二つの1変数関数と一つの2変数関数との合成関数の微分 :　トピック一覧　

　連続関数の合成関数の連続性/微分可能な関数の合成関数の微分
　連続微分可能な関数の合成関数の連続微分可能性 / n回連続微分可能な関数の合成関数のn回連続微分可能性　
　合成関数のn回微分/二つの1次関数と2変数関数との合成関数のn回微分
※合成関数の微分関連ページ：1変数関数の合成関数の微分、二つの2変数関数と一つの2変数関数との合成関数の微分　
※微分定義関連ページ：1変数関数の微分、2変数関数の偏微分/高次の偏微分/微分演算子/全微分/方向微分
※2変数関数微分の応用：平均値定理･テイラーの定理、極値問題、陰関数定理、逆関数定理、ラグランジュ未定乗数法
→総目次

定理：連続な関数の合成関数の連続性

【設定】　
　Dは、平面R²上の領域、
　z = f (x,y)は、定義域にDを部分集合として含む2変数関数　
　g(t),h(t) は区間Iで定義された関数、　　
　t ∈I ならばつねに( g(t),h(t) ) ∈Dで、　　
　合成関数 z = f ( g(t),h(t) ) は区間Iで定義されたtの関数であるとする。
【本題】　
　このとき、 g(t),h(t) が連続、f (x,y) が領域 Dで連続ならば、　　
　合成関数 f ( g(t),h(t) ) は連続である。
【証明】　
　　小平『解析入門II』p.278.を参照。　

→[トピック一覧：二つの1変数関数と一つの2変数関数との合成関数]　
→総目次

定理：二つの微分可能な1変数関数と一つの2変数関数との合成関数の微分　

【設定】　

　Dは、平面R²上の領域、
　z = f (x,y)は、定義域にDを部分集合として含む2変数関数　
　g(t),h(t) は区間Iで定義された関数、　　
　t ∈I ならばつねに( g(t),h(t) ) ∈Dで、　　
　合成関数 z = f ( g(t),h(t) ) は区間Iで定義されたtの関数であるとする。

【本題】　

　このとき、 g(t),h(t) が区間Iでtについて微分可能、
　f (x,y) が領域Dで全微分可能ならば、
　合成関数 f ( g(t),h(t) ) はtについて微分可能であり、
　以下が成り立つ。
　　dz/dt = f_x ( g ( t ) , h ( t ) ) g' ( t )+ f_y ( g ( t ) , h ( t ) ) h ' ( t )　　
　　あるいは、
　　

※類似例：1変数関数の合成関数の微分、合成関数のn回微分、二つの2変数関数と一つの2変数関数との合成関数の微分　
※応用例：2変数関数の平均値の定理、
　　　　　　二つの1変数1次関数と2変数関数との合成関数のn回微分→テイラー定理

【証明1～微分differentialを使って】　　　[小平『解析入門II』279;和達『微分積分』121;]
【証明2～極限を使って厳密に】　　　　　　[吹田・新保『理工系の微分積分学』166.]

→[トピック一覧：二つの1変数関数と一つの2変数関数との合成関数]　
→総目次

定理：連続微分可能な関数の合成関数の連続微分可能性

【設定】　

　Dは、平面R²上の領域、
　z = f (x,y)は、定義域にDを部分集合として含む2変数関数　
　g(t),h(t) は区間Iで定義された関数、　　
　t ∈I ならばつねに( g(t),h(t) ) ∈Dで、　　
　合成関数 z = f ( g(t),h(t) ) は区間Iで定義されたtの関数であるとする。

【本題】　

　このとき、g(t),h(t) が区間Iでtについて連続微分可能、
　f (x,y) が領域Dで x , y について連続微分可能ならば、
　合成関数 f ( g(t),h(t) ) は連続微分可能なtの関数である。

【証明】　

　小平『解析入門II』p.279を参照のこと。　　

→[トピック一覧：二つの1変数関数と一つの2変数関数との合成関数]　
→総目次

定理：n回連続微分可能な関数の合成関数のn回連続微分可能性

【設定】　

　Dは、平面R²上の領域、
　z = f (x,y)は、定義域にDを部分集合として含む2変数関数　
　g(t),h(t) は区間Iで定義された関数、　　
　t ∈I ならばつねに( g(t),h(t) ) ∈Dで、　　
　合成関数 z = f ( g(t),h(t) ) は区間Iで定義されたtの関数であるとする。

