこと。　　　
[最小元,上界の語義に遡った定義]
　　集合Aの(集合Xでの)「最小上界least upper bound」「上限supremum」とは、　　
　　以下の2条件をともに満たす集合Xの元b*のことをいう。
　　条件1.　(∀ a∈A) ()　　　
　　条件2.　(∀ a∈A) ()を満たす限りで任意のb∈Xにたいして、
　　　　　　　　　　　　　つまり、　(∀b∈X )（ (∀ a∈A) () ⇒ ）　
・集合Aが(集合Xのなかで)上に有界で、(集合Xのなかでの)上界が存在したとしても、
　　集合Aの(集合Xでの)最小上界・上限は、存在することもあれば（→順序完備）、存在しないこともある。
・集合Aの最小上界・上限が存在したとしても、それが集合Aに属すこともあれば、属さないこともある。
　集合Aの最小上界・上限が集合Aに属すならば、集合Aの最小上界・上限は集合Aの最大元である。
（記法）
集合Aの最小上界・上限を、l.u.b. Aないしsup Aと書く。

※「上限」･「最小上界」の双対概念：下限・最大下界

（例）上に有界な集合なのに、上限すなわち最小上界をもたないケース
　　　　　有理数の全体Qにおいては、上に有界な集合はかならずしも上限をもたない。
　　　　　たとえば、A⊂Q　, A={ x | x ∈Q , 　x2≦2 }　
　　　　　　　　集合Aは上に有界。
　　　　　　　　　　集合Aの1つの上界として、
　　　　　　　　　　5∈Q,4∈Q,3∈Q,2∈Q,1.5=3/2∈Q, などをあげられる。
　　　　　　　　しかし、上限すなわち最小上界supAは存在しない。
　　　　　　　　ルート2は、Qの要素ではないので、上界の1つとなりえず、
　　　　　　　　したがって、supAとも呼べない。
　　　　　　　　ルート2より大きいが、ルート2にいくらでも近い有理数を考えることができ、
　　　　　　　　「最小のもの」を指定できないので、
　　　　　　　　有理数の全体Qのなかに、supAは存在しないことになる。
　　　　　（吹田・新保『理工系の微分積分学』p.4, 神谷・浦井『経済学のための数学入門』p.60.)

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定義：下限infimum・最大下界greatest lower bound
　　[斎藤『数学の基礎:集合･数･位相』1章§３順序1.3.5(p.23); 松坂『集合･位相入門』第3章§１-C(p.91);
　　『岩波数学辞典（第三版）』項目168.順序B諸定義 (pp.440-1);
　　神谷・浦井『経済学のための数学入門』p.59;杉浦『解析入門I』p.6.; ルディン『現代解析学』項目1.34.]
（設定）
X:　集合
：X上の順序関係
：順序集合
A: 　Xの部分集合。つまり、A⊂X
（本題）
[簡潔な定義]
　　集合Aの(集合Xでの)「最大下界greatest lower bound」「下限infimum」とは、　　
　　Aの(集合Xのなかでの)下界をすべてあつめた集合の最大元のこと。
[最大元の語義に遡った定義]
　　集合Aの(集合Xでの)「最大下界greatest lower bound」「下限infimum」とは、　　
　　集合Aの(集合Xでの)任意の下界bにたいして、
　　　
　　を満たす集合Aの(集合Xでの)下界b*
　　のこと。
[最大元,下界の語義に遡った定義]
　　集合Aの(集合Xでの)「最大下界greatest lower bound」「下限infimum」とは、　　
　　以下の2条件をともに満たす集合Xの元b*のことをいう。
　　条件1.　(∀ a∈A) ()　
　　条件2.　(∀ a∈A) ()を満たす限りで任意のb∈Xにたいして、
　　　　　　　　　　　　　つまり、　(∀b∈X )（ (∀ a∈A) () ⇒ ）　
・集合Aが(集合Xのなかで)下に有界で、(集合Xのなかでの)下界が存在したとしても、
　　集合Aの最大下界・下限は、存在することもあれば（→順序完備）、存在しないこともある。
・集合Aの(集合Xでの)最大下界・下限が存在したとしても、それが集合Aに属すこともあれば、属さないこともある。
　集合Aの(集合Xでの)最大下界・下限が集合Aに属すならば、集合Aの(集合Xでの)最大下界・下限は集合Aの最小元である。
（記法）
集合Aの最小上界・上限を、g.l.b. Aないしinf Aと書く。

