二次形式　―　トピック一覧 　　[数学についてのwebノート]

　・定義：二次形式/正値定符号二次形式/正値定符号行列/半正値定符号二次形式/半正値定符号行列
　　　　　負値定符号二次形式/負値定符号行列/半負値定符号二次形式/半負値定符号行列
　　　　　同値な二次形式/二次形式の標準形　　
　・定理：単位ベクトル化の二次形式の計算／単位ベクトル化の二次形式の最大値・最小値定理
　　　　　二次形式の基底変換公式/二次形式の標準化　　　
　　　　　正値定の必要十分条件-固有値/負値定の必要十分条件-固有値/正値定の必要条件-行列式/負値定の必要条件-行列式/
　　　　　正値定の必要条件-小行列/負値定の必要条件-小行列/正値定の必要十分条件-主小行列式/負値定の必要十分条件-主小行列式　　

※応用：2変数関数の極値問題/ n変数関数の極値問題　
※関連：主小行列/主小行列式/固有値　

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定理：単位ベクトル化と二次形式
定理
 実n次元数ベクトルx = t(x1, x2, …, xn)の単位ベクトル化についての対称行列Aによって定まる二次形式は、
実n次元数ベクトルx=t(x1, x2, …, xn)についての対称行列Aによって定まる二次形式を、xのノルムの2乗で除したものに等しい。　　
すなわち、　
　・ A[ x/ ‖x‖  ]　＝　A[x]/‖x‖2 
　・t(x/‖x‖）A(x/‖x‖）＝（txAx）/‖x‖2　
　・(x1/‖(x1, x2, …, xn)‖, x2/‖(x1, x2, …, xn)‖, …, xn/‖(x1, x2, …, xn)‖) 　A 　t (x1/‖(x1, x2, …, xn)‖, x2/‖(x1, x2, …, xn)‖, …, xn/‖(x1, x2, …, xn)‖)
　　　　　　＝（(x1, x2, …, xn) A t(x1, x2, …, xn)）/‖(x1, x2, …, xn)‖2　
　
　　　　　　　　　　　
設定
 この定理は、以下の舞台設定上で、成り立つ。
　R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
　Rn：実n次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、Rn=R×R×…×R＝{ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvn∈R }に、
　　　　　　　　ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。
　x：Rnに属すすべての実n次元数ベクトル。
　　　ただし、縦ベクトル。
　　　つまり、x = t(x1, x2, …, xn)　　（x1∈Rかつx2∈Rかつ…かつxn∈R ）
　　　だから、tx は、横ベクトルを表すことになる。tx = (x1, x2, …, xn)　　（x1∈Rかつx2∈Rかつ…かつxn∈R ）　　　　　　　
　・：自然な内積。これによって、Rnは計量実ベクトル空間となる。
　‖‖：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム（自然な内積を用いて定義される）　
　　d (　,　)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離
　（Rn,d）：n次元ユークリッド空間　　		 [文献]
・松坂『解析入門3』14.3-A定理2(p.169)の証明の冒頭。

※活用例：多変数関数の極小の十分条件
証明
 		A[x]/‖x‖2  ＝（txAx）/‖x‖2　　∵Aによって定まる二次形式を表 す記号A[ ]の定義　　
　　　　　　　＝（txAx）（1/‖x‖）（1/‖x‖）　　
　　　　　　　＝（tx/‖x‖）A（x/‖x‖）　∵行列積とスカラー積の混合式の性質　
　　　　　　　＝t(x/‖x‖）A（x/‖x‖）∵行列のスカラー倍と転置の性質　
　　　　　　　＝A[ x/ ‖x‖  ]　　∵Aによって定まる二次形式を表 す記号A[ ]の定義






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定理：単位ベクトル化の二次形式の最大値・最小値の存在
要旨 (1)
　実n次元数ベクトルx＝ t(x1, x2, …, xn)の単位ベクトル化についての対称行列Aによって定まる二次形式
　　　A[ x/ ‖x‖  ]　
　　　＝t(x/‖x‖）A(x/‖x‖）
 [文献]
・松坂『解析入門3』14.3-A定理2(p.169)の証明の冒頭。

