2変数二次形式の符号判定　[数学についてのwebノート]

2変数二次形式　quadratic form　・二次同次関数―　トピック一覧　　[数学についてのwebノート]

　・定義：2変数の二次形式/正値定符号二次形式/正値定符号行列/半正値定符号二次形式/半正値定符号行列
　　　　　負値定符号二次形式/負値定符号行列/半負値定符号二次形式/半負値定符号行列
　・定理：単位ベクトル化の二次形式の計算／単位ベクトル化の二次形式の最大値・最小値定理
　　　　　二次形式の基底変換公式/二次形式の標準化　
　　　　　2変数二次形式の符号判定～行列を使わずに　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　正値定の必要十分条件-固有値/負値定の必要十分条件-固有値/正値定の必要条件-行列式/負値定の必要条件-行列式/
　　　　　正値定の必要十分条件-主小行列式/負値定の必要十分条件-主小行列式

※応用：2変数関数の極値問題　
※一般化：n変数の二次形式　
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定理：2変数二次形式の符号判定　～　行列を使わずに

	2変数二次形式 Q (x,y) = ax²+2 bxy+ c y²　(a,b,cは定数)　のプラス/マイナスについて、以下が成り立つ。	[文献] ＊松坂『解析入門3』14.3-D-補題 (p.172):証明つき。 cf.2次関数の符号と判別式：『高等学校数学I』啓林館。5章4(pp.134-7)
	[Q(x,y)の係数条件：ケースⅠ] 　　条件1：ac－b²　＞０　　かつ　　条件2：a＞０　　かつ　　条件3：c＞０　　ならば、　　Q(x,y) = ax²+2 bxy+ c y²　は、正値定符号二次形式。　　※主小行列式を用いた表現（n変数の二次形式への拡張に有利）	※注意：いつでもb²≧０であるから、　　　　「条件1かつ条件2」が成り立っているとき、　　　　　条件3はいつも成り立っており、　　　　「条件1かつ条件3」が成り立っているとき、　　　　条件2はいつも成り立っている。　　　　したがって、左記判定条件のうち、　　　　条件2・条件3のいずれか一方は不要。　　　　また、このことから、条件1が成立する場合は、　　　　このケースⅠと、次のケースⅡの二通りで全てだとわかる。
	[Q(x,y)の係数条件：ケースⅡ] 　　条件1：ac－b²　＞０　　かつ　　条件2：a＜０　　かつ　　条件3：c＜０　　ならば、　　Q(x,y) = ax²+2 bxy+ c y²　は、負値定符号二次形式。　　※主小行列式を用いた表現（n変数の二次形式への拡張に有利）	※注意：いつでもb²≧０であるから、　　　　「条件1かつ条件2」が成り立っているとき、　　　　　条件3はいつも成り立っており、　　　　「条件1かつ条件3」が成り立っているとき、　　　　条件2はいつも成り立っている。　　　　したがって、左記判定条件のうち、　　　　条件2・条件3のいずれか一方は不要。　　　　また、このことから、条件1が成立する場合は、　　　　前のケースⅠと、このケースⅡの二通りで全てだとわかる。
	[Q(x,y)の係数条件：ケースⅢ] 　　ac－b²　＜０　ならば、　　Q(x,y) = ax²+2 bxy+ c y²　は、不定符号二次形式。
	[Q(x,y)の係数条件：ケースⅣ] 　　ac－b²　＝０　ならば、　　Q(x,y) = ax²+2 bxy+ c y²　は、半定符号二次形式。　詳しくみると、　・「ac－b²＝０かつa＞０」または「ac－b²＝０かつa＝０かつc＞０」　　　ならば、　　　Q(x,y) は半正値定符号二次形式　・「ac－b²＝０かつa＜０」または「ac－b²＝０かつa＝０かつc＜０」　　　ならば、　　　Q(x,y) は、半負値定符号二次形式　・「ac－b²＝０かつa＝０かつc=０」ならば、　　　恒等的に、Q(x,y) ＝０。
	※活用例：2変数関数の極値問題

