論理記号∀　　：　トピック一覧

【記号∀の説明】
　・論理記号∀の呼称
　・論理記号∀の使用法
　　∀x P(x) / ∀x∈X P(x)
　　∀x P(x,y) / ∀x∈X P(x,y)
　　∀xi∈S P(x1,…,xn)　　
　　多重量化　
　・論理記号∀の読み下し方
　・論理記号∀の推論規則
　　－論理記号∀の導入則
　　－論理記号∀の除去則
【用語別】
　・全称量化記号
　・全称記号
　・universal quantifier　
　・全称量化子
　・全称作用素
・対象領域
・議論領域
・変項の定義域

・全称量化
・全称量化子による量化
・普遍量化
・束縛する
・束縛変数(束縛変項)
・自由変数（自由変項）

※n項述語量化関連ページ：述語・命題関数/範囲を限定した普遍量化・全称量化/存在量化/範囲を限定した存在 量化/二重量化
※全称量化関連ページ：1項述語全称量化/2項述語全称量化
※論理関連ページ：古典論理/論理記号一覧/述語・命題関数/
※総目次 

n項述語の全称量化　∀ xi P(x1,x2,…,xn)  　

　・「∀変項　n項述語」の意味と読み下し方　
　・議論領域が有限集合の場合の「∀変項　n項述語」　　
　・「∀変項　n項述語」の読み下し例一覧　
　・「∀変項　n項述語」の具体的な使用例　
　・「∀変項　n項述語」のなかで用いられる用語
　・「∀変項　n項述語」の集合表現


「∀変項 n項述語」の意味　

【ざっくり】

　・「∀x1 （ x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件P ）  」は、
　　「すべての/任意の/あらゆる x1について 、 x1, x2, …, xnは関係・条件Pを満たす」と読み下され、
　　「 x1に代入された対象はすべて、x2, …, xnとの関係・条件Pを満たす」ことを意味する。　

　・「∀x2 （ x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件P ）」は、
　　「すべての/任意の/あらゆるx2について、 x1, x2, …, xnは関係・条件Pを満たす」と読み下され、
　　「 x2に代入された対象はすべて、x1, x3…, xnとの関係・条件Pを満たす」ことを意味する。　
　：
　：
　・「∀xn （ x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件P ） 」は、
　　「すべての/任意の/あらゆる xnについて 、x1, x2…, xnは関係・条件Pを満たす」と読み下される。
　　「 xn に代入された対象はすべて、x1, x2…, xn-1との関係・条件Pを満たす」ことを意味する。　
　


【きっちり】

P(x1, x2, …, xn)が、
　　　変項x1の議論領域をX1
　　　変項x2の議論領域をX2
　　　　　：　　　　　　：　
　　　変項xnの議論領域をXn
とするn項述語・n変数命題関数であるとき、　

・「∀x1  P(x1, x2, …, xn) 」は、
　「すべての/任意の/あらゆる x1について 、 x1, x2, …, xnは関係・条件Pを満たす」
　と読み下され、

　「議論領域X1から何を取ってきてx1に代入しても、　　
　　　　　x2, …, xnは、x1との関係・条件Pを満たす」という
　　議論領域をX2, … , Xn とする(n-1)変項命題関数Q(x2, …, xn)を意味する。　

・「∀x2  P(x1, x2, …, xn) 」は、
　「すべての/任意の/あらゆる x2について 、 x1, x2, …, xnは関係・条件Pを満たす」
　と読み下され、

　「議論領域X2から何を取ってきてx2に代入しても、　　
　　　　　x1, x3…, xnは、x2との関係・条件Pを満たす」という
　　議論領域をX1, X3,… , Xn とする(n-1)変項命題関数Q(x1, x3,…, xn)を意味する。　
　：　
　：
・「∀xi P(x1, x2, …, xn)」は、
　「すべての/任意の/あらゆるxiについて 、 x1, x2, …, xnは関係・条件Pを満たす」
　と読み下され、

　「x1,…, xi-1,  xi+1 ,…, xnは、
　　　議論領域Xiから何を取ってきてxiに代入しても、　　
　　　　　　　　　　　xiとの関係・条件Pを満たす」
　という(n－1)変項命題関数Q(x1,…, xi-1,  xi+1 ,…, xn)を意味する。
　：　
　：
・「∀xn P(x1, x2, …, xn) 」は、
　「すべての/任意の/あらゆる xnについて 、x1, x2…, xnは関係・条件Pを満たす」
　と読み下され、

