命題論理の自然演繹における派生推論規則　：　トピック一覧　　

　　・二重否定律/冪等律/交換律/結合律/分配律/吸収律/ド・モルガン則/対偶律/選言的三段論法/推移律/(前件)肯定式/否定式/拡大律・付加律/縮小律/移入律/移出律/構成的両刃論法 　
　　・添加律(ウカシェビッチŁukasiewiczの第一公理)/ ￢A⇒(A⇒B) /パースの法則/law of adjunction/⇒の言い換え/入替律/合成律/　　

　*　自然演繹関連ページ：命題論理の自然演繹/推論規則・公理一覧/定理一覧 　　
　*　論理関連ページ：論理記号一覧/命題論理の論理式/命題論理の意味論[真理値/真理関数/真理値表] 　　　
　*　総目次

命題論理の自然演繹における派生推論規則 【4】二重否定律　law of double negation





【二重否定導入律】
　「Aから￢(￢A)を導出(推論)してよい」

Aがどのような論理式であれ、
　「A」を
　「仮定『A』のもとで『￢(￢A)』」
に書き換えてよい　

　　

 　A　　

　　



　￢(￢A)　
　　
　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。

　　→【証明：二重否定導入】　








【二重否定除去律】
　「￢(￢A)からAを導出(推論)してよい」

Aがどのような論理式であれ、
　「￢(￢A)」を
　「仮定『￢(￢A)』のもとで『A』」
に書き換えてよい　

　　

　￢(￢A)　

　　



　A　
　　
　は、【命題論理の自然演繹】の推論規則そのもの。　







【文献】
　・前原『記号論理入門』3章§1(p.63)：￢￢導入;6章§0(p.106)￢￢導入
　・野矢『論理学』1-2-2-公理系のサンプル2-例題7(p.63):一方向。
　・戸田山『論理学をつくる』9.2.3練習問題68(2)(p.228):一方向。
　・van Dalen,Logic and Structure(3rd ed.) 1.4Natural Deduction-Ⅱ(pp.31-32):￢￢導入。￢を使わないバージョンも。
　・van Dalen,Logic and Structure(3rd ed.) Theorem1.4.4(4)(pp.32-3)　:￢￢除去。背理法を用いて。

　
*　 自然演繹における定理としての二重否定律
*　意味論での扱いは？→二重否定律はトートロジー/二重否定律は意味論的に妥当な推論　
*　論理法則一覧：二重否定律・反射律
命題論理の自然演繹における派生推論規則 【5】冪等律 idempotent law





【冪等律1-1】
　「A∧AからAを導出(推論)してよい」

Aがどのような論理式であれ、
　「A∧A」を
　「仮定『A∧A』のもとで『A』」
に書き換えてよい　

　　

　A∧A　

　　



　A　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。
　　　　　→【証明:冪等律1-1】　　








【冪等律1-2】
　「AからA∧Aを導出(推論)してよい」



Aがどのような論理式で あれ、
　「A」を
　「仮定『A』のもとで『A∧A』」
に書き換えてよい

　　

　A　

　　



　A∧A　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。
　　　　　→【証明:冪等律1-2】　　







【文献】
　・前原『記号論理入門』7章§1.1(p.119);　

　
*　 自然演繹における定理としての冪等律

*　意味論での扱いは？→冪等律はトートロジー/冪等律は意味論的に妥当な推論　






【冪等律2-1】
　「A∨AからAを導出(推論)してよい」



Aがどのような論理式で あれ、
　「A∨A」を
　「仮定『A∨A』のもとで『A』」
に書き換えてよい　

　　

　A∨A　

　　



　A　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。








【冪等律2-2】
　「AからA∨Aを導出(推論)してよい」

Aがどのような論理式で あれ、
　「A」を
　「仮定『A』のもとで『A∨A』」
に書き換えてよい　

　　

　A　

　　



　A∨A　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。



命題論理の自然演繹における派生推論規則 【6】交換律 commutative law  





【交換律1-1】
　「A∧BからB∧Aを導出(推論)してよい」



A,Bがどのような論理式で あれ、
　「A∧B」 を
　「仮定『A∧B』 のもとで『B∧A』」
に書き換えてよい　

　　