	→[トピック一覧：二次形式]
[証明]
	[方針] ・1変数の2次関数の符号問題に帰着させる。・具体的には、　　y=0を満たす点(x,y)と、y≠0を満たす点(x,y)にわけ、　　y=0を満たす点(x,y)については、　　　　　1変数x の2次関数ax²の符号問題に帰着させる。　　　　y≠0を満たす点(x,y)については、 Q (x,y) = ax²+2 bxy+ c y²　 = y² { a (x/y)²+2 b(x/y)+ c } 　　として、　　　a≠0ならば、　　　　(x/y) という1変数の2次関数の符号問題に帰着させ、　　　a＝0ならば、　　　　(x/y) という1変数の1次関数の符号問題に帰着させる。	[文献] ＊松坂『解析入門3』14.3-D-補題 (p.172)
	[step1：定義域内を区域別に検討] [step1-0:準備]　　二次形式Q(x,y)の符号判定では、原点(0,0)={(x,y)∈R² \|x＝0かつy＝0}におけるQ(x,y)の符号については、関心がもたれていない。　　→正値定符号・負値定符号等の定義（x＝0かつy＝0を満たす点でのQ(x,y)の値が、定義から除外されていることに注意）、　だから、原点を除く平面 {(x,y)∈R² \|　￢(x＝0かつy＝0)}＝{(x,y)∈R² \|　x≠0またはy≠0)}においてだけ、Q(x,y)の符号について考える。　便宜上、原点を除く平面 {(x,y)∈R² \|　￢(x＝0かつy＝0)}＝{(x,y)∈R² \|　x≠0またはy≠0)}を、次の二つの区域に分割する。　区域A={(x,y)∈R² \|y=0かつx≠0} [→下図のピンクの領域] 　区域B={(x,y)∈R² \|y≠0}　　　　 [→下図の緑の領域] 　　　　 [step1-1:区域AでのQ(x,y)の符号判定] 　区域A={(x,y)∈R² \|y=0かつx≠0}においては、　　　　　　a＞0ならば、Q(x,y) = ax²+2 bxy+ c y²＞0　　　　　　　a＝0ならば、Q(x,y) = ax²+2 bxy+ c y²＝0　　　　　　　a＜0ならば、Q(x,y) = ax²+2 bxy+ c y²＜0　　　なぜなら、　　　・y=0を満たす各点においては、Q(x,y)＝Q(x,0)＝ax²+2 bx・0+ c・0²＝ax²　　　　・x≠0を満たす各点においては、x² ＞0 　（∵）　　　であるので、　　　区域A={(x,y)∈R² \|y=0かつx≠0}においては、　　　　　　　　　　　a＞0ならば、Q(x,y)＝Q(x,0)＝＝ax²　＞0　（∵）　　　　　　a＝0ならば、Q(x,y)＝Q(x,0)＝＝ax²　＝0　　　　　　　a＜0ならば、Q(x,y)＝Q(x,0)＝＝ax²　＜0　（∵）　　　が成り立つ。 [step1-2:区域BでのQ(x,y)の符号判定―ケース1] 　区域B={(x,y)∈R² \|y≠0}において、a≠0 ならば、　　　Q(x,y)の符号は、t=x/y　として定義される変数tの2次関数f(t)＝a t²+2 bt+ c　の符号判定に依存する。　　　つまり、区域B={(x,y)∈R² \|y≠0}において、a≠0 ならば、　　　　b²－ac　＜０　かつ　a＞０　ならば、tの値にかかわらず常にf(t)は正であるから、Q(x,y)もtの値にかかわらず常に正。　　　　b²－ac　＜０　かつ　a<０　ならば、tの値にかかわらず常にf(t)は負であるから、Q(x,y)もtの値にかかわらず常に負。　　　　b²－ac　＞０　　ならば、f(t)は正負ともにとるので、Q(x,y)も正負ともにとる。　　　　b²－ac　＝０　かつ　a＞０　ならば、f(t)≧０なので、Q(x,y)≧０。　　　　　b²－ac　＝０　かつ　a＜０　ならば、f(t)≦０なので、Q(x,y)≦０。　　　なぜなら… 　　　・区域B={(x,y)∈R² \|y≠0}においては、y≠0だから、yで割ることも可能なので、　　　　Q (x,y) = ax²+2 bxy+ c y²　 = y² { a (x/y)²+2 b(x/y)+ c }　　　　　と書いてよい。　　　　ここで、t=x/y　と置くと、　　　　　　　Q (x,y) = y² { a t²+2 bt+ c }　　　　　区域B={(x,y)∈R² \|y≠0}においては、y≠0だから、y² ＞０となるので、　　　　　Q (x,y) = y² { a t²+2 bt+ c }　全体の正負は、変数tの2次関数f(t)＝a t²+2 bt+ c　の正負を反映する。（∵）　　　・二次関数の符号判定に従うと、　　　　　b²－ac　＜０　かつ　a＞０　ならば、tの値にかかわらず常にf(t)は正。　　　　　b²－ac　＜０　かつ　a＜０　ならば、tの値にかかわらず常にf(t)は負。　　　　　b²－ac　＞０　　　　　　　ならば、f(t)>0になるtの値の範囲も、f(t)=０になるtの値の範囲も、f(t)<0になるtの値の範囲も存在する。　　　　　b²－ac　＝０　かつ　a＞０　ならば、f(t)=０になるtの値と、f(t)＞0となるtの値の範囲が存在する。　　　　　　b²－ac　＝０　かつ　a＜０　ならば、f(t)=０になるtの値と、f(t)＜0となるtの値の範囲が存在する。　　　・したがって、　　　　　b²－ac　＜０　かつ　a＞０　ならば、区域Bにおいて常にQ(x,y)は正。　　　　b²－ac　＜０　かつ　a<０　ならば、区域Bにおいて常にQ(x,y)は負。　　　　b²－ac　＞０　　　　　　　ならば、区域Bには、Q(x,y)を正にする点も、Q(x,y)を負にする点も存在する。　　　　b²－ac　＝０　かつ　a＞０　ならば、区域Bでは、Q(x,y)≧０。　　　　　b²－ac　＝０　かつ　a＜０　ならば、区域Bでは、Q(x,y)≦０。　　　　　　 [step1-3:区域BでのQ(x,y)の符号判定―ケース3] 　区域B={(x,y)∈R² \|y≠0}において、a＝0ならば、　　　Q(x,y)の符号は、t=x/y　として定義される変数tの1次関数g(t)＝2b t+ c　の符号判定に依存する。　つまり、区域B={(x,y)∈R² \|y≠0}において、　　　　・a＝0かつb≠0ならば、　　　　　　　　　　g(t)>0になるtの値の範囲も、g(t)=０になるtの値も、g(t)<0になるtの値の範囲も存在するから、　　　　　　　　　　Q(x,y)＞0になる点も、Q(x,y)=0になる点も、Q(x,y)＜0になる点も、区域Bに存在する。　　　　・a＝0かつb＝０かつc＞０ならば、区域BのどこでもQ(x,y)＞０　　　　・a＝0かつb＝０かつc＜０ならば、区域BのどこでもQ(x,y)＜０　　　　・a＝0かつb＝０かつc＝０ならば、区域BのどこでもQ(x,y)＝０なぜなら… 　　　・区域B={(x,y)∈R² \|y≠0}においては、y≠0だから、yで割ることも可能なので、　　　　Q (x,y) = ax²+2 bxy+ c y²　 = y² { a (x/y)²+2 b(x/y)+ c }　　　　　と書いてよい。　　　　ここで、t=x/y　と置くと、　　　　　　　Q (x,y) = y² { a t²+2 bt+ c }　　　　・だから、区域B={(x,y)∈R² \|y≠0}において、a＝0ならば、　　　　　　　Q (x,y) = y² { 2 bt+ c } 　　　　となる。　　　　　区域B={(x,y)∈R² \|y≠0}においては、y≠0だから、y² ＞０となるので、　　　　a＝0ならば、　　　　　Q (x,y) = y² { 2 bt+ c }　全体の正負は、変数tの1次関数g(t)＝2b t+ cの正負を反映する。（∵）　　　・1次関数g(t)＝2b t+ cの正負について、以下が成り立つ。　　　　　　・b≠0ならば、1次関数g(t)は、傾き2b≠0の直線だから、　　　　　　　　　　　　g(t)>0になるtの値の範囲も、g(t)=０になるtの値も、g(t)<0になるtの値の範囲も存在する　　　　　　・b＝0ならば、1次関数g(t)は、傾き2b＝0で、ずっと、定数cのままだから、　　　　　　　　　　　　　c＞０ならば、tの値にかかわらず、g(t)＞0 　　　　　　　　　　　　　c＜０ならば、tの値にかかわらず、g(t)＜0 　　　　　　　　　　　　　c＝０ならば、tの値にかかわらず、g(t)＝0 　　　・したがって、　　　　・a＝0かつb≠0ならば、　　　　　　　　　　Q(x,y)＞0になる点も、Q(x,y)=0になる点も、Q(x,y)＜0になる点も、区域Bに存在する。　　　　・a＝0かつb＝０かつc＞０ならば、区域BのどこでもQ(x,y)＞０　　　　・a＝0かつb＝０かつc＜０ならば、区域BのどこでもQ(x,y)＜０　　　　・a＝0かつb＝０かつc＝０ならば、区域BのどこでもQ(x,y)＝０ [step2:上記結果をQ(x,y)の係数条件別に再検討] [step2-1:係数条件ケースⅠのもとでのQ(x,y)の符号判定] ・Q(x,y)の係数条件：ケースⅠ 　　　条件1：ac－b²　＞０　　　かつ　　　条件2：a＞０　　　かつ　　　条件3：c＞０　のもとでのQ(x,y)の符号を検討する。・ケースⅠのもとでは、区域A={(x,y)∈R² \|y=0かつx≠0}において、Q(x,y)＞0　となる。　なぜなら、　　step1-1より、　　区域A={(x,y)∈R² \|y=0かつx≠0}においては、　　　　　　a＞0ならば、常にQ(x,y)＞0　　　となるから、　　　ケースⅠのもとでは、条件2がa＞0が満すので、区域A={(x,y)∈R² \|y=0かつx≠0}において常に、Q(x,y)＞0　・ケースⅠのもとでは、区域B={(x,y)∈R² \|y≠0}において、Q(x,y)＞0　となる。　なぜなら、　　step1-2より、区域B={(x,y)∈R² \|y≠0}においては、　　　　b²－ac　＜０　かつ　a＞０　ならば、区域Bにおいて常にQ(x,y)＞0 　となるから、　ケースⅠのもとでは、条件1がb²－ac＜０を満たし、条件2がa＞０を満たすので、区域Bにおいて常にQ(x,y)＞0となる。・区域Aと区域Bで、原点を除く平面 R²　をすべて網羅しているので、　ケースⅠのもとでは、原点を除く平面 R²　上のどこでも、Q(x,y)＞0 　つまり、ケースⅠのもとでは、Q(x,y)は正値定符号二次形式。 [step2-2:係数条件ケースⅡのもとでのQ(x,y)の符号判定] ・Q(x,y)の係数条件：ケースⅡ 　　条件1：ac－b²　＞０　　かつ　　条件2：a＜０　　かつ　　条件3：c＜０　のもとでのQ(x,y)の符号を検討する。・ケースⅡのもとでは、区域A={(x,y)∈R² \|y=0かつx≠0}において、Q(x,y)＜0　となる。　