命題論理の自然演繹　：　ド・モルガンの法則の証明　[数学についてのwebノート]

命題論理の自然演繹における諸定理【10】ド・モルガンの法則　の証明(3)

【証明】( ￢(A∨B) ) ⇒ (￢A)∧(￢B) [前原p.107]

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[step1]

　　

　仮定1　
　A　　

　

仮定2
　　B　　


	【文献】　・野矢『論理学』1-2-3-LP-命題論理の諸定理-定理9(1-a)(1-b)(2-a)(2-b)(p.70);付録-定理9(1-a)(1-b)(2-a)(2-b)(pp.218-9):二項目とも両方向。　・戸田山『論理学をつくる』練習問題69(p.230);9.3.1-9.3.2(pp.233-5)練習問題71(1)(p.235): 　・前原『記号論理入門』6章§1問(pp.107-8)( ￢(A∨B) )⇔ (￢A)∧(￢B) ;解答(p.184)( ￢(A∧B) )⇔ (￢A)∨(￢B) 　・van Dalen,Logic and Structure(3rd ed.) 1.6(p.52) 　・高崎金久『数理論理学入門』VII.2.2基本的な恒真式・演繹関係を形式的に確かめること[例4][例5];3.1排中律に依存する定理と依存しない定理

　　　

[step2]

	仮定1　　A		仮定2 　　B
		(∨導入)		(∨導入)
	A∨B		A∨B

[step3]

	仮定1　　A				仮定2 　　B
		(∨導入)	仮定3			(∨導入)	仮定3
	A∨B		￢(A∨B)		A∨B		￢(A∨B)

[step4]

	仮定1　　A				仮定2 　　B
		(∨導入)	仮定3			(∨導入)	仮定3
	A∨B		￢(A∨B)		A∨B		￢(A∨B)
				(￢除去)				(￢除去)
		⋏				⋏

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[step5]

	[仮定1]　　[A]				[仮定2] 　　[B]
		(∨導入)	仮定3			(∨導入)	仮定3
	A∨B		￢(A∨B)		A∨B		￢(A∨B)
				(￢除去)				(￢除去)
		⋏				⋏
			(￢導入仮定1を解消)				(￢導入仮定2を解消)
		￢A				￢B

[step6]

	[仮定1]　　[A]				[仮定2] 　　[B]
		(∨導入)	仮定3			(∨導入)	仮定3
	A∨B		￢(A∨B)		A∨B		￢(A∨B)
				(￢除去)				(￢除去)
		⋏				⋏
			(￢導入仮定1を解消)				(￢導入仮定2を解消)
		￢A				￢B
							(∧導入)
			(￢A)∧(￢B)

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[step7]

	[仮定1]　　[A]				[仮定2] 　　[B]
		(∨導入)	[仮定3]			(∨導入)	[仮定3]
	A∨B		[￢(A∨B)]		A∨B		[￢(A∨B)]
				(￢除去)				(￢除去)
		⋏				⋏
			(￢導入仮定1を解消)				(￢導入仮定2を解消)
		￢A				￢B
							(∧導入)
			(￢A)∧(￢B)
							(⇒導入則)仮定3を解消
		( ￢(A∨B) ) ⇒ (￢A)∧(￢B)

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