　A∧B　

　　



　B∧A　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。

　　→【証明:交換律1-1】　








【交換律1-2】
　「B∧AからA∧Bを導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理式で あれ、
　「B∧A」を
　「仮定『B∧A』のもとで『A∧B』」
に書き換えてよい　

　　

　B∧A　

　　



　A∧B　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。

　　→【証明:交換律1-2】







【文献】
　・前原『記号論理入門』7章§1.2(p.119);　
　・野矢『論理学』1-2-2-公理系のサンプル2-問題25(p.65):一方向のみ。;1-2-3-LP-定理(p.68)
　・林『数理論理学』例1.3(pp.25-26);例1.7(p.32)
　・van Dalen,Logic and Structure(3rd ed.) 1.4Natural Deduction　- Ⅰ(p.31):一方向のみ。∧除去、∧導入、⇒導入のみ利用。

　
*　 自然演繹における定理としての交換律
*　意味論での扱いは？→交換律はトートロジー/交換律は意味論的に妥当な推論　　
*　テキスト間でみられる揺れ：戸田山『論理学をつくる』は、交換律を(A∧B)⇒(B∧A),(A∨B)⇒(B∨A)としている。





【交換律2-1】
　「A∨BからB∨Aを導出(推論)してよい」



A,Bがどのような論理式で あれ、
　「A∨B」を
　「仮定『A∨B』のもとで『B∨A』」
に書き換えてよい　

　　

　A∨B　

　　



　B∨A　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。








【交換律2-2】
　「B∨AからA∨Bを導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理式で あれ、
　「B∨A」を
　「仮定『B∨A』のもとで『A∨B』」
に書き換えてよい　

　　

　B∨A　

　　



　A∨B　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。




命題論理の自然演繹における派生推論規則 【7】結合律　associative law





【結合律1-1】
　「A∧(B∧C)から(A∧B)∧Cを導出(推論)してよい」



A,Bがどのような論理式で あれ、
　「A∧(B∧C)」 を
　「仮定『A∧(B∧C)』 のもとで『(A∧B)∧C』」
に書き換えてよい　

　　

　A∧(B∧C)　

　　



　(A∧B)∧C　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。








【結合律1-2】
　「(A∧B)∧C からA∧(B∧C)を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理式で あれ、
　「(A∧B)∧C」 を
　「仮定『(A∧B)∧C』 のもとで『A∧(B∧C)』」
に書き換えてよい　

　　

　(A∧B)∧C　

　　



　A∧(B∧C)　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。
　　→【証明:結合律1-2】







【文献】
　・前原『記号論理入門』7章§1.3(p.120-21)問-解答1(p.185):( (A∧B)∧C )　⇒　( A∧(B∧C) )　

　
　*　自然演繹の定理としての結合律
　*　意味論での扱いは？→結合律はトートロジー/結合律は意味論的に妥当な推論　





【結合律2-1】
　「A∨(B∨C)から(A∨B)∨Cを導出(推論)してよい」



A,Bがどのような論理式で あれ、
　「A∨(B∨C)」 を
　「仮定『A∨(B∨C)』 のもとで『(A∨B)∨C』」
に書き換えてよい　

　　

　A∨(B∨C)　

　　



　(A∨B)∨C　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。








【結合律2-2】
　「(A∨B)∨C からA∨(B∨C)を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理式で あれ、
　「(A∨B)∨C」 を
　「仮定『(A∨B)∨C』 のもとで『A∨(B∨C)』」
に書き換えてよい　

　　

　(A∨B)∨C　

　　



　A∨(B∨C)　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。





命題論理の自然演繹における派生推論規則 【8】分配律　distributive law





【分配律1-1】
　「A∧(B∨C) から(A∧B)∨(A∧C) を導出(推論)してよい」

A,B,Cがどのような論理 式で あれ、
　「A∧(B∨C)」 を
　「仮定『A∧(B∨C)』のもとで『(A∧B)∨(A∧C)』」
に書き換えてよい　

　　

　A∧(B∨C)　