なぜなら、　　step1-1より、　　区域A={(x,y)∈R² \|y=0かつx≠0}においては、　　　　　　a＜0ならば、Q(x,y)＜0　　　となるから、　　　ケースⅡのもとでは、条件2がa＜0が満すので、区域A={(x,y)∈R² \|y=0かつx≠0}において常に、Q(x,y)＜0　・ケースⅡのもとでは、区域B={(x,y)∈R² \|y≠0}において、Q(x,y)＜0　となる。　なぜなら、　　step1-2より、区域B={(x,y)∈R² \|y≠0}においては、　　　　b²－ac　＜０　かつ　a＜０　ならば、区域Bにおいて常にQ(x,y)＜0 　となるから、　ケースⅡのもとでは、条件1がb²－ac＜０を満たし、条件2がa＜０を満たすので、区域Bにおいて常にQ(x,y)＜0となる。・区域Aと区域Bで、原点を除く平面 R²　をすべて網羅しているので、　ケースⅡのもとでは、原点を除く平面 R²　上のどこでも、Q(x,y)＜0 　つまり、ケースⅡのもとでは、Q(x,y)は負値定符号二次形式。 [step2-3:係数条件ケースⅢのもとでのQ(x,y)の符号判定] ・Q(x,y)の係数条件：ケースⅢ 　　　ac－b²＜０　のもとでのQ(x,y)の符号を検討する。　便宜上、ケースⅢを、　ケースⅢ-1:ac－b²＜０かつa＞０　　　　ケースⅢ-2:ac－b²＜０かつa＜０　　　　　ケースⅢ-3:ac－b²＜０かつa＝０　　（このとき、b²＞０になっていることにも注意）　　　の三つに分ける。 [係数条件ケースⅢ-1] ・ケースⅢ-1「ac－b²＜０かつa＜０」のもとでは、区域A={(x,y)∈R² \|y=0かつx≠0}において、　　step1-1より、Q(x,y) ＞0　　となる。・ケースⅢ-1「ac－b²＜０かつa＜０」のもとでは、区域B={(x,y)∈R² \|y≠0}において、　　step1-2より、Q(x,y) が正になる点も、Q(x,y) が負になる点も存在する。　　　　　　・区域Aと区域Bで、原点を除く平面 R²　をすべて網羅しているので、　以上から、ケースⅢ-1のもとでは、　　　　原点を除く平面 R²上での、Q(x,y) の正負は決まっておらず、　　　　原点を除く平面 R²上には、Q(x,y) が正になる点も、Q(x,y) が負になる点もある、　という結論になる。　つまり、ケースⅢ-1のもとでは、Q(x,y) は、不定符号二次形式である。 [係数条件ケースⅢ-2] ・ケースⅢ-2「ac－b²＜０かつa＜０」のもとでは、区域A={(x,y)∈R² \|y=0かつx≠0}において、　　step1-1より、Q(x,y) ＜0　　となる。　・ケースⅢ-2「ac－b²＜０かつa＜０」のもとでは、区域B={(x,y)∈R² \|y≠0}において、　　step1-2より、Q(x,y) が正になる点も、Q(x,y) が負になる点も存在する。　　　　　　　となる。・区域Aと区域Bで、原点を除く平面 R²　をすべて網羅しているので、　以上から、ケースⅢ-2のもとでは、　　　　　　　原点を除く平面 R²上での、Q(x,y) の正負は決まっておらず、　　　　原点を除く平面 R²上には、Q(x,y) が正になる点も、Q(x,y) が負になる点もある、　という結論になる。　つまり、ケースⅢ-2のもとでは、Q(x,y) は、不定符号二次形式である。 [係数条件ケースⅢ-3] ・ケースⅢ-3「ac－b²＜０かつa＝０」のもとでは、区域A={(x,y)∈R² \|y=0かつx≠0}において、　　　　　step1-1より、　Q(x,y) ＝0　　となる。　・ケースⅢ-3「ac－b²＜０かつa＝０」のもとでは、区域B={(x,y)∈R² \|y≠0}において、　Q(x,y) が正になる点も、Q(x,y) が負になる点も存在する　。　　なぜなら、　ケースⅢ-3「ac－b²＜０かつa＝０」のもとでは、b²＞０だから、b≠0。　　すると、この条件下では、step1-3より、Q(x,y) が正になる点も、Q(x,y) が負になる点も区域Bに存在する。　・区域Aと区域Bで、原点を除く平面 R²　をすべて網羅しているので、　以上から、ケースⅢ-3のもとでは、　　　　　　　原点を除く平面 R²上での、Q(x,y) の正負は決まっておらず、　　　　原点を除く平面 R²上には、Q(x,y) が正になる点も、Q(x,y) が負になる点もある、　という結論になる。　つまり、ケースⅢ-3のもとでは、Q(x,y) は、不定符号二次形式である。 [係数条件ケースⅢ総論] ・Q(x,y)の係数条件-ケースⅢ「ac－b²＜０」は、　　　　ケースⅢ-1「ac－b²＜０かつa＞０」　　　　　　　ケースⅢ-2「ac－b²＜０かつa＜０」　　　　　　　ケースⅢ-3「ac－b²＜０かつa＝０」　　　で網羅されている。・上記検討から、　　ケースⅢ-1、ケースⅢ-2、ケースⅢ-3のいずれにおいても、Q(x,y) は不定符号二次形式である　と、明らかにされた。・したがって、Q(x,y)の係数条件-ケースⅢ「ac－b²＜０」全般において、Q(x,y) は不定符号二次形式であると結論づけられる。 [step2-4:係数条件ケースⅣのもとでのQ(x,y)の符号判定] ・Q(x,y)の係数条件：ケースⅣ 　　　ac－b²＝０　のもとでのQ(x,y)の符号を検討する。　便宜上、ケースⅣを、　ケースⅣ-1:ac－b²＝０かつa＞０　（b²≧０だから、このとき、c≧０になっていることがわかる）　　　ケースⅣ-2:ac－b²＝０かつa＜０　（b²≧０だから、このとき、c≦０になっていることがわかる）　　　ケースⅣ-3:ac－b²＝０かつa＝０　　（このとき、b²＝０、したがって、b＝０）　　　の三つに分ける。 [ケースⅣ-1] ・ケースⅣ-1「ac－b²＝０かつa＞０」のもとでは、区域A={(x,y)∈R² \|y=0かつx≠0}において、　　　　step1-1より、Q(x,y)＞0　・ケースⅣ-1「ac－b²＝０かつa＞０」のもとでは、区域B={(x,y)∈R² \|y≠0}において、　　step1-2より、Q(x,y)≧0　・区域Aと区域Bで、原点を除く平面 R²　をすべて網羅しているので、　以上から、ケースⅣ-1のもとでは、　　　　　　　原点を除く平面 R²上のどこでも、Q(x,y)≧0　　　　という結論になる。　つまり、ケースⅣ-1のもとでは、Q(x,y) は、半正値定符号二次形式である。 [ケースⅣ-2] ・ケースⅣ-2「ac－b²＝０かつa＜０」のもとでは、区域A={(x,y)∈R² \|y=0かつx≠0}において、　　　　step1-1より、Q(x,y)＜0　・ケースⅣ-2「ac－b²＝０かつa＜０」のもとでは、区域B={(x,y)∈R² \|y≠0}において、　　step1-2より、Q(x,y)≦0　・区域Aと区域Bで、原点を除く平面 R²　をすべて網羅しているので、　以上から、ケースⅣ-2のもとでは、　　　　原点を除く平面 R²上のどこでも、Q(x,y)≦0　　という結論になる。　つまり、ケースⅣ-2のもとでは、Q(x,y) は、半負値定符号二次形式である。 [ケースⅣ-3] ・ケースⅣ-3「ac－b²＝０かつa＝０」のもとでは、区域A={(x,y)∈R² \|y=0かつx≠0}において、　　step1-1より、Q(x,y)＝0　・ケースⅣ-3「ac－b²＝０かつa＝０」のもとでは、区域B={(x,y)∈R² \|y≠0}において、　　　　c＞０ならば、区域BのどこでもQ(x,y)＞０　　　　c＜０ならば、区域BのどこでもQ(x,y)＜０　　　　c＝０ならば、区域BのどこでもQ(x,y)＝０　なぜなら… 　　　「ac－b²＝０かつa＝０」のもとでは、b²＝０、したがって、b＝０。　　　だから、step1-3より、ケースⅣ-3「ac－b²＝０かつa＝０（かつb＝０）」のもとでは、区域B={(x,y)∈R² \|y≠0}において、　　　　c＞０ならば、区域BのどこでもQ(x,y)＞０　　　　c＜０ならば、区域BのどこでもQ(x,y)＜０　　　　c＝０ならば、区域BのどこでもQ(x,y)＝０　　　となる。・区域Aと区域Bで、原点を除く平面 R²　をすべて網羅しているので、　以上から、ケースⅣ-3のもとでは、　　　　c＞０ならば、原点を除く平面 R²上のどこでも、Q(x,y)≧0 　　　　c＜０ならば、原点を除く平面 R²上のどこでも、Q(x,y)≦0 　　　　c＝０ならば、原点を除く平面 R²上のどこでも、Q(x,y)＝０　という結論になる。　つまり、ケースⅣ-3のもとでは、　　　　c＞０ならば、Q(x,y)は半正値定符号二次形式　　　　c＜０ならば、Q(x,y)は半負値定符号二次形式　　　　c＝０ならば、原点を除く平面 R²上のどこでも、Q(x,y)＝０　ざっくり言えば、ケースⅣ-2のもとでは、Q(x,y) は、半定符号二次形式である。　※次の説明のほうが、簡単ではある。　　　ケースⅣ-3「ac－b²＝０かつa＝０」のもとでは、b²＝０、したがって、b＝０。　　　だから、ケースⅣ-3のもとでは、Q(x,y) = ax²+2 bxy+ c y²＝cy²　　　　　　　　すると、ケースⅣ-3のもとでは、　　　　　　　　c＞０ならば、Q(x,y)＝cy²≧0 (等号は、y＝0のときのみ ) 　　　　　　　　c＜０ならば、Q(x,y)＝cy²≦0 (等号は、y＝0のときのみ ) 　　　　　　　　c＝０ならば、Q(x,y)＝cy²＝0 (すべてのyの値に対して) [係数条件ケースⅣ総論] ・Q(x,y)の係数条件-ケースⅣ「ac－b²＝０」は、　　　　ケースⅣ-1「ac－b²＝０かつa＞０」　　　　　　　ケースⅣ-2「ac－b²＝０かつa＜０」　　　　　　　ケースⅣ-3「ac－b²＝０かつa＝０」　　　で網羅されている。・上記検討から、　　ケースⅣ-1、ケースⅣ-2、ケースⅣ-3のいずれにおいても、Q(x,y) は半定符号二次形式である　と、明らかにされた。・したがって、Q(x,y)の係数条件-ケースⅢ「ac－b²＜０」全般において、Q(x,y) は半定符号二次形式であると結論づけられる。・もう少し詳しく分類すると、　　・ケースⅣ-1「ac－b²＝０かつa＞０」またはケースⅣ-3-1「ac－b²＝０かつa＝０かつc＞０」ならば、　　　　　　　　　　　　　　　　　Q(x,y) は、半正値定符号二次形式　　・ケースⅣ-2「ac－b²＝０かつa＜０」またはケースⅣ-3-1「ac－b²＝０かつa＝０かつc＜０」ならば、　　　　　　　　　　　　　　　　　Q(x,y) は、半負値定符号二次形式　　・ケースⅣ-3-3「ac－b²＝０かつa＝０かつc=０」ならば、　　　　　　　　　　　　　　　　恒等的に、Q(x,y) ＝０。

