【具体 例一覧】トートロジー(恒真命題・恒真式)、意味論的に妥当な推論　　　

　　・同一律/排中律/矛 盾律/二重否定律/冪 等律/交換律/結合律/分配律/吸収律/ド・モルガン則/対偶律/選言的三段論法/推移 律/(前件)肯定式/否定式/拡大律・付加律/縮小律/移入律/移出律/構成的両刃論法 　　
　　・添加律(ウカシェビッチŁukasiewiczの第一公理)/ ¬A⇒(A⇒B) /パースの法則/law of adjunction/⇒の言い換え/入替律/合成律　　　 　　
　　・または恒真命題/かつ恒真命題/または恒偽命題/かつ恒偽命題
　※トートロジー・推論の意味論関連トピック：恒真命 題・恒真式・トートロジー / 恒偽命題・恒偽式・矛盾 式 / 推論 /推論が有効・妥当・正しい / 推論が有効でない・妥当でない・誤っている　/ 　⊨(double-turnstile) 　　　
　※論理関連ページ：論理記号一覧/命題論理の論理式/命題論理の意味論[真 理値/真理関数/真理値表] 　　　
　※総目次

【例】トートロジー(恒真命題・恒真式)、意味論的に妥当な推論

【1】 同一律　law of identity　

(1)　Aがどのような命題であれ、
 　　「AならばA」「AとAとは同値」 は、トートロジー。

　　つまり、Aに、どのような論理式(命題変数単体に限らない)をいれても、
　　　命題変数(原 子式)の真理値にかかわらず、
　　　　「A⇒A」「A⇔A」の真理値は真。

(2)　推論『A。ゆえに A。』は、意味論的に妥当。




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45
　・清水『記号論理学』p.13

　・戸次 『数理論理学』p.38　

*　証明論での扱いは？→同一律はNKにおける定理[証明付]
トートロジーの例【2】 排中律　law of the excluded middle　

・Aがどのような命題であれ、
　　「Aまたは『Aでない』」
　は、トートロジーになる。

・つまり、
　Aに、どのような論理式(命題変数単体に限らない)をいれても、
　　　A∨(¬A)
　は、トートロジーになって、

　Aに、どのような論理式をいれても、
　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　「A∨(¬A)」の真理値は真になる。




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45
　・清水『記号論理学』p.13
　・戸次 『数理論理学』p.39　
　・中内『ろんりの練習帳』定理1.7.4(p.40)
　・中谷『論理』 1.5-A (p.24)
　・野矢茂樹『論理学』1-1-5(p.37);
　・野矢p.175;前原p.56;新井p.76

　

*　証明論での扱いは？→排中律はNKにおける公理ないし定理[証明付]

トートロジーの例 【3】矛盾律　law of contradiction , law of non-contradiction

・Aがどのような命題であれ、
　　「Aかつ『Aでない』」ってことはない
　は、トートロジーになる。

・つまり、
　　Aに、どのような論理式(命題変数単体に限らない)をいれても、
　 　¬(A∧(¬A) )　
　は、トートロジーになって、

　Aに、どのような論理式をいれても、
　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　「A∨¬A」の真理値は真になる。

　*　なお、「Aかつ『Aでない』」A∧(¬A)は、恒偽命題になる。
 　　　　　[中内p.40;中谷p.24]
　*　テキスト間でみられる名称の揺れ：
　　　　・law of contradiction　　　[戸田山pp.44-45][清水p.13]
　　　　・law of non-contradiction　[戸次p.39]




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45
　・清水『記号論理学』p.13
　・戸次 『数理論理学』p.39　
　・中内『ろんりの練習帳』定理1.7.4(p.40)
　・中谷『論理』 1.5-A (p.24) ;
　・野矢茂樹『論理学』1-1-5(p.37);
　・野矢p.175
　・前原p.56;
　・新井p.76

　

*　証明論での扱いは？→矛盾律はNKにおける定理[証明付]

 【4】二重否定律　law of double negation
(1)
・Aがどのような命題であれ、
　　「『Aでなくない』はAと 同値」
　は、トートロジーになる。

・つまり、
　　Aに、どのような論理式(命題変数単体に限らない)をいれても、
　 　( ¬(¬A) )⇔A　
　は、トートロジーになって、

　Aに、どのような論理式をいれても、
　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　「( ¬(¬A) )⇔A」の真理値は真になる。