※活用例：多変数関数の極小の十分条件

　　　＝(x1/‖(x1, x2, …, xn)‖, x2/‖(x1, x2, …, xn)‖, …, xn/‖(x1, x2, …, xn)‖)　A　t(x1/‖(x1, x2, …, xn)‖, x2/‖(x1, x2, …, xn)‖, …, xn/‖(x1, x2, …, xn)‖)　
　は、　
　　実n次元数ベクトルx=(x1, x2, …, xn)の関数として、
　　定義域D＝{x∈Rn|x≠〇}＝{x∈Rn|‖x‖≠〇}　において、
　　最大値・最 小値を有す。
(2)
　A[x]/‖x‖2 ＝（txAx）/‖x‖2＝（ (x1, x2, …, xn)　A　t(x1, x2, …, xn)　） /‖(x1, x2, …, xn)‖
　
　も、
 　実n次元数ベクトルx=(x1, x2, …, xn)の関数として、
　　定義域D＝{x∈Rn|x≠〇}＝{x∈Rn|‖x‖≠〇}　において、
 　最大値・最 小値を有す。
設定
 この定理は、以下の舞台設定上で、成り立つ。
　R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
　Rn：実n次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、Rn=R×R×…×R＝{ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvn∈R }に、
　　　　　　　　ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。
　x：Rnに属すすべての実n次元数ベクトル。
　　　ただし、縦ベクトル。
　　　つまり、x = t(x1, x2, …, xn)　　（x1∈Rかつx2∈Rかつ…かつxn∈R ）
　　　だから、tx は、横ベクトルを表すことになる。tx = (x1, x2, …, xn)　　（x1∈Rかつx2∈Rかつ…かつxn∈R ）　　　　　　　
　・：自然な内積。これによって、Rnは計量実ベクトル空間となる。
　‖‖：計量実ベクトル空間Rnにおけるユークリッドノルム（自然な内積を用いて定義される）　
　　d (　,　)：ユークリッドノルムから定められたユークリッド距離
　（Rn,d）：n次元ユークリッド空間　　

証明
(1)
step1:
　A[ x/ ‖x‖  ]　＝t(x/‖x‖）A(x/‖x‖）は、　
　　　n変数n値ベクトル値関数φ(x)＝x/‖x‖
　　　と
　　　n変数実数値関数ψ(x')＝A[ x']＝ tx'Ax'
　　　との合成関数
　である。
　つまり、
　　A[ x/ ‖x‖  ]　＝ψ( φ(x) )　　　　　
step2:
　φ(x)＝x/‖x‖とは、xの単位ベクトル化に他ならないから、
　任意の非零n次元数ベクトルx≠〇に対して、‖φ(x)‖＝１を満たす。　　
　つまり、
　定義域D＝{x∈Rn|x≠〇}＝{x∈Rn|‖x‖≠〇}　に対して、
　φ(x)＝x/‖x‖の値域は、　{x'∈Rn|‖x‖＝1 }　。
　これは、要するに、原点を中心とする半径1のn次元球体の表面である。　　
step3:
　{x'∈Rn|‖x'‖＝1 }　は、有界な閉集合であって、　　　　　　
　　ψ(x')＝A[ x' ]　は、{x'∈Rn|‖x'‖＝1 }　で連続（∵二次形式で定義される多変数関数は連続）。　
　したがって、最大値最小値定理より、
　　{x'∈Rn|‖x'‖＝1 }におけるψ(x')の最大値･最小値が存在する。　
step4:
　step2,step3で得られた結論をあわせて考えると、
　　合成関数　ψ( φ(x) )　は、
　　　D＝{x∈Rn|x≠〇}＝{x∈Rn|‖x‖≠〇}　　において、
　　最大値･最小値を有す
　と結論できる。
step5:
　step1,step4で得られた結論をあわせて考えると、
　　A[ x/ ‖x‖  ]　＝ψ( φ(x) )　
は、
　　　D＝{x∈Rn|x≠〇}＝{x∈Rn|‖x‖≠〇}　　において、
　　最大値･最小値を有す

(2)
(1)と A[ x/ ‖x‖  ]　＝　A[x]/‖x‖2 より、
A[x]/‖x‖2 も、
 　実n次元数ベクトルx=(x1, x2, …, xn)の関数として、
　　定義域D＝{x∈Rn|x≠〇}＝{x∈Rn|‖x‖≠〇}　において、
 　最大値・最 小値を有す。


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