※真理値表をみるとわかるように、A⇒B は、「 AならばB 」という語感と異なって、Aが成り立たないときは、いつでも、A ⇒ B が成立する（真である）ように定義されている。
　　　　つまり、「A⇒B 」は、実は、( ¬A ) ∨ B　「Aが成り立たない、または、Bがなりたつ」である。　
　　※背理法による証明は、このことを根拠とする。　[中内『ろんりの練習帳』65]　
　　※「いかなる集合Aに対しても、φ⊂A」は、このことを根拠とする。

「A⇒B」の歴史

　・井関『集合と論理』(p.16:脚注1)によれば、このように「ならば」の定義を定式化したのは、米国のパース C.Peirce (1839-1914)。　
　・中谷『論理』2.1 条件文 (2.2)　(p.30)は、このような「ならば」の定義は、古代ギリシアのメガラ-ストア学派によって開拓されたと指摘。

含意の命題「AならばB」A⇒Bの具体例

【例】　20xx年某国で原発事故発生、不安にかられた某国国民の世論に押されて、某国政府は国内すべての原発の稼働停止に追い込まれた。
　　　1年後、某国首相は、「●●原発が安全であるならば、●●原発を再稼働する」と宣言、
　　　数週間後、某国首相は、実際に●●原発再稼働を実行した。
　　　ところが…
　　　「●●原発が安全」ではないことが、最悪のかたちで露呈！
　　　「安全でないのに再稼働しただろ！　この嘘つき！　デマ野郎！」と罵る世論。
　　　これに対し、首相は、胸を張って断言。「ワタクシは嘘をついておりません。」

　　　[問1]　首相は嘘をついたのだろうか？
　　　[問2]　首相が「●●原発が安全であるならば、●●原発を再稼働する」という宣言に背いたと言えるのは、いかなる行動を首相がとった場合だろうか？
　　　[問3]　「●●原発が安全であるならば、●●原発を再稼働する」という宣言を他の表現に言い換えたら、どうなるだろうか？

　　　[答1]　首相は嘘をついていない。

　　　　　「●●原発が安全であるならば、●●原発を再稼働する」の真理値表を書き出してみよう。　

　　　　　・真理値表から明らかなように、
　　　　　　「●●原発が安全」でない場合、「●●原発を再稼働」しても、「●●原発が安全であるならば、●●原発を再稼働する」は真。
　　　　　　だから、
　　　　　　首相が「●●原発が安全」でない場合に、「●●原発を再稼働」したところで、自らの宣言に背いたことにはならない。
　　　　　・ちなみに、「●●原発が安全」でない場合に、「●●原発を再稼働」しないとしても、「●●原発が安全であるならば、●●原発を再稼働する」は真。
　　　　　・そもそも、「●●原発が安全であるならば、●●原発を再稼働する」という宣言は、
　　　　　　　　　「●●原発が安全」でない場合の「●●原発再稼働」の有無について、何ら言及するものでないのだ。

　　　[問2]
　　　　　・真理値表をみると、「●●原発が安全であるならば、●●原発を再稼働する」という宣言が偽になりうるのは、
　　　　　　　「●●原発が安全」であるのに、「●●原発を再稼働」しないケースだけ。
　　　　　・だから、首相が、「●●原発が安全であるならば、●●原発を再稼働する」という宣言に背いたといえるのは、
　　　　　　　　　　「●●原発が安全」であるのに、「●●原発を再稼働」しなかった場合だけである。
　　　　　・つまり、「●●原発が安全であるならば、●●原発を再稼働する」という宣言は、
　　　　　　　　　　「●●原発が安全であるのに、●●原発を再稼働しない」という選択の否定を表明したただけだ
　　　　　　ということになる。

　　　[問3]　　「●●原発が安全であるならば、●●原発を再稼働する」の言い換え
　　　　　　　　　　(表現4)　「『《●●原発は安全》かつ《●●原発を再稼働しない》』ということはない」　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　つまり、「●●原発が安全であるのに、●●原発を再稼働しない」という選択肢を否定。
　　　　　　　　　　(表現2)　「●●原発を再稼働しないならば、●●原発は安全でない 」　　　
　　　　　　　　　　(表現3)　「●●原発は安全でない、または、●●原発を再稼働する」
　　　　　　　　　　　　　　　　　つまり、　●●原発は、安全でない、か、再稼働するか、のいずれか一方、あるいは、その両方に該当する。　　

「A⇒B」と十分条件・必要条件との関連

　同じことをベン図でも考えてみよう。
　　　
　「A ⇒ B」という命題が成立しないのは、上のベン図のグレーの部分(真理値表2行目)、
　「A ⇒ B」という命題が成立するのは、それ以外のすべての領域(真理値表1・3・4行目)である。
　だから、
　「A ⇒ B」という命題が成り立っている(真である) (真理値表1・3・4行目)と仮定するならば、
　その仮定のもとでは、
　上のベン図のグレーの部分(真理値表2行目)はそもそもありえないということになるので、
　グレーの部分を削除したベン図で考えるのが妥当となる。
　グレーの部分が存在しえないようにベン図を書きなおすと、
　「Aが成立するケース」⊂「Bが成立するケース」とせざるをえないので、
　教科書等でよく見かける下の図になる。
　　　
　以上からわかるように、
　「A ⇒ B」という命題が成り立っている(真である)との仮定のもとでは、
　Aが成り立つ(真である)ならば、つねに、Bも成り立つが(真理値表1行目)、
　Bが成り立つ(真である)からといって、Aがなりたつとも限らない(真理値表2-3行目)
　ということになる。
　「A ⇒ B」という命題が成り立っている(真である)ならば、
　AをBの「十分条件」、BをAの「必要条件」と呼ぶのは、
　このような意味においてである。

「A⇒B」の証明

関連事項