　(A∧B)∨(A∧C)　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。

　→【証明：分配律1-1】　








【分配律1-2】
　「(A∧B)∨(A∧C) からA∧(B∨C)を導出(推論)してよい」

A,B,Cがどのような論理式で あれ、
　「(A∧B)∨(A∧C)」を
　「仮定『(A∧B)∨(A∧C)』のもとで『A∧(B∨C)』」
に書き換えてよい　

　　

　(A∧B)∨(A∧C)　

　　



　A∧(B∨C)　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。

　　→【証明：分配律1-2】







【文献】
　・前原『記号論理入門』7章§1.4(pp.121-2):( A∧(B∨C) )⇔( (A∧B)∨(A∧C) )
　・野矢『論理学』1-2-3-LP-命題論理の諸定理-定理12(1-a)(1-b)(2-a)(2-b)(p.70);付録-定理12(1-a)(1-b)(2-a)(2-b)(pp.220-22):二項目とも両方向。
　・van Dalen,Logic and Structure(3rd ed.) 1.6(pp.50-51)
 　・林『数理論理学』例1.10(p.32)

　
　*　　自然演繹の定理としての分配律　
　*　意味論での扱いは？→分配律はトートロジー/分配律は意味論的に妥当な推論　





【分配律2-1】
　「A∨(B∧C)から(A∨B)∧(A∨C)を導出(推論)してよい」



A,B,Cがどのような論理式で あれ、
　「A∨(B∧C)」を
　「仮定『A∨(B∧C)』のもとで『(A∨B)∧(A∨C)』」
に書き換えてよい　

　　

　A∨(B∨C)　

　　



　(A∨B)∧(A∨C) 　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。








【分配律2-2】
　「(A∨B)∧(A∨C)からA∨(B∧C)を導出(推論)してよい」

A,B,Cがどのような論理式で あれ、
　「(A∨B)∧(A∨C)」を
　「仮定『(A∨B)∧(A∨C)』のもとで『A∨(B∧C)』」
に書き換えてよい　

　　

　(A∨B)∧(A∨C)　

　　



　A∨(B∧C)　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。



　　

命題論理の自然演繹における派生推論規則 【9】吸収律 absorptive law





【吸収律1-1】
　「A∧(A∨B) からA を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理 式で あれ、
　「A∧(A∨B)」 を
　「仮定『A∧(A∨B)』のもとで『A』」
に書き換えてよい　

　　

　A∧(A∨B)　





A　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。
　








【吸収律1-2】
　「A からA∧(A∨B) を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理 式で あれ、
　「A」 を
　「仮定『A』のもとで『A∧(A∨B)』」
に書き換えてよい　

　　

　A　





　A∧(A∨B)　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。



　




【文献】
　・前原『記号論理入門』7章§2問5(p.126)解答(p.186):直接証明していない。　

　
　*　自然演繹の定理としての吸収律　
　*　意味論での扱いは？→吸収律はトートロジー/吸収律は意味論的に妥当な推論　　





【吸収律2-1】
　「( A∨(A∧B) )からAを導出(推論)してよい」



A,Bがどのような論理式で あれ、
　「A∨(A∧B)」を
　「仮定『A∨(A∧B)』のもとで『A』」
に書き換えてよい　

　　

　 A∨(A∧B) 　

　　



　A 　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。








【吸収律2-2】
　「Aから A∨(A∧B) を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理式で あれ、
　「A」を
　「仮定『A』のもとで『A∨(A∧B)』」
に書き換えてよい　

　　

A　

　　



　 A∨(A∧B) 　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。




命題論理の自然演繹における派生推論規則 【10】ド・モルガンの法則　De Morgan's law





【ド・モルガン則1-1】
　「￢(A∧B) から(￢A)∨(￢B)を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理 式で あれ、
　「￢(A∧B)」 を
　「仮定『￢(A∧B)』のもとで『(￢A)∨(￢B)』」
に書き換えてよい　

　　

　￢(A∧B)　





(￢A)∨(￢B)　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。
　
→【証明：ド・モルガン則1-1】 　








【ド・モルガン則1-2】
　「(￢A)∨(￢B)から￢(A∧B)を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理 式で あれ、
　「(￢A)∨(￢B)」 を
　「仮定『(￢A)∨(￢B)』のもとで『￢(A∧B)』」
に書き換えてよい　

　　

　(￢A)∨(￢B)　