【本題】　

　このとき、g(t),h(t) が区間Iでtについてn回連続微分可能、
　f (x,y) が領域Dで x , y についてn回連続微分可能ならば、
　合成関数 f ( g(t),h(t) ) はn回連続微分可能な tの関数である。

【証明】　

　小平『解析入門II』p.279;

→[トピック一覧：二つの1変数関数と一つの2変数関数との合成関数]　
→総目次

定理：合成関数のn回微分　

小平『解析入門II』p.280.　を見よ。

　cf.1変数関数の合成関数の微分　　

→[トピック一覧：二つの1変数関数と一つの2変数関数との合成関数]　
→総目次

定理：二つの1次関数と2変数関数との合成関数のn回微分

　　[吹田・新保『理工系の微分積分学』168;和達『微分積分』126.]

【設定】　

　f (x,y)は領域DでCⁿ級である2変数関数、
　g₁(t)=a+ht 、g₂(t)=b+kt (a,h,b,k :定数) は区間Iで定義された関数で、
　t∈Iならばつねに( g₁(t), g₂(t) ) ∈Dであるとする。
　このとき、
　合成関数 f ( g₁(t), g₂(t) ) はn回連続微分可能な tの関数となる (∵合成関数の連続微分可能性) 。

【本題】　

　合成関数 f ( g₁(t), g₂(t) ) = f ( a+ht, b+kt ) を、
　tの一変数関数とみて、F(t) とおく。
　すなわち、
　F(t)= f ( g₁(t), g₂(t) ) = f ( a+ht, b+kt )
　このとき、
　

　これを、以下のように略記する。
　

※類似例：1変数関数の合成関数の微分,2変数関数の高階全微分
※応用例：2変数関数のテイラーの定理
(解説) 　1階、2階、3階、…、n階、

　F(t)= f(g₁(t), g₂(t)) = f(a+ ht, b+ kt)の1階の導関数:　
　　F'(t) = f_x ( g₁ ( t ) , g₂ ( t ) ) g₁' ( t )+ f_y ( g₁ ( t ) , g₂ ( t ) ) g₂' ( t )　∵合成関数の微分
　　　　　= h・f_x (g₁ ( t ) , g₂ ( t )) + k・f_y (g₁ ( t ) , g₂ ( t ))　∵g₁' ( t )=(a+ ht)' = h , g₂' ( t )=(b+ kt)' = k
　　あるいは、
　　　　　

　　また、g₁ ( t ) , g₂ ( t )の中身を書き下せば、
　　　　　　F'(t) = h・f_x (a+ ht, b+ kt) + k・f_y (a+ ht, b+ kt)
　　　　　　

　F(t)= f(g₁(t), g₂(t)) = f(a+ ht, b+ kt)の2階の導関数:
　　F''(t) ={ F'(t) }'={ h・f_x (g₁ ( t ) , g₂ ( t )) + k・f_y (g₁ ( t ) , g₂ ( t ))}'　（F'(t)をtで微分）
　　　= { h・f_x (g₁ ( t ) , g₂ ( t ) }'+ { k・f_y (g₁ ( t ) , g₂ ( t )) }'
　　　　　　　　　　　　　∵h・f_x (g₁ ( t ) , g₂ ( t ) }, k・f_y (g₁ ( t ) , g₂ ( t ))は
　　　　　　　　　　　　　　　どちらもtの関数なので、
　　　　　　　　　　　　　　　tの関数の和の微分として扱える。
　　　= h {f_x (g₁ ( t ) , g₂ ( t ) ) }'+ k{ f_y (g₁ ( t ) , g₂ ( t )) }'
　　　　　　　　　　　　　∵h,kはtに依存しない定数だから、tの関数の定数倍の微分として扱える。
　　　

　(記法を変えただけ→1変数関数の導関数の記法)
　　　

