命題論理の自然演繹における諸定理 【10】ド・モルガンの法則 の証明(4)


【証明】(¬A)(¬B)  ( ¬(AB) ) [前原pp.107-8]

 →step01
 →step02
 →step03
 →step04
 →step05
 →step06
 →step07
 →step08


[step1]
  
 仮定1 
  (¬A)∧(¬B)   







【文献】
 ・野矢『論理学』1-2-3-LP-命題論理の諸定理-定理9(1-a)(1-b)(2-a)(2-b)(p.70);付録-定理9(1-a)(1-b)(2-a)(2-b)(pp.218-9):二項目とも両方向。
 ・戸田山『論理学をつくる』練習問題69(p.230);9.3.1-9.3.2(pp.233-5)練習問題71(1)(p.235):
 ・前原『記号論理入門』6章§1問(pp.107-8)( ¬(AB) ) (¬A)(¬B) ;解答(p.184)( ¬(AB) ) (¬A)(¬B)
 ・van Dalen,Logic and Structure(3rd ed.) 1.6(p.52)
 ・高崎金久『数理論理学入門VII.2.2基本的な恒真式・演繹関係を形式的に確かめること[例4][例5];3.1排中律に依存する定理と依存しない定理


 
   



[step2]

  

仮定1
(¬A)(¬B)


仮定1
(¬A)(¬B)




(∧除去) 


(∧除去) 


¬A
¬B



[step3]

  

仮定1
(¬A)(¬B)



仮定1
(¬A)(¬B)



 仮定2 


(∧除去) 

 仮定3 


(∧除去) 


A

¬A

B

¬B







[step4]

  

仮定1
(¬A)(¬B)



仮定1
(¬A)(¬B)



 仮定2 


(∧除去) 

 仮定3 


(∧除去) 


A

¬A

 B 

¬B


(¬除去)  


(¬除去)  






[step5]

  


仮定1
(¬A)(¬B)



仮定1
(¬A)(¬B)




 仮定2 


(∧除去) 

 仮定3 


(∧除去) 



A

¬A

 B 

¬B

 仮定4


(¬除去)  


(¬除去)  


AB



[step6]

  


仮定1
(¬A)(¬B)



仮定1
(¬A)(¬B)




 [仮定2] 


(∧除去) 

 [仮定3] 


(∧除去) 



[A]

¬A

 [B] 

¬B

 仮定4


(¬除去)  


(¬除去)  


AB



(∨除去) 仮定2仮定3を解消






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[step7]

  


仮定1
(¬A)(¬B)



仮定1
(¬A)(¬B)




 [仮定2] 


(∧除去) 

 [仮定3] 


(∧除去) 



[A]

¬A

 [B] 

¬B

 [仮定4]  


(¬除去)  


(¬除去)  


 [AB]  



(∨除去) 仮定2仮定3を解消





(¬導入) 仮定4を解消

¬(AB)



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[step8]

  


仮定1
(¬A)(¬B)



仮定1
(¬A)(¬B)




 [仮定2] 


(∧除去) 

 [仮定3] 


(∧除去) 



[A]

¬A

 [B] 

¬B

 [仮定4]  


(¬除去)  


(¬除去)  


 [AB]  



(∨除去) 仮定2仮定3を解消





(¬導入) 仮定4を解消

¬(AB)


(⇒導入)仮定1を解消

(¬A)(¬B)  ( ¬(AB) )


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