　￢(A∧B)



　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。

　→【証明：ド・モルガン則1-2】　







【文献】
　・野矢『論理学』1-2-3-LP-命題論理の諸定理-定理9(1-a)(1-b)(2-a)(2-b)(p.70);付録-定理9(1-a)(1-b)(2-a)(2-b)(pp.218-9):二項目とも両方向。
　・戸田山『論理学をつくる』練習問題69(p.230);9.3.1-9.3.2(pp.233-5)練習問題71(1)(p.235):
　・前原『記号論理入門』6章§1問(pp.107-8)( ￢(A∨B) )⇔ (￢A)∧(￢B) ;解答(p.184)( ￢(A∧B) )⇔ (￢A)∨(￢B)
　・van Dalen,Logic and Structure(3rd ed.) 1.6(p.52)
　・高崎金久『数理論理学入門』VII.2.2基本的な恒真式・演繹関係を形式的に確かめること[例4][例5];3.1排中律に依存する定理と依存しない定理

　
　*　自然演繹の定理としてのド・モルガン則　
　　　
　*　意味論での扱いは？→ド・モルガン則はトートロジー/ド・モルガン則は意味論的に妥当な推論　　





【ド・モルガン則2-1】
　「￢(A∨B)から(￢A)∧(￢B)を導出(推論)してよい」



A,Bがどのような論理式で あれ、
　「￢(A∨B)」を
　「仮定『￢(A∨B)』のもとで『(￢A)∧(￢B)』」
に書き換えてよい　

　　

　 ￢(A∨B) 　

　　



　(￢A)∧(￢B) 　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。

　→【証明：ド・モルガン則2-1】








【ド・モルガン則2-2】
　「(￢A)∧(￢B)から ￢(A∨B) を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理式で あれ、
　「(￢A)∧(￢B)」を
　「仮定『(￢A)∧(￢B)』のもとで『￢(A∨B)』」
に書き換えてよい　

　　

　(￢A)∧(￢B)　

　　



　 ￢(A∨B) 　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。

　→【証明：ド・モルガン則2-2】　





→　自然演繹の派生推論規則一覧
→　論理記号：トピック一覧　
→　総目次　　
　　

命題論理の自然演繹における派生推論規則 【11】対偶律　law of contraposition  





【対偶律1】
　「A⇒B から ￢B ⇒ ￢A を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理 式で あれ、
　「A⇒B」 を
　「仮定『A⇒B』のもとで『￢B ⇒ ￢A』」
に書き換えてよい　

　　

　A⇒B　





　￢B ⇒ ￢A　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。
　
　→【証明：対偶律1】 　



*　「A⇒B」の言い換え表現一覧　





【対偶律2】
　「￢B ⇒ ￢A から A⇒B を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理 式で あれ、
　「￢B ⇒ ￢A」 を
　「仮定『￢B ⇒ ￢A』のもとで『A⇒B』」
に書き換えてよい　

　　

　￢B ⇒ ￢A　





　A⇒B　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。
　
　→【証明：対偶律2】 　







【文献】
　・野矢『論理学』1-2-3-LP-命題論理の諸定理-定理7(p.70);付録-定理7(p.217):一方向。
　・前原『記号論理入門』2章§4(p.46);7章§1.5-例5(p.122)問5-解答(p.);
　・van Dalen,Logic and Structure(3rd ed.) Theorem1.4.4(4)(p.32)
　・高崎金久『数理論理学入門』VII. 2.2例3ウカシェビッチの第3公理

　
　*　自然演繹の定理としての対偶律　
　
　*　意味論での扱いは？→対偶律はトートロジー/対偶律は意味論的に妥当な推論　　　　

命題論理の自然演繹における派生推論規則 【12】選言的三段論法　disjunctive syllogism, law of disjunctive syllogism 





「￢A∧(A∨B) から B を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理 式で あれ、
　「￢A∧(A∨B)」 を
　「仮定『￢A∧(A∨B)』 のもとで『B』」
に書き換えてよい　

　　

　￢A∧(A∨B)　





B 　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。
　
　→【証明】 選言的三段論法 　







【文献】
　・野矢『論理学』1-2-3-LP-命題論理の諸定理-定理8(1)(p.70);付録-定理8(1)(p.217):一方向。
　・前原『記号論理入門』2章§7 (I)(pp.53-56):証明図はp.56冒頭.
　

