命題論理の論理式　[数学についてのwebノート]

命題論理 propositional logic の論理式　：　トピック一覧　　

・命題記号・原子式[命題変数/命題定数]
・論理記号・結合子　　
・論理式 / n個の命題変数から帰納的に定義される論理式 / 論理式の形成木 / 部分論理式　　

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　　　・命題論理の意味論
　　　　　　　・論理式の意味論[真理値/真理関数/真理値表/論理式の真理値の決定原理/真理値分析/恒真式・恒偽式] 　
　　　　　　　・論理式間関係の意味論[矛盾/推論]　
　　　・命題論理のシンタクス
　*　論理目次/総目次/更新履歴　
※述語の場合は、林晋,鹿島亮を参照。

命題記号propositional letter・原子式 atomic formula 　　

・命題記号とは、命題を表す記号のこと[野矢]

・命題記号は、
　原子式atomic formula[戸田山p.20,p.25]、
　要素式elementary formula[清水義夫p.9]
　とも呼ばれる。

・命題記号は、命題変数と命題定数に大別される。　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


	【文献】　・戸田山『論理学をつくる』2.1.3(p.20)原子式atomic formula ; 2.2.2 【Lの文法すなわち論理式の定義】(p.25)　　　　　　　　　　・野矢『論理学』1-1-4(p.33).命題記号。1-1-1(p.14)「原子命題」　　・鹿島『数理論理学』3.1(p.40) 　・戸次『数理論理学』3.1.1(p.23)propositional letter　　・高崎金久『数理論理学入門』III. 命題論理の意味論（その１）3.1「命題変数と命題定数を総称して「命題記号」と呼ぶことにする」
	・中谷『論理』1.1.B(p.4)

命題変数　proposision variable　　

・命題変数とは、
　　任意の命題を代入できる文字のこと[中谷(p.4)]。

・命題変数とは、
　　命題一般を形式的に表す
　　　P,Q,R,...　
　　　P₁,P₂,...
　　などの記号のこと[中谷(p.4)]。　　　　　　　　　　


	【文献】　・松本『数理論理学』1.1(p.1)proposition variable 　・戸次『数理論理学』3.1.1(p.23)propositional letter 　・井関『集合と論理』§1.3(p.13)。　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』定義3.1(p.7)「命題変項」
	・中谷『論理』1.1.B(p.4)

命題定数　proposision constant・　　

・命題定数とは、
　　ある定まった命題を表す文字のこと。[中谷(p.4)]　

・たとえば、
　　　恒真命題を表す文字Ｔ,I、
　　　恒偽命題を表す文字⊥,O。[松本]　


	【文献】　・松本『数理論理学』1.1(p.1)proposition constant 　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』定義3.1(p.7)「命題定項」
	・中谷『論理』1.1.B(p.4)

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論理記号logical symbol・論理結合子　logical connective　・結合子　contradiction 　命題結合記号・論理定項・論理演算子

・命題論理において、

　　論理記号logical symbol[野矢p.33;松本p.3;中谷p.3]
　　結合子connectives[清水p.8]、論理結合子[戸田山]
　　命題結合記号[前原p.2]
　
　とは、

　与えられた一つあるいは二つの命題(論理式)を結合し、
　新しい一つの命題(論理式)をつくる演算
　を表す記号
　　　　￢ ,∨ , ∧ , ⇒ , ⇔　　
　のこと。

　* 結合の規則は？→ 論理式の定義

　* 各論理記号は、結合によって
　　《結合前の論理式の真理値》を　
　　　いかなる《結合後の論理式の真理値》に変換する　　　　　
　　ように定義されているのか？
　　→ 論理式の真理値の決定原理　　


	【文献】　・戸田山『論理学をつくる』2.1.3(p.20) 論理結合子logical connective　; 2.2.2 【Lの語彙】(p.25)　;3.1「結合子（論理定項）」(p.37)　　　　　　　・野矢茂樹『論理学』1-1-4(p.33). 論理記号。そのなかに、否定子と結合子がある。　・松本『数理論理学』1.1(p.3)logical symbol. 　・中谷『論理』1.1.A(p.3) 論理記号　・清水『記号論理学』§1.1論理式(p.8)。　・戸次『数理論理学』解説3.17-18(p.26):結合力 "￢" > "∧""∨" > "⇒" > "⇔ ";⇒は右結合:P⇒Q⇒RはP⇒(Q⇒R) 　・前原『記号論理入門』第1章§1(p.2)「命題結合記号」　・高崎金久『数理論理学入門』III. 命題論理の意味論（その１）2.2「論理演算子」;3.1「論理結合子」　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』定義3.1(p.7)「論理記号」