　「議論領域Xnから何を取ってきてxnに代入しても、　　
　　　　　x1, x2…, xn-1は、xnとの関係・条件Pを満たす」という
　　議論領域をX1, X2,…, Xn-1とする(n-1)変項命題関数Q(x1, x2,…, xn-1)を意味する。　


　→主要テキストの読み下し例一覧　

　【具体的な使用例】　
　※関連事項－n項述語の量化： ∀xi∈X P(x1,…,xn)の意味 / ∃xi P(x1,…,xn)の意味 / ∃x∈X P(x1,xn)の意味
　※関連事項－n項述語の二重量化：「∀xi∀xj P(x1,…,xn) 」の意味/「∃xi∀xj P(x1,…,xn)」の意味/「∀xi∃xj P(x1,…,xn)」の意味 / 「∃xi∃xj P(x1,…,xn)」の意味　





【文献－数学基礎論】
　・井関清志『集合と論理』§1.5注意1(p.29)3項述語三重量化、4項述語4重量化。
　・前原昭二『記号論理入門』§7.7(p.2３);§9変数を含む命題：例2-4(pp.30-31)
　・前原昭二『数理論理学序説』Ⅱ述語論理§1命題関数3.3～3.4(pp.152-3)
　・新井紀子『数学は言葉』2.3(pp.57-58);3.2.6(pp.88-９６):「任意」「すべて」両方つかっているよう。

【文献－数学一般】
　●中内『ろんりの練習帳』2.3全称命題関数(pp.88-93);
　・松井知己『だれでも証明がかける－眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(pp.3８-46)5.5導く性質に∃x∀yがある場合(pp.176-186);5.6導く性質に∀x∃y∀zがある場合(pp.186-194);　
　・齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子(pp.52-55)):二重量化
　・杉浦『解析入門I』附録2(pp.400-402)

【文献－分析哲学・論理学】
　・戸田山『論理学をつくる』7.1.3(p.166): "n-place predicate", "n-ary relation" 
　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』第4章述語論理(pp.29-3２)
　・高崎金久『数理論理学入門』V.述語論理の意味論-1.4 量化子の使い方:連続性の定義「IsContinuous(f,a) ⇔ ∀ε∃δ∀x (|x - a|＜δ ⇒ |f(x) - f(a)|＜ε)連続性の定義；1.5 変数の出現位置と視野

　





　　　・このように、n変数命題関数P(x1, x2, …, xn)の頭に「∀x1」「∀x2 」…「∀xn」のいずれか一つをつける（普遍量化する）と、(n-1)変項命題関数Q(x1, x2,…, xn-1)になる。
　
　　　＊「∀ ＋ 変項(変数) ＋ n変数命題関数」の後ろに、記号が続いていく場合、
　　　　「∀ ＋ 変項(変数)」が支配している範囲（スコープ）を明示するために、
　　　 　「∀ ＋ 変項(変数)」の適用範囲に入っている述語を（）で括る。

有限集合が議論領域のときの「∀変項 n項述語」の解釈　

・(n-1)個の変項x2,x3,…,xnをもつ述語・命題関数　

　　「∀x1 P(x1, x2, …, xn)」　　
　は、

　束縛変項x1の議論領域が有限集合 { a1 , a2 , … , am } であるとき、

　(n-1)個の変項をもつ述語・命題関数　




　　　P( a1, x2, …, xn)　かつ　P( a2, x2, …, xn)　かつ　…　かつ　P( am , x2, …, xn)　「x2, …, xnは、a1と関係Pにあり、かつ、a2と関係Pにあり、かつ…かつ amと関係Pにある」　

　に言い換えてよい。


・(n-1)個の変項x1,x3,…,xnをもつ述語・命題関数　

　　「∀x2 P(x1, x2, …, xn)」　　
　は、

　束縛変項x2の議論領域が有限集合 { a1 , a2 , … , am } であるとき、

　(n-1)個の変項をもつ述語・命題関数　

　　　P( x1, a1, x3 , …, xn )　かつ　P( x1, a2, x3 , …, xn )　かつ　…　かつ　P( x1, am , x3 , …, xn )　「x1, x3, …, xnは、a1と関係Pにあり、かつ、a2と関係Pにあり、かつ…かつ amと関係Pにある」　