　
　*　自然演繹の定理としての選言的三段論法　

　*　意味論での扱いは？→選言的三段論法はトートロジー/選言的三段論法は意味論的に妥当な推論　　　　 　　　

命題論理の自然演繹における派生推論規則 【13】推移律　transitive law  





「(A⇒B)∧(B⇒C) から A⇒C を導出(推論)してよい」

A,B,Cがどのような論理 式で あれ、
　「(A⇒B)∧(B⇒C)」 を
　「仮定『(A⇒B)∧(B⇒C)』 のもとで『A⇒C』」
に書き換えてよい　

　　

　(A⇒B)∧(B⇒C)　





　A⇒C　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。
　
　→【証明】推移律 　







【文献】
　・野矢『論理学』1-2-2-公理系のサンプル2-問題25(3)(p.65) 解答(p.227)
　・野矢『論理学』1-2-3-LP-命題論理の諸定理-定理11(p.70);付録-定理11(p.220)。

　
　*　自然演繹の定理としての推移律　

　*　意味論での扱いは？→推移律はトートロジー/推移律は意味論的に妥当な推論　　　 　　　

命題論理の自然演繹における派生推論規則 【14】(前件)肯定式　modus ponens  





「A∧(A⇒B) から B を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理 式で あれ、
　「A∧(A⇒B)」 を
　「仮定『A∧(A⇒B)』 のもとで『B』」
に書き換えてよい　

　　

　A∧(A⇒B)　





　B　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。
　
　→【証明】前件肯定式 　







【文献】
　・野矢『論理学』1-2-2-公理系のサンプル2-定理(p.62)
　・野矢『論理学』1-2-3-LP-命題論理の諸定理-定理5前件肯定式(p.70);付録-定理5(p.216)
　・鹿島『数理論理学』2章自然演繹-2.2【導出図の例3】(p.31)　

　
　*　自然演繹の定理としてのmodus ponens　

　*　意味論での扱いは？→modus ponens はトートロジー/modus ponens は意味論的に妥当な推論　　　 　

命題論理の自然演繹における派生推論規則 【15】(後件)否定式　modus tollens  





「￢B∧(A⇒B) から ￢A を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理 式で あれ、
　「￢B∧(A⇒B)」 を
　「仮定『￢B∧(A⇒B)』 のもとで『￢A』」
に書き換えてよい　

　　

　￢B∧(A⇒B)　





　￢A　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。
　
　→【証明】後件否定式 　







【文献】
　・野矢『論理学』1-2-3-LP-命題論理の諸定理-定理6後件否定式(p.70);付録-定理6(p.217)

　※注意：野矢は、他のテキストで「￢導入則」と呼ばれる推論規則も「背理法」と呼んでいる。
　　　　　[『論理学』1-2-3-完全な公理系の例-派生規則(p.69)

　
　*　自然演繹の定理としてのmodus tollens　

　*　意味論での扱いは？→modus tollens はトートロジー/modus tollens は意味論的に妥当な推論　　 　　　

命題論理の自然演繹における推論規則 【16】拡大律・付加律　law of addition 





「A から A∨B を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理 式で あれ、
　「A」 を
　「仮定『A』 のもとで『A∨B』」
に書き換えてよい　

　　

　A　





　A∨B　

　は、【命題論理における自然演繹】の推論規則。
　
*なぜ？→∨導入則そのもの。 　








「B から A∨B を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理 式で あれ、
　「B」 を
　「仮定『B』 のもとで『A∨B』」
に書き換えてよい　

　　

　B　





　A∨B　

　は、【命題論理における自然演繹】の推論規則。
　
*なぜ？→∨導入則そのもの。 　







　*　これって∨導入則そのもの。

【文献】
　 　・前原『記号論理入門』3章§4(p.42)解答(p.181)

　
　*　自然演繹の定理としての拡大律・付加律　

　*　意味論での扱いは？→拡大律・付加律 はトートロジー/拡大律・付加律 は意味論的に妥当な推論　　 　　　　 　　　

命題論理の自然演繹における推論規則 【17】縮小律 law of simplification





「A∧B から A を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理 式で あれ、
　「A∧B」 を
　「仮定『A∧B』 のもとで『A』」
に書き換えてよい　