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定理：正値定符号行列になるための必要十分条件～固有値に関連して

定理	次の二つの命題は同値命題S:対称行列A=　は、正値定符号行列　。　　　　つまり、Q(x,y) = ax²+2 bxy+ c y²　は、正値定符号二次形式。　　命題T:対称行列A=の固有値が全て正	[文献－線型代数] ・佐武『線型代数学』Ⅳ§4 (p.161) ・永田『理系のための線形代数の基礎』系5.3.10(p.149); ・川久保『線形代数学』11.3定理11.3.2(p.290) ・木村『線形代数：数理科学の基礎』4.6(pp.93-95)。・Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics,pp.326-330. [文献－解析] ・松坂『解析入門4』18.2-E 定理2(p.107); ＊杉浦『解析入門１』Ⅱ§8定理8.3(p.156):「命題S⇒命題T」の証明付。　　　　 [文献－数理経済] ・岡田『経済学・経営学のための数学』2.7定理2.34(p.114) ・戸田・山田『計量経済学の基礎：統計的手法の理論とプログラミング』2.9.2(pp.117-8) ・岩田『経済分析のための統計的方法』定理12.26(p.314)
証明	n変数二次形式のケースの証明を参照。

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定理：負値定符号行列になるための必要十分条件～固有値に関連して
定理	次の二つの命題は同値命題S:対称行列A=　は、負値定符号行列。　　　　つまり、Q(x,y) = ax²+2 bxy+ c y²　は、負値定符号二次形式。　　命題T:対称行列A=の固有値が全て負	[文献－線型代数] ・佐武『線型代数学』Ⅳ§4 (p.161) ・永田『理系のための線形代数の基礎』系5.3.10(p.149); ・川久保『線形代数学』11.3定理11.3.2(p.290) ・木村『線形代数：数理科学の基礎』4.6(pp.93-95)。・Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics,pp.326-330. [文献－解析] ・松坂『解析入門4』18.2-E 定理2(p.107); ＊杉浦『解析入門１』Ⅱ§8定理8.3系(pp.157-8)。　　　　 [文献－数理経済] ・岡田『経済学・経営学のための数学』2.7定理2.34(p.114) ・戸田・山田『計量経済学の基礎：統計的手法の理論とプログラミング』2.9.2(pp.117-8) ・岩田『経済分析のための統計的方法』定理12.26(p.314)
証明	n変数二次形式のケースの証明を参照。

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定理：正値定符号行列になるための必要条件～行列式に関連して

	対称行列A=　は、正値定符号行列　。　　　　つまり、Q(x,y) = ax²+2 bxy+ c y²　は、正値定符号二次形式。 ⇒　対称行列A=　の行列式は正　　　　　つまり、　det A＝ac－b²＞0	[文献] ・岩田『経済分析のための統計的方法』定理12.27(p.317)

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定理：負値定符号行列になるための必要条件～行列式に関連して

	対称行列A=　は負値定符号行列。　　　　つまり、Q(x,y) = ax²+2 bxy+ c y²　は、負値定符号二次形式。　 ⇒　　対称行列A=　の行列式は正　　　　　つまり、　det A＝ac－b²＞0	[文献] ・岩田『経済分析のための統計的方法』定理12.27(p.317)

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定理：正値定符号行列になるための必要十分条件～主小行列式に関連して