　に言い換えてよい。


・(n-1)個の変項x1,x2,…,xn-1をもつ述語・命題関数　

　　「∀xn P(x1, x2, …, xn)」　　
　は、

　束縛変項xnの議論領域が有限集合 { a1 , a2 , … , am } であるとき、

　(n-1)個の変項をもつ述語・命題関数　

　　　P( x1, x2,  …, xn-1, a1 )　かつ　P( x1, x2,  …, xn-1, a2 )　かつ　…　かつ　P( x1, x2,  …, xn-1, am )　「x1,x2,…,xn-1は、a1と関係Pにあり、かつ、a2と関係Pにあり、かつ…かつ amと関係Pにある」　

　に言い換えてよい。

→[トピック一覧：論理記号∀]
→[総目次]


「∀+変項+n項述語」に関わる諸用語　

【全称記号・全称量化記号/全称量化子・全称作用素】

・「∀変項　n項述語(n変数命題関数)」というかたちのなかの、
　「∀」は、　
　　全称量化記号　[斎藤p.49;井関p.7;岡田光弘p.30]　
　　全称記号　　　[前原p.4;斎藤p.49;中内p.82;杉浦p.401]
　　universal quantifier　[斎藤p.49;岡田光弘p.30;De LaFuente,p.8]
　などと呼ばれる論理記号。

・「∀変項　n項述語(n変数命題関数)」というかたちのなかの、
　「∀変項」という部分は、　
　　　全称量化子 [斎藤p.49]
　　　全称作用素 [前原p.4;松本p.28;中内p.82]　　　
　　　universal quantifier　[前原p.4;斎藤p.49]
　と呼ばれる。
　　＊岡田章は、記号「∀」そのものを「全称量化子」と呼ぶ(p.252)が、
　　　どうなのだろう？

【量化】

・全称量化子・全称作用素「∀変項 」を
　 n項述語(n変数命題関数)の前につけて
　「∀変項　n項述語(n変数命題関数)」というかたちにする行為を、
　
　　　全称量化子による量化　[斎藤p.49]
　　　全称量化　[野矢 p.213]
　　　普遍量化　[本橋pp.40-41]
　　　
　などと呼ぶ。
　別の文脈で、「《変項》の束縛bound」と呼ぶこともある[→詳細]。

　　[岡田光弘p.31;]述語の前に、∀x,∃xをつけること[井関p.26]

　　　　　　




【　n=1 のとき具体例　】

　→　1項述語・1変数命題関数の具体例　

【　n=2 のとき具体例　】

　→　2項述語・2変数命題関数の具体例　

【　n=３ のとき具体例　】
　

→[トピック一覧：論理記号∀]
→[総目次]



【スコープ】

・「∀変項　n項述語(n変数命題関数)」というかたちのなかで、

　全称量化子・作用素「∀ 変項 」によって量化された

　　「n項述語・n変数命題関数」

　の範囲は、

　全称量化子・作用素「∀ 変項 」にの

　　スコープscope[岡田光弘p.31;松本p.28]
　　適用範囲[松本p.28]
　　視野[高崎V-1.5]
　　作用域[高崎V-1.5]
　　作用範囲[前原1章§8(p.24)]

　などと呼ばれる。
　
※「∀変項　n項述語(n変数 命題関数)」の後ろに、記号が続いていく場合、
　どこまでが「∀ 変項 」のスコープなのか、はっきりしなくなることが ある。
　そういうときは、
　「∀ 変項」のスコープがどこまでかを明示するために、
　「∀ 変項 」の適用範囲に入っている述語を（）で括る。
　　　　　　


【　n=1 のとき具体例　】

　→　1項述語・1変数命題関数の具体例　

【　n=2 のとき具体例　】

　→　2項述語・2変数命題関数の具体例　

【　n=３ のとき具体例　】
　

→[トピック一覧：論理記号∀]
→[総目次]



【束縛する/束縛変項/自由変項】

・ ∀xi を、 x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件P(x1, x2, …, xn)の前につける行為を、
　「変項(変数)xiを束縛するbound」と呼ぶ。[井関p.26]　

　このとき、
　　P(x1, x2, …, xn)の変項xi は、
　　　束縛変項　（束縛変数）　bound variable

　　P(x1, x2, …, xn)のxi以外の(n-1)個の変項 は、
　　　自由変項 （自由変数）　free variable
　　と呼ばれる。
　
・ ∀x1 を、 x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件P(x1, x2, …, xn)の前につけて、
　「∀x1 P(x1, x2, …, xn)」とする行為を、
　「変項(変数)x1を束縛するbound」と呼ぶ。