　　　　　　　　　　　　　　　∵合成関数の微分
　　　

　　　　　　　　　　　　　　　∵g₁' ( t )=(a+ ht)' = h , g₂' ( t )=(b+ kt)' = k
　　　

　　　　　　　　　　　　　　∵括弧を外しただけ。あえていえば分配則。
　　　= h² f_xx (g₁ ( t ) , g₂ ( t )) + hkf_xy (g₁ ( t ) , g₂ ( t )) + khf_yx (g₁ ( t ) , g₂ ( t ))+ k² f_yy (g₁ ( t ) , g₂ ( t ))
　　　　　　　　　　　　　（2変数関数2階偏微分の記法を参照せよ。）
　　　= h² f_xx (g₁ ( t ) , g₂ ( t )) + 2hkf_xy (g₁ ( t ) , g₂ ( t )) + k² f_yy (g₁ ( t ) , g₂ ( t ))
　　　　　　　　　　　　　∵youngの定理より、f_xy (g₁ ( t ) , g₂ ( t )) = f_yx (g₁ ( t ) , g₂ ( t ))
　　　

　　　　　　　　　　　　　（単に他の記法で書いてみただけ→2変数関数2階偏微分）
　　　これを、以下のように略記する。
　　　

　　　　　　　　　　　　　(hx+ky)²を展開した h²x²+2hkxy+ k²y²　と各項の係数が同じところから。
　　また、g₁ ( t ) , g₂ ( t )の中身を書き下せば、
　　　F'' (t) = h² f_xx (a+ ht, b+ kt) + 2hkf_xy (a+ ht, b+ kt) + k² f_yy (a+ ht, b+ kt)
　　　

　F(t)= f(g₁(t), g₂(t)) = f(a+ ht, b+ kt)の3階の導関数:
　　F'''(t) ={ F''(t) }'={ h² f_xx (g₁ ( t ) , g₂ ( t )) + 2hkf_xy (g₁ ( t ) , g₂ ( t )) + k² f_yy (g₁ ( t ) , g₂ ( t )) }'　（F''(t)をtで微分）
　　　= { h² f_xx (g₁ ( t ) , g₂ ( t ) ) }'+ { 2hkf_xy (g₁ ( t ) , g₂ ( t ) ) }'+ { k² f_yy (g₁ ( t ) , g₂ ( t ) ) }'
　　　　　　　　　　　∵　h² f_xx (g₁ ( t ) , g₂ ( t ) ),2hkf_xy (g₁ ( t ) , g₂ ( t ) ) , k² f_yy (g₁ ( t ) , g₂ ( t ) )は
　　　　　　　　　　　　　どれもtの関数なので、
　　　　　　　　　　　　　tの関数の和の微分公式を適用。
　　　= h² { f_xx (g₁ ( t ) , g₂ ( t ) ) }'+ 2hk { f_xy (g₁ ( t ) , g₂ ( t ) ) }'+ k² { f_yy (g₁ ( t ) , g₂ ( t ) ) }'
　　　　　　　　　　　∵　h², 2hk, k²はtに依存しない定数だから、
　　　　　　　　　　　　　関数の定数倍の微分公式を適用。
　　　

　(記法を変えただけ→1変数関数の導関数の記法)
　　　

　∵合成関数の微分
　　　

　　　　　　　　　　　　　　　∵g₁' ( t )=(a+ ht)' = h , g₂' ( t )=(b+ kt)' = k
　　　

　
　　　　　　　　　　　　　　　∵括弧を外しただけ。あえていえば分配則。
　　　= h³ f_xxx (g₁ ( t ) , g₂ ( t ) )+h²k f_xxy (g₁ ( t ) , g₂ ( t ) ) +2h²k f_xyx (g₁ ( t ) , g₂ ( t ) )
　　　　　　　　　+ 2hk² f_xyy (g₁ ( t ) , g₂ ( t ) ) + hk² f_yyx (g₁ ( t ) , g₂ ( t ) )+ k³ f_yyy (g₁ ( t ) , g₂ ( t ) )
　　　　　　　　　　　　　　　（2変数関数n階偏導関数の記法を参照せよ。）
　　　= h³ f_xxx (g₁ ( t ) , g₂ ( t ) )+3h²k f_xxy (g₁ ( t ) , g₂ ( t ) )+ 3hk² f_xyy (g₁ ( t ) , g₂ ( t ) )+ k³ f_yyy (g₁ ( t ) , g₂ ( t ) )　
　　　　　　　　　　　　　　　∵youngの定理より、
　　　　　　　　　　　　　　　　　f_xxy (g₁ ( t ) , g₂ ( t )) = f_xyx (g₁ ( t ) , g₂ ( t )),
　　　　　　　　　　　　　　　　　f_xyy (g₁ ( t ) , g₂ ( t )) = f_yyx (g₁ ( t ) , g₂ ( t ))
　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　（単に他の記法で書いてみただけ→2変数関数n階偏導関数）
　　　これを、以下のように略記する。
　　　