	次の二つの命題は、同値。命題P：対称行列A=　は、正値定符号行列　。　　　　つまり、Q(x,y) = ax²+2 bxy+ c y²　は、正値定符号二次形式。命題Q：対称行列A=　のすべての主小行列式が正。　　　　つまり、　　　　　・対称行列A=　の第二次主小行列　（＝Aそのもの）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　の行列式　ac－b²が正。　　　　かつ　　　　　・対称行列A=　の第一次主小行列aの行列式aが正。　　　　　　かつ　　　　　・対称行列A=　の第一次主小行列 cの行列式cが正。　　　　　　　　　　　 →[トピック一覧：二次形式]	cf. n変数の二次形式への拡張 [文献－線型代数] ・佐武『線型代数学』Ⅳ§4 定理6(p.163) 主小行列式：対角線上にある小行列式・木村『線形代数：数理科学の基礎』定理2.1(p.43)。・斎藤『線形代数入門』156. ・Chiang322-326. [文献－解析] ・杉浦『解析入門１』Ⅱ§8定理8.3(p.156):主小行列式。左上からk行k列をとった行列(1≦k≦n)＝右下から(n-k)行(n-k)列除去した行列
	(「命題Q⇒命題P」の証明)
	「2変数二次形式の符号判定～行列を使わずに」ケースＩより。
	(「命題P⇒命題Q」の証明)
	「命題P⇒命題Q」を示すために、「命題P⇒命題Q」の対偶「『命題Qが成り立たない』⇒『命題Pが成り立たない』」を示す。 step1:「命題P⇒命題Q」の対偶「『命題Qが成り立たない』⇒『命題Pが成り立たない』」の分析　「命題P⇒命題Q」の対偶「『命題Qが成り立たない』⇒『命題Pが成り立たない』」とは、　　　　　命題R1「ac－b²≦０⇒『命題Pが成り立たない』」　　　　　　　かつ　　　　　命題R2「『ac－b²＞０かつa≦０』⇒『命題Pが成り立たない』」　　　　　　　かつ　　　　　命題R3「『ac－b²＞０かつc≦０』」⇒『命題Pが成り立たない』」　であるから(そのわけは、step1-1,step1-2)、　この命題R1、命題R2、命題R3を、全て示せば、　「命題P⇒命題Q」を証明したことになる。　　 step1-1:『命題Qが成り立たない』ということの分析　「命題Qが成り立たない」とは、　「ac－b²≦０または『ac－b²＞０かつa≦０』または『ac－b²＞０かつc≦０』」を意味する。　なぜなら、　　・「命題Qが成り立たない」とは、　　　「『ac－b²＞０かつa＞０かつc＞０』が成り立たない」ということ。　　・「『ac－b²＞０かつa＞０かつc＞０』が成り立たない」とは、　　　「ac－b²≦０またはa≦０またはc≦０」ということ。（∵）　　・「ac－b²≦０またはa≦０またはc≦０」とは、　　　「ac－b²≦０または『ac－b²＞０かつa≦０』または『ac－b²≦０かつa≦０』または『ac－b²＞０かつc≦０』または『ac－b²≦０かつc≦０』」　　　である。　　　　　なぜなら、　　　　　「a≦０」は、「『ac－b²＞０かつa≦０』または『ac－b²≦０かつa≦０』」であり、　　　　　　「c≦０」は、「『ac－b²＞０かつc≦０』または『ac－b²≦０かつc≦０』」であるから。　　・「ac－b²≦０または『ac－b²＞０かつa≦０』または『ac－b²≦０かつa≦０』または『ac－b²＞０かつc≦０』または『ac－b²≦０かつc≦０』」　　　とは、　　　「ac－b²≦０または『ac－b²≦０かつa≦０』または『ac－b²≦０かつc≦０』または『ac－b²＞０かつa≦０』または『ac－b²＞０かつc≦０』」　　　である（∵結合律）　　・「ac－b²≦０または『ac－b²≦０かつa≦０』または『ac－b²≦０かつc≦０』または『ac－b²＞０かつa≦０』または『ac－b²＞０かつc≦０』」　　　とは、　　　「ac－b²≦０または『ac－b²≦０かつc≦０』または『ac－b²＞０かつa≦０』または『ac－b²＞０かつc≦０』」　　　である。（∵吸収律）　　・「ac－b²≦０または『ac－b²≦０かつc≦０』または『ac－b²＞０かつa≦０』または『ac－b²＞０かつc≦０』」　　　とは、　　　「ac－b²≦０または『ac－b²＞０かつa≦０』または『ac－b²＞０かつc≦０』」　　　である。（∵吸収律） step1-2:「命題P⇒命題Q」の対偶「『命題Qが成り立たない』⇒『命題Pが成り立たない』」の分析　「命題P⇒命題Q」の対偶「『命題Qが成り立たない』⇒『命題Pが成り立たない』」とは、　　　　　命題R1「ac－b²≦０⇒『命題Pが成り立たない』」　　　　　　　かつ　　　　　命題R2「『ac－b²＞０かつa≦０』⇒『命題Pが成り立たない』」　　　　　　　かつ　　　　　命題R3「『ac－b²＞０かつc≦０』」⇒『命題Pが成り立たない』」　である。　なぜなら、　　　・「『命題Qが成り立たない』⇒『命題Pが成り立たない』」とは、　　　　step1-1より、　　　　「ac－b²≦０または『ac－b²＞０かつa≦０』または『ac－b²＞０かつc≦０』」⇒『命題Pが成り立たない』　　　　である。　　・「ac－b²≦０または『ac－b²＞０かつa≦０』または『ac－b²＞０かつc≦０』」⇒『命題Pが成り立たない』　　　　とは、　　　　　　「ac－b²≦０⇒『命題Pが成り立たない』」　　　　　　　かつ　　　　　　「『ac－b²＞０かつa≦０』⇒『命題Pが成り立たない』」　　　　　　　かつ　　　　　「『ac－b²＞０かつc≦０』」⇒『命題Pが成り立たない』」　　　　である。（∵） step1-3:結論　以上より、　「命題P⇒命題Q」の対偶「『命題Qが成り立たない』⇒『命題Pが成り立たない』」とは、　　　　　命題R1「ac－b²≦０⇒『命題Pが成り立たない』」　　　　　　　かつ　　　　　命題R2「『ac－b²＞０かつa≦０』⇒『命題Pが成り立たない』」　　　　　　　かつ　　　　　命題R3「『ac－b²＞０かつc≦０』」⇒『命題Pが成り立たない』」　であるから、　この命題R1が真であること、命題R2が真であること、命題R3が真であることを、全て示せば、　「命題P⇒命題Q」を証明したことになる。 step2:命題R1 　命題R1「ac－b²≦０⇒『命題Pが成り立たない』」が成立することは、　「2変数二次形式の符号判定～行列を使わずに」のケースⅢ,ケースⅣで、示されている。 step3:命題R2「『ac－b²＞０かつa≦０』⇒『命題Pが成り立たない』」が真であることの証明　step3-1:「ac－b²＞０かつa≦０」の分析　　「ac－b²＞０かつa≦０」とは、　　　「『ac－b²＞０かつa＝０』または『ac－b²＞０かつa＜０』」であることに他ならない。　　　なぜなら、　　　　・「ac－b²＞０かつa≦０」とは、「ac－b²＞０かつ『a＝０またはa＜０』」ということである。（∵a≦０⇔『a＝０またはa＜０』）　　　　・「ac－b²＞０かつ『a＝０またはa＜０』」とは、　　　　　　「『ac－b²＞０かつa＝０』または『ac－b²＞０かつa＜０』」ということである。（∵分配律）　step3-2:命題R2「『ac－b²＞０かつa≦０』⇒『命題Pが成り立たない』」の分析　　命題R2「『ac－b²＞０かつa≦０』⇒『命題Pが成り立たない』」とは、　　　　　　命題R2-1「『ac－b²＞０かつa＝０』⇒　『命題Pが成り立たない』」　　　　　　かつ　　　　　　　命題R2-2「ac－b²＞０かつa＜０』⇒　『命題Pが成り立たない』」　　　　　　である。　　