n次元ユークリッド空間　: トピック一覧

・自然な内積：自然な内積の定義、自然な内積の性質、自然な内積と内積･計量実ベクトル空間一般　
・ユークリッドノルム：ユークリッドノルムの定義、ノルム・ノルム空間一般との関係
・ユークリッド距離：ユークリッドノルムから定められる距離の定義、ユークリッド距離との関係、実n次元数ベクトル空間からユークリッド空間　　
・ユ―クリッド空間における基本概念：直交、角、単位ベクトル、単位ベクトル化　
※計量実ベクトル空間Rⁿ関連ページ：ノルム・ノルム空間の定義/内積・計量実ベクトル空間の定義
※ユークリッド空間Rⁿ関連ページ：内積の性質/正規直交系･正規直交基底の定義/直交系・直交基底と内積/直交系･正規直交系の性質/正規直交基底の存在と構成/計量同型写像　
※ユークリッド空間Rⁿの部分空間関連ページ：ユークリッド空間の部分空間の基底/直交補空間/部分空間の直交/ユークリッド空間の部分空間の正規直交基底の存在/直交射影　

定義：実n次元数ベクトル空間における（自然な）内積・標準内積　　

【舞台設定】
　R：実数体　
　Rⁿ：実n次元数ベクトル空間　　
　x, y：実n次元数ベクトル。具体的に書くと、x₁, x₂, …, x_n∈Rとして、x=( x₁, x₂, …, x_n )∈Rⁿ　　、　y₁, y₂, …, y_n∈Rとして、y=( y₁, y₂, …, y_n )∈Rⁿ　　　

【本題】
実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて、実n次元数ベクトルx=( x₁, x₂, …, x_n ), y=( y₁, y₂, …, y_n )の（自然な）内積　x・y　は、
　x・y＝x₁y₁＋x₂y₂＋…＋x_ny_n　　　　
と定義される。　

※実n次元数ベクトルx,yの（自然な）内積 x・y は、実数。　
※実n次元数ベクトルx,yが横ベクトルのとき、行列の積を用いて、 x・y＝x^ty＝( x₁, x₂, …, x_n)^t( y₁, y₂, …, y_n )　
　　実n次元数ベクトルx,yが縦ベクトルのとき、行列の積を用いて、x・y＝^txy　とも表せる。　　
※内積によって定義される概念：内積により定まるノルム、ベクトルの直交、ベクトルのなす角　　
※自然な内積は内積の一例、自然な内積の性質　　
※（自然な）内積以外の内積〈 x,y 〉の例については、ホフマン・クンツェ『線形代数学II』8.1例1(p.92)を参照。　　

【文献】
　砂田『行列と行列式』例7.5(p.239);神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.3(p.124);志賀『ベクトル解析30講』第11講(pp.80-81):なぜ数ベクトル空間でこのような内積が使われるのかまで説明;　斎藤『線形代数入門』2章§6(p.61);４章§6例1(p.120);永田『理系のための線形代数の基礎』4.1(p.113-4);佐武『線形代数学』�T§6(p.31);ホフマン『線形代数学II』8.1例1(p.92);草場『線形代数』定義5.2(p.128);
　杉浦『解析入門I』I§4定義2(p.36);西村『経済数学早わかり』2章§1.4(p.33);布川『線形代数と凸解析』例4.1(p.64);柳井竹内『射影行列･一般逆行列･特異値分解』§1.1.1(p.1;4);佐和『回帰分析』2.1.4内積と射影(p.21)　

定理：自然な内積の性質

【舞台設定】
R：実数体　
Rⁿ：実n次元数ベクトル空間　　
x, y：実n次元数ベクトル
　　　具体的に書くと、x₁, x₂, …, x_n∈Rとして、x=( x₁, x₂, …, x_n )∈Rⁿ　、　y₁, y₂, …, y_n∈Rとして、y=( y₁, y₂, …, y_n )∈Rⁿ