* テキストのなかには、
　　　命題論理の論理記号のうち、￢を除いた∨ , ∧ , ⇒ , ⇔　のみを結合子、
　　　命題論理の論理記号のうち、￢を否定子
　と呼ぶものもある[野矢p.33]　　

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論理式formula, logical formula ・整論理式　 well-formed formula (wff)

【ビギナー向け】

　命題論理において「論理式 formula, logical formula 」とは、
　適切なかたちで、命題を表す文字を論理記号で結び付けたもの[中谷p .3]　

　※これでは、
　　どのようなかたちで、命題を表す文字を論理記号で結び付ければ、
　　「論理式」に認定されるのか
　　という点が不明。
　　この点を明らかにしたのが、下記定義。　

【厳密に】

「論理式の帰納的定義・回帰的定義」

　下記[条件1][条件2]によって、論理式とされるものだけが論理式である。

　　　[条件1]　命題記号[戸次p.21]・原子式[戸田山]は論理式である。

　　　　　　　*　この論理式の真理値は？　→　真理値決定原理(1)　

　　　　　　　*　命題記号・原子式を、命題定数と命題変数にわけて、
　　　　　　　　　　　(1-1)命題定数は論理式である。
　　　　　　　　　　　(1-2)命題変数は論理式である。
　　　　　　　　　としてもよい[松本,岡田]
　　　　　　　　
　　　[条件2]　A,Bが論理式であるならば、A∧B,A∨B,A⇒B,￢Aは論理式である。

　　　　　　　*しつこく言うと、
　　　　　　　　・Aが論理式であるならば、￢Aは論理式である。
　　　　　　　　　　　　*　論理式￢Aの真理値は？　→　《￢論理式》の真理値定義　
　　　　　　　　・A,Bが論理式であるならば、A∧Bは論理式である。
　　　　　　　　　　　　*　論理式A∧Bの真理値は？　→　《論理式∧論理式》の真理値定義　
　　　　　　　　・A,Bが論理式であるならば、A∨B は論理式である。
　　　　　　　　　　　　*　論理式A∨Bの真理値は？　→　《論理式∨論理式》の真理値定義　
　　　　　　　　・A,Bが論理式であるならば、A⇒B は論理式である。
　　　　　　　　　　　　*　論理式A⇒Bの真理値は？　→　《論理式⇒論理式》の真理値定義　

【どういうこと？】

　　　[条件1]における命題記号・原子式を、
　　　　　n個の命題変数P₁,P₂,...,P_n
　　　に限定した、
　　　　n個の命題変数から帰納的に定義される論理式
　　　の説明を参照。
　
【記号】

　　命題変数P₁,P₂,...,P_n　を含む論理式を、A(P₁,P₂,...,P_n)と表す。[中谷] 　　

【略記号】
　　⇔：（A⇒B）∧（B⇒A）の略記号として、（A⇔B）が用いられる。
　　　　　　名称「双条件法biconditional」[戸田山pp.42-3;cf.論理的同値logically equivalentp.50]　
「同値」equivalence[清水p.14≡を使用]
　　　　　　→その真理値表は？
　　　　　
　　∨　：排他的選言(論理和)exclusive disjunction　戸田山p.39;

　* 論理式の真理値は？→ 論理式の真理値の決定原理　

【論理式の分類】
　論理式は、意味論的に（つまり真理値の観点で）、
　　　　恒真式/恒偽式/整合式に分類される。　

【文献】

　・中谷『論理』1.1.A(p.3)
　・戸田山『論理学をつくる』2.1.3(p.20) 論理式well-formed formula;wff」; 2.2.2 【Lの文法すなわち論理式の定義】(p.25);1-1-1(p.14) 「分子命題」　　
　・ジェフリー『記号論理学』1.13形成規則(p.19)
　・野矢『論理学』1-1-4(p .33).論理式。　　　　　
　●松本『数理論理学』1.1(p.2)formula
　・井関『集合と論理』§1.3(p.17)。「命題式」「命題論理式」
　・戸次『数理論理学』3章(p.21)logical formula;解説3.17-18(p.26):結合力 "￢" > "∧""∨" > "⇒" > "⇔ ";⇒は右結合:P⇒Q⇒RはP⇒(Q⇒R)
　・Enderton "A Mathematical Introduction to Logic"1.1(pp.16-19):"a well-formed-formula (or simply formula or wff)"

