2変数関数の極値問題　　―　トピック一覧

　・定義：広義の極小点・極小値/狭義の極小点･極小値/広義の極大点･極大値/狭義の極大点･極大値
　　　　　広義の極値/狭義の極値/臨界点・臨界値/停留点・停留値/鞍点･峠点
　・定理：極値の必要条件：極大極小の1階の必要条件/極大極小の2階の必要条件　
　　　　　極値の十分条件：極大の2階十分条件/極小の2階十分条件/鞍点の2階十分条件
※極値問題関連ページ：1変数関数の極大極小/n変数関数の極値定義/n変数関数の極値問題　　
※2変数関数の微分関連ページ：偏微分/高次の偏微分/微分演算子/全微分/方向微分
※2変数関数の微分の応用関連：合成関数の微分/平均値定理･テイラーの定理/極値問題/陰関数定理/逆関数定理/ラグランジュ未定乗数法
→総目次　

定義：2変数関数の広義の極小/極小点、広義の極小値
[直感的な定義と図解] cf.n変数関数の広義極小　


・「f(x0,y0)は、fの点集合Aにおける最小値である」「点(x0,y0)は、2変数関数fの点集合Aにおける最小点である」という主張は、
　　点集合A全体を見渡したときに、
　　f(x0,y0)が、点集合A上で関数fがとる様々な値のなかで最小であることを要求する。

・これに対して、
　「2変数関数fは、点(x0,y0)で極小になる」「点(x0,y0)は、2変数関数fの極小点である」という主張は、
　「この中だけでみれば、局所的には、f(x0,y0)が最小値になる」と言える範囲を、
　　点(x0,y0)の周りに、少なくとも一つは設定できる、
　　ということだけを、意味する。

[図例：回 転放物面z=f(x,y)=x2+ y2のグ ラフ]

回転放物面ｚ=x^2+y^2

左図は、回転放物面z=f(x,y)=x2+ y2のグラフ。
点(0,0)で、z=f(x,y)=x2+ y2がとる値０は、　
定義域R2全体を見渡して、最小になっているから、
「f(０,０)は、定義域R2におけるfの最小値」
「点(0,0)は、定義域R2におけるfの最小点」
と言ってよい。
また、 「点(0,0)でfは極小」「点(0,0)はfの極小点」と言ってもよい。
「この中だけでみれば、局所的には、f(x0,y0)が最小値になる」と言える範囲を、
点(x0,y0)の周りに設定することも、当然できるから。
　　

[図例：z=f(x,y)=sin (x2+ y2)のグ ラフ]
2変数関数の極小点

左図は、z=f(x,y)=sin (x2+ y2)のグラフ。

点(0,0)は、
　　定義域R2におけるf(x,y)=sin (x2+ y2)の最小点ではない
ものの、
　　f(x,y)=sin (x2+ y2)の極小点ではある
とは言える。

してみると分かるように、
z=f(x,y)=sin (x2+ y2)のグラフは、火山のカルデラのような形状をしている。
点(0,0)が、山頂の噴火口。
火口の周りは一旦盛り上がるものの、
そこから、ふもとに向けて、下っていく。


[図例：z=sin (x2+ y2)をy=0で切断した断面：真横]

2変数関数の極小点：断面図

真横からみると、こんな感じ。
定義域R2全体を見渡せば、
f(０,０)＝sin (０2+ ０2)＝０よりも、小さな値を、fはとっている。
たとえば、火山のふもとのあたり。
だから、断じて、f(０,０)は、定義域R2におけるfの最小値ではない。

[図例：z=sin (x2+ y2)をy=0で切断した断面：真横]


 けれども、
「カルデラの中」という狭い範囲を設定して、
その中だけを見れば、
f(０,０)は、その範囲における局所的な最小値になっている。
だから、f(０,０)は、極小点だとは言ってよい。

[厳密な定義]

設定
D：平面R2上 の任意の点集合　　
f(P)=f(x,y)　：Dで定義された2変数関数
P0=(x0,y0)　：Dに 属す点　 		[文献]
・小林『続 微分積分読本―多変数』1章10.(p.58):2変数関数
・笠原『微分積分学』6.1(pp.191-2)
・高橋『微分と積分2』 §3.3(p.78)2変数関数

定義
[近傍を使わない厳密な定義]
　「2変数関数fは、点(x0,y0)で広義の極小になる」
　「点(x0,y0)は、2変数関数fの広義の極小点である」
　とは、
　正の実数εをうまく決めてあげることによって、
　「|x-a|＜εかつ |y-b|＜ε」を満たす全ての点(x,y)に対して、
　　　　　f(x,y)≧f(x0,y0)　
　を成り立たせられることをいう。

[近傍を使った厳密な定義]
　「2変数関数fは、点(x0,y0)で広義の極小になる」
　「点(x0,y0)は、2変数関数fの広義の極小点である」
　とは、
　点(x0,y0)の近傍をうまくとると、
　その近傍に属すあらゆる点(x,y)に対して、
　　　　　f(x,y)≧ f(x0,y0)　
　が成り立つことをいう。
　論理記号で表すと、
　　　(∃ε>0) (∀(x,y)∈Uε(x0,y0) ) ( f(x,y)≧f(x0,y0) )

[近傍・最小値を使った厳密な定義]
　「2変数関数fは、点(x0,y0)で広義の極小になる」
　「点(x0,y0)は、2変数関数fの広義の極小点である」
　とは、
　点(x0,y0)の近傍をうまくとることによって、
　　その近傍上の最小値に、 f(x0,y0)をできることをいう。
　論理記号で表すと、(∃ε>0) ( f(x0,y0) ＝min f ( Uε(x0,y0)） )

定義

 ・「2変数関数fの広義の極小値」とは、
　とは、
　　2変数関数fが広義の極小点においてとる値のことをいう。
　つまり、
　fの広義の極小点(x0,y0)にたいして、f(x0,y0) を広義の極小値と呼ぶ。

関連

 1変数関数の極小/n変数関数の広義の極小・広義の極小値

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定義：2変数関数の狭義の極小/極小点、狭義の極小値

設定
D：平面R2上 の任意の点集合　　
f(P)=f(x,y)　：Dで定義された2変数関数
P0=(x0,y0)　：Dに 属す点　 		[文献]
・高橋『微分と積分2』 §3.3(p.78)2変数関数

定義

 [近傍を使った定義]
　「2変数関数fは、点P0=(x0,y0)で狭義の極小になる」
　「点P0=(x0,y0)は、2変数関数fの狭義の極小点である」
　とは、
　点P0=(x0,y0)の近傍をうまくとると、
　その近傍に属す「P0以外のあらゆる点」P=(x,y)に対して、
　　　　　f(P)>f(P0)　すなわち　f(x,y)>f(x0,y0)　
　が成り立つことをいう。
　論理記号で表すと、(∃ε＞0) (∀P∈U*ε(P0) ) ( f(P)>f(P0) )

[近傍を使わない定義]
　「2変数関数fは、点(x0,y0)で狭義の極小になる」
　「点(x0,y0)は、2変数関数fの狭義の極小点である」
　とは、
　正の実数εをうまくとると、
　「０＜|x-a|＜εかつ０＜|y-b|＜ε」を満たす全ての点(x,y)に対して、
　　　　　f(x,y)>f(x0,y0)　
　が成り立つことをいう。　　
　　
※以上の定義は、次のようにも表現できる。
　　(∃ε>0) (∀P∈D ) (０＜∥P－P0∥＜ε　⇒　 f(P)>f(P0) )　
 cf.n変数関数の狭義極小・狭義極小値

　　(∃ε>0)（∀(Δx,Δy)∈R2）（０＜∥(Δx,Δy)∥＜ε　⇒　f(x0+Δx,y0+Δy) ＞f(x0,y0)　　）
　　(∃ε>0)　（∀(Δx,Δy)∈U*ε(0,0)）　( f(x0+Δx,y0+Δy) ＞f(x0,y0)　)

定義

 ・「2変数関数fの狭義の極小値」とは、
　とは、
　　2変数関数fが狭義の極小点においてとる値のことをいう。
　つまり、
　fの狭義の極小点P0=(x0,y0)にたいして、f(P0) を狭義の極小値と呼ぶ。

関連

 1変数関数の極小/n変数関数の狭義極小・狭義極小値

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定義：2変数関数の広義の極大/極大点、広義の極大値
[直感的な定義と図解] cf.n変数関数の広義極大　


・「f(x0,y0)は、fの点集合Aにおける最大値である」「点(x0,y0)は、2変数関数fの点集合Aにおける最大点である」という主張は、
　　点集合A全体を見渡したときに、
　　f(x0,y0)が、点集合A上で関数fがとる様々な値のなかで最大であることを要求する。

・これに対して、
　「2変数関数fは、点(x0,y0)で極大になる」「点(x0,y0)は、2変数関数fの極大点である」という主張は、
　「この中だけでみれば、局所的には、f(x0,y0)が最大値になる」と言える範囲を、
　　点(x0,y0)の周りに、少なくとも一つは設定できる、
　　ということだけを、意味する。




[図例：z=f(x,y)=－sin (x2+ y2)のグ ラフ]
2変数関数の極大点

左図は、z=f(x,y)=－sin (x2+ y2)のグラフ。

点(0,0)は、
　　定義域R2におけるf(x,y)=－sin (x2+ y2)の最大点ではない
ものの、
　　f(x,y)=－sin (x2+ y2)の極大点ではある
とは言える。

してみると分かるように、
z=f(x,y)=－sin (x2+ y2)のグラフは、
全体として、山に囲まれた盆地になっており、
その盆地の中心部に、
点(0,0)を頂点とする低い丘がある、
という形状。


[図例：z=－sin (x2+ y2)をy=0で切断した断面：真横]

2変数関数の極大点：断面図

真横からみると、こんな感じ。
定義域R2全体を見渡せば、
f(０,０)＝－sin (０2+ ０2)＝０よりも、大きな値を、fはとっている。
たとえば、盆地を囲む周囲の山なみ。
だから、断じて、f(０,０)は、定義域R2におけるfの最大値ではない。

[図例：z=－sin (x2+ y2)をy=0で切断した断面：真横]


 けれども、
「点(0,0)を頂点とする低い丘」という狭い範囲を設定して、
その範囲の中だけを見れば、
f(０,０)は、その範囲における局所的な最大値になっている。
だから、f(０,０)は、極大点だとは言ってよい。

[厳密な定義]

設定
D：平面R2上 の任意の点集合　　
f(P)=f(x,y)　：Dで定義された2変数関数
P0=(x0,y0)　：Dに 属す点　 		[文献]
・小林『続 微分積分読本―多変数』1章10.(p.58):2変数関数
・笠原『微分積分学』6.1(pp.191-2)
・高橋『微分と積分2』 §3.3(p.78)2変数関数

定義

 「2変数関数fは、点P0で広義の極大になる」
「点P0は、2変数関数fの広義の極大点である」
とは、
　　点P0におけるfの値が、
　　（定義域D全体の最大値でないとしても）
　　少なくとも、
　　点P0の周辺に限って見たときに、局所的な最大値になっていることをいう。
このことは、
厳密には、以下のように定義される。　　

[近傍を使わない定義]
　「2変数関数fは、点P0=(x0,y0)で広義の極大になる」
　「点P0=(x0,y0)は、2変数関数fの広義の極大点である」
　とは、
　正の実数εをうまくとると、
　「|x-a|＜εかつ |y-b|＜ε」を満たす全ての点(x,y)に対して、
　　　　　f(x,y)≦f(x0,y0)　
　が成り立つことをいう。

[近傍を使った定義]
　「2変数関数fは、点P0=(x0,y0)で広義の極大になる」
　「点P0=(x0,y0)は、2変数関数fの広義の極大点である」
　とは、
　点P0=(x0,y0)の近傍をうまくとると、
　その近傍に属すあらゆる点P=(x,y)に対して、
　　　　　f(P)≦f(P0)　すなわち　f(x,y)≦f(x0,y0)　
　が成り立つことをいう。
　論理記号で表すと、(∃ε>0) (∀P∈Uε(P0) ) ( f(P)≦f(P0) )

[近傍・最大値を使った定義]
　「2変数関数fは、点P0=(x0,y0)で広義の極大になる」
　「点P0=(x0,y0)は、2変数関数fの広義の極大点である」
　とは、
　点P0=(x0,y0)の近傍をうまくとることによって、
　　その近傍上の最大値に、f(P0)＝ f(x0,y0)をできることをいう。
　論理記号で表すと、(∃ε>0) ( f(P0) ＝max  f( Uε(P0)） )

定義

 ・「2変数関数fの広義の極大値」とは、
　とは、
　　2変数関数fが広義の極大点においてとる値のことをいう。
　つまり、
　fの広義の極大点P0=(x0,y0)にたいして、f(P0) を広義の極大値と呼ぶ。

関連

 1変数関数の極大/n変数関数の広義の極大・広義の極大値

→[トピック一覧：2変数関数の極値問題]
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定義：2変数関数の狭義の極大/極大点、狭義の極大値

設定
D：平面R2上 の任意の点集合　　
f(P)=f(x,y)　：Dで定義された2変数関数
P0=(x0,y0)　：Dに 属す点　 		[文献]
・高橋『微分と積分2』 §3.3(p.78)2変数関数

定義

 [近傍を使った定義]
　「2変数関数fは、点P0=(x0,y0)で狭義の極大になる」
　「点P0=(x0,y0)は、2変数関数fの狭義の極大点である」
　とは、
　点P0=(x0,y0)の近傍をうまくとると、
　その近傍に属す「P0以外のあらゆる点」P=(x,y)に対して、
　　　　　f(P)＜f(P0)　すなわち　f(x,y)＜f(x0,y0)　
　が成り立つことをいう。
　論理記号で表すと、(∃ε＞0) (∀P∈U*ε(P0) ) ( f(P)＜f(P0) )