　このとき、
　　P(x1, x2, …, xn)の変項x1 は、
　　　束縛変項　（束縛変数）　bound variable

　　P(x1, x2, …, xn)のx1以外の変項x2, …, xnは、
　　　自由変項 （自由変数）　free variable
　　と呼ばれる。
　
・ ∀x2 を、 x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件P(x1, x2, …, xn)の前につけて、
　「∀x2 P(x1, x2, …, xn)」とする行為を、
　「変項(変数)x2を束縛するbound」と呼ぶ。

　このとき、
　　P(x1, x2, …, xn)の変項x2 は、
　　　束縛変項　（束縛変数）　bound variable

　　P(x1, x2, …, xn)のx2以外の変項x1,x3, …, xnは、
　　　自由変項 （自由変数）　free variable
　　と呼ばれる。
　

・ ∀xn を、 x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件P(x1, x2, …, xn)の前につけて、
　「∀xn P(x1, x2, …, xn) 」とする行為を、
　「変項(変数)xnを束縛するbound」と呼ぶ。

　このとき、
　　P(x1, x2, …, xn)の変項xnは、
　　　束縛変項　（束縛変数）　bound variable

　　P(x1, x2, …, xn)のxn以外の変項x1, x2…, xn-1は、
　　　自由変項 （自由変数）　free variable
　　と呼ばれる。




【文献－数学基礎論】
　●前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(pp.20-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-26)。
　・井関清志『集合と論理』§1.2(pp.6-7);§1.5(pp.24-30)。
　・高崎金久『数理論理学入門』V.述語論理の意味論-1.4 量化子の使い方；1.5 変数の出現位置と視野

【文献－分析哲学・論理学】
　・戸田山『論理学をつくる』7.1.4多重量化(p.167)

【文献－数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』;2.4(pp.31-34):自由変数と束縛変数;3.2(pp.40-43);4(pp.62-83):述語と量化とその読み下し方について豊富な具体例。

　



【　n=1 のとき具体例　】

　→　1項述語・1変数命題関数の具体例　

【　n=2 のとき具体例　】

　→　2項述語・2変数命題関数の具体例　

【　n=３ のとき具体例　】
　

→[トピック一覧：論理記号∀]
→[総目次]


「∀+変項+n項述語」の読み下し例：一覧　　

【読み下し例】

・「∀xi P(x1, x2, …, xn)」は、

　「　すべてのxiについて、P(x1, x2, …, xn)　」[本橋p.70;中谷p.142]　
　「　任意のxiにたいして、P(x1, x2, …, xn)　」[斎藤p.52]　
　「　任意のxiについて、P(x1, x2, …, xn)　」[本橋p.70]　

　などと読み下す。

・n項述語(n変数命題関数)P(x1, x2, …, xn)　は、

　　　「 x1, x2, …, xnは関係Pにある」
　　　「 x1, x2, …, xnは条件Pを満たす」

　と読むのだったから、
　これに従うと、
 　「∀xi P(x1, x2, …, xn)」
　は、　
　「　すべての/任意のxiにたいして(について)、
　　　　　 x1, x2, …, xnは関係Pにある/条件Pを満たす　」
　と読み下せる。

　※関連事項－n項述語の量化： ∀xi∈X P(x1,…,xn)の読み / ∃xi P(x1,…,xn)の読み / ∃x∈X P(x1,xn)の読み
　※関連事項－n項述語の二重量化：「∀xi∀xj P(x1,…,xn) 」の読み/「∃xi∀xj P(x1,…,xn)」の読み/「∀xi∃xj P(x1,…,xn)」の読み / 「∃xi∃xj P(x1,…,xn)」の読み


【文献】
　●前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(pp.20-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-26)。
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子(pp.48-55))
　●本橋『新しい論理序説』;2.4(pp.31-34):自由変数と束縛変数;3.2(pp.40-43);4(pp.62-83):述語と量化とその読み下し方について豊富な具体例。
　・中谷『論理』6.3A多変数の命題関数の限定命題(p.142)
 　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』第4章述語論理(pp.29-3２)

　

【　n=1 のとき具体例　】

　→　1項述語・1変数命題関数の具体例　

【　n=2 のとき具体例　】

　→　2項述語・2変数命題関数の具体例　

【　n=３ のとき具体例　】
　




→[トピック一覧：論理記号∀]
→[総目次]


「∀変項　二項述語」の具体例



→[トピック一覧：論理記号∀]
→[総目次]