※「下限」･「最大下界」の双対概念：上限・最小上界

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定義：順序完備
　　[斎藤『数学の基礎:集合･数･位相』1章§３順序1.3.9(p.24);]
（設定）
X:　集合
：X上の全順序
：全順序集合
（本題）
全順序集合が順序完備であるとは、
空集合以外の、Xのいかなる部分集合にも、
　　その部分集合が(集合Xのなかで)上に有界ならば、(集合Xでの)上限が存在し、
　　その部分集合が(集合Xのなかで)下に有界ならば、(集合Xでの)下限が存在する
ことをいう。
すなわち、
全順序集合が順序完備であるとは、
(∀A⊂X)
　（ A≠φ かつ （∃ b∈X）(∀ a∈A) ()
　　　　　　⇒ (∃b*∈X) （ (∀ a∈A) () かつ (∀b∈X )（ (∀ a∈A) () ⇒ ）））　
ないし　　
(∀A⊂X)
　（A≠φ かつ（∃ b∈X）(∀ a∈A) ( )
　　　　　　⇒ (∃b*∈X) （ (∀ a∈A) () かつ (∀b∈X )（ (∀ a∈A) () ⇒ ）））　
であることをいう。
※活用例：実数体・実数の定義　

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定義：稠密dense・自己稠密
　　[斎藤『数学の基礎:集合･数･位相』1章§３順序1.3.10(p.24);
　　　　『岩波数学辞典（第三版）』項目168B諸定義 (pp.440-1).]
（設定）
X:　集合
：X上の全順序
：全順序集合
Y: 　Xの部分集合。
（本題）
・YがXのなかで稠密denseであるとは、
　Xの任意の元x,yにたいして、x<z<yを満たすYの元zが存在すること。
　すなわち、(∀x,y∈X)(∃z∈Y) ( x<z<y )
・Xが自己稠密であるとは、
　Xの任意の元x,yにたいして、x<z<yを満たすXの元zが存在すること。
　すなわち、(∀x,y∈X) (∃z∈X) ( x<z<y )
　

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定義：直後の元successor・直前の元predecessor 　
　[『岩波数学辞典（第三版）』項目168.順序B (p.440);松坂『集合・位相入門』第3章§2-A(p.98);
　　斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』第1章§３順序1.3.19(p.30);.]
（設定）
：順序集合
a , b :　　Xの元。つまり、 a , b ∈X 　
（本題）
・Xのなかで「bがaの直後の元である」「aがbの直前の元である」とは、
　a<b　であり、
　かつ
　a< x <bを満たすx ∈X　が存在しない
ことをいう。　

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定理：全順序集合における直後の元・直前の元の性質
　[『岩波数学辞典（第三版）』項目168.順序B (p.440);松坂『集合・位相入門』第3章§2-A(p.98);
　　斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』第1章§３順序1.3.19(p.30);.]
（設定）
：全順序集合
a :　　Xの元。つまり、 a ∈X 　
（本題）
が全順序集合であるならば、「aの直後の元」「aの直前の元」は一意的に定まる

　

　

（reference）
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目156Ａ.実数の公理系 (pp. 417-418), 168.順序 (pp.440-441).
斎藤正彦『数学の基礎：集合・数・位相』東大出版会、2002年。第1章§３順序(pp.21-33)。
松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年、第3章§１順序集合(pp.87-96)
ブルバキ『数学原論・集合論・要約』東京図書、1968年、§6順序集合(pp.36-43)。

神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.56-64
高木貞二『解析概論改訂第三版』岩波書店、1983年、pp.1-5.
杉浦光夫『解析入門I』岩波書店、1980年、pp.1-9.
Walter Rudin,Principles of Mathematical Analysis,Mcgraw-Hill,1953-1976.
=ウォ−ルタ−・ルディン『現代解析学』共立出版、1971年、第1章。