　・鹿島『数理論理学』3.1(p.40)
　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』定義3.2(p.7)　

　　[戸田山「帰納的定義」;A,Bはメタ論理的変項meta-logical variable図式文字schematic letter。命題記号・原子命題を表すのではなく、論理式を代入する場所である点に注意。] 　　[野矢:(3)は書いてない「回帰的定義」]

* 結合の順序を示すために、( )が使われるが、
　　結合の順序についての下記規則を用いて、( )が省略されることもある。　[戸次解説3.17-18(p.26)]
　　　・ことなる論理記号間の結合の順序：　￢ > ∧ ∨ > ⇒ > ⇔
　　　・⇒は右結合: たとえば、P⇒Q⇒RはP⇒(Q⇒R)
　　　　　[高崎金久『数理論理学入門』III. 命題論理の意味論（その１）-3.2優先順位による括弧の省略は「たとえば p⇒q⇒r を p⇒(q⇒r) の略記法として用いる記法もあるが，これはここでは採用しない」]

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n個の命題変数から帰納的に定義される論理式

ビギナー向け

　n個の命題変数から帰納的に定義される論理式[戸田山p.55]とは、
　《高々n個の命題を表す文字》と《それらを結合する論理記号》だけで表せる論理式　のこと。　　　

厳密な定義

・n個の命題変数P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式[戸田山p.55]とは、

「論理式の帰納的定義・回帰的定義」の[条件1]における命題記号・原子式を、
　　　n個の命題変数P₁,P₂,...,P_n
　に限定したときに、

　「論理式の帰納的定義・回帰的定義」によって定義される論理式のこと。

【具体的には…】
　→1個の命題変数から帰納的に定義される論理式　　
　→2個の命題変数から帰納的に定義される論理式

* 論理式の真理値は？→ 論理式の真理値の決定原理　

【文献】
　●戸田山『論理学をつくる』3.5.1真理値分析とは何をやることだったのか3.5.2真理値割り当て(pp.55-8)：真理値割り当てから、真理値分析でやっていたことを理解すると。。。
　・Enderton "A Mathematical Introduction to Logic"1.1(pp.16-19):"a well-formed-formula (or simply formula or wff)";"the formula-building operations (on expressions)",a wff's"ancestral tree","a construction sequence"(p.17)

　・野矢『論理学』1 -1-4付論2(p.45):5個の命題変数から帰納的に定義される論理式は、全部で42億9496万7296通りにのぼる。　
　

・つまり、
　「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」とは、
　下記[条件1][条件2]によって「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」と認定されたもの。

　　　　[条件1]　命題変数P₁,P₂,...,P_nの各々は「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」である。

　　　　　　　*　この論理式の真理値は？　→　真理値決定原理(1)　

　　　　[条件2]　A,Bが「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」であるならば、
　　　　　　　　　　A∧B,A∨B,A⇒B,￢Aは「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」である。

　　　　　　　*しつこく言うと、
　　　　　　　　・Aが「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」であるならば、￢Aは「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」である。
　　　　　　　　　　　　*　￢Aの真理値は？　→　《￢論理式》の真理値定義　
　　　　　　　　・A,Bが「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」であるならば、A∧Bは「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」である。
　　　　　　　　　　　　*　A∧Bの真理値は？　→　《論理式∧論理式》の真理値定義　
　　　　　　　　・A,Bが「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」であるならば、A∨B は「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」である。
　　　　　　　　　　　　*　A∨Bの真理値は？　→　《論理式∨論理式》の真理値定義　
　　　　　　　　・A,Bが「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」であるならば、A⇒B は「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」である。
　　　　　　　　　　　　*　A⇒Bの真理値は？　→　《論理式⇒論理式》の真理値定義　

厳密な定義を具体的に展開

・「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」の上記定義は、
　　　・個々の「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」は、下記プロセスの各ステップによって認定されていくこと、
　　　・「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」と認定される対象の全範囲は、
　　　　　下記プロセスの無限継続の果てに「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」と認定された対象の全軌跡であること
　を意味している。

