2変数関数の偏微分可能・偏微分係数・偏導関数の定義　：　トピック一覧　

・定義：2変数関数の偏微分可能・偏微分係数の定義　[原意/定義/操作化1/操作化2]　
・定義：2変数関数の偏導関数の定義
・定義：2変数関数の連続微分可能・C¹級の定義/偏微分する　

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・2変数関数―微分以外：
　　2変数関数の諸属性/極限/連続/極限の性質/矩形上の積分/点集合上の積分　

・偏微分 ― 2変数関数以外：
　　1変数関数の微分/n変数関数の偏微分/ベクトル値関数の偏微分　

原意：点( x₀, y₀ )における f (x,y) のxに関する偏微分可能/偏微分係数

　step1.
　　 「z=f (x,y)が表す曲面」{(x,y,z) | z=f (x,y) }を、
　　「点( x₀,y₀, f (x₀,y₀))を通ってx軸z軸に平行な平面」{(x,y,z) | y =y₀ }で、
　　切断する。　

　step2.
　　切り口に
　　　「1変数関数z=g(x)=f (x,y₀)が表す曲線」{(x,y₀,z) | z=g(x)=f (x,y₀) }
　　が現れる。

　step3.
　　 「1変数関数z=g (x)=f (x,y₀)が表す曲線」{(x,y₀,z) | z=g (x)=f (x,y₀) }に、
　　　点 ( x₀,y₀, f ( x₀,y₀ ))で接する
　　　平面{(x, y, z) | y=y₀ }上の接線
　　　　{　( x, y₀ , z ) | z=g (x₀)+ A(x−x₀) = f (x₀,y₀ )+A(x−x₀) }　
　　　を、
　　　ただひとつ引けることを、
　　　「z=f (x,y )は、点( x₀, y₀ )において、xに関して偏微分可能である」いい、
　　　　この接線の平面{(x, y, z) | y=y₀ }上の傾きAを、
　　　「点( x₀, y₀ )における f (x,y)のxに関する偏微分係数」と呼ぶ。

　step4.
　　 「点( x₀, y₀ )における f (x,y)のxに関する偏微分係数」を、
　　　以下の記号で表す。
　　　　　
　　　 f _x ( x₀, y₀ )　
　　　　　　→小形『多変数の微分積分』22;杉浦『解析入門』�U§3 (p.109)

原意：点( x₀, y₀ )における f (x,y) のyに関する偏微分係数

　step1.
　　 「z=f (x,y )が表す曲面」{( x, y, z ) | z=f (x,y) } を、
　　「点(x₀, y₀, f ( x₀, y₀ ))を通ってy軸z軸に平行な平面」{ (x, y, z) | x =x₀ }で、
　　切断する。　

　step2.
　　切り口に
　　　「1変数関数z=h ( y ) = f (x₀, y )が表す曲線」{ (x₀, y, z ) | z=h ( y )  = f (x₀, y ) }
　　が現れる。

　step3.
　　 「1変数関数z=h ( y )=f (x₀, y )が表す曲線」{ (x₀, y, z ) | z=h ( y ) =f (x₀, y ) } に、
　　　点(x₀, y₀, f ( x₀, y₀ ))で接する
　　　平面{ (x, y, z) | x =x₀ }上の接線
　　　　{ (x₀, y, z ) | z=h (y₀) + B (y−y0)=f ( x₀, y₀ ) + B (y−y₀) }　
　　　を、
　　　ただひとつ引けることを、
　　　「z=f (x,y )は、点( x₀, y₀ )において、yに関して偏微分可能である」いい、
　　　　この接線の平面{ (x, y, z) | x =x₀ } 上の傾きBを、
　　　「点( x₀, y₀ )におけるf (x,y )のyに関する偏微分係数」と呼ぶ。

　step4.
　　 「点( x₀, y₀ )におけるf (x,y )のyに関する偏微分係数」を、
　　　以下の記号で表す。
　　　　
　　　　 f_y ( x₀, y₀ )　
　　　　　　→小形『多変数の微分積分』22;杉浦『解析入門』�U§3 (p.109)