　　　　　　　　　　　　　(hx+ky)³を展開した h³x³+3h²kx²y+ 3hk²xy²+ k³y³と各項の係数が同じで
　　　　　　　　　　　　　x,yの次数とx,yの微分の階数が同じところから。
　　また、g₁ ( t ) , g₂ ( t )の中身を書き下せば、
　　F''' (t)= h³ f_xxx (a+ ht, b+ kt )+3h²k f_xxy (a+ ht, b+ kt)+ 3hk² f_xyy (a+ ht, b+ kt )+ k³ f_yyy (a+ ht, b+ kt )　
　　

　F(t)= f(g₁(t), g₂(t)) = f(a+ ht, b+ kt)のn階導関数:
　すべての自然数nに対して、　
　

　…①
　　　　　　　　　　　　　（2変数関数n階偏微分の記法を参照せよ。）
　　　これを、以下のように略記する。
　　　

　　　　　　　　二項定理より、
　　　　　　　　

　　　　　　　　各項の係数が同じで
　　　　　　　　x,yの次数とx,yの微分の階数が同じところから。
(帰納法による証明)[吹田・新保『理工系の微分積分学』p.168.]
　(i) 1階の導関数について成り立つ。なぜなら…
　　　1階の導関数すなわちn=1では、①式は、以下のようになる。
　　　

　　（→組み合せ）
　　　上記証明により、これは成立する。
　(ii) (n－1)階導関数について成り立つと仮定すると、n階導関数についても成り立つ。なぜなら…
　　

　　　　　　∵(n－1) 階導関数で成り立つという仮定にしたがって。
　　　　　　　　　　　　　（2変数関数n階偏微分・組み合せの記法を参照せよ。）
　　

　　　　　　∵
　　　　　　　

　　　　　　　全体も、合成関数F(t)= f (a+ ht, b+ kt)　と見なせるので、
　　　　　　　F(t)=f(a+ht, b+kt)の1階の導関数を適用。
　　

　　　　　　　　　　　　　（2変数関数n階偏微分・組み合せの記法を参照せよ。）
　　

　　　　　　　　　　　　　　(hΣ=h(△+△+…+△)だから、分配則にしたがっただけ)　
　　

　　　　　　　　　　　　　　（Σを開いてみただけ）
　　

　　　　　∵Combinationについての定理・パスカルの三角形
　　

　　　　　　∵_n-1C₀=1=_nC₀ , _n-1C_n-1=1=_nC_n
　　

　　　　　(証明終わり)

→[トピック一覧：二つの1変数関数と一つの2変数関数との合成関数]　
→総目次

（reference）

高木貞治『解析概論　改訂第三版』岩波書店、1983年、p. 60.
小平邦彦『解析入門II』 (軽装版)岩波書店、2003年 pp.278-282。
和達三樹『理工系の数学入門コース1・微分積分』岩波書店、1988年、pp.121-123.126.
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年。pp.165-168.
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、pp.154-159。
高橋陽一郎『岩波講座現代数学への入門：微分と積分2』岩波書店、1995年、pp.93-96。n変数関数一般。
小林道正『Mathematicaによる微積分』朝倉書店、1995年、pp.103-104.

二つの1変数関数と一つの2変数関数との合成関数の微分 : トピック一覧

定理：連続な関数の合成関数の連続性

定理：二つの微分可能な1変数関数と一つの2変数関数との合成関数の微分

定理：連続微分可能な関数の合成関数の連続微分可能性

定理：n回連続微分可能な関数の合成関数のn回連続微分可能性

定理： 合成関数のn回微分

定理： 二つの1次関数と2変数関数との合成関数のn回微分

（reference）

二つの1変数関数と一つの2変数関数との合成関数の微分 :　トピック一覧　

定理：二つの微分可能な1変数関数と一つの2変数関数との合成関数の微分　

定理：合成関数のn回微分　

定理：二つの1次関数と2変数関数との合成関数のn回微分