　　

　A∧B　





　A　

　は、【命題論理における自然演繹】の推論規則。
　
*なぜ？→∧除去則そのもの。 　








「A∧B から B を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理 式で あれ、
　「A∧B」 を
　「仮定『A∧B』 のもとで『B』」
に書き換えてよい　

　　

　A∧B　





　B　

　は、【命題論理における自然演繹】の推論規則。
　
*なぜ？→∧除去則そのもの。 　



　　　

　*　自然演繹の定理としての縮小律　
　*　意味論での扱いは？→縮小律はトートロジー/縮小律は意味論的に妥当な推論　　 　　

命題論理の自然演繹における派生推論規則 【18】移入律 law of importation





「A⇒(B⇒C) から (A∧B)⇒C を導出(推論)してよい」

A,B,Cがどのような論理 式で あれ、
　「A⇒(B⇒C)」 を
　「仮定『A⇒(B⇒C)』 のもとで『(A∧B)⇒C』」
に書き換えてよい　

　　

　A⇒(B⇒C)　





　(A∧B)⇒C　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。
　
  　→【証明：移入律】 　








【文献】
　・前原『記号論理入門』2章§2例2(p.42);　7章§1.3問4(p.121)
　・van Dalen,Logic and Structure(3rd ed.) 1.4Natural Deduction-Ⅲ(p.32)∧除去・⇒導入除去のみ利用。

　
　*　自然演繹の定理としての移入律　
　*　意味論での扱いは？→移入律 はトートロジー/移入律は意味論的に妥当な推論　　 　 　　　

命題論理の自然演繹における派生推論規則 【19】移出律 law of exportation





「(A∧B)⇒C から A⇒(B⇒C) を導出(推論)してよい」

A,B,Cがどのような論理 式で あれ、
　「(A∧B)⇒C」 を
　「仮定『(A∧B)⇒C』 のもとで『A⇒(B⇒C)』」
に書き換えてよい　

　　

　(A∧B)⇒C　





　A⇒(B⇒C)　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。
　
　→　【証明：移出律】　 　







【文献】
　・前原『記号論理入門』2章§2例1(p.42);　　7章§1.3問3(p.121)
　・van Dalen,Logic and Structure(3rd ed.) 1.4Natural Deduction(pp.37-8)∧導入・⇒導入除去のみ利用。

　
　*　自然演繹の定理としての移出律　
　
　*　意味論での扱いは？→移出律はトートロジー/移出律は意味論的に妥当な推論　　 　　　

命題論理の自然演繹における派生推論規則 【20】構成的両刀論法,構成的両刃論法 constructive dilemma, law of constructive dilemma





「(A⇒C)∧(B⇒C) から (A∨B)⇒C を導出(推論)してよい」

A,B,Cがどのような論理 式で あれ、
　「(A⇒C)∧(B⇒C)」 を
　「仮定『(A⇒C)∧(B⇒C)』 のもとで『(A∨B)⇒C』」
に書き換えてよい　

　　

　(A⇒C)∧(B⇒C)　





　(A∨B)⇒C　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。
　
　→　【証明】構成的両刀論法　 　








【文献】
　・
　・前原『記号論理入門』7章§1.4(p.122)問5-解答(p.185):他の定理をつかったもの。証明図はない。　

　【扱いのないテキスト】野矢『論理学』、戸田山、van Dalen,鹿島『数理論理学』、
　・バーバイズは、別のをconstructiveDilemmaと呼んでる。
　*　自然演繹の定理としての構成的両刀論法　

　*　意味論での扱いは？→構成的両刀論法 はトートロジー/構成的両刀論法は意味論的に妥当な推論　　 　 　　　
 
→　自然演繹の派生推論規則一覧
→　論理記号：トピック一覧　
→　総目次　　
　　

命題論理の自然演繹における派生推論規則 【21】添加律/ウカシェビッチŁukasiewiczの第一公理





「Aから B⇒A を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理 式で あれ、
　「A」 を
　「仮定『A』 のもとで『B⇒A』」
に書き換えてよい　

