【具体 例一覧】トートロジー(恒真命題・恒真式)、意味論的に妥当な推論 ・同一律/排中律/矛
盾律/二重否定律/冪
等律/交換律/結合律/分配律/吸収律/ド・モルガン則/対偶律/選言的三段論法/推移
律/(前件)肯定式/否定式/拡大律・付加律/縮小律/移入律/移出律/構成的両刃論法 |
【1】 同一律 law of identity
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(1) Aがどのような命題であれ、 つまり、Aに、どのような論理式(命題変数単体に限らない)をいれても、 (2) 推論『A。ゆえに A。』は、意味論的に妥当。 |
* 証明論での扱いは?→同一律はNKにおける定理[証明付] |
トートロジーの例【2】 排中律 law of the excluded middle
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・Aがどのような命題であれ、 「Aまたは『Aでない』」 は、トートロジーになる。 ・つまり、 Aに、どのような論理式(命題変数単体に限らない)をいれても、 A∨(¬A) は、トートロジーになって、 Aに、どのような論理式をいれても、 そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、 「A∨(¬A)」の真理値は真になる。 |
* 証明論での扱いは?→排中律はNKにおける公理ないし定理[証明付] |
トートロジーの例 【3】矛盾律 law of contradiction , law of non-contradiction |
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・Aがどのような命題であれ、 「Aかつ『Aでない』」ってことはない は、トートロジーになる。 ・つまり、 Aに、どのような論理式(命題変数単体に限らない)をいれても、 ¬(A∧(¬A) ) は、トートロジーになって、 Aに、どのような論理式をいれても、 そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、 「A∨¬A」の真理値は真になる。 * なお、「Aかつ『Aでない』」A∧(¬A)は、恒偽命題になる。 [中内p.40;中谷p.24] * テキスト間でみられる名称の揺れ: ・law of contradiction [戸田山pp.44-45][清水p.13] ・law of non-contradiction [戸次p.39] |
* 証明論での扱いは?→矛盾律はNKにおける定理[証明付] |
【4】二重否定律 law of double negation |
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(1) ・Aがどのような命題であれ、 「『Aでなくない』はAと 同値」 は、トートロジーになる。 ・つまり、 Aに、どのような論理式(命題変数単体に限らない)をいれても、 ( ¬(¬A) )⇔A は、トートロジーになって、 Aに、どのような論理式をいれても、 そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、 「( ¬(¬A) )⇔A」の真理値は真になる。 |
* 証明論での扱いは?→二重否定律はNKにおける定理[証明付]/ 自然演繹の派生推論規則としての二重否定律 * 論理法則一覧:二重否定律・反射律 |
【5】冪等律 idempotent law |
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(1) ・Aがどのような命題であれ、 「『AかつA』とAは 同値」 「『AまたはA』とAは 同値」 は、トートロジーになる。 ・つまり、 Aに、どのような論理式(命題変数単体に限らない)をいれても、 ( A∧A )⇔A ( A∨A )⇔A は、トートロジーになって、 Aに、どのような論理式をいれても、 そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、 「( A∧A )⇔A」「( A∨A )⇔A」の真理値は真になる。 (2) |
* 証明論での扱いは?→冪等律はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としての冪等律 |
【6】交換律 commutative law |
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(1) ・A,Bがどのような命題であれ、 「『AかつB』と『BかつA』は 同値」 「『AまたはB』と『BまたはA』は同値 」 は、トートロジーになる。 ・つまり、 A,Bに、どのような論理式(命題変数単体に限らない)をいれても、 ( A∧B )⇔( B∧A ) ( A∨B )⇔( B∨A ) は、トートロジーになって、 A,Bに、どのような論理式をいれても、 そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、 「( A∧B )⇔( B∧A )」「( A∨B )⇔( B∨A )」の真理値は真になる。 (2) ・推論『A∧B。ゆえに B∧A。』は、意味論的に妥当。 ・推論『B∧A。ゆえに A∧B。』は、意味論的に妥当。 ・推論『A∨B。ゆえに B∨A。』は、意味論的に妥当。 ・推論『B∨A。ゆえに A∨B。』は、意味論的に妥当。 |
* 証明論での扱いは?→交換律はNKにおける定理[証明付]/自然演繹における派生推論規則としての交換律 * テキスト間でみられる揺れ: 戸田山『論理学をつくる』は、交換律を(A∧B)⇒(B∧A),(A∨B)⇒(B∨A)としている。 |
【7】結合律 associative law
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(1) ・A,B,Cがどのような命題であれ、 「Aかつ『BかつC』」と「『AかつB』かつC」は 同値 は、トートロジーになる。 ・A,B,Cがどのような命題であれ、 「Aまたは『BまたはC』」と「『AまたはB』またはC」は 同値 は、トートロジーになる。 ・つまり、 A,B,Cに、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、 ( A∧(B∧C) )⇔( (A∧B)∧C ) ( A∨(B∨C) )⇔( (A∨B)∨C ) は、トートロジーになって、 |