[近傍を使わない定義]
　「2変数関数fは、点P0=(x0,y0)で狭義の極大になる」
　「点P0=(x0,y0)は、2変数関数fの狭義の極大点である」
　とは、
　正の実数εをうまくとると、
　「０＜|x-a|＜εかつ０＜|y-b|＜ε」を満たす全ての点(x,y)に対して、
　　　　　f(x,y)>f(x0,y0)　
　が成り立つことをいう。

※以上の定義は、次のようにも表現できる。
　　(∃ε>0) (∀P∈D ) (０＜∥P－P0∥＜ε　⇒　 f(P)＜f(P0) )　

　　(∃ε>0)（∀(Δx,Δy)∈D）（０＜∥(Δx,Δy)∥＜ε　⇒　f(x0+Δx,y0+Δy) ＜f(x0,y0)　　）
　　(∃ε>0)　（∀(Δx,Δy)∈U*ε(0,0)）　( f(x0+Δx,y0+Δy) ＜f(x0,y0)　)

定義

 ・「2変数関数fの狭義の極大値」とは、
　とは、
　　2変数関数fが狭義の極大点においてとる値のことをいう。
　つまり、
　fの狭義の極大点P0=(x0,y0)にたいして、f(P0) を狭義の極大値と呼ぶ。

関連

 1変数関数の極大/n変数関数の広義極大・広義極大値

→[トピック一覧：2変数関数の極値問題]
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定義：2変数関数の広義の極値


広義の極値とは、
広義の極小値・極大値の総称。

cf.１変数関数の極値、n変数関数の広義の極値
定義：2変数関数の狭義の極値


狭義の極値とは、
狭義の極小値・極大値の総称

cf.１変数関数の極値、n変数関数の狭義の極値

→[トピック一覧：2変数関数の極値問題]
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定義：2変数関数の臨界点critical point・臨界値critical value、停留点stationary point・停留値stationary value
[直感的な定義と図例]

・「点(x0,y0)は、2変数関数fの臨界点・停留点である」とは、
　　fに、点(x0,y0)で接する接平面が、水平であることをいう。
・臨界点は、
　　極小点・極大点である場合もあれば、
　　鞍点である場合もある。　

[図例：臨界点―極大点でもあるケース]
2変数関数の臨界点―極大点でもあるケース

[図例：臨界点―鞍点であるケース]

2変数関数の臨界点―鞍点であるケース
[厳密な定義]

設定
D：平面R2上 の任意の点集合
f(P)=f(x,y)　：Dで定義された2変数関数
P0=(x0,y0)　：Dに 属す点
[文献]
・高木『解析概論』§26(pp.68-71)
・杉浦『解析入門１』Ⅱ§8(p.150)
・小林『続 微分積分読本―多変数』1章10.(p.61):2変数関数
・高橋『微分と積分2』定義3.20(p.79)
・小形『多変数の微分積分』p.75
・Chiang236.
・
cf. n変数関数の臨界点・停留点／臨界値・停留値
定義 ・「点P0=(x0,y0)は、2変数関数fの臨界点・停留点である」
　とは、
  点P0=(x0,y0)において、fの勾配ベクトルが零ベクトルとなること
　つまり、
　　　grad f (x0,y0)＝（∂f(x0,y0)/∂x,∂f (x0,y0)/∂x）＝（０,０）　
　が満たされることをいう。
定義 ・「2変数関数fの臨界値・停留値」とは、
　　2変数関数fが臨界点・停留点においてとる値のことをいう。
　　つまり、
　　fの臨界点・停留点P0=(x0,y0)にたいして、
　　f(P0) を臨界値・停留値と呼ぶ。
※
 2変数関数fが点P0=(x0,y0)で(全)微分可能ならば、
「点P0=(x0,y0)は、2変数関数fの臨界点・停留点である」とは、
点P0=(x0,y0)においてfの微分係数が零ベクトルとなることを指す。
なぜなら、
定理によって、
2変数関数fが点P0=(x0,y0)で(全)微分可能ならば、
点P0=(x0,y0)におけるfの微分係数は、
点P0=(x0,y0)におけるfの勾配ベクトルに等しくなるから。　
※ 臨界点が極小点・極大点・鞍点になる条件→極値の判定
注意
 臨界点・停留点の語義について、テキストのあいだで相違がみられる。
(1) fがすべての変数について偏微分可能かつ grad f (x0,y0)=（０,０）を満たす点を臨界点・停留点と定義したテキスト。
　・黒田『21世紀の数学1:微分積分学』定義8.12(p.307)は、
　　　fがすべての変数について偏微分可能かつ grad f(x0,y0)=（０,０）が満たされる点を、臨界点または停留点と定義。
　　　（つまり、臨界点または停留点は、そこでの(全)微分可能を要求しない。）　　
　　　そのうえで、臨界点または停留点には、「極値点になる臨界点」と「鞍点になる臨界点」があると指摘。
　・松坂『解析入門3』14.3-A(p.164)、小林『続 微分積分読本―多変数』1章10.(p.61)は、
　　　fがすべての変数について偏微分可能かつ grad f (a1,a2,…,an)=（０,０,…０）が満たされる点を、臨界点と定義。
　　　（つまり、臨界点は、そこでの（全）微分可能を要求しない。）　　
　　　そのうえで、臨界点には、「極値点になる臨界点」と「鞍点になる臨界点」があると指摘。
　・小形『多変数の微分積分』p.75、布川ほか『線形代数と凸解析』定義9.3(p.206)は、
　　 grad f (x0,y0)=（０,０）が満たされる点を、停留点と定義。
　　つまり、停留点には、「極値点になる停留点」と「鞍点になる停留点」があることになる。
　・加藤『微分積分学原論』15.3定義15.4(p.189)は、 grad f (x0,y0)=（０,０）が満たされる点を、危点と定義。
　　危点は、critical pointの新訳？
(2) fが(全)微分可能かつ微分係数＝（０,０）を満たす点を、臨界点と定義したテキスト。
　　・杉浦『解析入門１』Ⅱ§8(p.150)、
　　・高橋『微分と積分2』定義3.20(p.79)は、
　　このテキストに従えば、臨界点には、「極値点になる臨界点」と「鞍点になる臨界点」があることになる。　
(3)高木『解析概論』§26(pp.68-71)は、grad f(x0,y0)=（０,０）を満たすが、極値点にならない点を、停留点と呼んでいる。
(4)『岩波数学辞典』333L(p.986)は、
　　fが(全)微分可能かつ微分係数＝（０,０）を満たす点を臨界点と定義し、「臨界点における関数の値」を停留値と定義している。



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定義：2変数関数の鞍点（あんてん）saddle point・峠点

設定
D：平面R2上 の任意の点集合
f(P)=f(x,y)　：Dで定義された2変数関数
P0=(x0,y0)　：Dに 属す点
cf.n変数関数の鞍点　

[文献]
・高橋『微分と積分2』 §3.3(p.79):2変数関数
・小林『続微分積分読本―多変数』1章10(p.61):2変数関数。
定義

 		・ 「点P0=(x0,y0)は、2変数関数fの鞍点・峠点である」とは、
　定義域D上の方向によって、
　点P0=(x0,y0)がfの極小点にも極大点にもなることをいう。

・たとえば、
　　点P0=(x0,y0)から、
　　y方向には動かず
　　x方向にΔxだけ(Δx≠0ならプラスでもマイナスでもよい)だけ動いた任意の点P=(x0+Δx,y0)を
　　どのようにとっても、
　　　f(P)＞f(P0)　　すなわち　　f ( x0+Δx,y0 ) ＞ f ( x0,y0 )
　　が成り立つが、
　　点P0=(x0,y0)　から、
　　x方向には動かず
　　y方向にΔyだけ(Δy≠0ならプラスでもマイナスでもよい)動いた任意の点P=(x0,y0+Δy)を
　　どのようにとっても、
　　　f(P)＜f(P0)　　すなわち　　f ( x0, y0+Δy ) ＜ f (x0,y0)
　が成り立つ
　といった場合、
　点P0=(x0,y0)は、2変数関数fの鞍点・峠点である。　
例
 典型的な例は、
・f (x,y)=ax2-by2　(a,b>０) の点(0,0)

2変数関数の鞍点

・下図は、z=x2-y2のグラフ。
　　点(0,0)は、z=x2-y2の鞍点・峠点となっている。



双曲放物面z=x^2-y^2のグラフ




・飯倉交差点＝外苑東通り×桜田通り
　
　　→詳細は現場にて。






　　

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定理：2変数関数の極大極小の1階の必要条件　the first-order necessary condition

設定
 D：平面R2上 の任意の点集合
P0=(x0,y0)　：Dに 属す点
f(P)=f(x,y)　：Dで定義された2変数関数。
  　　　　　　点P0=(x0,y0)の近くで偏微分可能とする。

定理


次の命題P,命題Qについて、
　　　命題Pが成り立つならば、命題Qが成り立つ。
　　　すなわち、命題P⇒命題Q

しかし、逆は成り立たない。
　（　grad f =(0,0)だとしても、
　　　　　P0で極値をとらず、鞍点になることもある　） 　　

命題P：2変数関数fが点P0=(x0,y0)で極小または極大
　　　　すなわち、
　　　　　　(∃ε>0) (∀P∈Uε(P0) ) ( f(P)≧f(P0) )
　　　　　　または
　　　　　　(∃ε>0) (∀P∈Uε(P0) ) ( f(P)≦f(P0) )　　

命題Q： 点P0=(x0,y0)は、2変数関数fの臨界点である。
　　　　すなわち、
　　　　　grad f (x0,y0)＝（ fx(x0, y0), fy(x0, y0)）＝（０,０）　


[文献-2変数関数のみについて]
・小林『続微分積分読本-多変数』1章10定理1(p.59)
・笠原『微分積分学』6.1命題6.3(p.192)
・高橋『微分と積分2』定理3.19(p.79)
・小島『ゼロから学ぶ微分積分』4章(p.134)

[文献-n変数関数一般について]
・杉浦『解析入門１』Ⅱ§8定理8.1(p.150)
・松坂『解析入門3』14.3-A定理1(p.164)
・黒田『21世紀の数学1:微分積分学』定理8.15(p.307)
・岡田『経済学・経営学のための数学』3.3定理3.4(p.123)
・入谷久我『数理経済学入門』定義7.7(p.173)
・神谷浦井『経済学のための数学入門』7.3.2(pp.271-5)

※

 一般化：n変数関数の極大極小の1階の必要条件　
 　
　 　

→[トピック一覧：2変数関数の極値問題]
→総目次

　

定理：2変数関数の極大の2階必要条件　the second-order necessary condition

設定
 D：平面R2上 の任意の点集合
P0=(x0,y0)　：Dに 属す点
f(P)=f(x,y)　：Dで定義された2変数関数。
  　　　　　　点P0=(x0,y0)の近くでC2級とする。

定理

「2変数関数fは点P0=(x0,y0)で極大」ならば、
下記の同値な条件P,Q,Rが満たされる。
すなわち、
　条件P⇔条件Q⇔条件R
　であって、　
　(∃ε>0) (∀P∈Uε(P0) ) ( f(P)≦f(P0) )　⇒ 条件P,Q,R

※一般化：n変数関数のケース　　

[文献-2変数関数のみについて]
・小林『続微分積分読本―多変数』1章10-定理1(p.59)


[文献-n変数関数一般について]
・岡田『経済学・経営学のための数学』
　　　　　　　　　3.3定理3.5;3.7(p.124;126)
・入谷久我『数理経済学入門』定理7.7(p.173).
・神谷浦井『経済学のための数学入門』定理7.3.3(p.275)







　　
　

[条件P ：2次形式・行列を持ち出さない表現]
任意の(Δx,Δy)≠(０,０)に対して、
Q(Δx,Δy)＝(Δx)2 fxx(x0, y0)+2(Δx)(Δy)  fxy(x0, y0)+(Δy)2 fyy(x0, y0)

が非正値。

　　　　　　　　　　　
　

[条件Q ：負値定符号2次形式を持ち出す表現]
点P0=(x0,y0)における2変数関数fのヘッセ行列Hf(x0,y0)によって定まる二次形式が
半負値定符号　　
すなわち、
任意の2次元数ベクトルh= (Δx,Δy)≠(０,０)に対して、
　　　　　　二次形式 thHf(x0,y0)h≦０　
　

[条件R ：ヘッセ行列と負値定符号行列を持ち出す表現]
点P0=(x0,y0)における2変数関数fのヘッセ行列Hf(x0,y0)が
非正値定符号行列。
　　　すなわち、
　　　任意の2次元数ベクトルh= (Δx,Δy)≠(０,０)に対して、
　　　　　　二次形式 thHf(x0,y0)h≦０　

 　
　 　

→[トピック一覧：2変数関数の極値問題]
→総目次

　

定理：2変数関数の極小の2階必要条件　the second-order necessary condition

設定
 D：平面R2上 の任意の点集合
P0=(x0,y0)　：Dに 属す点
f(P)=f(x,y)　：Dで定義された2変数関数。
  　　　　　　点P0=(x0,y0)の近くでC2級とする。

定理

「n変数実数値関数fは点A=(a1,a2,…,an)で極小」ならば、
下記の同値な条件P,Q,Rが満たされる
すなわち、
　(∃ε>0) (∀P∈Uε(A) ) (f (P)≦f(A) )　⇒ 条件P,Q,R
　であって、
　条件P⇔条件Q⇔条件R　

※一般化：n変数関数のケース　　

[文献-2変数関数のみについて]
・小林『続微分積分読本―多変数』　
　　　　　　　　　　　1章10-定理1(p.59)

[文献-n変数関数一般について]
・岡田『経済学・経営学のための数学』
　　　　3.3定理3.5;3.7(p.124;126)
・入谷久我『数理経済学入門』定理7.7(p.173).
・神谷浦井『経済学のための数学入門』
　　　　　　　　　　　　　定理7.3.3(p.275)
・西村和夫『経済数学早分かり』３章定理4.1(p.136)
　