なぜなら、　　・step3-1より、「ac－b²＞０かつa≦０」⇔「『ac－b²＞０かつa＝０』または『ac－b²＞０かつa＜０』」　　・「『（ac－b²＞０かつa＝０）または（ac－b²＞０かつa＜０）』⇒　『命題Pが成り立たない』」　　　とは、　　　　　　命題R2-1「『ac－b²＞０かつa＝０』⇒　『命題Pが成り立たない』」　　　　　　かつ　　　　　　　命題R2-2「ac－b²＞０かつa＜０』⇒　『命題Pが成り立たない』」　　　　　　　ということである。（∵）　　　　　step3-3:命題R2「『ac－b²＞０かつa≦０』⇒『命題Pが成り立たない』」の証明　・step3-2より、命題R2「『ac－b²＞０かつa≦０』⇒『命題Pが成り立たない』」が真であることを証明するためには、　　　　　・命題R2-1「『ac－b²＞０かつa＝０』⇒『命題Pが成り立たない』」が真であること　　　　　・命題R2-2「ac－b²＞０かつa＜０』⇒『命題Pが成り立たない』」が真であること　　を示せばよい。　・命題R2-1「『ac－b²＞０かつa＝０』⇒『命題Pが成り立たない』」は真である。　　　　なぜなら、　　　・「ならば⇒」の真理値表をみるとわかるように、　　　　命題Pが偽にしかならないとき、「命題P⇒命題Q」は真になるように、「命題P⇒命題Q」は定義されている。　　　・『ac－b²＞０かつa＝０』は偽である。　　　　　　実際、　　　　　　　　　　　a＝０のとき、ac－b²＝０－b²＝－b²≦０（∵∀b∈R に対してb²≧０）　　　　　　　つまり、a＝０とac－b²＞０の同時達成は不可能。　　　　・上記２点より、命題R2-1「『ac－b²＞０かつa＝０』⇒『命題Pが成り立たない』」は真であると示された。　・命題R2-2「『ac－b²＞０かつa＜０』⇒『命題Pが成り立たない』」は真である。　　なぜなら、　　『ac－b²＞０かつa＜０』⇒『ac－b²＞０かつa＜０かつc＜０』⇒『命題Pが成り立たない』であるから。　　　　・「『ac－b²＞０かつa＜０』⇒『ac－b²＞０かつa＜０かつc＜０』」は、　　　　　　　『ac－b²＞０かつa＜０』⇒ 『c＜０』だからだが、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　これは、次の手順で示せる。　　　　　　　　　・「ac－b²＞０かつa＜０」⇒「ac＞b²かつa＜０」　　　　　　　　　　　　　　なぜなら、「ac－b²＞０」⇒「ac－b²＋b²＞０＋b²」　（∵）であるから。　　　　　　　　　　　　　　　　　・「ac＞b²かつa＜０」⇒「ac＞b²かつ 1/a＜０」　　　　　　　　　　　　　　なぜなら、a＜０⇒　1/a＜０（∵）だから。　　　　　　　　　　・「ac＞b²かつ 1/a＜０」⇒「c＜b²/a≦０」　　　　　　　　　　　　　　なぜなら、次の二点から。　　　　　　　　　　　　　　・「ac＞b²かつ 1/a＜０」⇒　「(1/a)ac＜(1/a)b²」すなわち「c＜b²/a」（∵）　　　　　　　　　　　　　　・「 1/a＜０」⇒　b²/a≦０　　∵　∀b∈R に対してb²≧０　　　　　　　　　・「c＜b²/a≦０」⇒「c＜０」（∵狭義順序の推移律）　　　　・「『ac－b²＞０かつa＜０かつc＜０』⇒『命題Pが成り立たない』」は、　　　　　　　　「2変数二次形式の符号判定～行列を使わずに」のケースⅡで、示されている。　　　 step4:命題R3「『ac－b²＞０かつc≦０』」⇒『命題Pが成り立たない』」が真であることの証明　step4-1:「ac－b²＞０かつc≦０」の分析　　「ac－b²＞０かつc≦０」とは、　　　「『ac－b²＞０かつc＝０』または『ac－b²＞０かつc＜０』」であることに他ならない。　　　なぜなら、　　　　・「ac－b²＞０かつc≦０」とは、「ac－b²＞０かつ『c＝０またはc＜０』」ということである。（∵c≦０⇔『c＝０またはc＜０』）　　　　・「ac－b²＞０かつ『c＝０またはc＜０』」とは、　　　　　　「『ac－b²＞０かつc＝０』または『ac－b²＞０かつc＜０』」ということである。（∵分配律）　step4-2:命題R3「『ac－b²＞０かつc≦０』⇒『命題Pが成り立たない』」の分析　　命題R3「『ac－b²＞０かつc≦０』⇒『命題Pが成り立たない』」とは、　　　　　　命題R3-1「『ac－b²＞０かつc＝０』⇒　『命題Pが成り立たない』」　　　　　　かつ　　　　　　　命題R3-2「ac－b²＞０かつc＜０』⇒　『命題Pが成り立たない』」　　　　　　である。　　なぜなら、　　・step4-1より、「ac－b²＞０かつc≦０」⇔「『ac－b²＞０かつc＝０』または『ac－b²＞０かつc＜０』」　　・「『（ac－b²＞０かつc＝０）または（ac－b²＞０かつc＜０）』⇒　『命題Pが成り立たない』」　　　とは、　　　　　　命題R3-1「『ac－b²＞０かつc＝０』⇒　『命題Pが成り立たない』」　　　　　　かつ　　　　　　　命題R3-2「ac－b²＞０かつc＜０』⇒　『命題Pが成り立たない』」　　　　　　　ということである。（∵）　　　　　step4-3:命題R3「『ac－b²＞０かつc≦０』⇒『命題Pが成り立たない』」の証明　・step3-2より、命題R3「『ac－b²＞０かつc≦０』⇒『命題Pが成り立たない』」が真であることを証明するためには、　　　　　・命題R3-1「『ac－b²＞０かつc＝０』⇒『命題Pが成り立たない』」が真であること　　　　　・命題R3-2「ac－b²＞０かつc＜０』⇒『命題Pが成り立たない』」が真であること　　を示せばよい。　・命題R3-1「『ac－b²＞０かつc＝０』⇒『命題Pが成り立たない』」は真である。　　　　なぜなら、　　　・「ならば⇒」の真理値表をみるとわかるように、　　　　命題Pが偽にしかならないとき、「命題P⇒命題Q」は真になるように、「命題P⇒命題Q」は定義されている。　　　・『ac－b²＞０かつc＝０』は偽である。　　　　　　実際、　　　　　　　　　　　c＝０のとき、ac－b²＝０－b²＝－b²≦０（∵∀b∈R に対してb²≧０）　　　　　　　つまり、c＝０とac－b²＞０の同時達成は不可能。　　　　・上記２点より、命題R3-1「『ac－b²＞０かつc＝０』⇒『命題Pが成り立たない』」は真であると示された。　・命題R3-2「『ac－b²＞０かつc＜０』⇒『命題Pが成り立たない』」は真である。　　なぜなら、　　『ac－b²＞０かつc＜０』⇒『ac－b²＞０かつa＜０かつc＜０』⇒『命題Pが成り立たない』であるから。　　　　・「『ac－b²＞０かつc＜０』⇒『ac－b²＞０かつa＜０かつc＜０』」は、　　　　　　　『ac－b²＞０かつc＜０』⇒ 『a＜０』だからだが、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　これは、次の手順で示せる。　　　　　　　　　・「ac－b²＞０かつc＜０」⇒「ac＞b²かつc＜０」　　　　　　　　　　　　　　なぜなら、「ac－b²＞０」⇒「ac－b²＋b²＞０＋b²」　（∵）であるから。　　　　　　　　　　　　　　　　　・「ac＞b²かつc＜０」⇒「ac＞b²かつ 1/c＜０」　　　　　　　　　　　　　　なぜなら、c＜０⇒　1/c＜０（∵）だから。　　　　　　　　　　・「ac＞b²かつ 1/c＜０」⇒「a＜b²/c≦０」　　　　　　　　　　　　　　なぜなら、次の二点から。　　　　　　　　　　　　　　・「ac＞b²かつ 1/c＜０」⇒　「(1/c)ac＜(1/c)b²」すなわち「a＜b²/c」（∵）　　　　　　　　　　　　　　・「 1/c＜０」⇒　b²/c≦０　　∵　∀b∈R に対してb²≧０　　　　　　　　　・「a＜b²/c≦０」⇒「a＜０」（∵狭義順序の推移律）　　　　・「『ac－b²＞０かつa＜０かつc＜０』⇒『命題Pが成り立たない』」は、　　　　　　　　「2変数二次形式の符号判定～行列を使わずに」のケースⅡで、示されている。

