A,B,Cに、どのような論理式(命題変数単体に限らない)をいれても、
( (A∧B)∧C ) ⇒ ( A∧(B∧C) )
は、【命題論理における自然演繹】の定理。
【証明:1-2】( (A∧B)∧C ) ⇒ ( A∧(B∧C) ) |
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命題論理の形式的体系「自然演繹」に準拠した操作 →step02 →step03 →step04 →step05 →step06 →step07 →自然演繹の定理:結合律 →自然演繹の定理:トピック一覧 [step1] 自然演繹で認められた操作(2)仮定の書き出し
[step2] 自然演繹で認められた操作(3)推論規則による書き換え ・推論規則「∧除去則」にしたがって、
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・推論規則「∧除去則」にしたがって、
「仮定1『(A∧B)∧C』のもとで『A∧B』」を「A」
へ
「仮定1『(A∧B)∧C』のもとで『A∧B』」を「B」
へ
書き換える。
・推論規則「∧除去則」により、
書き換え後に引き継がれる仮定は、書き換え前の仮定のすべてとなるから、
書き換え後の「A」「B」は、それぞれ、仮定1「(A∧B)∧C」
のもとにある。
・これで、推論規則「∧除去則」による書き換えによって、
「仮定1『(A∧B)∧C』のもとで『A∧B』」から
「仮定1『(A∧B)∧C』のもとで『A』」「仮定1『(A∧B)∧C』のもとで『B』」が
導出されたことになる。
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→ 自然演繹における結合律1-2証明冒頭 |
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・推論規則「∧導入則」にしたがって、
「仮定1『(A∧B)∧C』のもとで『B』」「仮定1『(A∧B)∧C』のもとで『C』」
を
「B∧C」
へ書き換える。
・推論規則「∧導入則」の規定により、
書き換え後に引き継がれる仮定は、書き換え前の仮定のすべてとなるから、
書き換え後の「B∧C」は、仮定1「(A∧B)∧C」
のもとにある。
・これで、推論規則「∧導入則」による書き換えで、
・「仮定1『(A∧B)∧C』のもとで『B』」
・「仮定1『(A∧B)∧C』のもとで『C』」
から、
「仮定1『(A∧B)∧C』のもとで『B∧C』」
が、導出されたことになる。
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(∧導入) |
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B∧C | |
・推論規則「∧導入則」にしたがって、
・「仮定1『(A∧B)∧C』のもとで『A』」
・「仮定1『(A∧B)∧C』のもとで『B∧C』」
を
「A∧(B∧C)」
へ書き換える。
・推論規則「∧導入則」の規定により、
書き換え後に引き継がれる仮定は、書き換え前の仮定のすべてとなるから、
書き換え後の「A∧(B∧C)」は、仮定1「(A∧B)∧C」
のもとにある。
・これで、推論規則「∧導入則」による書き換えで、
・「仮定1『(A∧B)∧C』のもとで『A』」
・「仮定1『(A∧B)∧C』のもとで『B∧C』」
から、
「仮定1『(A∧B)∧C』のもとで『A∧(B∧C)』」
が、導出されたことになる。
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(∧導入) |
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B∧C | |
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(∧導入) |
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A∧(B∧C) |
→ 自然演繹における結合律1-2証明冒頭 |
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・推論規則「⇒導入則」にしたがって、
「仮定1『(A∧B)∧C』のもとで『A∧(B∧C)』」を
「( (A∧B)∧C ) ⇒ ( A∧(B∧C) )」へ書き換える。
・推論規則「⇒導入則」の規定にしたがうと、
「( (A∧B)∧C ) ⇒ ( A∧(B∧C) )」への書き換え後に引き継がれる仮定は、
書き換え前の仮定「(A∧B)∧C」から、仮定「(A∧B)∧C」
を差し引いた分だけとなるから、
「( (A∧B)∧C ) ⇒ ( A∧(B∧C) )」への書き換え後に仮定はすべて差し引かれてなくなって
しまい、
仮定なしの「( (A∧B)∧C ) ⇒ ( A∧(B∧C) )」が得られる。
・これで、推論規則「⇒導入則」による書き換えで、
「仮定1『(A∧B)∧C』のもとで『A∧(B∧C)』」から、
仮定なしの「( (A∧B)∧C ) ⇒ ( A∧(B∧C) )」が導出されたことになる。。
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(∧導入) |
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B∧C | |
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(∧導入) |
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A∧(B∧C) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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(⇒導入)仮定1を解消 |
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( (A∧B)∧C ) ⇒ ( A∧(B∧C) ) |
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