[条件P ：2次形式・行列を持ち出さない表現]
任意の(Δx,Δy)≠(０,０)に対して、
　　Q(Δx,Δy)＝(Δx)2 fxx(x0, y0)+2(Δx)(Δy)  fxy(x0, y0)+(Δy)2 fyy(x0, y0)
が非負値。
　

[条件Q ：負値定符号2次形式を持ち出す表現]
点P0=(x0,y0)における2変数関数fのヘッセ行列Hf(x0,y0)によって定まる二次形式が半正値定符号　　
すなわち、
任意の2次元数ベクトルh= (Δx,Δy)≠(０,０)に対して、
二次形式 thHf(x0,y0)h≧０

　

[条件R ：ヘッセ行列と負値定符号行列を持ち出す表現]
点P0=(x0,y0)における2変数関数fのヘッセ行列Hf(x0,y0)が非負値定符号行列。
すなわち、任意の2次元数ベクトルh= (Δx,Δy)≠(０,０)に対して、二次形式 thHf(x0,y0)h≧０　

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定理：2変数関数の極大・極小・鞍点の判定

設定
D：平面R2上 の任意の点集合　　
(x0,y0)：Dに 属す点　
f(x,y)：Dで定義された2変数関数。
  　　　　　　点(x0,y0)の近くでC2級とする。
　　　　　　　定理より、この設定のもとで、fxy(x0,y0)＝fyx(x0,y0)　　　　　　　　　　　
[文献]
＊高橋『微分と積分2』§3.3(p.83-4):ヘッセ行列不使用.2変数2次形式から。
＊黒田『微分積分学』定理8.16(p.310):ヘッセ行列不使用.2変数2次形式から。
・松坂『解析入門3』14.3-D定理3(p.173):2変数関数。ヘッセ行列不使用。2変数2次形式から。
・小林『続微分積分読本―多変数』1章10(p.61):2変数関数ヘッセ行列不使用。
・笠原『微分積分学』6.1定理6.5(p.192):2変数関数。ヘッセ行列の符号。

定理

 ある点で、C2級2変数関数が極値をとるかどうかは、
その点における2次偏導関数の値を使って、
以下の基準にしたがって判定できる。

[ケースI]　 ※詳細→極小の2階十分条件
　　条件1：grad f (x0,y0) ＝ (0,0)
　　かつ
　　条件2：fxx (x0,y0) fyy (x0,y0)－{ fxy (x0,y0)}2　＞０
　　かつ
　　条件3：fxx (x0,y0)＞０
　　かつ
　　条件4：fyy (x0,y0)＞０
　　ならば、
　　点P0=(x0,y0)で　f(x,y)は狭義極小。
　
※詳細は、極小の2階十分条件を参照。
※注意：いつでも{ fxy (x0,y0)}2　≧０であるから、
　　　　「条件2かつ条件3」が成り立っているとき、
　　　　　条件4はいつも成り立っており、
　　　　「条件2かつ条件4」が成り立っているとき、
　　　　条件3はいつも成り立っている。
　　　　したがって、左記判定条件のうち、
　　　　条件3・条件4のいずれか一方は不要。
　　　　また、このことから、条件2が成立する場合は、
　　　　このケースⅠと、次のケースⅡの二通りで全てだとわかる。
※条件2の左辺は「(x0,y0)におけるfのヘッシアン」と呼ばれる。

[ケースⅡ]　 ※詳細→極大の2階十分条件
　　条件1：grad f (x0,y0) ＝ (0,0)
　　かつ
　　条件2：fxx (x0,y0) fyy (x0,y0)－{ fxy (x0,y0)}2　＞０
　　かつ
　　条件3：fxx (x0,y0)＜０
　　かつ
　　条件4：fyy (x0,y0)＜０
　　ならば、
　　点P0=(x0,y0)で　f(x,y)は狭義極大。
　		 ※詳細は、極大の2階十分条件を参照。
※注意：いつでも{ fxy (x0,y0)}2　≧０であるから、
　　　　「条件2かつ条件3」が成り立っているとき、
　　　　　条件4はいつも成り立っており、
　　　　「条件2かつ条件4」が成り立っているとき、
　　　　条件3はいつも成り立っている。
　　　　したがって、左記判定条件のうち、
　　　　条件3・条件4のいずれか一方は不要。
　　　　また、このことから、条件2が成立するケースは、
　　　　前のケースⅠと、このケースⅡのの二通りで全てだとわかる。
※条件2の左辺は「(x0,y0)におけるfのヘッシアン」と呼ばれる。 　　　

[ケースⅢ]　　※詳細→鞍点の2階十分条件
　　条件1：grad f (x0,y0) ＝ (0,0)
　　かつ
　　条件2：fxx (x0,y0) fyy (x0,y0)－{ fxy (x0,y0)}2　＜０
　　ならば、
　　点P0=(x0,y0)は、　f(x,y)の鞍点。

 ※詳細は、鞍点の2階十分条件を参照。
※条件2の左辺は「(x0,y0)におけるfのヘッシアン」と呼ばれる。　

[ケースⅣ：判定不能]　
　　条件1：grad f (x0,y0) ＝ (0,0)
　　かつ
　　条件2：fxx (x0,y0) fyy (x0,y0)－{ fxy (x0,y0)}2　＝０
　　ならば、
　　2次偏導関数の値だけでは、
　　極小であるとも、極大であるとも、そのどちらでもないとも、
　　いえない。
　　もっと高次の偏導関数の値に依存して、
　　極小だったり、極大だったり、
　　そのどちらでもなかったり、
　　する。
　　
 ※条件2の左辺は「(x0,y0)におけるfのヘッシアン」と呼ばれる。





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定理：2変数関数の狭義極大の2階十分条件the second-order sufficient condition

cf. n変数関数の狭義極大の2階十分条件　　

設定		 D：平面R2上 の任意の点集合　　
点(x0,y0)=実2次元数ベクトルx0：Dに 属す点　
f(x,y)：Dで定義された2変数関数。
  　　　　　　点(x0,y0)の近くでC2級とする。
　　　　　　　定理より、この設定のもとで、fxy(x0,y0)＝fyx(x0,y0)　

定理


下記の同値な条件Q,R,S,T,Uが満たされるならば、
「2変数関数fは点(x0,y0)=x0で狭義極大」
すなわち、
条件Q⇔条件R⇔条件S⇔条件T⇔条件U⇔条件V
であって、
条件Q,R,S,T,U,V
　⇒ (∃ε>0)(∀(x,y)∈U*ε(x0,y0))(f(x,y)＜f(x0,y0) )


[文献]
・小林『続微分積分読本―多変数』
　1章10-定理1(p.59):2変数関数;ヘッセ行列不使用.
・松坂『解析入門3』14.3-D定理3(p.173):
　　　　　　2変数関数。ヘッセ行列不使用.
・小島『ゼロから学ぶ微分積分』4章(pp.164-5)：
　　　　　　2変数関数。ヘッセ行列不使用.



・笠原『微分積分学』6.1定理6.5(p.192):
　　　　　　2変数関数。ヘッセ行列の符号。
＊黒田『微分積分学』定理8.16(p.310):ヘッセ行列不使用.2変数2次形式から。
＊高橋『微分と積分2』 §3.3(p.83-4):ヘッセ行列不使用.2変数2次形式から。
　 [条件Q：2次形式―行列を持ち出さない表現]
・Q1: 点(x0,y0)は、2変数関数fの臨界点。すなわち、grad f(x0,y0) ＝ (0,0)
かつ
・Q2: 任意の(Δx,Δy)≠(０,０)に対して、
　　　　　　Q(Δx,Δy)＝(Δx)2 fxx(x0, y0)+2(Δx)(Δy)  fxy(x0, y0)+(Δy)2 fyy(x0, y0)
　　　がマイナスになる。

　※条件Q⇒「点(x0,y0)で狭義極大」の証明　　　
　※条件Qを一般的な表現に改めたのが、下記の条件R,S。
　　n変数関数のケースへ拡張するには、このような一般的な表現が有利。
　　「条件Q2⇔条件R2⇔条件S2」の証明　

→[トピック一覧：2変数関数の極値問題]

[文献]
・高橋『微分と積分2』 §3.3(p.83-4):ヘッセ行列不使用.2変数2次形式から。
　

[条件R ：2次形式―ヘッセ行列と負値定符号2次形式を持ち出す表現]
・R1: 点(x0,y0)は、2変数関数fの臨界点。すなわち、 grad f(x0,y0)=(０,０)
かつ
・R2: 点(x0,y0)における2変数関数fのヘッセ行列Hf(x0,y0)によって定まる二次形式が
　　　負値定符号　　
　　　すなわち、
　　　任意の実数の組(Δx,Δy)≠(０,０)に対して、
　　　　　　二次形式 (Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) ＝＜０　
　　　　　　※ここでf(x,y)はC2級と設定されたから、
　　　　　　　定理より、この設定のもとで、fxy(x0,y0)＝fyx(x0,y0)　となっており、
　　　　　　　したがって、右辺の正方行列は、対称行列となることに注意。
　※条件R⇒「点(x0,y0)で狭義極大」の証明　　　
　※「条件Q2⇔条件R2⇔条件S2」の証明　

→[トピック一覧：2変数関数の極値問題]


　

[条件S ：2次形式―ヘッセ行列と負値定符号行列を持ち出すベクトル行列表現]
・S1: 点x0=(x0,y0)は、2変数関数fの臨界点。すなわち、 grad f(x0)=〇
かつ
・S2: 点x0=(x0,y0)における2変数関数fのヘッセ行列Hf(x0) が負値定符号行列。
　　　すなわち、
　　　任意の2次元縦ベクトルh≠〇に対して、二次形式 thHf(x0)h＜０　

　※条件S⇒「点A=(x0,y0)で狭義極大」の証明　　
　※「条件Q2⇔条件R2⇔条件S2」の証明

→[トピック一覧：2変数関数の極値問題]


　

[条件T ：ヘッセ行列の固有値]
・T1: 点(x0,y0)は、2変数関数fの臨界点。すなわち、 grad f(x0,y0)=(０,０)
かつ
・T2: 点(x0,y0)における2変数関数fのヘッセ行列Hf(x0,y0)の全ての固有値が負。

　※条件S⇔条件Tなのは、なぜ?　→負値定符号行列になるための必要十分条件～固有値に関連して　　　

→[トピック一覧：2変数関数の極値問題]


[文献]

[条件U：ヘッセ行列の主小行列―ヘッセ行列も主小行列も持ち出さない表現]
・U1: 点(x0,y0)は、2変数関数fの臨界点。すなわち、 grad f(x0,y0)=(０,０)
かつ
・U2：fxx (x0,y0) fyy (x0,y0)－{ fxy (x0,y0)}2　＞０
かつ
・U3：fxx (x0,y0)＜０
かつ
・U4：fyy (x0,y0)＜０
※注意：いつでも{ fxy (x0,y0)}2　≧０であるから、
　　　　「条件U2かつ条件U3」が成り立っているとき、条件U4はいつも成り立っており、
　　　　「条件U2かつ条件U4」が成り立っているとき、条件U3はいつも成り立っている。
　　　　したがって、左記判定条件のうち、条件U3・条件U4のいずれか一方は不要。
　　　　つまり、
　　　　条件Uは、
　　　　「条件U1かつ条件U2かつ条件U3」または「条件U1かつ条件U2かつ条件U4」のいずれかを
　　　　要求しているに過ぎない。

※条件Uを一般的な表現に改めたのが、下記の条件V。
　　n変数関数のケースへ拡張するには、このような一般的な表現が有利。

※条件S⇔条件Qなのは、なぜ?　→2変数二次形式の符号判定～行列を使わずに：ケースⅡ　　　

→[トピック一覧：2変数関数の極値問題]
[文献]
＊高橋『微分と積分2』§3.3(p.83-4):ヘッセ行列不使用.2変数2次形式から。
＊黒田『微分積分学』定理8.16(p.310):ヘッセ行列不使用.2変数2次形式から。
・松坂『解析入門3』14.3-D定理3(p.173):2変数関数。ヘッセ行列不使用。2変数2次形式から。
・小林『続微分積分読本―多変数』1章10(p.61):2変数関数ヘッセ行列不使用。
　

[条件V ：ヘッセ行列の主小行列―ヘッセ行列の主小行列を持ち出す表現]
・V1: 点(x0,y0)は、2変数関数fの臨界点。すなわち、 grad f(x0,y0)=(０,０)
かつ
・V2:「点(x0,y0)における2変数関数fのヘッセ行列Hf(x0,y0) 」の、
　　　　以下にあげる主小行列D1,D2のうち、
　　　　　　奇数番が付いたD1の行列式がマイナス、
　　　　　　偶数番が付いたD2の行列式がプラス。
　　　　つまり、(-1)kdet Dk ＞0　　（ k ＝ 1,2）　



　　　　　・D1：『点(x0,y0)における2変数関数fの2行2列ヘッセ行列』Hf(x0,y0)から、同じ番号の行・列を、後から1個潰してできた1行1列の主小行列。
　　　　　　　　　すなわち、D1＝fxx (x0,y0)　
　　　　　・D2：『点(x0,y0)における2変数関数fの2行2列ヘッセ行列』Hf(x0,y0)から、同じ番号の行・列を、後から０個潰してできた2行2列の主小行列。
　　　　　　　　　すなわち、D2＝

　※条件S⇔条件Vとなるのは、なぜ?　→　負値定符号行列になるための必要十分条件～主小行列式に関連して　

→[トピック一覧：2変数関数の極値問題]


　 　

[条件Q⇒「点(x0,y0)で狭義極大」の証明]

仮定Q1：grad f(x0,y0) ＝ （ fx(x0, y0),fy(x0, y0)）＝(０,０)　
仮定Q2：任意の(Δx,Δy)≠(０,０)に対して、　Q(Δx,Δy)＜０ 		[文献]
・松坂『解析入門3』14.3-A定理2(p.170)