・下記プロセスは、
　　　　(step1)で[条件1]によって「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」のタネを蒔き、
　　　　(step2)以降で繰り返し[条件2]を適用することで、「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」を増殖させていく
　という過程になっている。

・下記プロセスを(step-n)まで継続すると、
　　「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」と認定される範囲は、
　　　最もシンプルなかたちの《P₁,P₂,...,P_nすべてを含む論理式》に到達する。
　より複雑なかたちの《P₁,P₂,...,P_nすべてを含む論理式》であっても、その複雑さに見合うまで下記プロセスを継続すれば、
　　　そこまで、「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」と認定される範囲は、到達する。
　だから、下記プロセスの無限継続の果てに「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」と認定される範囲は、
　　　　あらゆる《P₁,P₂,...,P_nすべてを含む論理式》をカバーする。

【認定プロセス】
　　
　・[条件1]より、 P₁,P₂,...,P_nの各々を「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step1)　

　　　　* ここで認定されたP₁,P₂,...,P_nの各々の真理値は、真理値決定原理(1)によって定まる。　

　・《(step1)で「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」に認定された P₁,P₂,...,P_n》の各々を、
　　かわるがわる[条件2]の A,B に代入し、
　　代入するたび毎に、　
　　　　　　　A∧B,A∨B,A⇒B,￢Aが表す対象　　（その列挙は省略）
　　を、
　　「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step2)

　　　　* 　(step2)での認定と同時に、
　　　　　　　真理値決定原理(2-1)～(2-4)に従って、
　　　　　　　(step2)で認定された「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」の真理値が、
　　　　　　　(step1)で認定され、真理値も確定した「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」をもとに、
　　　　　　　定まる。　

　・(step1)(step2)で認定された「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」の各々を、
　　かわるがわる[条件2]の A,B に代入し、
　　代入するたび毎に、　
　　　　　　　A∧B,A∨B,A⇒B,￢Aが表す対象　　（その列挙は省略）
　　を、「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step3)

　　　　* 　(step3)での認定と同時に、
　　　　　　　真理値決定原理(2-1)～(2-4)に従って、
　　　　　　(step3)で認定された「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」の真理値が、
　　　　　　　(step1)(step2)で認定され、真理値も確定した「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」をもとに、
　　　　　　定まる。　

　・(step1)(step2)(step3)で認定された「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」の各々を、
　　かわるがわる[条件2]の A,B に代入し、
　　代入するたび毎に、　
　　　　　　　A∧B,A∨B,A⇒B,￢Aが表す対象　　（その列挙は省略）
　　を、「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step4)

　　　　* 　(step4)での認定と同時に、
　　　　　　　真理値決定原理(2-1)～(2-4)に従って、
　　　　　　(step4)で認定された「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」の真理値が、
　　　　　　　(step1)(step2)(step3)で認定され、真理値も確定した「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」をもとに、
　　　　　　定まる。　
　
　・(step1)(step2)(step3)(step4)で認定された「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」の各々を、
　　かわるがわる[条件2]の A,B に代入し、
　　代入するたび毎に、　
　　　　　　　A∧B,A∨B,A⇒B,￢Aが表す対象　　（その列挙は省略）
　　を、「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step5)

　：
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【具体的には…】
　→1個の命題変数から帰納的に定義される論理式　　
　→2個の命題変数から帰納的に定義される論理式

論理式の形成木　formation tree, ancestral tree

・論理式A(P₁,P₂,...,P_n)の形成木formation tree とは、

　　A(P₁,P₂,...,P_n)が「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」に認定されるに至ったプロセスを、

　　P₁,P₂,...,P_nの認定ステップから、
　　A(P₁,P₂,...,P_n)そのものの認定ステップまで、
　　再現してたどり直し、
　　各ステップで認定した「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」を特定した履歴のこと。

【具体的には…】
　→1個の命題変数を含む論理式の形成木　　
　→2個の命題変数を含む論理式の形成木


	【文献】　●戸田山『論理学をつくる』2.2.2(p.26);3.5.2真理値割り当て(p.57) 　・Enderton "A Mathematical Introduction to Logic"1.1(pp.16-19):"a well-formed-formula (or simply formula or wff)";"the formula-building operations (on expressions)",a wff's"ancestral tree","a construction sequence"(p.17)

