1変数関数の多項式近似1−ロルの定理・平均値定理とその周辺　：　トピック一覧　

　関数y=f(x)は閉区間[a,b]で連続、

　開区間(a,b)で微分可能とする。

　（区間の端点では微分可能でなくてもよい）

　このとき、

　f (a) = f (b)　ならば、

　f '(c) =0　をみたすcが

　開区間(a,b)内に少なくとも一つ存在する。

	[文献] 　・矢野田代『社会科学者のための基礎数学』pp.76-77 　・赤『実数論講義』§9.3(p.264)：実数の連続性公理の言い換えとして。 　・吹田新保『理工系の微分積分学』pp.43-44 　・和達『微分積分』pp.54-55

		【活用例】平均値定理の導出/コーシーの平均値定理の導出/テイラーの定理の導出
		【注】証明を見ると分かるように、開区間(a,b)で微分可能でないなら、結論はかわってくる。

　※なぜ？→証明　

　【解釈】

　　閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能な関数y=f(x)　
　　を考えると、

　　x軸と平行な接線をひける点が
　　開区間(a,b)内に少なくとも一つ存在する。

　関数y=f(x)は閉区間[a,b] で連 続、

　開区間(a,b) で微分可能　
　　（区間の端点では微 分可能でなくてもよい）

　ならば、

　　　　　…（1）　
　
　をみたすcが、

	[文献] 　・矢野田代『社会科学者のための基礎数学』p.7 　・赤『実数論講義』§9.3(p.264)：実数の連続性 公理の言い換えとして。 　・吹田新保『理工系の微分積分学』pp.44-45
	・和達『微分積分』pp.59-60

		【活用例】閉区間における広義単調の必要十分条件の導出/閉区間における狭義単調の十分条件の導出/解析学の基本定理の導出
		【関数一般への拡張】2変数関数バージョンの平均値定理/n変数関数バージョンの平均値の定理 【積分バージョン】　　積分の第1平均値定理

　
　開区間(a,b) 内に少なくとも一つ存在する。


※　式(1)は以下のかたちにも書き換えられる。

　　・f(b)=f (a)+ (b − a ) f '(c) 　( a < c < b )　

　　・f(x)=f (a)+ (x − a ) f '(c) 　( a < c < x )　

　　・a < c < b をみたすcを、
　　　　　a +θ(b−a) ( ０<θ< 1 )
　　　と書いて、
　　　f(b)=f (a)+ (b − a ) f ' (a +θ(b−a)) 　( ０<θ< 1 )　

　　・bを「aから増分hの点」と解釈して「a+h」と書き、
　　　a < c < a+h をみたすcを、
　　　　a +θh　( ０<θ< 1 )　
　　　と書いて、
　　　f (a+h) = f (a)+ h f ' ( a +θh ) 　( ０<θ< 1 )　

　　・aをxに代えて、bを「xから増分Δxの点」として「x+Δx」と書き、
　　　　　x < c < x+Δx をみたすcを、x +θΔx　( ０<θ< 1 )　と書いて、　　
　　　　　f(x+Δx)=f (x)+Δx f ' ( x +θΔx ) 　( ０<θ< 1 )

※なぜ？→証明

　関数f(x), g(x)は閉区間[a,b]で連続、
　開区間(a,b)で微分可能、
　開区間(a,b)で常に g' (x) ≠0
　ならば、
　　　　
　を満たすcが(a,b)に存在する。　

※活用例：テイラーの定理の導出　
※なぜ？→証明　

	[文献] 　・赤『実数論講義』§9.3(p.264)：実数の連続性 公理の言い換えとして。 　・小平『解析入門I』p.123 　・高木『解析概論』p.48 　・吹田新保『理工系の微分積分学』p.51
	・和達『微分積分』p.62