(2)
・推論『¬(¬A)。ゆえに A。』は、意味論的に妥当。
・推論『A。ゆえに ¬(¬A)。』は、意味論的に妥当。




【文献】
　・中内『ろんりの練習帳』定理 1.5.2(p.22)「反射律」真理値分析してある。
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45
　・清水『記号論理学』p.14 「二重否定の法則」
　・戸次 『数理論理学』p.39　

　

*　証明論での扱いは？→二重否定律はNKにおける定理[証明付]/ 自然演繹の派生推論規則としての二重否定律
*　論理法則一覧：二重否定律・反射律　

 【5】冪等律 idempotent law
(1)
・Aがどのような命題であれ、
　　「『AかつA』とAは 同値」
　　「『AまたはA』とAは 同値」
　は、トートロジーになる。

・つまり、
　　Aに、どのような論理式(命題変数単体に限らない)をいれても、
　 　( A∧A )⇔A
　 　( A∨A )⇔A　　
　　は、トートロジーになって、

　Aに、どのような論理式をいれても、
　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　「( A∧A )⇔A」「( A∨A )⇔A」の真理値は真になる。

(2)
・推論『A∧A。ゆえに A。』は、意味論的に妥当。
・推論『A。ゆえに A∧A。』は、意味論的に妥当。
・推論『A∨A。ゆえに A。』は、意味論的に妥当。
・推論『A。ゆえに A∨A。』は、意味論的に妥当。




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45
　・清水『記号論理学』p.14 :第1冪等律(A∧A)⇔A・第2冪等律(A∨A)⇔A
　・戸次 『数理論理学』p.38　

　

*　証明論での扱いは？→冪等律はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としての冪等律

 【6】交換律 commutative law  
(1)
・A,Bがどのような命題であれ、
　　「『AかつB』と『BかつA』は 同値」
　　「『AまたはB』と『BまたはA』は同値 」
　は、トートロジーになる。

・つまり、
　　A,Bに、どのような論理式(命題変数単体に限らない)をいれても、
　 　( A∧B )⇔( B∧A )
　 　( A∨B )⇔( B∨A )　　
　　は、トートロジーになって、

　A,Bに、どのような論理式をいれても、
　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　「( A∧B )⇔( B∧A )」「( A∨B )⇔( B∨A )」の真理値は真になる。

(2)
・推論『A∧B。ゆえに B∧A。』は、意味論的に妥当。
・推論『B∧A。ゆえに A∧B。』は、意味論的に妥当。
・推論『A∨B。ゆえに B∨A。』は、意味論的に妥当。
・推論『B∨A。ゆえに A∨B。』は、意味論的に妥当。




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45
　・清水『記号論理学』p.14 :第1交換律(A∧B)⇔(B∧A)・第2交換律(A∨B)⇔(B∨A)
　・戸次 『数理論理学』p.38　

　

*　証明論での扱いは？→交換律はNKにおける定理[証明付]/自然演繹における派生推論規則としての交換律


 　　　*　テキスト間でみられる揺れ：
　　　　　　戸田山『論理学をつくる』は、交換律を(A∧B)⇒(B∧A),(A∨B)⇒(B∨A)としている。

 【7】結合律　associative law
(1)
・A,B,Cがどのような命題であれ、
　　「Aかつ『BかつC』」と「『AかつB』かつC」は 同値
　は、トートロジーになる。

・A,B,Cがどのような命題であれ、
　　「Aまたは『BまたはC』」と「『AまたはB』またはC」は 同値
　は、トートロジーになる。

・つまり、
　　A,B,Cに、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、
　 　( A∧(B∧C) )⇔( (A∧B)∧C )
　 　( A∨(B∨C) )⇔( (A∨B)∨C )
　　は、トートロジーになって、




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45
　・清水『記号論理学』p.14 :第1結合律(A∧(B∧C))⇔((A∧B)∧C)・第2結合律(A∨(B∨C))⇔((A∨B)∨C)
　・戸次 『数理論理学』p.38　

　
　　　

*　証明論での扱いは？→結合律はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としての結合律 

　A,B,Cに、どのような論理式をいれても、
　そこに含まれる命題変数(原 子式)の真理値にかかわらず、
　「( A∧(B∧C) )⇔( (A∧B)∧C )」「( A∨(B∨C) )⇔( (A∨B)∨C )」の真理値は真になる。