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定理：負値定符号行列になるための必要十分条件～主小行列式に関連して

	次の二つの命題は、同値。命題P：対称行列A=　は負値定符号行列。　　　　つまり、Q(x,y) = ax²+2 bxy+ c y²　は、負値定符号二次形式。命題Q：対称行列Aの第二次主小行列の行列式が正　　　　かつ　　　　　対称行列Aの第一次主小行列の行列式が負。　　　つまり、　　　・対称行列A=　の第二次主小行列　（＝Aそのもの）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　の行列式　ac－b²が正。　　　　かつ　　　　・対称行列A=　の第一次主小行列aの行列式aが負。　　　　　　かつ　　　　・対称行列A=　の第一次主小行列cの行列式cが負。 →[トピック一覧：二次形式]	cf. n変数の二次形式への拡張 [文献－線型代数] ・佐武『線型代数学』Ⅳ§4 定理6-注意(p.164) 主小行列式：対角線上にある小行列式・斎藤『線形代数入門』156. Chiang322-326.
	(「命題Q⇒命題P」の証明)
	「2変数二次形式の符号判定～行列を使わずに」ケースⅡより。
	(「命題P⇒命題Q」の証明)
	「命題P⇒命題Q」を示すために、「命題P⇒命題Q」の対偶「『命題Qが成り立たない』⇒『命題Pが成り立たない』」を示す。 step1:「命題P⇒命題Q」の対偶「『命題Qが成り立たない』⇒『命題Pが成り立たない』」の分析　「命題P⇒命題Q」の対偶「『命題Qが成り立たない』⇒『命題Pが成り立たない』」とは、　　　　　命題R1「ac－b²≦０⇒『命題Pが成り立たない』」　　　　　　　かつ　　　　　命題R2「『ac－b²＞０かつa≧０』⇒『命題Pが成り立たない』」　　　　　　　かつ　　　　　命題R3「『ac－b²＞０かつc≧０』」⇒『命題Pが成り立たない』」　であるから(そのわけは、step1-1,step1-2)、　この命題R1、命題R2、命題R3を、全て示せば、　「命題P⇒命題Q」を証明したことになる。　　 step1-1:『命題Qが成り立たない』ということの分析　「命題Qが成り立たない」とは、　「ac－b²≦０または『ac－b²＞０かつa≧０』または『ac－b²＞０かつc≧０』」を意味する。　なぜなら、　　・「命題Qが成り立たない」とは、　　　「『ac－b²＞０かつa＜０かつc＜０』が成り立たない」ということ。　　・「『ac－b²＞０かつa＜０かつc＜０』が成り立たない」とは、　　　「ac－b²≦０またはa≧０またはc≧０」ということ。（∵）　　・「ac－b²≦０またはa≧０またはc≧０」とは、　　　「ac－b²≦０または『ac－b²＞０かつa≧０』または『ac－b²≦０かつa≧０』または『ac－b²＞０かつc≧０』または『ac－b²≦０かつc≧０』」　　　である。　　　　　なぜなら、　　　　　「a≧０」は、「『ac－b²＞０かつa≧０』または『ac－b²≦０かつa≧０』」であり、　　　　　　「c≧０」は、「『ac－b²＞０かつc≧０』または『ac－b²≦０かつc≧０』」であるから。　　・「ac－b²≦０または『ac－b²＞０かつa≧０』または『ac－b²≦０かつa≧０』または『ac－b²＞０かつc≧０』または『ac－b²≦０かつc≧０』」　　　とは、　　　「ac－b²≦０または『ac－b²≦０かつa≧０』または『ac－b²≦０かつc≧０』または『ac－b²＞０かつa≧０』または『ac－b²＞０かつc≧０』」　　　である（∵結合律）　　・「ac－b²≦０または『ac－b²≦０かつa≧０』または『ac－b²≦０かつc≧０』または『ac－b²＞０かつa≧０』または『ac－b²＞０かつc≧０』」　　　とは、　　　「ac－b²≦０または　　　　　　　　　　　　　　　『ac－b²≦０かつc≧０』または『ac－b²＞０かつa≧０』または『ac－b²＞０かつc≧０』」　　　である。（∵吸収律）　　・「ac－b²≦０または　　　　　　　　　　　　　　　『ac－b²≦０かつc≧０』または『ac－b²＞０かつa≧０』または『ac－b²＞０かつc≧０』」　　　とは、　　　「ac－b²≦０または　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　『ac－b²＞０かつa≧０』または『ac－b²＞０かつc≧０』」　　　である。（∵吸収律） step1-2:「命題P⇒命題Q」の対偶「『命題Qが成り立たない』⇒『命題Pが成り立たない』」の分析　「命題P⇒命題Q」の対偶「『命題Qが成り立たない』⇒『命題Pが成り立たない』」とは、　　　　　命題R1「ac－b²≦０⇒『命題Pが成り立たない』」　　　　　　　かつ　　　　　命題R2「『ac－b²＞０かつa≧０』⇒『命題Pが成り立たない』」　　　　　　　かつ　　　　　命題R3「『ac－b²＞０かつc≧０』」⇒『命題Pが成り立たない』」　である。　なぜなら、　　　・「『命題Qが成り立たない』⇒『命題Pが成り立たない』」とは、　　　　step1-1より、　　　　「ac－b²≦０または『ac－b²＞０かつa≧０』または『ac－b²＞０かつc≧０』」⇒『命題Pが成り立たない』　　　　である。　　・「ac－b²≦０または『ac－b²＞０かつa≧０』または『ac－b²＞０かつc≧０』」⇒『命題Pが成り立たない』　　　　とは、　　　　　　「ac－b²≦０⇒『命題Pが成り立たない』」　　　　　　　かつ　　　　　　「『ac－b²＞０かつa≧０』⇒『命題Pが成り立たない』」　　　　　　　かつ　　　　　「『ac－b²＞０かつc≧０』」⇒『命題Pが成り立たない』」　　　　である。（∵） step1-3:結論　以上より、　「命題P⇒命題Q」の対偶「『命題Qが成り立たない』⇒『命題Pが成り立たない』」とは、　　　　　命題R1「ac－b²≦０⇒『命題Pが成り立たない』」　　　　　　　かつ　　　　　命題R2「『ac－b²＞０かつa≧０』⇒『命題Pが成り立たない』」　　　　　　　かつ　　　　　命題R3「『ac－b²＞０かつc≧０』」⇒『命題Pが成り立たない』」　であるから、　この命題R1が真であること、命題R2が真であること、命題R3が真であることを、全て示せば、　「命題P⇒命題Q」を証明したことになる。 step2:命題R1 　命題R1「ac－b²≦０⇒『命題Pが成り立たない』」が成立することは、　「2変数二次形式の符号判定～行列を使わずに」のケースⅢ,ケースⅣで、示されている。 step3:命題R2「『ac－b²＞０かつa≧０』⇒『命題Pが成り立たない』」が真であることの証明　step3-1:「ac－b²＞０かつa≧０」の分析　　「ac－b²＞０かつa≧０」とは、　　　「『ac－b²＞０かつa＝０』または『ac－b²＞０かつa＞０』」であることに他ならない。　　　なぜなら、　　　　・「ac－b²＞０かつa≧０」とは、「ac－b²＞０かつ『a＝０またはa＞０』」ということである。（∵a≧０⇔『a＝０またはa＞０』）　　　　・「ac－b²＞０かつ『a＝０またはa＞０』」とは、　　　　　　「『ac－b²＞０かつa＝０』または『ac－b²＞０かつa＞０』」ということである。（∵分配律）　step3-2:命題R2「『ac－b²＞０かつa≧０』⇒『命題Pが成り立たない』」の分析　　命題R2「『ac－b²＞０かつa≧０』⇒『命題Pが成り立たない』」とは、　　　　　　命題R2-1「『ac－b²＞０かつa＝０』⇒　『命題Pが成り立たない』」　　　　　　かつ　　　　　　　命題R2-2「ac－b²＞０かつa＞０』⇒　『命題Pが成り立たない』」　　　　　　である。　　