【派生推論規則と
しての交換律1-2】 |
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【定理としての交換律1-2】
「A,Bに、どのような論理式(命題変数単体に限らない)をいれても、( B∧A ) ⇒ ( A∧B ) 」は、
命題論理における自然演繹の定理。→【証明:1-2】
【証明1-2】( B∧A ) ⇒ ( A∧B ) |
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(1)
が得られること (2) 命題論理の形式的体系「自然演繹」に準拠した操作 端的には、 ・仮定の書き出し ・推論規則「∧除去則」による書き換え ・推論規則「∧導入則」による書き換え ・推論規則「⇒導入則」による書き換え のみで、 論理式「(A∧A) ⇒ A」が得られること を示す。 [前原『記号論理入門』7章§1.2 (p.119)] * 証明 → step01 / step02 / step03 / step04 * トピック冒頭→ 派生推論規則と しての交換律 / 定理としての交換律 * トピック一覧→ 自然演繹の派生推論規則一覧 / 自然演繹の定理一覧 [step1]自然演繹で認められた操作(2)仮定の書き出し・論理式「B∧A」を仮定1として、書き出す。
[step2] 自然演繹で認められた操作(3)推論規則による書き換え ・推論規則「∧除去則」にしたがって、
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戸田山『論理学をつくる』は、交換律を(A∧B)⇒(B∧A),(A∨B)⇒(B∨A)としている。 |
・推論規則「∧導入則」にしたがって、
「仮定1「B∧A」のもとで『A』」
「仮定1「B∧A」のもとで『B』」
を
「A∧B」
へ書き換える。
・推論規則「∧導入則」の規定により、
書き換え後に引き継がれる仮定は、書き換え前の仮定のすべてとなるから、
書き換え後の「A∧B」は、仮定1「B∧A」
のもとにある。
・これで、推論規則「∧導入則」による書き換えで、
「仮定1「B∧A」のもとで『A』」
「仮定1「B∧A」のもとで『B』」
から、
「仮定1『B∧A』のもとで『A∧B』」
が、導出されたことになる。
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(∧導入) |
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A∧B |
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B∧A |
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A∧B |
は以上で得られた。
・推論規則「⇒導入則」にしたがって、「仮定1『B∧A』のもとで『A∧B』」を「B∧A ⇒ A∧B」へ書き換える。
・推論規則「⇒導入則」の規定にしたがうと、
「B∧A ⇒ A∧B」への書き換え後に引き継がれる仮定は、
書き換え前の仮定「B∧A」から、仮定「B∧A」を差し引いた分だけとなるから、
「B∧A ⇒ A∧B」への書き換え後に仮定はすべて差し引かれてなくなって
しまい、
仮定なしの「B∧A ⇒ A∧B」が得られる。
・これで、推論規則「⇒導入則」による書き換えで、
「仮定1『B∧A』のもとで『A∧B』」から、
仮定なしの「B∧A ⇒ A∧B」が導出されたことになる。
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(∧導入) |
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A∧B | |||||||||||||||||||||
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(⇒導入)仮定1を解消 |
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( B∧A ) ⇒ ( A∧B ) |
→ 派生推論規則と
しての交換律 / 定理としての交換律 |
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