　　

　A　





　B⇒A　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。
　
　→　【証明：添加律】　 　








【文献】
　・前原『記号論理入門』2章§2例3(p.42);
　・戸次 『数理論理学』例8.12(p.182):Genzen流最小論理の枠で証明されるヒルベルト流公理。
　・鹿島『数理論理学』2章自然演繹-演習問題2.2(イ)(p.38)　
　・高崎金久『数理論理学入門』VII. 2.2例1ウカシェビッチの第一公理/See also http://en.wikipedia.org/wiki/%C5%81ukasiewicz_logic.
　・van Dalen,Logic and Structure(3rd ed.) Theorem1.4.4(1)(p.36s)

　
　*　自然演繹の定理としての添加律　

　*　意味論での扱いは？→添加律はトートロジー/添加律は意味論的に妥当な推論　　 　 　　　

命題論理の自然演繹における派生推論規則 【22】名称不明





「￢Aから A⇒B を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理 式で あれ、
　「￢A」 を
　「仮定『￢A』 のもとで『A⇒B』」
に書き換えてよい　

　　

　￢A　





　A⇒B　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。
　
→【証明】　








【文献】
　・前原『記号論理入門』3章§2(2)(p.64);

　
　*　自然演繹の定理としての【22】　

　*　意味論での扱いは？→【22】はトートロジー　/ 【22】は意味論的に妥当な推論　　 　 　　　 　　　

命題論理の自然演繹における派生推論規則 【23】パースの法則  Peirce's law　　





「(A⇒B) ⇒ A　から A を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理 式で あれ、
　「(A⇒B) ⇒ A」 を
　「仮定『(A⇒B) ⇒ A』 のもとで『A』」
に書き換えてよい　

　　

　(A⇒B) ⇒ A　





　A　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。
　
→【証明】パースの法則　








【文献】
　・鹿島『数理論理学』2章自然演繹-演習問題2.3(ス)(p.38):答えはp.195.　

　
　*　自然演繹の定理としてのパースの法則　

　*　意味論での扱いは？→パースの法則 はトートロジー/パースの法則は意味論的に妥当な推論　　 　 　　　 　　　
　　　

命題論理の自然演繹における派生推論規則 【24】law of adjunction　　





「A　から B ⇒ ( A∧B ) を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理 式で あれ、
　「A」 を
　「仮定『A』 のもとで『B ⇒ ( A∧B )』」
に書き換えてよい　

　　

　A　





　B ⇒ ( A∧B )　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。
　








【文献】
　・
　

　
　*　自然演繹の定理としてのlaw of adjunction　

　*　意味論での扱いは？→law of adjunction はトートロジー/law of adjunction は意味論的に妥当な推論　 　　

命題論理の自然演繹における派生推論規則 【25】　名称不明　（⇒の同値条件）





【1-1】
　「A⇒B から ￢A∨B を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理 式で あれ、
　「A⇒B」 を
　「仮定『A⇒B』のもとで『￢A∨B』」
に書き換えてよい　

　　

　A⇒B　





　￢A∨B　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。
　
　→【証明：1-1】( A⇒B ) ⇒ ( ￢A∨B ) 　








【1-2】
　「￢A∨B から A⇒B を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理 式で あれ、
　「￢A∨B」 を
　「仮定『￢A∨B』のもとで『A⇒B』」
に書き換えてよい　

　　

　￢A∨B　





　A⇒B　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。
　
　→【証明：1-2】( ￢A∨B ) ⇒ ( A ⇒ B ) 　







【文献】
　・前原『記号論理入門』6章§4(pp.114-115):( A ⇒ B ) ⇔ ( ￢A∨B ) 　
　・野矢『論理学』1-2-3-LP-命題論理の諸定理-定理10(a)(￢A∨B)⇒(A⇒B)、(b)(A⇒B)⇒(￢A∨B)(p.70);付録-定理10(a)(b)(pp.219-220)。

　
　*　自然演繹の定理としての【25】　
　*　意味論での扱いは？→( A ⇒ B ) ⇔ ( ￢A∨B ) はトートロジー/( A ⇒ B ) ⇔ ( ￢A∨B ) は意味論的に妥当な推論　　 　　
　*　「A⇒B」の言い換え表現一覧　　