* 証明論での扱いは?→結合律はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としての結合律 |
A,B,Cに、どのような論理式をいれても、
そこに含まれる命題変数(原
子式)の真理値にかかわらず、
「( A∧(B∧C) )⇔(
(A∧B)∧C
)」「( A∨(B∨C) )⇔(
(A∨B)∨C
)」の真理値は真になる。
【8】分配律 distributive law |
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(1) ・A,B,Cがどのような命題であれ、 「Aかつ『BまたはC』」と「『AかつB』または 『AかつC』」とは 同値 は、トートロジーになる。 ・A,B,Cがどのような命題であれ、 「Aまたは『BかつC』」と「『AまたはB』かつ『AまたはC」とは 同値 は、トートロジーになる。 ・つまり、 A,B,Cに、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、 ( A∧(B∨C) )⇔( (A∧B)∨(A∧C) ) ( A∨(B∧C) )⇔( (A∨B)∧(A∨C) ) は、トートロジーになって、 |
* 証明論での扱いは?→分配律はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としての分配律 |
A,B,Cに、どのような論理式をいれても、
そこに含まれる命題変数(原
子式)の真理値にかかわらず、
「(( A∧(B∨C) )⇔(
(A∧B)∨(A∧C) )」「( A∨(B∧C)
)⇔( (A∨B)∧(A∨C)
)」の真理値は真になる。
【9】吸収律 absorptive law |
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(1) ・A,B,Cがどのような命題であれ、 「Aかつ『AまたはB』」と A とは 同値 は、トートロジーになる。 ・A,B,Cがどのような命題であれ、 「Aまたは『AかつB』」と A とは 同値 は、トートロジーになる。 ・つまり、 A,B,Cに、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、 |
* 証明論での扱いは?→吸収律はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としての吸収律 |
そこに含まれる命題変数(原
子式)の真理値にかかわらず、
「 ( A∧(A∨B) )⇔
A 」の真理値
「 ( A∨(A∧B) )⇔
A 」の真理値
は真になる。
【10】ド・モルガンの法則 De Morgan's law |
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(1) ・A,B,Cがどのような命題であれ、 「『AかつB』でない」と 「『Aでない』または『Bでない』」 とは 同値 は、トートロジー。 ・A,B,Cがどのような命題であれ、 「『AまたはB』でない」と 「『Aでない』かつ『Bでない』」 とは 同値 は、トートロジー。 ・つまり、 A,B,Cに、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、 そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、 「 ( ¬(A∧B) )⇔ (¬A)∨(¬B) 」の真理値 「 ( ¬(A∨B) )⇔ (¬A)∧(¬B) 」の真理値 は真になる。 (2) ・推論『¬(A∧B)。ゆえに (¬A)∨(¬B)。』は、意味論的に妥当。 ・推論『(¬A)∨(¬B)。ゆえに ¬(A∧B)。』は、意味論的に妥当。 ・推論『¬(A∨B)。ゆえに (¬A)∧(¬B)。』は、意味論的に妥当。 ・推論『(¬A)∧(¬B)。ゆえに ¬(A∨B)。』は、意味論的に妥当。 |
* 証明論での扱いは?→ド・モルガン則はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としてのド・モルガン則 |
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【11】対偶律 law of contraposition |
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(1) ・A,Bがどのような命題であれ、 「 AならばB 」と 「『Bでない』ならば『Aでない』」 とは 同値 は、トートロジー。 ・つまり、 A,Bに、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、 そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、 「 (A⇒B) ⇔ ( ¬B ⇒ ¬A ) 」の真理値 は真になる。 (2) ・推論『A⇒B。ゆえに ¬B ⇒ ¬A。』は、意味論的に妥当。 ・推論『¬B ⇒ ¬A。ゆえに A⇒B。』は、意味論的に妥当。 * 「A⇒B」の言い換え表現一覧 |
* 証明論での扱いは?→対偶律はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としての対偶律 |
【12】選言的三段論法 disjunctive syllogism, law of disjunctive syllogism |
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(1) ・A,Bがどのような命題であれ、 「 『Aでなく』かつ『AまたはB』 」ならば B は、トートロジー。 ・つまり、 A,Bに、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、 そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、 「 (¬A∧(A∨B) ⇒ B 」の真理値 は真になる。 (2) ・推論『¬A∧(A∨B)。ゆえに B。』は、意味論的に妥当。 |
* 証明論での扱いは?→選言的三段論法はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としての選言的三段論法 |