　　　　　ただし、Q(Δx,Δy)＝(Δx)2 fxx(x0, y0)+2(Δx)(Δy)  fxy(x0, y0)+(Δy)2 fyy(x0, y0)
Ⅰ.
テイラー展開の公式によって、
　f(x0+Δx, y0+Δy)＝ f(x0, y0)＋(Δx)  fx(x0, y0)＋(Δy) fy(x0, y0)＋(1/2)Q(Δx,Δy)＋R3
　とおくと、
　　　∥(Δx,Δy)∥＝→ 0　とすると、R3　→ 0　
　　かつ　
　　　∥(Δx,Δy)∥＝→ 0　とすると、R3／∥(Δx,Δy)∥2＝R3／｛(Δx)2+(Δy)2｝→ 0　
　が満たされる。
したがって、ここでは、
仮定Q1「grad f(x0,y0) ＝ （ fx(x0, y0),fy(x0, y0)）＝(０,０)」より、
　　 　f(x0+Δx, y0+Δy)－ f(x0, y0)＝(1/2)Q(Δx,Δy)＋R3 　…I-(1)　　
　　かつ　
　　 ∥(Δx,Δy)∥＝→ 0　とすると、R3　→ 0　　　…I-(2)　
　　かつ　
　　 ∥(Δx,Δy)∥＝→ 0　とすると、R3／∥(Δx,Δy)∥2＝R3／｛(Δx)2+(Δy)2｝→ 0 　…I-(3)
が満たされる。
　
Ⅱ.
任意の非零2次元数ベクトル(Δx,Δy)≠(０,０)に対して、
　　Q(Δx,Δy) /∥(Δx,Δy)∥2＝Q(Δx,Δy) /｛(Δx)2+(Δy)2｝　　　
を、(Δx,Δy)の関数としてみると、
　　　Q(Δx,Δy) /∥(Δx,Δy)∥2＝Q(Δx,Δy) /｛(Δx)2+(Δy)2｝　　の最 大値Lが存在し[∵下記理由]、
仮定Q2より、
L＜０
を満たす。
つまり、
（∀(Δx,Δy) ）（　(Δx,Δy)≠(０,０)　⇒　Q(Δx,Δy) /∥(Δx,Δy)∥2＝Q(Δx,Δy) /｛(Δx)2+(Δy)2｝≦L＜０）

なお、
　　　(Δx,Δy)＝(０,０)　⇔　∥(Δx,Δy)∥＝＝０　　
だから、
（∀(Δx,Δy) ）（　∥(Δx,Δy)∥＝≠0　⇒　Q(Δx,Δy) /∥(Δx,Δy)∥2＝Q(Δx,Δy) /｛(Δx)2+(Δy)2｝≦L＜０）
と言っても同じことである。

*　*　*　*　*　*
別様に書くと、
『R2上の点集合』
　D＝ {(Δx,Δy)∈R2|(Δx,Δy)≠(０,０)} ＝ {(Δx,Δy)∈R2|∥(Δx,Δy)∥＝≠0}　（∵ノルムの定義：　(Δx,Δy)＝(０,０)　⇔　∥(Δx,Δy)∥＝0　）
において、
Q(Δx,Δy)  /　∥(Δx,Δy) ∥2　　の最 大値Lが存在し、L＜０
つまり、
（∀(Δx,Δy) ∈D）（Q(Δx,Δy) /∥(Δx,Δy)∥2　≦L＜０）


*　*　*　*　*　*
「Q(Δx,Δy) /∥(Δx,Δy)∥2＝Q(Δx,Δy) /｛(Δx)2+(Δy)2｝の最 大値L」の存在証明：最大値最小値定理から。　

　　Q(Δx,Δy) /∥(Δx,Δy)∥2
　　　　＝Q(Δx,Δy) /｛(Δx)2+(Δy)2｝
　　　＝｛(Δx)2 fxx(x0, y0)+2(Δx)(Δy)  fxy(x0, y0)+(Δy)2 fyy(x0, y0)｝ /｛(Δx)2+(Δy)2｝
　　　＝(Δx)2 fxx(x0, y0) /｛(Δx)2+(Δy)2｝＋ 2(Δx)(Δy)  fxy(x0, y0) /｛(Δx)2+(Δy)2｝＋ (Δy)2 fyy(x0, y0) /｛(Δx)2+(Δy)2｝
　　　＝ fxx(x0, y0)(Δx)2 /｛(Δx)2+(Δy)2｝＋ 2  fxy(x0, y0)(Δx)(Δy) /｛(Δx)2+(Δy)2｝＋  fyy(x0, y0) (Δy)2/｛(Δx)2+(Δy)2｝
　　　＝ fxx(x0, y0)｛Δx/｝2 ＋ 2  fxy(x0, y0)｛Δx/｝｛Δy/｝＋  fyy(x0, y0)｛Δy/｝2 
　　　＝ fxx(x0, y0)｛Δx/∥(Δx,Δy)∥｝2 ＋ 2  fxy(x0, y0)｛Δx/∥(Δx,Δy)∥｝｛Δy/∥(Δx,Δy)∥｝＋  fyy(x0, y0)｛Δy/∥(Δx,Δy)∥｝2 
　　　
　すると、 「Q(Δx,Δy) /∥(Δx,Δy)∥2＝Q(Δx,Δy) /｛(Δx)2+(Δy)2｝ は、
　　　　　2変数2値ベクトル値関数
　　　　　　φ(Δx,Δy)＝( Δx/, Δy/ )＝( Δx/∥(Δx,Δy)∥, Δy/∥(Δx,Δy)∥ )
　　　　　と
　　　　　2変数実数値関数
　　　　　　ψ(h1,h2)＝ fxx(x0, y0)h12 ＋ 2  fxy(x0, y0)h1h2＋  fyy(x0, y0)h22
　　　　　との合成関数
　である。
　　つまり、
　　　　Q(Δx,Δy) /∥(Δx,Δy)∥2＝Q(Δx,Δy) /｛(Δx)2+(Δy)2｝＝ψ( φ(Δx,Δy) )　　　
・任意の非零2次元数ベクトル(Δx,Δy)≠(０,０)に対して、
　　　　∥ φ(Δx,Δy) ∥＝＝１
　を満たす。　　
　つまり、
　定義域D＝{(Δx,Δy)∈R2|(Δx,Δy)≠(０,０)}＝{(Δx,Δy)∈R2|∥(Δx,Δy)∥＝≠0}　に対して、
　φ(Δx,Δy)＝( Δx/, Δy/　 )の値域は、　　　
　　　　　　　{(h1,h2)∈R2|∥(h1,h2)∥ ＝1 }　
　これは、要するに、原点を中心とする半径1の円周である。

・{(h1,h2)∈R2|∥(h1,h2)∥ ＝1 }　　は、有界な閉集合であって、　　　　　　
　　ψ( h1,h2 )　は、{(h1,h2)∈R2|∥(h1,h2)∥ ＝1 }　で連続（∵h1,h2の多項式で定義されるh1,h2の2変数関数は連続）。　
　したがって、最大値最小値定理より、
　　{(h1,h2)∈R2|∥(h1,h2)∥ ＝1 }におけるψ( h1,h2 )の最大値･最小値が存在する。　
・上記二点をあわせて考えると、
　　合成関数　ψ( φ(Δx,Δy) )　は、
　　　D＝D＝{(Δx,Δy)∈R2|(Δx,Δy)≠(０,０)}＝{(Δx,Δy)∈R2|∥(Δx,Δy)∥＝≠0}　において、
　　最大値･最小値を有す
　と結論できる。

Ⅲ.  [ I-(3)を分析、Ⅱに統合 ]
・I-(3)「　∥(Δx,Δy)∥＝→ 0　とすると、R3／∥(Δx,Δy)∥2＝R3／｛(Δx)2+(Δy)2｝→ 0 」　
　を、極限の定義に遡って書き下すと、
　　　（∀ε>０）（∃δ>０）（∀　∈R）（０＜＜δ　⇒　| R3／｛(Δx)2+(Δy)2｝|＜ε ）
これは、実質的には、
　　　（∀ε>０）（∃δ>０）（∀　(Δx,Δy)∈R2）（０＜＜δ　⇒　| R3／｛(Δx)2+(Δy)2｝|＜ε ）
　　　除外近傍の概念を使うと、
　　　（∀ε>０）（∃δ>０）（∀(Δx,Δy)  ∈U*δ(0,0)）（　 R3／｛(Δx)2+(Δy)2｝∈ Uε(0) ）
・だから、Ⅱで出てきた
　　　「　Q(Δx,Δy) /∥(Δx,Δy)∥2＝Q(Δx,Δy) /｛(Δx)2+(Δy)2｝の {(Δx,Δy)∈R2| ∥(Δx,Δy)∥＝ ≠0}における最 大値」L(＜０）
　から作った正値 |L/2|を、εの具体的な値としても、上記命題は成り立つ。
　ε= |L/2|とすると、上記命題は、以下のようになる。
　「ε= |L/2|にたいして、ある実数δ>０が存在し、
　　　　　　　　　（∀　(Δx,Δy)∈R2）（０＜＜δ　⇒　| R3／｛(Δx)2+(Δy)2｝|＜ε=|L/2| ）
　　を満たす。」
　除外近傍の概念を使うと、
　「ε=|L/2|にたいして、ある実数δ>０が存在し、
　　　　　　　　　（∀(Δx,Δy)  ∈U*δ(0,0)　）( R3／｛(Δx)2+(Δy)2｝ ∈ Uε=|L/2|(0)　　)　
　を満たす。」
・つまり、
　Ⅱで出てきた「　Q(Δx,Δy) /｛(Δx)2+(Δy)2｝の {(Δx,Δy)∈R2|∥(Δx,Δy)∥≠0}における最 大値」L(＜０）に対して、
　　（∀　(Δx,Δy)∈R2）（０＜＜δ　⇒　L/2＜ R3／｛(Δx)2+(Δy)2｝＜－L/2 ）
　を満たす正数δが存在するといえる。
　　　　（∃δ>０）（∀ (Δx,Δy)∈R2）（０＜＜δ　⇒　L/2＜ R3／｛(Δx)2+(Δy)2｝＜－L/2 ）
　　　　（∃δ>０）（∀ (Δx,Δy)∈U*δ(0,0)　）（　L/2＜ R3／｛(Δx)2+(Δy)2｝＜－L/2 ）

Ⅳ　　[Ⅱ,I-(3)→Ⅲから、I-(1)右辺への示唆]

δを、「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δであるとする。
Ⅱ,Ⅲより、
（∀ (Δx,Δy)∈R2）（０＜＜δ　⇒　(1/2)Q(Δx,Δy)/｛(Δx)2+(Δy)2｝＋R3/｛(Δx)2+(Δy)2｝≦L/2 ＋R3/｛(Δx)2+(Δy)2｝ ＜０　）
ということは、不等式の最左辺・最右辺に｛(Δx)2+(Δy)2｝ (＞０)をかけて、
（∀ (Δx,Δy)∈R2）（０＜＜δ　⇒　(1/2)Q(Δx,Δy)＋R3 ＜０　）
とできる。
つまり、
Ⅲで存在が示された正数δをつかった(Δx,Δy)の範囲に対する制限「０＜＜δ」
を満たす限りで任意の(Δx,Δy)に対して、
　　　(1/2)Q(Δx,Δy)＋R3 ＜０
が満たされる。
除外近傍の概念を使って表現すると、（∀(Δx,Δy)∈ U*δ(0,0)）　( (1/2)Q(Δx,Δy)＋R3 ＜０　)

Ｖ.　結論
δを、「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δであるとする。
I-(1)とⅣより、
　 （∀ (Δx,Δy)∈R2）（０＜＜δ　⇒　f(x0+Δx, y0+Δy)－ f(x0, y0)＝(1/2)Q(Δx,Δy)＋R3＜０　）
ということは、不等式の最左辺・最右辺だけに着目すると、
　（∀ (Δx,Δy)∈R2）（０＜＜δ　⇒　f(x0+Δx, y0+Δy) ＜ f(x0, y0)　）

つまり、
　　Ⅲで存在が示された正数δをつかった(Δx,Δy)の範囲に対する制限「０＜∥(Δx,Δy)∥＜δ」
　　を満たす限りで任意の(Δx,Δy)に対して、
　　　 　f(x0+Δx, y0+Δy) ＜ f(x0, y0)
　　が成立する。
以上を、
除外近傍の概念を使って表現すると、
「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δに対して、
　（∀ (Δx,Δy) ∈U*δ(0,0)）　(　f(x0+Δx, y0+Δy) ＜ f(x0, y0)　)

よって、仮定Q1,Q2のもとで、
　　(∃δ>0)（∀ (Δx,Δy)∈R2）（０＜＜δ　⇒　f(x0+Δx, y0+Δy)＜ f(x0, y0)　）
　　ないし
　　(∃δ>0)　（∀　(Δx,Δy) ∈U*δ(0,0)　）　(　f(x0+Δx, y0+Δy)＜ f(x0, y0)　)
が示されたことになる。

(x0+Δx, y0+Δy)を(x,y)と書くと、上記命題は、
　　(∃δ>0)（∀(x,y)∈R2）（０＜∥(x,y)－(x0, y0)∥＜δ　⇒　 f(x, y) ＜ f(x0, y0)　）
　　ないし
　　(∃δ>0) (∀(x,y)∈ U*δ(x0,y0) ) ( f(x, y)＜ f(x0, y0) )
となるから、
仮定Q1,Q2のもとで、
点(x0,y0)で、f は狭義極大である。

　　[→狭義極大の二階十分条件冒頭へ戻る]

[条件R⇒「点(x0,y0)で狭義極大」の証明]

仮定R1：　 grad f(x0,y0)=(０,０)
仮定R2：　点(x0,y0)における2変数関数fのヘッセ行列Hf(x0,y0)によって定まる二次形式が負値定符号。
　　　　　すなわち、
　　　　　　任意の実数の組(Δx,Δy)≠(０,０)に対して、
　　　　　　　　二次形式 (Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) ＝＜０　

