命題論理の自然演繹における定理・派生推論規則  【5】冪等律 idempotent law の証明　

【定理としての冪等律】
　「( A∧A )⇔A。つまり、1-1.( A∧A ) ⇒ A。1-2.A　⇒　( A∧A )。(Aは任意の論理式(命題変数単体に限らない)」は、
　　　命題論理における自然演繹の定理。　→【証明:1-1】(A∧A) ⇒ A /【証明:1-2】A　⇒　( A∧A )　　

[step1]自然演繹で認められた操作(2)仮定の書き出し

[step2]自然演繹で認められた操作(3)推論規則による書き換え

・推論規則「∧除去則」にしたがって、
　　　「A∧A」を「A」へ書き換える。
・推論規則「∧除去則」により、
　書き換え後に引き継がれる仮定は、書き換え前の仮定のすべてとなるから、
　書き換え後の「A」は、仮定1「A∧A」 のもとにある。
・これで、推論規則「∧除去則」による書き換えによって、
　仮定1「A∧A」から、
　「仮定1『A∧A』のもとで『A』」
　が導出されたことになる。

[step3]自然演繹で認められた操作(3)推論規則による書き換え

・推論規則「⇒導入則」にしたがって、「仮定1『A∧A』のもとでの『A』」を「A∧A ⇒ A」へ書き換える。
・推論規則「⇒導入則」の規定にしたがうと、
　　　「A∧A ⇒ A」に書き換え後に引き継がれる仮定は、
　　　書き換え前の仮定「A∧A」から、仮定「A∧A」を差し引いた分だけとなるから、　　　
　　　「A∧A ⇒ A」への書き換え後に仮定はすべて差し引かれてなくなってしまい、
　　　　仮定なしの「A∧A ⇒ A」が得られる。
・これで、推論規則「⇒導入則」による書き換えで、
　　「仮定1『A∧A』のもとで『A』」から、
　　仮定なしの「A∧A ⇒ A」が導出されたことになる。

【証明:1-2】 「AからA∧Aを導出(推論)してよい」「A　⇒　( A∧A )」

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　→step02
　→step03
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[step1]自然演繹で認められた操作(2)仮定の書き出し

[step2]自然演繹で認められた操作(3)推論規則による書き換え

・推論規則「∧導入則」にしたがって、「A」「A」 を「A∧A」へ書き換える。

・推論規則「∧導入則」の規定により、
　　　書き換え後に引き継がれる仮定は、書き換え前の仮定のすべてとなるから、
　　　 書き換え後の「A∧A」は、仮定1「A」 のもとにある。

・これで、推論規則「∧導入則」による書き換えで、
　　仮定1「A」から、
　　「仮定1『A』のもとで『A∧A』」が、
　　導出されたことになる。

[step3]自然演繹で認められた操作(3)推論規則による書き換え

・推論規則「⇒導入則」にしたがって、「仮定1『A』のもとで『A∧A』」を「A ⇒ A∧A」へ書き換える。
・推論規則「⇒導入則」の規定にしたがうと、
　　　「A ⇒ A∧A」への書き換え後に引き継がれる仮定は、
　　　書き換え前の仮定「A」から、仮定「A」を差し引いた分だけとなるから、　　　
　　　「A ⇒ A∧A」への書き換え後に仮定はすべて差し引かれてなくなってしまい、
　　　　仮定なしの「A ⇒ A∧A」が得られる。
・これで、推論規則「⇒導入則」による書き換えで、
　　「仮定1『A』のもとで『A∧A』」から、
　　仮定なしの「A ⇒ A∧A」が導出されたことになる。