【13】推移律 transitive law |
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(1) ・A,B,C がどのような命題であれ、 「 『AならばB』かつ『BならばC』 」ならば 『AならばC』 は、トートロジー。 ・つまり、 A,B,Cに、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、 そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、 「 ( (A⇒B)∧(B⇒C) ) ⇒ (A⇒C) 」の真理値 は真になる。 (2) ・推論『(A⇒B)∧(B⇒C)。ゆえに A⇒C。』は、意味論的に妥当。 |
* 証明論での扱いは?→推移律はNKにおける定理[証明付]/ 自然演繹の派生推論規則としての推移律 |
【14】(前件)肯定式 modus ponens |
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(1) ・A,B がどのような命題であれ、 「 Aかつ『AならばB』 」ならば B は、トートロジー。 ・つまり、 A,B に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、 そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、 「 ( A∧(A⇒B) ) ⇒ B 」の真理値 は真になる。 (2) ・推論『A∧(A⇒B)。ゆえに B。』は、意味論的に妥当。 |
* 証明論での扱いは?→前件肯定律(ModusPonens)はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としてのmodus ponens |
【15】否定式 modus tollens |
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(1) ・A,B がどのような命題であれ、 「 『Bでない』かつ『AならばB』 」ならば 「Aでない」 は、トートロジー。 ・つまり、 A,B に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、 そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、 「 ( ¬B∧(A⇒B) ) ⇒ ¬A 」の真理値 は真になる。 (2) ・推論『¬B∧(A⇒B)。ゆえに ¬A。』は、意味論的に妥当。 |
* 証明論での扱いは?→否定律ModusTollensはNKにおける定理[証明付]/ 自然演繹の派生推論規則としてのmodus tollens |
【16】拡大律・付加律 law of addition
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(1) ・A,B がどのような命題であれ、 「 Aならば『AまたはB』 」 は、トートロジー。 ・A,B がどのような命題であれ、 「 Bならば『AまたはB』 」 は、トートロジー。 ・つまり、 A,B に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、 そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、 「 A ⇒ (A∨B) 」「 B ⇒ (A∨B) 」の真理値 は、それぞれ真になる。 (2) ・推論『A。ゆえに A∨B。』は、意味論的に妥当。 ・推論『B。ゆえに A∨B。』は、意味論的に妥当。 |
* 証明論での扱いは?→付加律はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としての拡大律・付加律 |
トートロジーの例 【17】縮小律 law of simplification |
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(1) ・A,B がどのような命題であれ、 「 『AかつB』ならばA 」 は、トートロジー。 ・A,B がどのような命題であれ、 「 『AかつB』ならばB 」 は、トートロジー。 ・つまり、 A,B に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、 そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、 「 (A∧B) ⇒ A 」「 (A∧B) ⇒ B 」の真理値 は真になる。 (2) ・推論『A∧B。ゆえに A。』は、意味論的に妥当。 ・推論『A∧B。ゆえに B。』は、意味論的に妥当。 |
* 証明論での扱いは?→縮小律はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としての縮小律 |
トートロジーの例 【18】移入律 law of importation |
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(1) ・A,B,C がどのような命題であれ、 「 Aならば『BならばC』 」ならば 「『AかつB』ならばC 」 は、トートロジー。 ・つまり、 A,B,C に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、 そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、 「 ( A⇒(B⇒C) ) ⇒ ((A∧B)⇒C) 」の真理値 は真になる。 (2) ・推論『A⇒(B⇒C)。ゆえに (A∧B)⇒C。』は、意味論的に妥当。 |
* 証明論での扱いは?→移入律はNKにおける定理[証明付]/ 自然演繹の派生推論規則としての移入律 |
トートロジーの例 【19】移出律 law of exportation |
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(1) ・A,B,C がどのような命題であれ、 「『AかつB』ならばC 」ならば 「 Aならば『BならばC』 」 は、トートロジー。 ・つまり、 A,B,C に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、 そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、 「 ((A∧B)⇒C) ⇒ ( A⇒(B⇒C) ) 」の真理値 は真になる。 (2) ・推論『(A∧B)⇒C。ゆえに A⇒(B⇒C)。』は、意味論的に妥当。 |