【例】論理式　((P₁∨P₂)⇒(P₁∧P₂))⇒P₁ の形成木とは、
　　　　((P₁∨P₂)⇒(P₁∧P₂))⇒P₁ が論理式に認定されるに至った下記プロセスのこと。　

　・[条件1]より、 P₁,P₂の各々を「P₁,P₂から帰納的に定義される論理式」に認定。…(step1)　

　　　　* ここでの認定されたP₁,P₂の各々の真理値は、真理値決定原理(1)によって定まる。　

　・(step1)で「P₁,P₂から帰納的に定義される論理式」に認定された P₁,P₂を、[条件2]の「A∨B」の A,B に代入した「P₁∨P₂」
　　(step1)で「P₁,P₂から帰納的に定義される論理式」に認定された P₁,P₂を、[条件2]の「A∧B」の A,B に代入した「P₁∧P₂」
　　を、
　　「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step2)

　　　　* 　(step2)での認定と同時に、
　　　　　　　真理値決定原理(2-1)～(2-4)に従って、
　　　　　　　(step2)で認定された「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」の真理値が、
　　　　　　　(step1)で認定され、真理値も確定した「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」をもとに、
　　　　　　　定まる。　

　・(step2)で「P₁,P₂から帰納的に定義される論理式」に認定された「P₁∨P₂」「P₁∧P₂」を[条件2]の「A⇒B」の A,B に代入した(P₁∨P₂)⇒(P₁∧P₂)を「P₁,P₂から帰納的に定義される論理式」に認定。…(step3)

　　　　* 　(step3)での認定と同時に、
　　　　　　　真理値決定原理(2-1)～(2-4)に従って、
　　　　　　(step3)で認定された「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」の真理値が、
　　　　　　　(step1)(step2)で認定され、真理値も確定した「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」をもとに、
　　　　　　定まる。　

　・(step1)(step3)で「P₁,P₂から帰納的に定義される論理式」に認定された「(P₁∨P₂)⇒(P₁∧P₂)」「P₁」を、
　　[条件2]の「A⇒B」の A,B に代入した「((P₁∨P₂)⇒(P₁∧P₂))⇒P₁ 」を、
　　「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」に認定。…(step4)

　　　　* 　(step4)での認定と同時に、
　　　　　　　真理値決定原理(2-1)～(2-4)に従って、
　　　　　　(step4)で認定された「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」の真理値が、
　　　　　　　(step1)(step2)(step3)で認定され、真理値も確定した「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」をもとに、
　　　　　　定まる。　

部分論理式　subformula

・論理式A(P₁,P₂,...,P_n)の部分論理式subformula とは、

　　　　A(P₁,P₂,...,P_n)の形成木の各ステップで認定した「P₁,P₂,...,P_nから帰納的に定義される論理式」　　

　のこと。

・戸田山は、
　　論理式A(P₁,P₂,...,P_n) そのものは、「論理式A(P₁,P₂,...,P_n)の部分論理式」と呼ばない
　としているが、

　松本は、
　　論理式A(P₁,P₂,...,P_n) そのものも含めて、「論理式A(P₁,P₂,...,P_n)の部分論理式」と呼ぶ
　と明言している。

【具体的には…】
　→1個の命題変数を含む論理式の部分論理式　　
　→2個の命題変数を含む論理式の部分論理式


	【文献】　●戸田山『論理学をつくる』2.2.5(p.34) 　・松本『数理論理学』1.1(p.3)

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命題論理 propositional logic の論理式 ： トピック一覧

命題記号propositional letter・原子式 atomic formula

命題変数 proposision variable

命題定数 proposision constant・

論理記号logical symbol・論理結合子 logical connective ・結合子 contradiction 命題結合記号・論理定項・論理演算子

論理式formula, logical formula ・整論理式 well-formed formula (wff)

n個の命題変数から帰納的に定義される論理式

ビギナー向け

厳密な定義

厳密な定義を具体的に展開

論理式の形成木 formation tree, ancestral tree

部分論理式 subformula

命題論理 propositional logic の論理式　：　トピック一覧　　

命題記号propositional letter・原子式 atomic formula 　　

命題変数　proposision variable　　

命題定数　proposision constant・　　

論理記号logical symbol・論理結合子　logical connective　・結合子　contradiction 　命題結合記号・論理定項・論理演算子

論理式formula, logical formula ・整論理式　 well-formed formula (wff)

論理式の形成木　formation tree, ancestral tree

部分論理式　subformula