定義

cf. 1 変数関数の微分係数/ n変数関数の偏微分/ベクトル値 関数の偏微分
cf.2 変数関数の全微分/方 向微分　

操作化1

・「f (x,y )は点 (x₀, y₀)においてxについて偏微分可能である」とは、
　　有限な極限値
　　　　　…(※)
　　が存在すること、
　　つまり、
　　x →x₀で、{ f ( x , y₀ ) − f ( x₀ , y₀ ) }／( x− x₀ ) が有限値に収束する、
　　ないし、
　　h → 0で、{ f ( x₀ + h, y₀ )−f ( x₀, y₀ ) }／hが有限値に収束する
　　ことをいう。
　　
　＊(※)の右極限＝右微分係数と(※)の左極限＝左微分係数が
　　ともに存在して
　　一致することが含意されていることに注意。

・「点( x₀, y₀ )におけるf (x,y )のxに関する偏微分係数」
　　　　　
　　　　 f _x ( x₀, y₀ )　
　とは、
　　f (x,y )が点 (x₀, y₀)においてxについて偏微分可能であるときの、
　　有限な極限値
　　　　
　　をさす。

・「f (x,y )は点 (x₀, y₀)においてyについて偏微分可能である」とは、
　　有限な極限値
　　　　　…(※)
　　が存在すること、
　　つまり、
　　y→y₀で、{ f ( x₀ , y ) − f ( x₀ , y₀ ) }／( y−y₀ ) が有限値に収束する、
　　ないし、
　　h → 0で、{ f ( x₀ + h, y₀ )−f ( x₀, y₀ ) }／hが有限値に収束する
　　ことをいう。
　　
　＊(※)の右極限＝右微分係数と(※)の左極限＝左微分係数が
　　ともに存在して
　　一致することが含意されていることに注意。

操作化2

・「f (x,y )は点(x₀, y₀)でxについて偏微分可能であって、
　　f (x,y )の点(x₀, y₀)におけるxに関する偏微分係数はA」
　とは、
　　「点x₀に対して、ある一定の実数Aが存在して、　
　　　　　f ( x, y₀ )−（f ( x₀, y₀ )+A(x−x₀) ）＝o ( x−x₀)　　(x→x₀)　
　　　を満たす」
　ことをいう。

・「f (x,y )は点(x₀, y₀)でyについて偏微分可能であって、
　　f (x,y )の点(x₀, y₀)におけるyに関する偏微分係数はB」
　とは、
　　「点y₀に対して、ある一定の実数Bが存在して、　
　　　　　f ( x₀, y )−（f ( x₀, y₀ )+A(y−y₀) ）＝o ( y−y₀)　　(y→y₀)　
　　　を満たす」
　ことをいう。

計算

[手計算]
　たとえば、
　点( -1, 1 )におけるz=f (x,y )=20-x²-4y²　のxに関する偏微分係数を求めるならば、
　以下の手順で求められる。
　　1. z=f (x,y )=20-x²-4y²　のグラフを平面 y =1で切断すると現れる曲線を求める。
　　　→ただ、z=f (x,y )=20-x²-4y²　に、y=1を代入するだけ。
　　　　つまり、z=f (x, 1 )=16-x²　が、z=f (x,y )=20-x²-4y²をy =1で切断すると現れる曲線。
　　2. z =16-x²　に、点(-1, 1, f ( -1, 1))で接するy =1上の接線の傾きを求める。
　　　→1変数関数の導関数の公式を用いて、z =16-x²　の導関数を求めると、
　　　　　z' =-2x　
　　　　だから、x=-1では、z' =2。
　　　　したがって、z =16-x²　に、点(-1, 1, f ( -1, 1))で接するy =1上の接線の傾きは、2。
　以上より、　　　　　
　点( -1, 1 )におけるz=f (x,y )=20-x²-4y²　のxに関する偏微分係数は、2。　　

[Mathematicaに対して偏微分係数を計算させる命令]　　
　・次のコードを実行すると、
　　点(2,1)におけるf (x,y)=20-x^2-4y^2 のxに関する偏微分係数が
　　計算される。　　　
　　　　　　Module[{f}, f[x_,y_]:=20-x^2-4y^2;Derivative[1,0][f][2,1]]　　
　・次のコードを実行すると、
　　点(2,1)におけるf (x,y)=20-x^2-4y^2 のyに関する偏微分係数が
　　計算される。　　　
　　　　　　Module[{f}, f[x_,y_]:=20-x^2-4y^2;Derivative[0,1][f][2,1]]　　
　* 解説
　　Derivative[n,m][f][x,y]とは、
　　関数fを、xについてn階、yについてm階の偏導関数が、点(x,y)でとる値　
　　を求める命令。