【証明】( ¬(A∧B) ) ⇒ (¬A)∨(¬B) |
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命題論理の形式的体系「自然演繹」に準拠した操作 端的には、 ・仮定の書き出し ・推論規則「∧導入則」による書き換え ・推論規則「∨導入則」による書き換え ・推論規則「∨除去則」による書き換え ・推論規則「¬導入則」による書き換え ・推論規則「¬除去則」による書き換え ・推論規則「¬¬除去則」による書き換え ・推論規則「⇒導入則」による書き換え のみで、 論理式「( ¬(A∧B) ) ⇒ (¬A)∨(¬B)」が得られる ことを示す。[前原p.184] → step01 / step02 / step03 / step04 / step05 → step06 / step07 / step08 / step09 / step10 → step11 / step12 / step13 / step14 / step15 [step1]自然演繹で認められた操作(2)仮定の書き出し・論理式「A」を仮定1として書き出す。・論理式「B」を仮定2として書き出す。
[step2]自然演繹で認められた操作(3)推論規則による書き換え・推論規則「∧導入則」にしたがって、仮定1「A」 仮定2「B」 を 「A∧B」 へ書き換える。 ・推論規則「∧導入則」の規定により、 書き換え後に引き継がれる仮定は、書き換え前の仮定のすべてとなるから、 書き換え後の「A∧B」は、仮定1「A」 仮定2「B」 のもとにある。 ・これで、推論規則「∧導入則」による書き換えで、 ・仮定1「A」 ・仮定2「B」 から、 「仮定1『A』仮定2『A』のもとで『A∧B』」 が、導出されたことになる。
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仮定1 A | 仮定2 B | ||
| 仮定3 |
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A∧B | ||||
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仮定1 A | 仮定2 B | |||
| 仮定3 | ||||
A∧B | |||||
| ¬除去 |
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⋏ |
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[仮定1] [A] | 仮定2 B | |||
| 仮定3 | ||||
A∧B | |||||
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⋏ | |||||
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¬導入 仮定1を解消 | ||||
¬A |
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[仮定1] [A] | 仮定2 B | |||
| 仮定3 | ||||
A∧B | |||||
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⋏ | |||||
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¬導入 仮定1を解消 | ||||
¬A | |||||
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(¬A)∨(¬B) |
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[仮定1] [A] | 仮定2 B | ||||
| 仮定3 | |||||
A∧B | ||||||
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⋏ | ||||||
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¬導入 仮定1を解消 | |||||
¬A | ||||||
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仮定4 |
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(¬A)∨(¬B) | ||||||
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[仮定1] [A] | 仮定2 B | |||||
| 仮定3 | ||||||
A∧B | |||||||
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⋏ | |||||||
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¬導入 仮定1を解消 | ||||||
¬A | |||||||
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仮定4 |
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(¬A)∨(¬B) | |||||||
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⋏ |
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[仮定1] [A] |
[仮定2] [B] | |||||
| 仮定3 | ||||||
A∧B | |||||||
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⋏ | |||||||
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¬導入 仮定1を解消 | ||||||
¬A | |||||||
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仮定4 |
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(¬A)∨(¬B) | |||||||
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⋏ | |||||||
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¬導入 仮定2を解消 |
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¬B |
→ ド・モルガン則 |
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[仮定1] [A] |
[仮定2] [B] | |||||
| 仮定3 | ||||||
A∧B | |||||||
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⋏ | |||||||
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¬導入 仮定1を解消 | ||||||
¬A | |||||||
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仮定4 |
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(¬A)∨(¬B) | |||||||
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⋏ | |||||||
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¬導入 仮定2を解消 |
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¬B | |||||||
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(¬A)∨(¬B) |
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[仮定1] [A] |
[仮定2] [B] | ||||||
| 仮定3 | |||||||
A∧B | ||||||||
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⋏ | ||||||||
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¬導入 仮定1を解消 | |||||||
¬A | ||||||||
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仮定4 |
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(¬A)∨(¬B) | ||||||||
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⋏ | ||||||||
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¬導入 仮定2を解消 | |||||||
¬B | ||||||||
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仮定4 |
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(¬A)∨(¬B) | ||||||||
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[仮定1] [A] |
[仮定2] [B] | |||||||
| 仮定3 | ||||||||
A∧B | |||||||||
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⋏ | |||||||||
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¬導入 仮定1を解消 | ||||||||
¬A | |||||||||
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仮定4 |
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(¬A)∨(¬B) | |||||||||
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⋏ | |||||||||
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¬導入 仮定2を解消 | ||||||||
¬B | |||||||||
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仮定4 | ||||||||
(¬A)∨(¬B) | |||||||||
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⋏ |
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[仮定1] [A] |
[仮定2] [B] | ||||||||
| 仮定3 | |||||||||
A∧B | ||||||||||
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⋏ | ||||||||||
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¬導入 仮定1を解消 | |||||||||
¬A | ||||||||||
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[仮定4] |
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(¬A)∨(¬B) | ||||||||||
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⋏ | ||||||||||
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¬導入 仮定2を解消 | |||||||||
¬B | ||||||||||
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[仮定4] | |||||||||
(¬A)∨(¬B) | ||||||||||
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⋏ | ||||||||||
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¬¬((¬A)∨(¬B)) |
→ ド・モルガン則 |
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[仮定1] [A] |
[仮定2] [B] | ||||||||
| 仮定3 | |||||||||
A∧B | ||||||||||
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⋏ | ||||||||||
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¬導入 仮定1を解消 | |||||||||
¬A | ||||||||||
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[仮定4] |
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(¬A)∨(¬B) | ||||||||||
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⋏ | ||||||||||
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¬導入 仮定2を解消 | |||||||||
¬B | ||||||||||
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[仮定4] | |||||||||
(¬A)∨(¬B) | ||||||||||
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⋏ | ||||||||||
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¬¬((¬A)∨(¬B)) | ||||||||||
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¬¬除去則 |
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(¬A)∨(¬B) |
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[仮定1] [A] |
[仮定2] [B] | ||||||||
| 仮定3 | |||||||||
A∧B | ||||||||||
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⋏ | ||||||||||
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¬導入 仮定1を解消 | |||||||||
¬A | ||||||||||
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[仮定4] |
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(¬A)∨(¬B) | ||||||||||
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⋏ | ||||||||||
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¬導入 仮定2を解消 | |||||||||
¬B | ||||||||||
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[仮定4] | |||||||||
(¬A)∨(¬B) | ||||||||||
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⋏ | ||||||||||
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¬¬((¬A)∨(¬B)) | ||||||||||
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¬¬除去則 |
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(¬A)∨(¬B) | ||||||||||
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(⇒導入則)仮定3を解消 |
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( ¬(A∧B) ) ⇒ (¬A)∨(¬B) |
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