【本題】
実n次元数ベクトル空間 Rⁿ における　実n次元数ベクトルx=( x₁, x₂, …, x_n ) , y=( y₁, y₂, …, y_n ) の（自然な）内積x・yは、次に示す4つの性質を満たす。
　　　　　　　　　　　　　　※活用例：自然な内積と、内積・計量実ベクトル空間　　
　[性質1：線形性1]
　　任意の実n次元数ベクトルx₁,x₂,y∈Rⁿにたいして、(x₁+x₂)・y＝x₁・y＋x₂・y　
　　任意の実n次元数ベクトルx,y₁,y₂∈Rⁿにたいして、x・( y₁+y₂ ) ＝x・y₁＋x・y₂　
　　　　　　　　　　すなわち、∀x₁,x₂,y∈Rⁿ ( (x₁+x₂)・y＝x₁・y＋x₂・y )、　(∀x,y₁,y₂∈Rⁿ) ( x・( y₁+y₂ ) ＝x・y₁＋x・y₂ )　
　　※なぜ？→証明　
　[性質2：線形性2]　
　　任意の実n次元数ベクトルx,y∈Rⁿと任意の実数aにたいして、(ax)・y=a (x・y), x・(ay)=a (x・y)　　
　　　　　　　　すなわち、∀x,y∈Rⁿ ∀a∈R ( (ax)・y=a (x・y) かつ x・(ay)=a (x・y) )　
　　※なぜ？→証明　
　[性質3：正値性]
　　任意の実n次元数ベクトルx∈Rⁿにたいして、x・x≧０　であって、　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　x・x=０となるのはxが零ベクトルである場合のみに限る。
　　　　　　　　　　すなわち、∀x∈Rⁿ ( ( x・x≧０ ) かつ ( x・x=０⇔x=〇) )　　　あるいは、∀x∈Rⁿ ( ( x・x≧０ ) かつ ( x≠〇⇒x・x>０) )　　
　　※だから、自分自身と直交する実n次元数ベクトルは、零ベクトルだけ。　　　
　　※なぜ？→証明　
　[性質4：対称性]
　　任意のx,y∈Rⁿにたいして、x・y=y・x　
　　　　　　　　　　すなわち、∀x,y∈Rⁿ ( x・y=y・x )　
　　※なぜ？→証明　

【文献】
　　神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.3(p.124);砂田『行列と行列式』§7.1(p.238);志賀『ベクトル解析30講』第11講(pp.80-81):なぜ数ベクトル空間でこのような内積が使われるのかまで説明;
　　斎藤『線形代数入門』2章[6.1](p.61);４章§6例1(p.120);永田『理系のための線形代数の基礎』4.1(p.113-4);佐武『線形代数学』�T§6(p.31);草場『線形代数』§5.1(p.127);杉浦『解析入門I』I§4命題4.2(p.36);布川『線形代数と凸解析』定義4.1例4.1(p.64);佐和『回帰分析』2.1.4内積と射影(p.21)柳井竹内『射影行列･一般逆行列･特異値分解』§1.1.1(p.2)

定理：（自然な）内積は、内積の定義を満たし、計量実ベクトル空間を設定する。　

定義：実n次元数ベクトル空間におけるユークリッドノルム 　　

　にたいして、　　　
　　　　　　
　と定義する。

定義：ユークリッドノルムから定められる距離・ユークリッド距離　

定理：計量実ベクトル空間、ノルム空間、距離空間・ユークリッド空間　　

(舞台設定)
R：実数体R　　
Rⁿ：実n次元数ベクトル空間　　
x, y：実n次元数ベクトル
　　　具体的に書くと、x₁, x₂, …, x_n∈Rとして、x=( x₁, x₂, …, x_n )∈Ｒⁿ　　
　　　　　　　　　　　y₁, y₂, …, y_n∈Rとして、y=( y₁, y₂, …, y_n )∈Ｒⁿ　　
x・y：実n次元数ベクトルx, yの（自然な）内積。これによって、Ｒⁿは計量実ベクトル空間となる
‖x‖：計量実ベクトル空間Rⁿにおけるユークリッドノルム(（自然な）内積を用いて定義される)　　　
（Ｒⁿ,‖‖）：計量実ベクトル空間Rⁿに、内積により定義されたユークリッドノルム‖ ‖を定義した、
　　　　　　ノルム空間　　