【2-1】
　「A⇒B から ￢(A∧(￢B) を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理 式で あれ、
　「A⇒B」 を
　「仮定『A⇒B』のもとで『￢(A∧(￢B)』」
に書き換えてよい　

　　

　A⇒B　





　￢(A∧(￢B)　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。








【1-2】
　「￢(A∧(￢B) から A⇒B を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理 式で あれ、
　「￢(A∧(￢B)」 を
　「仮定『￢(A∧(￢B)』のもとで『A⇒B』」
に書き換えてよい　

　　

　￢(A∧(￢B)　





　A⇒B　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。



*　「A⇒B」の言い換え表現一覧　

命題論理の自然演繹における派生推論規則 【26】　入替律　law of permutation　　





【入替律1】
　「A ⇒ ( B ⇒ C ) から B ⇒ ( A ⇒ C ) を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理 式で あれ、
　「A⇒(B⇒C)」 を
　「仮定『A⇒(B⇒C)』のもとで『B⇒(A⇒C)』」
に書き換えてよい　

　　

　A ⇒ ( B ⇒ C )　





　B ⇒ ( A ⇒ C )　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。

→【証明:入替律1】　








【入替律2】
　「B ⇒ ( A ⇒ C ) から A ⇒ ( B ⇒ C ) を導出(推論)してよい」

A,Bがどのような論理 式で あれ、
　「B⇒(A⇒C)」 を
　「仮定『B⇒(A⇒C)』のもとで『A⇒(B⇒C)』」
に書き換えてよい　

　　

　B ⇒ ( A ⇒ C )　





　A ⇒ ( B ⇒ C )　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。

→【証明:入替律2】







【文献】
　・前原『記号論理入門』2章§1例5(p.41)一方向;　

　
　
　　*AとBを入れ替えても同じだから、入替律？　
　*　自然演繹の定理としての入替律　
　*　意味論での扱いは？→入替律 はトートロジー/入替律 は意味論的に妥当な推論　　 　　
　

命題論理の自然演繹における派生推論規則 【27】　合成律　law of composition　　





　「A⇒B から (A⇒C)⇒(A⇒(B∧C))を 導出(推論)してよい」

A,B,Cがどのような論理 式で あれ、
　「A⇒B」 を
　「仮定『A⇒B』のもとで『(A⇒C)⇒(A⇒(B∧C))』」
に書き換えてよい　

　　

　A⇒B　





　(A⇒C)⇒(A⇒(B∧C))　

　は、【命題論理における自然演繹】の派生推論規則。
　
　→【証明】合成律 　







【文献】
　・

　
　*　自然演繹の定理としての合成律　
　*　意味論での扱いは？→合成律 はトートロジー/合成律は意味論的に妥当な推論　　 　 　　　

　→　自然演繹の派生推論規則一覧
　→　論理記号：トピック一覧　
　→　総目次　　
・A⇒(￢B⇒￢(A⇒B))　[前原『記号論理入門』3章§2(3)(p.64)]
・(A⇒(B⇒C))⇒((A⇒B)⇒(A⇒C)) 　[戸次 『数理論理学』例8.12(p.183):Genzen流最小論理の枠で証明されるヒルベルト流公理。高崎金久『数理論理学入門』VII. 2.2【例2】ウカシェビッチの第二公理　]
・￢(A⇔￢A)　 [van Dalen,Logic and Structure(3rd ed.) 1.4Natural Deduction-Ⅳ(p.32)] 　
・A⇒(￢A⇒B) [van Dalen,Logic and Structure(3rd ed.) Theorem1.4.4(2)(p.32)]
・(A⇒B)⇒ ( (B⇒C)⇒(A⇒C) ) [van Dalen,Logic and Structure(3rd ed.) Theorem1.4.4(3)(p.32)：Cを矛盾記号として、対偶の証明に活用している]
・(A⇒(B∧C))⇒((A⇒B)∧(A⇒C))野矢問題31(3)解答p.230
・((A∨B)∧(A⇒B))⇒B 野矢問題31(4)解答p.230
・(A⇒B)⇒((C∨A)⇒C∨B)) 野矢問題31(5)解答p.231