(2)
・推論『A∧(B∧C)。ゆえに (A∧B)∧C。』は、意味論的に妥当。
・推論『(A∧B)∧C。ゆえに A∧(B∧C)。』は、意味論的に妥当。
・推論『A∨(B∨C)。ゆえに (A∨B)∨C。』は、意味論的に妥当。
・推論『(A∨B)∨C。ゆえに A∨(B∨C)。』は、意味論的に妥当。

 【8】分配律　distributive law
(1)
・A,B,Cがどのような命題であれ、
　　「Aかつ『BまたはC』」と「『AかつB』または 『AかつC』」とは 同値
　は、トートロジーになる。

・A,B,Cがどのような命題であれ、
　　「Aまたは『BかつC』」と「『AまたはB』かつ『AまたはC」とは 同値
　は、トートロジーになる。

・つまり、
　　A,B,Cに、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、
　 　( A∧(B∨C) )⇔( (A∧B)∨(A∧C) )
　 　( A∨(B∧C) )⇔( (A∨B)∧(A∨C) )
　　は、トートロジーになって、




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45
　・清水『記号論理学』p.14 :第1分配律(A∧(B∧C))⇔((A∧B)∧C)・第2分配律(A∨(B∨C))⇔((A∨B)∨C)
　・戸次 『数理論理学』p.38　

　
　　　

*　証明論での扱いは？→分配律はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としての分配律　


　　A,B,Cに、どのような論理式をいれても、
　　そこに含まれる命題変数(原 子式)の真理値にかかわらず、
　　「(( A∧(B∨C) )⇔( (A∧B)∨(A∧C) )」「( A∨(B∧C) )⇔( (A∨B)∧(A∨C) )」の真理値は真になる。

(2)
・推論『A∧(B∨C)。ゆえに (A∧B)∨(A∧C)。』は、意味論的に妥当。
・推論『(A∧B)∨(A∧C)。ゆえに A∧(B∨C)。』は、意味論的に妥当。
・推論『A∨(B∧C)。ゆえに (A∨B)∧(A∨C)。』は、意味論的に妥当。
・推論『(A∨B)∧(A∨C)。ゆえに A∨(B∧C)。』は、意味論的に妥当。

 【9】吸収律 absorptive law
(1)

・A,B,Cがどのような命題であれ、
　　「Aかつ『AまたはB』」と A とは 同値
　は、トートロジーになる。

・A,B,Cがどのような命題であれ、
　　「Aまたは『AかつB』」と A とは 同値
　は、トートロジーになる。

・つまり、
　　A,B,Cに、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45
　・清水『記号論理学』p.14 :第1吸収律 (A∧(A∨B))⇔A・第2吸収律(A∨(A∧B))⇔A

　・戸次 『数理論理学』p.38　
　　　

*　証明論での扱いは？→吸収律はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としての吸収律　

　そこに含まれる命題変数(原 子式)の真理値にかかわらず、
　 「　( A∧(A∨B) )⇔ A　」の真理値
　 「　( A∨(A∧B) )⇔ A　」の真理値
　は真になる。

(2)
・推論『A∧(A∨B)。ゆえに A。』は、意味論的に妥当。
・推論『A。ゆえに A∧(A∨B)。』は、意味論的に妥当。
・推論『A∨(A∧B)。ゆえに A。』は、意味論的に妥当。
・推論『A。ゆえに A∨(A∧B)。』は、意味論的に妥当。

 【10】ド・モルガンの法則　De Morgan's law
(1)
・A,B,Cがどのような命題であれ、
　　「『AかつB』でない」と 「『Aでない』または『Bでない』」 とは 同値　
　　は、トートロジー。
・A,B,Cがどのような命題であれ、
　　「『AまたはB』でない」と 「『Aでない』かつ『Bでない』」 とは 同値　　
　　は、トートロジー。

・つまり、
　　A,B,Cに、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、
　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　 「　( ¬(A∧B) )⇔ (¬A)∨(¬B) 　」の真理値
　 「　( ¬(A∨B) )⇔ (¬A)∧(¬B) 　」の真理値
　は真になる。
(2)
・推論『¬(A∧B)。ゆえに (¬A)∨(¬B)。』は、意味論的に妥当。
・推論『(¬A)∨(¬B)。ゆえに ¬(A∧B)。』は、意味論的に妥当。
・推論『¬(A∨B)。ゆえに (¬A)∧(¬B)。』は、意味論的に妥当。
・推論『(¬A)∧(¬B)。ゆえに ¬(A∨B)。』は、意味論的に妥当。