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トートロジーの例 【20】構成的両刀論法,構成的両刃論法 constructive dilemma, law of constructive dilemma |
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(1) ・A,B,C がどのような命題であれ、 「『AならばC』かつ『BならばC』」ならば 「 『AまたはB』ならばC 」 は、トートロジー。 ・つまり、 A,B,C に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、 そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、 「 ((A⇒C)∧(B⇒C)) ⇒ ( (A∨B)⇒C ) 」の真理値 は真になる。 (2) ・推論『(A⇒C)∧(B⇒C)。ゆえに (A∨B)⇒C。』は、意味論的に妥当。 |
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トートロジーの例 【21】添加律 |
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(1) ・A,B がどのような命題であれ、 「Aならば『BならばA』 」 は、トートロジー。 ・つまり、 A,B に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、 そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、 「 A ⇒ (B⇒A) 」の真理値 は真になる。 (2) ・推論『A。ゆえに B⇒A。』は、意味論的に妥当。 |
* 証明論での扱いは?→添加律はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の定理としての添加律 |
トートロジーの例 【22】名称不明 |
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(1) ・A,Bがどのような命題であれ、 「『Aでない』ならば、『AならばB』 」 は、トートロジー。 ・つまり、 A,Bに、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、 そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、 「 ¬A ⇒ (A⇒B) 」の真理値 は真になる。 (2) ・推論『¬A。ゆえに A⇒B。』は、意味論的に妥当。 |
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トートロジーの例 【23】パースの法則 Peirce's law |
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(1) ・A,B がどのような命題であれ、 「『AならばB』ならばA」ならば A は、トートロジー。 ・つまり、 A,B に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、 そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、 「 ((A⇒B) ⇒ A ) ⇒ A 」の真理値 は真になる。 (2) ・推論『(A⇒B) ⇒ A。ゆえに A。』は、意味論的に妥当。 |
* 証明論での扱いは?→パースの法則はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としてのパースの法則 |
トートロジーの例 【24】law of adjunction |
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(1) ・A,B がどのような命題であれ、 「『AならばB』ならばA」ならば A は、トートロジー。 ・つまり、 A,B に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、 そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、 「 A ⇒ ( B ⇒ ( A∧B ) ) 」の真理値 は真になる。 (2) ・推論『A。ゆえに B ⇒ ( A∧B )』は、意味論的に妥当。 |
* 証明論での扱いは?→自然演繹の定理としてのlaw of adjunction /自然演繹の派生推論規則としてのlaw of adjunction |
トートロジーの例 【25】 名称不明 (⇒の同値条件) |
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(1) ・A,B がどのような命題であれ、 「AならばB」と「『Aでない』またはB」とは 同値 「AならばB」と「『Aかつ《Bでない》』ということはない」とは 同値 は、トートロジー。 ・つまり、 A,B に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、 そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、 「 ( A ⇒ B ) ⇔ ( ¬A∨B ) 」の真理値 「 ( A ⇒ B ) ⇔ ¬ ( A ∧ (¬B) ) 」の真理値 は真になる。 (2) ・推論『A⇒B。ゆえに ¬A∨B。』は、意味論的に妥当。 ・推論『¬A∨B。ゆえに A⇒B。』は、意味論的に妥当。 ・推論『A⇒B。ゆえに ¬ ( A ∧ (¬B) )。』は、意味論的に妥当。 ・推論『¬ ( A ∧ (¬B) )。ゆえに A⇒B。』は、意味論的に妥当。 |
* 「A⇒B」の言い換え表現一覧 * 証明論での扱いは?→(A⇒B)⇔(¬A∨B)はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としての【25】 |