なぜなら、　　・step3-1より、「ac－b²＞０かつa≧０」⇔「『ac－b²＞０かつa＝０』または『ac－b²＞０かつa＞０』」　　・「『（ac－b²＞０かつa＝０）または（ac－b²＞０かつa＞０）』⇒　『命題Pが成り立たない』」　　　とは、　　　　　　命題R2-1「『ac－b²＞０かつa＝０』⇒　『命題Pが成り立たない』」　　　　　　かつ　　　　　　　命題R2-2「ac－b²＞０かつa＞０』⇒　『命題Pが成り立たない』」　　　　　　　ということである。（∵）　　　　　step3-3:命題R2「『ac－b²＞０かつa≧０』⇒『命題Pが成り立たない』」の証明　・step3-2より、命題R2「『ac－b²＞０かつa≧０』⇒『命題Pが成り立たない』」が真であることを証明するためには、　　　　　・命題R2-1「『ac－b²＞０かつa＝０』⇒『命題Pが成り立たない』」が真であること　　　　　・命題R2-2「ac－b²＞０かつa＞０』⇒『命題Pが成り立たない』」が真であること　　を示せばよい。　・命題R2-1「『ac－b²＞０かつa＝０』⇒『命題Pが成り立たない』」は真である。　　　　なぜなら、　　　・「ならば⇒」の真理値表をみるとわかるように、　　　　命題Pが偽にしかならないとき、「命題P⇒命題Q」は真になるように、「命題P⇒命題Q」は定義されている。　　　・『ac－b²＞０かつa＝０』は偽である。　　　　　　実際、　　　　　　　　　　　a＝０のとき、ac－b²＝０－b²＝－b²≦０（∵∀b∈R に対してb²≧０）　　　　　　　つまり、a＝０とac－b²＞０の同時達成は不可能。　　　　・上記２点より、命題R2-1「『ac－b²＞０かつa＝０』⇒『命題Pが成り立たない』」は真であると示された。　・命題R2-2「『ac－b²＞０かつa＞０』⇒『命題Pが成り立たない』」は真である。　　なぜなら、　　『ac－b²＞０かつa＞０』⇒『ac－b²＞０かつa＞０かつc＞０』⇒『命題Pが成り立たない』であるから。　　　　・「『ac－b²＞０かつa＞０』⇒『ac－b²＞０かつa＞０かつc＞０』」は、　　　　　　　『ac－b²＞０かつa＞０』⇒ 『c＞０』だからだが、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　これは、次の手順で示せる。　　　　　　　　　・「ac－b²＞０かつa＞０」⇒「ac＞b²かつa＞０」　　　　　　　　　　　　　　なぜなら、「ac－b²＞０」⇒「ac－b²＋b²＞０＋b²」　（∵）であるから。　　　　　　　　　　　　　　　　　・「ac＞b²かつa＞０」⇒「ac＞b²かつ 1/a＞０」　　　　　　　　　　　　　　なぜなら、a＞０⇒　1/a＞０（∵）だから。　　　　　　　　　　・「ac＞b²かつ 1/a＞０」⇒「c＞b²/a≧０」　　　　　　　　　　　　　　なぜなら、次の二点から。　　　　　　　　　　　　　　・「ac＞b²かつ 1/a＞０」⇒　「(1/a)ac＞(1/a)b²」すなわち「c＞b²/a」（∵）　　　　　　　　　　　　　　・「 1/a＞０」⇒　b²/a≧０　　∵　∀b∈R に対してb²≧０　　　　　　　　　・「c＞b²/a≧０」⇒「c＞０」（∵狭義順序の推移律）　　　　・「『ac－b²＞０かつa＞０かつc＞０』⇒『命題Pが成り立たない』」は、　　　　　　　　「2変数二次形式の符号判定～行列を使わずに」のケースⅠで、示されている。　　　 step4:命題R3「『ac－b²＞０かつc≧０』」⇒『命題Pが成り立たない』」が真であることの証明　step4-1:「ac－b²＞０かつc≧０」の分析　　「ac－b²＞０かつc≧０」とは、　　　「『ac－b²＞０かつc＝０』または『ac－b²＞０かつc＞０』」であることに他ならない。　　　なぜなら、　　　　・「ac－b²＞０かつc≧０」とは、「ac－b²＞０かつ『c＝０またはc＞０』」ということである。（∵c≧０⇔『c＝０またはc＞０』）　　　　・「ac－b²＞０かつ『c＝０またはc＞０』」とは、　　　　　　「『ac－b²＞０かつc＝０』または『ac－b²＞０かつc＞０』」ということである。（∵分配律）　step4-2:命題R3「『ac－b²＞０かつc≧０』⇒『命題Pが成り立たない』」の分析　　命題R3「『ac－b²＞０かつc≧０』⇒『命題Pが成り立たない』」とは、　　　　　　命題R3-1「『ac－b²＞０かつc＝０』⇒　『命題Pが成り立たない』」　　　　　　かつ　　　　　　　命題R3-2「ac－b²＞０かつc＞０』⇒　『命題Pが成り立たない』」　　　　　　である。　　なぜなら、　　・step4-1より、「ac－b²＞０かつc≧０」⇔「『ac－b²＞０かつc＝０』または『ac－b²＞０かつc＞０』」　　・「『（ac－b²＞０かつc＝０）または（ac－b²＞０かつc＞０）』⇒　『命題Pが成り立たない』」　　　とは、　　　　　　命題R3-1「『ac－b²＞０かつc＝０』⇒　『命題Pが成り立たない』」　　　　　　かつ　　　　　　　命題R3-2「ac－b²＞０かつc＞０』⇒　『命題Pが成り立たない』」　　　　　　　ということである。（∵）　　　　　step4-3:命題R3「『ac－b²＞０かつc≦０』⇒『命題Pが成り立たない』」の証明　・step3-2より、命題R3「『ac－b²＞０かつc≧０』⇒『命題Pが成り立たない』」が真であることを証明するためには、　　　　　・命題R3-1「『ac－b²＞０かつc＝０』⇒『命題Pが成り立たない』」が真であること　　　　　・命題R3-2「ac－b²＞０かつc＞０』⇒『命題Pが成り立たない』」が真であること　　を示せばよい。　・命題R3-1「『ac－b²＞０かつc＝０』⇒『命題Pが成り立たない』」は真である。　　　　なぜなら、　　　・「ならば⇒」の真理値表をみるとわかるように、　　　　命題Pが偽にしかならないとき、「命題P⇒命題Q」は真になるように、「命題P⇒命題Q」は定義されている。　　　・『ac－b²＞０かつc＝０』は偽である。　　　　　　実際、　　　　　　　　　　　c＝０のとき、ac－b²＝０－b²＝－b²≦０（∵∀b∈R に対してb²≧０）　　　　　　　つまり、c＝０とac－b²＞０の同時達成は不可能。　　　　・上記２点より、命題R2-1「『ac－b²＞０かつc＝０』⇒『命題Pが成り立たない』」は真であると示された。　・命題R3-2「『ac－b²＞０かつc＞０』⇒『命題Pが成り立たない』」は真である。　　なぜなら、　　『ac－b²＞０かつc＞０』⇒『ac－b²＞０かつa＞０かつc＞０』⇒『命題Pが成り立たない』であるから。　　　　・「『ac－b²＞０かつc＞０』⇒『ac－b²＞０かつa＞０かつc＞０』」は、　　　　　　　『ac－b²＞０かつc＞０』⇒ 『a＞０』だからだが、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　これは、次の手順で示せる。　　　　　　　　　・「ac－b²＞０かつc＞０」⇒「ac＞b²かつc＞０」　　　　　　　　　　　　　　なぜなら、「ac－b²＞０」⇒「ac－b²＋b²＞０＋b²」　（∵）であるから。　　　　　　　　　　　　　　　　　・「ac＞b²かつc＞０」⇒「ac＞b²かつ 1/c＞０」　　　　　　　　　　　　　　なぜなら、c＞０⇒　1/c＞０（∵）だから。　　　　　　　　　　・「ac＞b²かつ 1/c＞０」⇒「a＞b²/c≧０」　　　　　　　　　　　　　　なぜなら、次の二点から。　　　　　　　　　　　　　　・「ac＞b²かつ 1/c＞０」⇒　「(1/c)ac＞(1/c)b²」すなわち「a＞b²/c」（∵）　　　　　　　　　　　　　　・「 1/c＞０」⇒　b²/c≧０　　∵　∀b∈R に対してb²≧０　　　　　　　　　・「a＞b²/c≧０」⇒「a＞０」（∵狭義順序の推移律）　　　　・「『ac－b²＞０かつa＞０かつc＞０』⇒『命題Pが成り立たない』」は、　　　　　　　　「2変数二次形式の符号判定～行列を使わずに」のケースⅠで、示されている。

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