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45
　・清水『記号論理学』p.14 :第1ド・モルガンの法則・第2⇔
　・戸次 『数理論理学』p.39　

　
　　　

*　証明論での扱いは？→ド・モルガン則はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としてのド・モルガン則　

→　トートロジー：トピック一覧
→　論理記号：トピック一覧　
→　総目次　　
　　

 【11】対偶律　law of contraposition  
(1)
・A,Bがどのような命題であれ、
　　「 AならばB 」と 「『Bでない』ならば『Aでない』」 とは 同値　
　　は、トートロジー。

・つまり、
　　A,Bに、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、
　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　 「　(A⇒B) ⇔ ( ¬B ⇒ ¬A ) 　」の真理値
　は真になる。

(2)
・推論『A⇒B。ゆえに ¬B ⇒ ¬A。』は、意味論的に妥当。
・推論『¬B ⇒ ¬A。ゆえに A⇒B。』は、意味論的に妥当。

*　「A⇒B」の言い換え表現一覧　




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45
　・清水『記号論理学』p.14 
　・戸次 『数理論理学』p.39　

　
　　　

*　証明論での扱いは？→対偶律はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としての対偶律　

 【12】選言的三段論法　disjunctive syllogism, law of disjunctive syllogism 
(1)
・A,Bがどのような命題であれ、
　　「 『Aでなく』かつ『AまたはB』 」ならば B　
　は、トートロジー。

・つまり、
　　A,Bに、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、
　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　 「　(¬A∧(A∨B) ⇒ B  　」の真理値
　は真になる。

(2)
・推論『¬A∧(A∨B)。ゆえに B。』は、意味論的に妥当。




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45 : disjunctive syllogism
　・清水『記号論理学』p.14  :law of disjunctive syllogism
　・戸次 『数理論理学』p.39　:law of disjunctive syllogism

　
　　　

*　証明論での扱いは？→選言的三段論法はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としての選言的三段論法　

 【13】推移律　transitive law  
(1)
・A,B,C がどのような命題であれ、
　　「 『AならばB』かつ『BならばC』 」ならば 『AならばC』　
　は、トートロジー。

・つまり、
　　A,B,Cに、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、
　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　 「　( (A⇒B)∧(B⇒C) ) ⇒ (A⇒C)  　」の真理値
　は真になる。

(2)
・推論『(A⇒B)∧(B⇒C)。ゆえに A⇒C。』は、意味論的に妥当。




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45 : 13
　・清水『記号論理学』p.14  :14
　・戸次 『数理論理学』p.39　

　

　　　*　証明論での扱いは？→推移律はNKにおける定理[証明付]/ 自然演繹の派生推論規則としての推移律　

 【14】(前件)肯定式　modus ponens  
(1)
・A,B がどのような命題であれ、
　　「 Aかつ『AならばB』 」ならば B　
　は、トートロジー。

・つまり、
　　A,B に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、
　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　 「　( A∧(A⇒B) ) ⇒ B  　」の真理値
　は真になる。

(2)
・推論『A∧(A⇒B)。ゆえに B。』は、意味論的に妥当。




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45 : 肯定式
　・清水『記号論理学』p.15  :13： 前件肯定式
　・戸次 『数理論理学』p.39　

　
　　　

*　証明論での扱いは？→前件肯定律(ModusPonens)はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としてのmodus ponens　

 【15】否定式　modus tollens  
(1)
・A,B がどのような命題であれ、
　　「 『Bでない』かつ『AならばB』 」ならば 「Aでない」　
　は、トートロジー。

・つまり、
　　A,B に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、
　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　 「　( ¬B∧(A⇒B) ) ⇒ ¬A  　」の真理値
　は真になる。