Ⅰ.
テイラー展開の公式によって、
　f(x0+Δx, y0+Δy)＝ f(x0, y0)＋grad f(x0,y0) ・(Δx,Δy)＋ (1/2)(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) ＋R3
　とおくと　

　　 R3　→ ０　 ( ∥(Δx,Δy)∥→ ０ )
　　かつ　
　　 R3　/　∥(Δx,Δy)∥2　→ ０ ( ∥(Δx,Δy)∥→ ０ ) 　
が満たされる。
したがって、ここでは、
仮定R1「grad f(x0,y0)=(０,０)」より、
　　f(x0+Δx, y0+Δy)＝ f(x0, y0)＋grad f(x0,y0) ・(Δx,Δy)＋ (1/2)(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) ＋R3 　…I-(1)　　
　　かつ　
　　 R3　→ ０　 ( ∥(Δx,Δy)∥→ ０ ) 　　…I-(2)　
　　かつ　
　　 R3　/　∥(Δx,Δy)∥2　→ ０ ( ∥(Δx,Δy)∥→ ０ ) 　…I-(3)
が満たされる。

Ⅱ.
任意の非零2次元数ベクトル(Δx,Δy)≠(０,０)に対して、
　　(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) /　∥(Δx,Δy)∥2
を、(Δx,Δy)の関数としてみると、
　　　(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) /　∥(Δx,Δy)∥2
　　の最 大値Lが存在し[∵単位ベクトル化の二次形式の最大値・最小値定理]、
仮定R2より、
L<０
を満たす。
つまり、
（∀(Δx,Δy) ）（　(Δx,Δy)≠(０,０)　⇒　(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) /　∥(Δx,Δy)∥2≦L<０）

なお、
ノルムの定義より、
　　　(Δx,Δy)＝(０,０)　⇔　∥(Δx,Δy)∥＝0　　
だから、
（∀(Δx,Δy) ）（　∥(Δx,Δy)∥≠0　⇒　(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) /　∥(Δx,Δy)∥2≦L<０）
と言っても同じことである。 　
*　*　*　*　*　*
別様に書くと、
『R2上の点集合』
　D＝ {(Δx,Δy)∈R2|(Δx,Δy)≠(０,０)} ＝ {(Δx,Δy)∈R2|∥(Δx,Δy)∥≠0}　　
　　　　　　　　　　（∵ノルムの定義：　(Δx,Δy)＝(０,０)　⇔　∥(Δx,Δy)∥＝0　）
において、
　　(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) /　∥(Δx,Δy)∥2　　の最 大値Lが存在し、L＜０
つまり、
（∀(Δx,Δy) ∈D）（　(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) /　∥(Δx,Δy)∥2　≦L<０）

Ⅲ.  [ I-(3)を分析、Ⅱに統合 ]
・I-(3)「　R3　/　∥(Δx,Δy)∥2　→ ０ ( ∥(Δx,Δy)∥→ ０ ) 」　
　を、極限の定義に遡って書き下すと、
　　　（∀ε>０）（∃δ>０）（∀　∥(Δx,Δy)∥　）（０＜∥(Δx,Δy)∥＜δ　⇒　| R3／｛∥(Δx,Δy)∥2｝|＜ε ）
　これは、実質的には、
　　　（∀ε>０）（∃δ>０）（∀(Δx,Δy)∈R2）（０＜∥(Δx,Δy)∥＜δ　⇒　| R3/∥(Δx,Δy)∥2|＜ε ）
　　　除外近傍の概念を使うと、
　　　( ∀ε＞0 ) ( ∃δ＞0 ) （∀(Δx,Δy)∈R2）(　∥(Δx,Δy)∥∈U*δ(0,0) ⇒ R3/∥(Δx,Δy)∥2 ∈ Uε(0)　　)　
・だから、Ⅱで出てきた
　「　　(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) /　∥(Δx,Δy)∥2　の　{(Δx,Δy)∈R2|∥(Δx,Δy)∥≠0}　における最 大値」L(＜０）
　から作った正値 |L/2|を、εの具体的な値としても、上記命題は成り立つ。
　ε= |L/2|とすると、上記命題は、以下のようになる。
　「ε= |L/2|にたいして、ある実数δ＞０が存在し、
　　　　　　　　　（∀(Δx,Δy)∈R2）（０＜∥(Δx,Δy)∥＜δ　⇒　| R3/∥(Δx,Δy)∥2|＜ε= |L/2| ）
　　を満たす。」
　除外近傍の概念を使うと、
　「ε= |L/2|にたいして、ある実数δ>０が存在し、
　　　　　　　　　（∀(Δx,Δy)∈U*δ(0,0)　）( R3/∥(Δx,Δy)∥2 ∈ Uε=|L/2|(0)　　)　
　を満たす。」
・つまり、
　Ⅱで出てきた「(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) /　∥(Δx,Δy)∥2　の{(Δx,Δy)∈R2|∥(Δx,Δy)∥≠0}　における最 大値」L(＜０）に対して、
　　（∀(Δx,Δy)∈R2）（０＜∥(Δx,Δy)∥＜δ　⇒　L/2＜ R3/∥(Δx,Δy)∥2＜－L/2 ）
　を満たす正数δが存在するといえる。
　　　　（∃δ>０）（∀(Δx,Δy)∈R2）（０＜∥(Δx,Δy)∥＜δ　⇒　L/2＜ R3/∥(Δx,Δy)∥2＜－L/2 ）

Ⅳ　　[Ⅱ,I-(3)→Ⅲから、I-(1)右辺への示唆]

δを、「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δであるとする。
Ⅱ,Ⅲより、
（∀(Δx,Δy)∈R2）（０＜∥(Δx,Δy)∥＜δ　⇒　(1/2)(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) /　∥(Δx,Δy)∥2＋R3/∥(Δx,Δy)∥2　≦　Ｌ/2 ＋R3/∥(Δx,Δy)∥2 <０　）
ということは、不等式の最左辺・最右辺に∥(Δx,Δy))∥2 (＞０)をかけて、
（∀(Δx,Δy)∈R2）（０＜∥(Δx,Δy)∥＜δ　⇒　(1/2)(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) ＋R3 ＜０　）
とできる。
つまり、
Ⅲで存在が示された正数δをつかった(Δx,Δy)の範囲に対する制限「０＜∥(Δx,Δy)∥＜δ」
を満たす限りで任意の(Δx,Δy)に対して、
　　　(1/2) (Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) ＋R3 ＜０
が満たされる。
除外近傍の概念を使って表現すると、（∀(Δx,Δy)∈U*δ(0,0)）　( (1/2)(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) ＋R3 ＜０　)

Ｖ.　結論
δを、「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δであるとする。
I-(1)とⅣより、
　（∀(Δx,Δy)∈R2）（０＜∥(Δx,Δy)∥＜δ　⇒　f(x0+Δx, y0+Δy)－ f(x0, y0)＝(1/2)(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) ＋R3 ＜０　）
ということは、不等式の最左辺・最右辺だけに着目すると、
　（∀(Δx,Δy)∈R2）（０＜∥(Δx,Δy)∥＜δ　⇒　f(x0+Δx, y0+Δy) ＜ f(x0, y0)　）

つまり、
　　Ⅲで存在が示された正数δをつかった(Δx,Δy)の範囲に対する制限「０＜∥(Δx,Δy)∥＜δ」
　　を満たす限りで任意の(Δx,Δy)に対して、
　　　f(x0+Δx, y0+Δy) ＜ f(x0, y0)　
　　が成立する。
以上を、
除外近傍の概念を使って表現すると、
「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δに対して、
　（∀(Δx,Δy)∈U*δ(0,0)）　( 　f(x0+Δx, y0+Δy) ＜ f(x0, y0)　)

よって、仮定R1,R2のもとで、
　　(∃δ>0)（∀(Δx,Δy)∈R2）（０＜∥(Δx,Δy)∥＜δ　⇒　f(x0+Δx, y0+Δy) ＜ f(x0, y0)　）
　　ないし
　　(∃δ>0)　（∀(Δx,Δy)∈U*δ(0,0)）　( 　f(x0+Δx, y0+Δy) ＜ f(x0, y0)　)
が示されたことになる。

(x0+Δx, y0+Δy)を(x,y)と書くと、上記命題は、
　　(∃δ>0)（∀(x,y)∈R2）（０＜∥(x,y)－(x0, y0)∥＜δ　⇒　 f(x, y) ＜ f(x0, y0)　）
　　ないし
　　(∃δ>0) (∀(x,y)∈ U*δ(x0,y0)) ( f(x, y) ＜ f(x0, y0) )
となるから、
仮定R1,R2のもとで、
点(x0,y0)は、f の狭義の極大点である。

　[→狭義極大の二階十分条件冒頭へ戻る]




[条件S⇒「点A=(x0,y0)で狭義極大」の証明]


仮定S1： grad f(x0)=〇
仮定S2：任意の2次元縦ベクトルh≠〇に対して、
　　　　　2変数関数fのx0におけるヘッセ行列Hf(x0) によって定まる二次形 式　Hf(x0)[h] ＝thHf(x0)h<０　
Ⅰ.
テイラー展開の公式によって、
f(x0+h)＝ f(x0)＋grad f(x0)h＋ (1/2)Hf(x0)[h] ＋R3
とおくと、
　　R3　→ ０　 ( ∥h∥→ ０ )
　　かつ　
　　R3　/　∥h∥2　→ ０ ( ∥h∥→ ０ ) 　
が満たされる。
したがって、仮定S1「 grad f(x0)=〇」より、
　　　f(x0+h) － f(x0) ＝  (1/2)Hf(x0)[h] ＋R3　　…I-(1)
　　かつ　
　　R3　→ ０　 ( ∥h∥→ ０ ) …I-(2)　
　　かつ　
　　R3　/　∥h∥2　→ ０ ( ∥h∥→ ０ ) 　…I-(3)
が満たされる。

Ⅱ.
Hf(x0)[h] /　∥h∥2　　　
を、hの関数としてみると、
任意の 2次元数ベクトルh≠〇に対して、
　　　Hf(x0)[h]/　∥h∥2　　の最 大値Lが存在し[∵単位ベクトル化の二次形式の最大値・最小値定理]、
仮定S2より、
　L＜０
を満たす。
つまり、
（∀h ）（　h≠〇　⇒　Hf(x0)[h] /　∥h∥2　≦L ＜０）

なお、
ノルムの定義より、
　　　h＝〇　⇔　∥h∥＝0　　
だから、
（∀h ）（　∥h∥≠〇　⇒　Hf(x0)[h] /　∥h∥2　≦L ＜０）
と言っても同じことである。

*　*　*　*　*　*
別様に書くと、
『R2上の点集合』D＝{h∈R2|h≠〇}＝{h∈R2|∥h∥≠〇}　（∵ノルムの定義：　h＝〇　⇔　∥h∥＝0　）
において、
Hf(x0)[h] /∥h∥2　の最 大値Lが存在し、L＜０
つまり、
（∀h ∈D）（Hf(x0)[h] /∥h∥2　≦L ＜０）

Ⅲ.  [ I-(3)を分析、Ⅱに統合 ]
・I-(3)「R3　/　∥h∥2　→ ０ ( ∥h∥→ ０ ) 」　
　を、極限の定義に遡って書き下すと、
　　　（∀ε>０）（∃δ>０）（∀　∥h∥　）（０＜∥h∥＜δ　⇒　| R3／｛∥h∥2｝|＜ε ）
　これは、実質的には、
　　　（∀ε>０）（∃δ>０）（∀h∈R2）（０＜∥h∥＜δ　⇒　| R3/∥h∥2|＜ε ）
　　　除外近傍の概念を使うと、
　　　( ∀ε＞0 ) ( ∃δ＞0 ) （∀h∈R2）(　∥h∥∈ U*δ(0,0) ⇒ R3/∥h∥2 ∈ Uε(0)　　)　
・だから、Ⅱで出てきた
　　　「Hf(x0)[h] /∥h∥2　の {h∈R2|∥h∥≠0}における最 大値」L (＜０）
　から作った正値 |L/2| を、εの具体的な値としても、上記命題は成り立つ。
　ε= |L/2|とすると、上記命題は、以下のようになる。
　「ε= |L/2|にたいして、ある実数δ>０が存在し、
　　　　　　　　　（∀h∈R2）（０＜∥h∥＜δ　⇒　| R3/∥h∥2|＜ε=|L/2| ）
　　を満たす。」
　除外近傍の概念を使うと、
　「ε=|L/2|にたいして、ある実数δ>０が存在し、
　　　　　　　　　（∀h∈U*δ(0,0)）( R3/∥h∥2 ∈ Uε=|L/2|(0)　　)　
　を満たす。」

・つまり、
　Ⅱで出てきた「Hf(x0)[h] /∥h∥2　の {h∈R2|∥h∥≠0}における最 大値」L(＜０）に対して、
　　（∀h∈R2）（０＜∥h∥＜δ　⇒　L/2＜ R3/∥h∥2＜－L/2 ）
　を満たす正数δが存在するといえる。
　　　　（∃δ>０）（∀h∈R2）（０＜∥h∥＜δ　⇒　L/2＜ R3/∥h∥2＜－L/2 ）

Ⅳ　　[Ⅱ,I-(3)→Ⅲから、I-(1)右辺への示唆]

δを、「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δであるとする。
Ⅱ,Ⅲより、
（∀h∈R2）（０＜∥h∥＜δ　⇒　(1/2)Hf(x0)[h]  /∥h∥2＋R3/∥h∥2　≦　Ｌ/2 ＋R3/∥h∥2 ＜０　）
ということは、不等式の最左辺・最右辺に∥h∥2 (＞０)をかけて、
（∀h∈R2）（０＜∥h∥＜δ　⇒　(1/2)Hf(x0)[h]＋R3 ＜０　）
とできる。
つまり、
Ⅲで存在が示された正数δをつかったhの範囲に対する制限「０＜∥h∥＜δ」
を満たす限りで任意のhに対して、
　　　(1/2)Hf(x0)[h]＋R3＜０
が満たされる。
除外近傍の概念を使って表現すると、（∀h∈U*δ(0,0)）　( (1/2)Hf(x0)[h] ＋R3 ＜０　)