(本題)
次の手順で、実n次元数ベクトル空間Rⁿからユークリッド空間をつくることができる。　
Step1: 実n次元数ベクトル空間Rⁿに、（自然な）内積を定義して、Ｒⁿを計量実ベクトル空間とする。
Step2: 計量実ベクトル空間Rⁿに、（自然な）内積を用いてユークリッドノルム‖ ‖を定義して、
　　　　　　Ｒⁿにノルム空間（Ｒⁿ , ‖ ‖ ）を設定する。
Step3: ノルム空間（Ｒⁿ , ‖ ‖ ）に、ユークリッドノルム‖ ‖を用いてユークリッド距離dを定義して、
　　　　距離空間（Rⁿ,d ）、すなわちユークリッド空間を設定する。　　
※実n次元数ベクトル空間Rⁿがユークリッド空間と、ことわりなく、呼ばれる場合、
　暗黙の了解事項として、（自然な）内積、ユークリッドノルム、ユークリッド距離が定義されている。

※上位概念：内積から定まるノルム一般を用いたRⁿ上のノルム空間の設定・ノルムから定められる距離一般を用いたRⁿ上の距離空間の設定、一般の計量実ベクトル空間からのノルム空間・距離空間の設定　

定義：直交する　orthogonal　　

　[斎藤『線形代数入門』４章§6計量線形空間(p.120);神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.3(p.125);
　　永田『理系のための線形代数の基礎』4.1(p.114);志賀『ベクトル解析30講』第11講(p.80);
　　志賀『固有値問題30講』9講(p.67);草場『線形代数』§5.1(p.129);
　　杉浦『解析入門I』I§4注意1(p.37);布川『線形代数と凸解析』定義4.4(p.68);
　　佐和『回帰分析』2.1.4内積と射影(p.21);　　。]

定義：ベクトルのなす角angle　　　

　[永田『理系のための線形代数の基礎』4.1(p.115);志賀『ベクトル解析30講』第11講(pp.79-80);
　　杉浦『解析入門I』I§4注意1(p.37);草場『線形代数』§5.1(p.129);;;
　　佐和『回帰分析』2.1.4内積と射影(p.21);柳井竹内『射影行列･一般逆行列･特異値分解』定義1.1(p.2)　]

定義：単位ベクトル　　

定理：単位ベクトル化　　

(本題1)
任意の実n次元数ベクトルx∈Ｒⁿについて、
　　xが零ベクトルでないならば、
　　「xのユークリッドノルムの逆数（スカラーになる）」と、実n次元数ベクトルxとのスカラー積　　　　
　　　　( 1/‖x‖ ) x　　　
　　　　　　
　　　は、
　　　n次元ユークリッド空間（Rⁿ,d ）における単位ベクトルとなる。
以上を論理記号でかくと、
　　　（∀x∈Ｒⁿ）（　x≠〇　⇒　‖ ( 1/‖x‖ ) x ‖=１　）　　　

(本題2)
　( 1/‖x‖ ) xをつくることを、xの単位ベクトル化という。　

※どうして、‖ ( 1/‖x‖ ) x ‖=１　といえるのか？→詳細　

※どうして、( 1/‖x‖ ) xは、xと直交する全ての実n次元数ベクトルと直交するといえるのか？
　・ユークリッドノルムの非負性より、 x≠〇ならば、‖x‖>０　
　　　したがって、 x≠〇ならば、1/‖x‖>０　…(1)　　
　・{( 1/‖x‖ ) x }・y =( 1/‖x‖ ) ( x・y)=( x・y)/‖x‖　　…(2)　　
　　　　　　∵自然な内積の線形性2　
　・　x≠〇 かつ x・y＝0　ならば、任意の実n次元数ベクトルx,yにたいして、(1)(2)と x・y＝0より、
　　　　{( 1/‖x‖ ) x }・y =0　
　　が成り立つ。
　　つまり、x≠〇ならば、xと直交する全ての実n次元数ベクトルと、( 1/‖x‖ ) xは、xと直交する。　

(reference)