命題論理の自然演繹における諸定理 【10】ド・モルガンの法則　の証明(2)

【証明】(¬A)∨(¬B) 　⇒　( ¬(A∧B) ) [前原pp.107-8]

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[step1]

　　
 　仮定1　
　　　A∧B　　　　






【文献】
　・野矢『論理学』1-2-3-LP-命題論理の諸定理-定理9(1-a)(1-b)(2-a)(2-b)(p.70);付録-定理9(1-a)(1-b)(2-a)(2-b)(pp.218-9):二項目とも両方向。
　・戸田山『論理学をつくる』練習問題69(p.230);9.3.1-9.3.2(pp.233-5)練習問題71(1)(p.235):
　・前原『記号論理入門』6章§1問(pp.107-8)( ¬(A∨B) )⇔ (¬A)∧(¬B) ;解答(p.184)( ¬(A∧B) )⇔ (¬A)∨(¬B)
　・van Dalen,Logic and Structure(3rd ed.) 1.6(p.52)
　・高崎金久『数理論理学入門』VII.2.2基本的な恒真式・演繹関係を形式的に確かめること[例4][例5];3.1排中律に依存する定理と依存しない定理

　
　　　


[step2]


　　

仮定1
A∧B

仮定1
A∧B

∧除去　

∧除去　

A
B



[step3]

　　

仮定1
A∧B

仮定1
A∧B


∧除去　

　仮定2　

∧除去　

　仮定3　

A
¬A
B
¬B

　　



[step4]

　　

仮定1
A∧B

仮定1
A∧B



∧除去　

　仮定2　

∧除去　

　仮定3　

A
¬A
B
¬B

(¬除去)　　

(¬除去)　　

⋏
⋏

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[step5]
　　

仮定1
A∧B

仮定1
A∧B





∧除去　

　仮定2　

∧除去　

　仮定3　



A
¬A
B
¬B

仮定4

(¬除去)　　

(¬除去)　　
　

(¬A)∨(¬B)

 　
 ⋏
⋏


[step6]
　　

仮定1
A∧B

仮定1
A∧B





∧除去　

　[仮定2]　

∧除去　

　[仮定3]　



A
[¬A]
B
[¬B]

仮定4

(¬除去)　　

(¬除去)　　
　

(¬A)∨(¬B)

 　
 ⋏
⋏

(∨除去) 仮定2仮定3を解消

⋏


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[step7]
　　

[仮定1]
[A∧B]

[仮定1]
[A∧B]





∧除去　

　[仮定2]　

∧除去　

　[仮定3]　



A
[¬A]
B
[¬B]

仮定4

(¬除去)　　

(¬除去)　　
　

(¬A)∨(¬B)

 　
 ⋏
⋏

(∨除去) 仮定2仮定3を解消

⋏

(¬導入) 仮定1を解消

¬(A∧B)



[step8]




　　

[仮定1]
[A∧B]

[仮定1]
[A∧B]





∧除去　

　[仮定2]　

∧除去　

　[仮定3]　



A
[¬A]
B
[¬B]

[仮定4]

(¬除去)　　

(¬除去)　　
　

　[(¬A)∨(¬B)]

 　
 ⋏
⋏

(∨除去) 仮定2仮定3を解消

⋏

(¬導入) 仮定1を解消

¬(A∧B)

(⇒導入)仮定4を解消

(¬A)∨(¬B) 　⇒　( ¬(A∧B) )

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