Ｖ.　結論
δを、「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δであるとする。
I-(1)とⅣより、
　（∀h∈R2）（０＜∥h∥＜δ　⇒　f(x0+h) － f(x0) ＝(1/2)Hf(x0)[h] ＋R3 ＜０　）
ということは、不等式の最左辺・最右辺だけに着目すると、
　（∀h∈R2）（０＜∥h∥＜δ　⇒　f(x0+h) － f(x0)＜０　）

つまり、
　　Ⅲで存在が示された正数δをつかったhの範囲に対する制限「０＜∥h∥＜δ」
　　を満たす限りで任意のhに対して、
　　　f(x0+h)＜ f(x0) 　
　　が成立する。
以上を、
除外近傍の概念を使って表現すると、
「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δに対して、
　（∀h∈U*δ(0,0)）　( 　f(x0+h)＜ f(x0) 　)

よって、仮定S1,S2のもとで、
　　(∃δ>0)（∀h∈R2）（０＜∥h∥＜δ　⇒　f(x0+h)＜ f(x0) 　）
　　ないし
　　(∃δ>0)　（∀h∈U*δ(0,0)）　( f(x0+h)＜ f(x0) )
が示されたことになる。

x0+hをxと書くと、上記命題は、
　　(∃δ>0)（∀x∈R2）（０＜∥x－x0∥＜δ　⇒　f(x)＜f(x0)　）
　　ないし
　　(∃δ>0) (∀x∈ U*δ(x0))  ( f(x)＜f(x0) )
となるから、
仮定S1,S2のもとで、
点x0は、f の狭義の極大点である。

　[→狭義極大の二階十分条件冒頭へ戻る]


→[トピック一覧：2変数関数の極値問題]
→総目次

　
定理：2変数関数の狭義極小の2階十分条件the second-order sufficient condition

cf. n変数関数の狭義極小の2階十分条件


設定
D：平面R2上 の任意の点集合　　
点(x0,y0)=実2次元数ベクトルx0：Dに 属す点　
f(x,y)：Dで定義された2変数関数。
  　　　　　　点(x0,y0)の近くでC2級とする。
　　　　　　　定理より、この設定のもとで、fxy(x0,y0)＝fyx(x0,y0)　

[→トピック一覧：2変数関数の極値問題]

定理

下記の同値な条件Q,R,S,T,U,Vが 満たされるならば、
「2 変数関数fは点(x0,y0)=x0で狭義極小」
すなわち、
　条件Q⇔条件R⇔条件S⇔条件T⇔条件U⇔条件V
　であって、
　条件Q,R,S,T,U,V
　⇒ (∃ε>0)(∀(x,y)∈U*ε(x0,y0))(f(x,y)＞f(x0,y0))　


[文献]
・小林『続微分積分読本―多変数』
　1章10-定理1(p.59):2変数関数。ヘッセ行列不使用。
・松坂『解析入門3』14.3 -D定理3(p.173):
　　　　　　2変数関数。ヘッセ行列不使用。
・小島『ゼロから学ぶ微分積分』4 章(pp.164-5)：
　　　　　　2変数関数。ヘッセ行列不使用。



・笠原『微分積分学』6.1定理 6.5(p.192):2変数関数。ヘッセ行列の符号。
＊黒田『微分積分学』定理 8.16(p.310):ヘッセ行列不使用
＊高橋『微分と積分2』 §3.3(pp.83-4):ヘッセ行列不使用.2変数2次形式から。。
　

[条件Q ：2次形式―行列を持ち出さない表現]
・Q1: 点(x0,y0)は、2変数関数fの臨界点。
　　　　すなわち、grad f(x0,y0) ＝ (0,0)
かつ　

[文献]
・高橋『微分と積分2』 §3.3(p.83-4):ヘッセ行列不使用.2変数2次形式から。

・Q2: 任意の(Δx,Δy)≠(０,０)に対して、
　　　　　　Q(Δx,Δy)＝(Δx)2 fxx(x0, y0)+2(Δx)(Δy)  fxy(x0, y0)+(Δy)2 fyy(x0, y0)
　　　がプラスになる。
　※条件Q⇒「fは点(x0,y0)で狭義極小」の証明　　
　※「条件Q2⇔条件R2⇔条件S2」の証明
　

[条件R ：ヘッセ行列と正値定符号行列・正値定符号2次形式を持ち出す表現]
・R1: 点(x0,y0)は、2変数関数fの臨界点。すなわち、 grad f(x0,y0)=(０,０)
かつ
・R2: 点(x0,y0)における2変数関数fのヘッセ行列Hf(x0,y0)によって定まる二次形式が正値定符号行列。
　　　すなわち、
　　　任意の実数の組(Δx,Δy)≠(０,０)に対して、
　　　　　　二次形式 (Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) ＝＞０　
　　　　　　※ここでf(x,y)はC2級と設定されたから、
　　　　　　　定理より、この設定のもとで、fxy(x0,y0)＝fyx(x0,y0)　となっており、
　　　　　　　したがって、右辺の正方行列は、対称行列となることに注意。　

　※条件R⇒「fは点(x0,y0)で狭義極小」の証明　　
　※「条件Q2⇔条件R2⇔条件S2」の証明　

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[条件S ：ヘッセ行列と正値定符号行列を持ち出すベクトル行列表現]
・S1: 点x0=(x0,y0)は、2変数関数fの臨界点。すなわち、 grad f(x0)=〇
かつ
・S2: 点x0=(x0,y0)における2変数関数fのヘッセ行列Hf(x0) が正値定符号行列。
　　　すなわち、
　　　任意の2次元縦ベクトルh≠〇に対して、二次形式 thHf(x0)h＞０　

　※条件S⇒「fは点(x0,y0)で狭義極小」の証明　　
　※「条件Q2⇔条件R2⇔条件S2」の証明　

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[条件T ：ヘッセ行列の固有値を持ち出す表現]
・T1: 点(x0,y0)は、2変数関数fの臨界点。すなわち、 grad f(x0,y0)=(０,０)
かつ
・T2: 点(x0,y0)における2変数関数fのヘッセ行列Hf(x0,y0)の全ての固有値が正。

　※条件S⇔条件Tなのは、なぜ?　→正値定符号行列になるための必要十分条件～固有値に関連して　　　

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[条件U：ヘッセ行列の主小行列―ヘッセ行列も主小行列も持ち出さない表現]
・U1: 点(x0,y0)は、2変数関数fの臨界点。すなわち、 grad f(x0,y0)=(０,０)
かつ
・U2：fxx (x0,y0) fyy (x0,y0)－{ fxy (x0,y0)}2　＞０
かつ
・U3：fxx (x0,y0)＞０
かつ
・U4：fyy (x0,y0)＞０
※注意：いつでも{ fxy (x0,y0)}2　≧０であるから、
　　　　「条件U2かつ条件U3」が成り立っているとき、条件U4はいつも成り立っており、
　　　　「条件U2かつ条件U4」が成り立っているとき、条件U3はいつも成り立っている。
　　　　したがって、左記判定条件のうち、条件U3・条件U4のいずれか一方は不要。
　　　　つまり、
　　　　条件Uは、
　　　　「条件U1かつ条件U2かつ条件U3」または「条件U1かつ条件U2かつ条件U4」のいずれかを
　　　　要求しているに過ぎない。
※条件Uを一般的な表現に改めたのが、下記の条件V。
　　n変数関数のケースへ拡張するには、このような一般的な表現が有利。

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[条件V ：ヘッセ行列の主小行列を持ち出す表現]
・V1: 点(x0,y0)は、2変数関数fの臨界点。すなわち、 grad f(x0,y0)=(０,０)
かつ
・V2:「点(x0,y0)における2変数関数fのヘッセ行列Hf(x0,y0) 」の、
　　　　以下にあげる主小行列D1,D2の行列式が、どれも、プラス。
　　　　つまり、det Dk ＞0　　（k=1,2）　

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　　　　　・D1：『点(x0,y0)における2変数関数fの2行2列ヘッセ行列』Hf(x0,y0)から、同じ番号の行・列を、後から1個潰してできた1行1列の主小行列。
　　　　　　　　　すなわち、D1＝fxx (x0,y0)　
　　　　　・D2：『点(x0,y0)における2変数関数fの2行2列ヘッセ行列』Hf(x0,y0)から、同じ番号の行・列を、後から０個潰してできた2行2列の主小行列。
　　　　　　　　　すなわち、D2＝

　※条件S⇔条件Uとなるのは、なぜ?　→　正値定符号行列になるための必要十分条件～主小行列式に関連して　

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[条件Q⇒「点(x0,y0)で狭義極小」の証明]

仮定Q1：grad f(x0,y0) ＝ （ fx(x0, y0),fy(x0, y0)）＝(０,０)　
仮定Q2：任意の(Δx,Δy)≠(０,０)に対して、　Q(Δx,Δy)＞０
　　　　　ただし、Q(Δx,Δy)＝(Δx)2 fxx(x0, y0)+2(Δx)(Δy)  fxy(x0, y0)+(Δy)2 fyy(x0, y0)
Ⅰ.
テイラー展開の公式によって、
　f(x0+Δx, y0+Δy)＝ f(x0, y0)＋(Δx)  fx(x0, y0)＋(Δy) fy(x0, y0)＋(1/2)Q(Δx,Δy)＋R3
　とおくと、
　　　∥(Δx,Δy)∥＝→ 0　とすると、R3　→ 0　
　　かつ　
　　　∥(Δx,Δy)∥＝→ 0　とすると、R3／∥(Δx,Δy)∥2＝R3／｛(Δx)2+(Δy)2｝→ 0　
　が満たされる。
したがって、ここでは、
仮定Q1「grad f(x0,y0) ＝ （ fx(x0, y0),fy(x0, y0)）＝(０,０)」より、
　　 　f(x0+Δx, y0+Δy)－ f(x0, y0)＝(1/2)Q(Δx,Δy)＋R3 　…I-(1)　　
　　かつ　
　　 ∥(Δx,Δy)∥＝→ 0　とすると、R3　→ 0　　　…I-(2)　
　　かつ　
　　 ∥(Δx,Δy)∥＝→ 0　とすると、R3／∥(Δx,Δy)∥2＝R3／｛(Δx)2+(Δy)2｝→ 0 　…I-(3)
が満たされる。
　
Ⅱ.
任意の非零2次元数ベクトル(Δx,Δy)≠(０,０)に対して、
　　Q(Δx,Δy) /∥(Δx,Δy)∥2＝Q(Δx,Δy) /｛(Δx)2+(Δy)2｝　　　
を、(Δx,Δy)の関数としてみると、
　　　Q(Δx,Δy) /∥(Δx,Δy)∥2＝Q(Δx,Δy) /｛(Δx)2+(Δy)2｝　　の最小値Lが存在し[∵下記理由]、
仮定Q2より、
L＞０
を満たす。
つまり、
（∀(Δx,Δy) ）（　(Δx,Δy)≠(０,０)　⇒　Q(Δx,Δy) /∥(Δx,Δy)∥2＝Q(Δx,Δy) /｛(Δx)2+(Δy)2｝≧L＞０）
なお、
　　　(Δx,Δy)＝(０,０)　⇔　∥(Δx,Δy)∥＝＝０　　
だから、
（∀(Δx,Δy) ）（　∥(Δx,Δy)∥＝≠0　⇒　Q(Δx,Δy) /∥(Δx,Δy)∥2＝Q(Δx,Δy) /｛(Δx)2+(Δy)2｝≧L＞０）
と言っても同じことである。

*　*　*　*　*　*
別様に書くと、
『R2上の点集合』
　D＝ {(Δx,Δy)∈R2|(Δx,Δy)≠(０,０)} ＝ {(Δx,Δy)∈R2|∥(Δx,Δy)∥＝≠0}　（∵ノルムの定義：　(Δx,Δy)＝(０,０)　⇔　∥(Δx,Δy)∥＝0　）
において、
Q(Δx,Δy)  /　∥(Δx,Δy) ∥2　　の最小値Lが存在し、L＞０
つまり、
（∀(Δx,Δy) ∈D）（Q(Δx,Δy) /∥(Δx,Δy)∥2　≧L＞０）