トートロジーの例 【26】 入替律 law of permutation |
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(1) ・A,B がどのような命題であれ、 「Aならば『BならばC』」と「Bならば『AならばC』」とは 同値 は、トートロジー。 ・つまり、 A,B に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、 そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、 「 ( A ⇒ ( B ⇒ C ) ) ⇔ ( B ⇒ ( A ⇒ C ) ) 」の真理値 は真になる。 (2) ・推論『A⇒(B⇒C)。ゆえに B⇒(A⇒C)』は、意味論的に妥当。 ・推論『B⇒(A⇒C)。ゆえに A⇒(B⇒C)』は、意味論的に妥当。 |
* 証明論での扱いは?→入替律はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としての入替律 |
トートロジーの例 【27】 合成律 law of composition |
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(1) ・A,B がどのような命題であれ、 「AならばB」ならば「『AならばC』ならば『Aならば《BかつC》』」 は、トートロジー。 ・つまり、 A,B,C に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、 そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、 「 ( A ⇒ B ) ⇒ ( ( A ⇒ C ) ⇒ ( A ⇒ (B∧C) ) ) 」の真理値 は真になる。 (2) ・推論『A⇒B。ゆえに (A⇒C)⇒(A⇒(B∧C))』は、意味論的に妥当。 |
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トートロジーの例 【28】 名称なし |
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【恒真命題と「または」 A∨T , T∨A 】 ・A がどのような命題であれ、 「 『 A または トートロジー』とトートロジーとは、同値」 は、トートロジー。 ・A がどのような命題であれ、 「 『トートロジー または A 』とトートロジーとは、同値」 は、トートロジー。 ・つまり、 A に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、 そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、 「 A∨T ⇔ T 」の真理値 「 T∨A ⇔ T 」の真理値 は真になる。 |
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トートロジーの例 【29】 |
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【恒真命題の否定 ¬T 】 ・「 『トートロジーでない』と恒偽命題とは、同値」 は、トートロジー。 ・つまり、 「 ¬T ⇔ ⊥ 」の真理値 は真。 【恒偽命題の否定 ¬⊥ 】 ・「 『恒偽命題でない』とトートロジーとは、同値」 は、トートロジー。 ・つまり、 「 ¬⊥ ⇔ T 」の真理値 は真。 |
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トートロジーの例 【30】 |
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・A がどのような命題であれ、 「 A ならば トートロジー」は、トートロジー。 ・A がどのような命題であれ、 「 恒偽命題 ならば A」は、トートロジー。 ・つまり、 A に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、 そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、 「 A ⇒ T 」の真理値 「 ⊥ ⇒A 」の真理値 は真になる。 |
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トートロジーの例 【31】 |
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・A がどのような命題であれ、 「 『A ならば 恒偽命題』ならば、『Aでない』 」 は、トートロジー。 ・つまり、 A に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、 そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、 「 (A ⇒ ⊥)⇒ (¬A) 」の真理値 は真になる。 |
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恒真命題と「かつ」 A∧I , I∧A | ||
・「 A かつ 恒真命題 」「 恒真命題 かつ A 」は、 「 A 」と、 互いに言い換えてよい。 |
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恒偽命題と「または」 A∨O , O∨A |
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・「 A または 恒偽命題 」「 恒偽命題 または A 」は、 「 A 」と、 互いに言い換えてよい。 |
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恒偽命題と「かつ」 A∧O , O∧A |
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・「 A かつ 恒偽命題 」「 恒偽命題 かつ A 」は、 恒偽命題 と、 互いに言い換えてよい。 |
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