*　*　*　*　*　*
「Q(Δx,Δy) /∥(Δx,Δy)∥2＝Q(Δx,Δy) /｛(Δx)2+(Δy)2｝の最小値L」の存在証明：最大値最小値定理から。　

　　Q(Δx,Δy) /∥(Δx,Δy)∥2
　　　　＝Q(Δx,Δy) /｛(Δx)2+(Δy)2｝
　　　＝｛(Δx)2 fxx(x0, y0)+2(Δx)(Δy)  fxy(x0, y0)+(Δy)2 fyy(x0, y0)｝ /｛(Δx)2+(Δy)2｝
　　　＝(Δx)2 fxx(x0, y0) /｛(Δx)2+(Δy)2｝＋ 2(Δx)(Δy)  fxy(x0, y0) /｛(Δx)2+(Δy)2｝＋ (Δy)2 fyy(x0, y0) /｛(Δx)2+(Δy)2｝
　　　＝ fxx(x0, y0)(Δx)2 /｛(Δx)2+(Δy)2｝＋ 2  fxy(x0, y0)(Δx)(Δy) /｛(Δx)2+(Δy)2｝＋  fyy(x0, y0) (Δy)2/｛(Δx)2+(Δy)2｝
　　　＝ fxx(x0, y0)｛Δx/｝2 ＋ 2  fxy(x0, y0)｛Δx/｝｛Δy/｝＋  fyy(x0, y0)｛Δy/｝2 
　　　＝ fxx(x0, y0)｛Δx/∥(Δx,Δy)∥｝2 ＋ 2  fxy(x0, y0)｛Δx/∥(Δx,Δy)∥｝｛Δy/∥(Δx,Δy)∥｝＋  fyy(x0, y0)｛Δy/∥(Δx,Δy)∥｝2 
　　　
　すると、 「Q(Δx,Δy) /∥(Δx,Δy)∥2＝Q(Δx,Δy) /｛(Δx)2+(Δy)2｝ は、
　　　　　2変数2値ベクトル値関数
　　　　　　φ(Δx,Δy)＝( Δx/, Δy/ )＝( Δx/∥(Δx,Δy)∥, Δy/∥(Δx,Δy)∥ )
　　　　　と
　　　　　2変数実数値関数
　　　　　　ψ(h1,h2)＝ fxx(x0, y0)h12 ＋ 2  fxy(x0, y0)h1h2＋  fyy(x0, y0)h22
　　　　　との合成関数
　である。
　　つまり、
　　　　Q(Δx,Δy) /∥(Δx,Δy)∥2＝Q(Δx,Δy) /｛(Δx)2+(Δy)2｝＝ψ( φ(Δx,Δy) )　　　
・任意の非零2次元数ベクトル(Δx,Δy)≠(０,０)に対して、
　　　　∥ φ(Δx,Δy) ∥＝＝１
　を満たす。　　
　つまり、
　定義域D＝{(Δx,Δy)∈R2|(Δx,Δy)≠(０,０)}＝{(Δx,Δy)∈R2|∥(Δx,Δy)∥＝≠0}　に対して、
　φ(Δx,Δy)＝( Δx/, Δy/　 )の値域は、　　　
　　　　　　　{(h1,h2)∈R2|∥(h1,h2)∥ ＝1 }　
　これは、要するに、原点を中心とする半径1の円周である。

・{(h1,h2)∈R2|∥(h1,h2)∥ ＝1 }　　は、有界な閉集合であって、　　　　　　
　　ψ( h1,h2 )　は、{(h1,h2)∈R2|∥(h1,h2)∥ ＝1 }　で連続（∵h1,h2の多項式で定義されるh1,h2の2変数関数は連続）。　
　したがって、最大値最小値定理より、
　　{(h1,h2)∈R2|∥(h1,h2)∥ ＝1 }におけるψ( h1,h2 )の最大値･最小値が存在する。　
・上記二点をあわせて考えると、
　　合成関数　ψ( φ(Δx,Δy) )　は、
　　　D＝{(Δx,Δy)∈R2|(Δx,Δy)≠(０,０)}＝{(Δx,Δy)∈R2|∥(Δx,Δy)∥＝≠0}　において、
　　最大値･最小値を有す
　と結論できる。

Ⅲ.  [ I-(3)を分析、Ⅱに統合 ]
・I-(3)「　∥(Δx,Δy)∥＝→ 0　とすると、R3／∥(Δx,Δy)∥2＝R3／｛(Δx)2+(Δy)2｝→ 0 」　
　を、極限の定義に遡って書き下すと、
　　　（∀ε>０）（∃δ>０）（∀　∈R）（０＜＜δ　⇒　| R3／｛(Δx)2+(Δy)2｝|＜ε ）
これは、実質的には、
　　　（∀ε>０）（∃δ>０）（∀　(Δx,Δy)∈R2）（０＜＜δ　⇒　| R3／｛(Δx)2+(Δy)2｝|＜ε ）
　　　除外近傍の概念を使うと、
　　　（∀ε>０）（∃δ>０）（∀(Δx,Δy)  ∈U*δ(0,0)）（　 R3／｛(Δx)2+(Δy)2｝∈ Uε(0) ）
・だから、Ⅱで出てきた
　　　「　Q(Δx,Δy) /∥(Δx,Δy)∥2＝Q(Δx,Δy) /｛(Δx)2+(Δy)2｝の {(Δx,Δy)∈R2| ∥(Δx,Δy)∥＝ ≠0}における最小値」L(＞０）
　から作った正値 L/2を、εの具体的な値としても、上記命題は成り立つ。
　ε= L/2とすると、上記命題は、以下のようになる。
　「ε= L/2にたいして、ある実数δ>０が存在し、
　　　　　　　　　（∀　(Δx,Δy)∈R2）（０＜＜δ　⇒　| R3／｛(Δx)2+(Δy)2｝|＜ε=L/2 ）
　　を満たす。」
　除外近傍の概念を使うと、
　「ε=L/2にたいして、ある実数δ>０が存在し、
　　　　　　　　　（∀(Δx,Δy)  ∈U*δ(0,0)　）( R3／｛(Δx)2+(Δy)2｝ ∈ Uε=L/2(0)　　)　
　を満たす。」
・つまり、
　Ⅱで出てきた「　Q(Δx,Δy) /｛(Δx)2+(Δy)2｝の {(Δx,Δy)∈R2|∥(Δx,Δy)∥≠0}における最 大値」L(＜０）に対して、
　　（∀　(Δx,Δy)∈R2）（０＜＜δ　⇒　－L/2＜ R3／｛(Δx)2+(Δy)2｝＜L/2 ）
　を満たす正数δが存在するといえる。
　　　　（∃δ>０）（∀ (Δx,Δy)∈R2）（０＜＜δ　⇒　－L/2＜ R3／｛(Δx)2+(Δy)2｝＜L/2 ）
　　　　（∃δ>０）（∀ (Δx,Δy)∈U*δ(0,0)　）（　－L/2＜ R3／｛(Δx)2+(Δy)2｝＜L/2 ）

Ⅳ　　[Ⅱ,I-(3)→Ⅲから、I-(1)右辺への示唆]

δを、「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δであるとする。
Ⅱ,Ⅲより、
（∀ (Δx,Δy)∈R2）（０＜＜δ　⇒　(1/2)Q(Δx,Δy)/｛(Δx)2+(Δy)2｝＋R3/｛(Δx)2+(Δy)2｝≧L/2 ＋R3/｛(Δx)2+(Δy)2｝ ＞０　）
ということは、不等式の最左辺・最右辺に｛(Δx)2+(Δy)2｝ (＞０)をかけて、
（∀ (Δx,Δy)∈R2）（０＜＜δ　⇒　(1/2)Q(Δx,Δy)＋R3 ＞０　）
とできる。
つまり、
Ⅲで存在が示された正数δをつかった(Δx,Δy)の範囲に対する制限「０＜＜δ」
を満たす限りで任意の(Δx,Δy)に対して、
　　　(1/2)Q(Δx,Δy)＋R3 ＞０
が満たされる。
除外近傍の概念を使って表現すると、（∀(Δx,Δy)∈ U*δ(0,0)）　( (1/2)Q(Δx,Δy)＋R3 ＞０　)

Ｖ.　結論
δを、「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δであるとする。
I-(1)とⅣより、
　 （∀ (Δx,Δy)∈R2）（０＜＜δ　⇒　f(x0+Δx, y0+Δy)－ f(x0, y0)＝(1/2)Q(Δx,Δy)＋R3＞０　）
ということは、不等式の最左辺・最右辺だけに着目すると、
　（∀ (Δx,Δy)∈R2）（０＜＜δ　⇒　f(x0+Δx, y0+Δy) ＞ f(x0, y0)　）

つまり、
　　Ⅲで存在が示された正数δをつかった(Δx,Δy)の範囲に対する制限「０＜∥(Δx,Δy)∥＜δ」
　　を満たす限りで任意の(Δx,Δy)に対して、
　　　 　f(x0+Δx, y0+Δy) ＞ f(x0, y0)
　　が成立する。
以上を、
除外近傍の概念を使って表現すると、
「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δに対して、
　（∀ (Δx,Δy) ∈U*δ(0,0)）　(　f(x0+Δx, y0+Δy) ＞ f(x0, y0)　)

よって、仮定Q1,Q2のもとで、
　　(∃δ>0)（∀ (Δx,Δy)∈R2）（０＜＜δ　⇒　f(x0+Δx, y0+Δy)＞ f(x0, y0)　）
　　ないし
　　(∃δ>0)　（∀　(Δx,Δy) ∈U*δ(0,0)　）　(　f(x0+Δx, y0+Δy)＞ f(x0, y0)　)
が示されたことになる。

(x0+Δx, y0+Δy)を(x,y)と書くと、上記命題は、
　　(∃δ>0)（∀(x,y)∈R2）（０＜∥(x,y)－(x0, y0)∥＜δ　⇒　 f(x, y) ＞ f(x0, y0)　）
　　ないし
　　(∃δ>0) (∀(x,y)∈ U*δ(x0,y0) ) ( f(x, y)＞ f(x0, y0) )
となるから、
仮定Q1,Q2のもとで、
点(x0,y0)で、f は狭義極小である。

[→狭義極小の二階十分条件冒頭へ戻る]

[条件R⇒「点(x0,y0)で狭義極小」の証明]


仮定R1：　 grad f(x0,y0)=(０,０)
仮定R2：　点(x0,y0)における2変数関数fのヘッセ行列Hf(x0,y0)によって定まる二次形式が正値定符号行列。
　　　　　すなわち、
　　　　　　任意の実数の組(Δx,Δy)≠(０,０)に対して、
　　　　　　　　二次形式 (Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) ＝＞０　
Ⅰ.
テイラー展開の公式によって、
　f(x0+Δx, y0+Δy)＝ f(x0, y0)＋grad f(x0,y0) ・(Δx,Δy)＋ (1/2)(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) ＋R3
　とおくと　

　　 R3　→ ０　 ( ∥(Δx,Δy)∥→ ０ )
　　かつ　
　　 R3　/　∥(Δx,Δy)∥2　→ ０ ( ∥(Δx,Δy)∥→ ０ ) 　
が満たされる。
したがって、ここでは、
仮定R1「grad f(x0,y0)=(０,０)」より、
　　f(x0+Δx, y0+Δy)＝ f(x0, y0)＋grad f(x0,y0) ・(Δx,Δy)＋ (1/2)(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) ＋R3 　…I-(1)　　
　　かつ　
　　 R3　→ ０　 ( ∥(Δx,Δy)∥→ ０ ) 　　…I-(2)　
　　かつ　
　　 R3　/　∥(Δx,Δy)∥2　→ ０ ( ∥(Δx,Δy)∥→ ０ ) 　…I-(3)
が満たされる。

Ⅱ.
任意の非零2次元数ベクトル(Δx,Δy)≠(０,０)に対して、
　　(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) /　∥(Δx,Δy)∥2
を、(Δx,Δy)の関数としてみると、
　　　(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) /　∥(Δx,Δy)∥2
　　の最小値Lが存在し[∵単位ベクトル化の二次形式の最大値・最小値定理]、
仮定R2より、
L＞０
を満たす。
つまり、
（∀(Δx,Δy) ）（　(Δx,Δy)≠(０,０)　⇒　(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) /　∥(Δx,Δy)∥2≧L＞０）

なお、
ノルムの定義より、
　　　(Δx,Δy)＝(０,０)　⇔　∥(Δx,Δy)∥＝0　　
だから、
（∀(Δx,Δy) ）（　∥(Δx,Δy)∥≠0　⇒　(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) /　∥(Δx,Δy)∥2≧L＞０）
と言っても同じことである。 　
*　*　*　*　*　*
別様に書くと、
『R2上の点集合』
　D＝ {(Δx,Δy)∈R2|(Δx,Δy)≠(０,０)} ＝ {(Δx,Δy)∈R2|∥(Δx,Δy)∥≠0}　　
　　　　　　　　　　（∵ノルムの定義：　(Δx,Δy)＝(０,０)　⇔　∥(Δx,Δy)∥＝0　）
において、
　　(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) /　∥(Δx,Δy)∥2　　の最小値Lが存在し、L＞０
つまり、
（∀(Δx,Δy) ∈D）（　(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) /　∥(Δx,Δy)∥2　≧L＞０）

Ⅲ.  [ I-(3)を分析、Ⅱに統合 ]
・I-(3)「　R3　/　∥(Δx,Δy)∥2　→ ０ ( ∥(Δx,Δy)∥→ ０ ) 」　
　を、極限の定義に遡って書き下すと、
　　　（∀ε>０）（∃δ>０）（∀　∥(Δx,Δy)∥　）（０＜∥(Δx,Δy)∥＜δ　⇒　| R3／｛∥(Δx,Δy)∥2｝|＜ε ）
　これは、実質的には、
　　　（∀ε>０）（∃δ>０）（∀(Δx,Δy)∈R2）（０＜∥(Δx,Δy)∥＜δ　⇒　| R3/∥(Δx,Δy)∥2|＜ε ）
　　　除外近傍の概念を使うと、
　　　( ∀ε＞0 ) ( ∃δ＞0 ) （∀(Δx,Δy)∈R2）(　∥(Δx,Δy)∥∈U*δ(0,0) ⇒ R3/∥(Δx,Δy)∥2 ∈ Uε(0)　　)　
・だから、Ⅱで出てきた
　「　　(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) /　∥(Δx,Δy)∥2　の　{(Δx,Δy)∈R2|∥(Δx,Δy)∥≠0}　における最小値」L(＞０）
　から作った正値 L/2を、εの具体的な値としても、上記命題は成り立つ。
　ε= L/2とすると、上記命題は、以下のようになる。
　「ε= L/2にたいして、ある実数δ＞０が存在し、
　　　　　　　　　（∀(Δx,Δy)∈R2）（０＜∥(Δx,Δy)∥＜δ　⇒　| R3/∥(Δx,Δy)∥2|＜ε＝ L/2 ）
　　を満たす。」
　除外近傍の概念を使うと、
　「ε= |L/2|にたいして、ある実数δ>０が存在し、
　　　　　　　　　（∀(Δx,Δy)∈U*δ(0,0)　）( R3/∥(Δx,Δy)∥2 ∈ Uε=L/2(0)　　)　
　を満たす。」
・つまり、
　Ⅱで出てきた「(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) /　∥(Δx,Δy)∥2　の{(Δx,Δy)∈R2|∥(Δx,Δy)∥≠0}　における最小値」L(＞０）に対して、
　　（∀(Δx,Δy)∈R2）（０＜∥(Δx,Δy)∥＜δ　⇒　－L/2＜ R3/∥(Δx,Δy)∥2＜L/2 ）
　を満たす正数δが存在するといえる。
　　　　（∃δ>０）（∀(Δx,Δy)∈R2）（０＜∥(Δx,Δy)∥＜δ　⇒　－L/2＜ R3/∥(Δx,Δy)∥2＜L/2 ）

Ⅳ　　[Ⅱ,I-(3)→Ⅲから、I-(1)右辺への示唆]

δを、「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δであるとする。
Ⅱ,Ⅲより、
（∀(Δx,Δy)∈R2）（０＜∥(Δx,Δy)∥＜δ　⇒　(1/2)(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) /　∥(Δx,Δy)∥2＋R3/∥(Δx,Δy)∥2　≧　Ｌ/2 ＋R3/∥(Δx,Δy)∥2 ＞０　）
ということは、不等式の最左辺・最右辺に∥(Δx,Δy))∥2 (＞０)をかけて、
（∀(Δx,Δy)∈R2）（０＜∥(Δx,Δy)∥＜δ　⇒　(1/2)(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) ＋R3 ＞０　）
とできる。
つまり、
Ⅲで存在が示された正数δをつかった(Δx,Δy)の範囲に対する制限「０＜∥(Δx,Δy)∥＜δ」
を満たす限りで任意の(Δx,Δy)に対して、
　　　(1/2) (Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) ＋R3 ＞０
が満たされる。
除外近傍の概念を使って表現すると、（∀(Δx,Δy)∈U*δ(0,0)）　( (1/2)(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) ＋R3 ＞０　)

Ｖ.　結論
δを、「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δであるとする。
I-(1)とⅣより、
　（∀(Δx,Δy)∈R2）（０＜∥(Δx,Δy)∥＜δ　⇒　f(x0+Δx, y0+Δy)－ f(x0, y0)＝(1/2)(Δx,Δy)Hf(x0,y0) t(Δx,Δy) ＋R3 ＞０　）
ということは、不等式の最左辺・最右辺だけに着目すると、
　（∀(Δx,Δy)∈R2）（０＜∥(Δx,Δy)∥＜δ　⇒　f(x0+Δx, y0+Δy) ＞ f(x0, y0)　）

つまり、
　　Ⅲで存在が示された正数δをつかった(Δx,Δy)の範囲に対する制限「０＜∥(Δx,Δy)∥＜δ」
　　を満たす限りで任意の(Δx,Δy)に対して、
　　　f(x0+Δx, y0+Δy) ＞ f(x0, y0)　
　　が成立する。
以上を、
除外近傍の概念を使って表現すると、
「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δに対して、
　（∀(Δx,Δy)∈U*δ(0,0)）　( 　f(x0+Δx, y0+Δy) ＞ f(x0, y0)　)

よって、仮定R1,R2のもとで、
　　(∃δ>0)（∀(Δx,Δy)∈R2）（０＜∥(Δx,Δy)∥＜δ　⇒　f(x0+Δx, y0+Δy) ＞ f(x0, y0)　）
　　ないし
　　(∃δ>0)　（∀(Δx,Δy)∈U*δ(0,0)）　( 　f(x0+Δx, y0+Δy) ＞ f(x0, y0)　)
が示されたことになる。

(x0+Δx, y0+Δy)を(x,y)と書くと、上記命題は、
　　(∃δ>0)（∀(x,y)∈R2）（０＜∥(x,y)－(x0, y0)∥＜δ　⇒　 f(x, y) ＞ f(x0, y0)　）
　　ないし
　　(∃δ>0) (∀(x,y)∈ U*δ(x0,y0)) ( f(x, y) ＞ f(x0, y0) )
となるから、
仮定R1,R2のもとで、
点(x0,y0)で、f は狭義極小である。

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[条件S⇒「点A=(x0,y0)で狭義極小」の証明]

仮定S1： grad f(x0)=〇
仮定S2：任意の2次元縦ベクトルh≠〇に対して、
　　　　　2変数関数fのx0におけるヘッセ行列Hf(x0) によって定まる二次形 式　Hf(x0)[h] ＝thHf(x0)h＞０　
Ⅰ.
テイラー展開の公式によって、
f(x0+h)＝ f(x0)＋grad f(x0)h＋ (1/2)Hf(x0)[h] ＋R3
とおくと、
　　R3　→ ０　 ( ∥h∥→ ０ )
　　かつ　
　　R3　/　∥h∥2　→ ０ ( ∥h∥→ ０ ) 　
が満たされる。
したがって、仮定S1「 grad f(x0)=〇」より、
　　　f(x0+h) － f(x0) ＝  (1/2)Hf(x0)[h] ＋R3　　…I-(1)
　　かつ　
　　R3　→ ０　 ( ∥h∥→ ０ ) …I-(2)　
　　かつ　
　　R3　/　∥h∥2　→ ０ ( ∥h∥→ ０ ) 　…I-(3)
が満たされる。

Ⅱ.
Hf(x0)[h] /　∥h∥2　　　
を、hの関数としてみると、
任意の 2次元数ベクトルh≠〇に対して、
　　　Hf(x0)[h]/　∥h∥2　　の最小値Lが存在し[∵単位ベクトル化の二次形式の最大値・最小値定理]、
仮定S2より、
　L＞０
を満たす。
つまり、
（∀h ）（　h≠〇　⇒　Hf(x0)[h] /　∥h∥2　≧L ＞０）

なお、
ノルムの定義より、
　　　h＝〇　⇔　∥h∥＝0　　
だから、
（∀h ）（　∥h∥≠〇　⇒　Hf(x0)[h] /　∥h∥2　≧L ＞０）
と言っても同じことである。

*　*　*　*　*　*
別様に書くと、
『R2上の点集合』D＝{h∈R2|h≠〇}＝{h∈R2|∥h∥≠〇}　（∵ノルムの定義：　h＝〇　⇔　∥h∥＝0　）
において、
Hf(x0)[h] /∥h∥2　の最 大値Lが存在し、L＞０
つまり、
（∀h ∈D）（Hf(x0)[h] /∥h∥2　≧L ＞０）

Ⅲ.  [ I-(3)を分析、Ⅱに統合 ]
・I-(3)「R3　/　∥h∥2　→ ０ ( ∥h∥→ ０ ) 」　
　を、極限の定義に遡って書き下すと、
　　　（∀ε>０）（∃δ>０）（∀　∥h∥　）（０＜∥h∥＜δ　⇒　| R3／｛∥h∥2｝|＜ε ）
　これは、実質的には、
　　　（∀ε>０）（∃δ>０）（∀h∈R2）（０＜∥h∥＜δ　⇒　| R3/∥h∥2|＜ε ）
　　　除外近傍の概念を使うと、
　　　( ∀ε＞0 ) ( ∃δ＞0 ) （∀h∈R2）(　∥h∥∈ U*δ(0,0) ⇒ R3/∥h∥2 ∈ Uε(0)　　)　
・だから、Ⅱで出てきた
　　　「Hf(x0)[h] /∥h∥2　の {h∈R2|∥h∥≠0}における最小値」L (＞０）
　から作った正値 L/2 を、εの具体的な値としても、上記命題は成り立つ。
　ε＝ L/2とすると、上記命題は、以下のようになる。
　「ε＝ L/2にたいして、ある実数δ>０が存在し、
　　　　　　　　　（∀h∈R2）（０＜∥h∥＜δ　⇒　| R3/∥h∥2|＜ε＝L/2 ）
　　を満たす。」
　除外近傍の概念を使うと、
　「ε＝L/2にたいして、ある実数δ>０が存在し、
　　　　　　　　　（∀h∈U*δ(0,0)）( R3/∥h∥2 ∈ Uε=L/2(0)　　)　
　を満たす。」

・つまり、
　Ⅱで出てきた「Hf(x0)[h] /∥h∥2　の {h∈R2|∥h∥≠0}における最小値」L (＞０）に対して、
　　（∀h∈R2）（０＜∥h∥＜δ　⇒　－L/2＜ R3/∥h∥2＜L/2 ）
　を満たす正数δが存在するといえる。
　　　　（∃δ>０）（∀h∈R2）（０＜∥h∥＜δ　⇒　－L/2＜ R3/∥h∥2＜L/2 ）

Ⅳ　　[Ⅱ,I-(3)→Ⅲから、I-(1)右辺への示唆]

δを、「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δであるとする。
Ⅱ,Ⅲより、
（∀h∈R2）（０＜∥h∥＜δ　⇒　(1/2)Hf(x0)[h]  /∥h∥2＋R3/∥h∥2　≧　Ｌ/2 ＋R3/∥h∥2 ＞０　）
ということは、不等式の最左辺・最右辺に∥h∥2 (＞０)をかけて、
（∀h∈R2）（０＜∥h∥＜δ　⇒　(1/2)Hf(x0)[h]＋R3 ＞０　）
とできる。
つまり、
Ⅲで存在が示された正数δをつかったhの範囲に対する制限「０＜∥h∥＜δ」
を満たす限りで任意のhに対して、
　　　(1/2)Hf(x0)[h]＋R3＞０
が満たされる。
除外近傍の概念を使って表現すると、（∀h∈U*δ(0,0)）　( (1/2)Hf(x0)[h] ＋R3 ＞０　)

Ｖ.　結論
δを、「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δであるとする。
I-(1)とⅣより、
　（∀h∈R2）（０＜∥h∥＜δ　⇒　f(x0+h) － f(x0) ＝(1/2)Hf(x0)[h] ＋R3 ＞０　）
ということは、不等式の最左辺・最右辺だけに着目すると、
　（∀h∈R2）（０＜∥h∥＜δ　⇒　f(x0+h) － f(x0)＞０　）

つまり、
　　Ⅲで存在が示された正数δをつかったhの範囲に対する制限「０＜∥h∥＜δ」
　　を満たす限りで任意のhに対して、
　　　f(x0+h)＞ f(x0) 　
　　が成立する。
以上を、
除外近傍の概念を使って表現すると、
「『Ⅱで出てきたL』に対して、Ⅲで存在が示された」正数δに対して、
　（∀h∈U*δ(0,0)）　( 　f(x0+h)＞ f(x0) 　)

よって、仮定S1,S2のもとで、
　　(∃δ>0)（∀h∈R2）（０＜∥h∥＜δ　⇒　f(x0+h)＞ f(x0) 　）
　　ないし
　　(∃δ>0)　（∀h∈U*δ(0,0)）　( f(x0+h)＞ f(x0) )
が示されたことになる。

x0+hをxと書くと、上記命題は、
　　(∃δ>0)（∀x∈R2）（０＜∥x－x0∥＜δ　⇒　f(x)＞f(x0)　）
　　ないし
　　(∃δ>0) (∀x∈ U*δ(x0))  ( f(x)＞f(x0) )
となるから、
仮定S1,S2のもとで、
点x0は、f は狭義極小である。


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2変数関数の鞍点の二階十分条件the second-order sufficient condition
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 [文献]

＊黒田『微分積分学』定理8.16(pp.310-2):ヘッセ行列不使用
＊高橋『微分と積分2』 §3.3(p.83-4):ヘッセ行列不使用.2変数2次形式から。
・松坂『解析入門3』14.3-D定理3(p.173):
　　　　　　2変数関数。ヘッセ行列不使用。
・小林『続微分積分読本―多変数』1章10-定理1(p.59):
　　　　　　2変数関数。ヘッセ行列不使用。
・小島『ゼロから学ぶ微分積分』4章(pp.164-5)：
　　　　　　2変数関数。ヘッセ行列不使用。
・笠原『微分積分学』6.1定理6.5(p.192):
　　　　　　2変数関数。ヘッセ行列の符号。

・




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n変数関数の極大極小


Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics: Third Edition, McGraw Hill,1984,pp.307-337. 奥行きが深い説明。


（reference）

小形正男『理工系数学のキーポイント7:多変数の微分積分』岩波書店、1996、pp. 74-84. お奨め。判定条件の導出はテイラー展開してHessianに突っ込む。
高橋陽一郎『岩波講座現代数学への入門：微分と積分2』 岩波書店、1995年、pp.78-91;98-105; お奨め。奥行きが深い説明。2変数関数ではテイラー展開みたいなものをみせて、判別式の符号で判定。n変数関数への拡張をとおして、ヘッセ行列が登場、その２次形式の符号で正定値行列うんぬんを見、結論がでる。
高木貞治『解析概論　改訂第三版』岩波書店、1983年、pp. 67-73.
小林道正『Mathematicaによる微積分』朝倉書店、1995年、pp.169-176. 髙木貞二の説明と同一。
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.269-285.いきなりn変数関数。ヘッセ行列はでてこない。２次形式。
Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics: Third Edition, McGraw Hill,1984,pp.307-337. 奥行きが深い説明。おそらく、一番丁寧で詳しい。
杉浦光夫『解析入門』岩波書店、1980年、p.92;149-161.詳しいが難解。ほかのテキストに眼を通し終えてから読むとよい。
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年。pp.175-178. 必要な定義・証明だけを過不足なく。判定条件の導出はテイラー展開して。Hessianとか２次形式とかは表に出さない。
和達三樹『理工系の数学入門コース1:微分積分』岩波書店、1988年、pp. 130-133.ざっと理解するにはよいのでは。ただ、奥行きがなく広がっていかない。判定条件の導出はテイラー展開して。Hessianとか２次形式とかは表に出さない。
矢野健太郎・田代嘉宏『社会科学者のための基礎数学　改訂版』裳華房、pp.93-95.結果だけ簡潔に。
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、p.162。結果だけ簡潔に。

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