(2)
・推論『¬B∧(A⇒B)。ゆえに ¬A。』は、意味論的に妥当。




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45 

　
　　　
*　証明論での扱いは？→否定律ModusTollensはNKにおける定理[証明付]/ 自然演繹の派生推論規則としてのmodus tollens　

 【16】拡大律・付加律　law of addition 
(1)
・A,B がどのような命題であれ、
　　「 Aならば『AまたはB』 」　
　は、トートロジー。

・A,B がどのような命題であれ、
　　「 Bならば『AまたはB』 」　
　は、トートロジー。

・つまり、
　　A,B に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、
　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　 「　A ⇒ (A∨B)　」「　B ⇒ (A∨B)　」の真理値
　は、それぞれ真になる。
(2)
・推論『A。ゆえに A∨B。』は、意味論的に妥当。
・推論『B。ゆえに A∨B。』は、意味論的に妥当。




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45
　・清水『記号論理学』p.15  :17
　・戸次 『数理論理学』p.38　

　

　　　*　証明論での扱いは？→付加律はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としての拡大律・付加律　




トートロジーの例 【17】縮小律 law of simplification
(1)
・A,B がどのような命題であれ、
　　「 『AかつB』ならばA 」　
　は、トートロジー。

・A,B がどのような命題であれ、
　　「 『AかつB』ならばB 」　
　は、トートロジー。

・つまり、
　　A,B に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、
　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　 「　(A∧B) ⇒ A　」「　(A∧B) ⇒ B　」の真理値
　は真になる。
(2)
・推論『A∧B。ゆえに A。』は、意味論的に妥当。
・推論『A∧B。ゆえに B。』は、意味論的に妥当。




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45
　・清水『記号論理学』p.15  :16
　・戸次 『数理論理学』p.38　

　
　　　
*　証明論での扱いは？→縮小律はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としての縮小律　

トートロジーの例 【18】移入律 law of importation
(1)
・A,B,C がどのような命題であれ、
　　「 Aならば『BならばC』 」ならば 「『AかつB』ならばC 」　
　は、トートロジー。

・つまり、
　　A,B,C に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、
　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　 「　( A⇒(B⇒C) ) ⇒ ((A∧B)⇒C)  　」の真理値
　は真になる。

(2)
・推論『A⇒(B⇒C)。ゆえに (A∧B)⇒C。』は、意味論的に妥当。




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45
　・清水『記号論理学』p.15  :15
　・戸次 『数理論理学』p.39　

　

　　　*　証明論での扱いは？→移入律はNKにおける定理[証明付]/　自然演繹の派生推論規則としての移入律　

トートロジーの例 【19】移出律 law of exportation
(1)
・A,B,C がどのような命題であれ、
　　「『AかつB』ならばC 」ならば 「 Aならば『BならばC』 」 　
　は、トートロジー。

・つまり、
　　A,B,C に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、
　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　 「　((A∧B)⇒C) ⇒ ( A⇒(B⇒C) )  　」の真理値
　は真になる。

(2)
・推論『(A∧B)⇒C。ゆえに A⇒(B⇒C)。』は、意味論的に妥当。




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45
　・清水『記号論理学』p.15  :15
　・戸次 『数理論理学』p.39　

　
　　　*　証明論での扱いは？→移出律はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としての移出律　

トートロジーの例 【20】構成的両刀論法,構成的両刃論法 constructive dilemma, law of constructive dilemma
(1)
・A,B,C がどのような命題であれ、
　　「『AならばC』かつ『BならばC』」ならば 「 『AまたはB』ならばC 」 　
　は、トートロジー。

・つまり、
　A,B,C に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、
　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　 「　((A⇒C)∧(B⇒C)) ⇒ ( (A∨B)⇒C )  　」の真理値
　は真になる。

(2)
・推論『(A⇒C)∧(B⇒C)。ゆえに (A∨B)⇒C。』は、意味論的に妥当。




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45 :20:構成的両刀論法 constructive dilemma
　・清水『記号論理学』p.15  :18 :構成的両刃論法 law of constructive dilemma
　・戸次 『数理論理学』p.39　:構成的両刃論法 law of constructive dilemma : (A⇒C)⇒(B⇒C)⇒((A∨B)⇒C)

　
　 　　　*　証明論での扱いは？→自然演繹の定理としての構成的両刀論法　/自然演繹の派生推論規則としての構成的両刀論法　　

→　トートロジー：トピック一覧
→　論理記号：トピック一覧　
→　総目次　　
　　

トートロジーの例 【21】添加律
(1)
・A,B がどのような命題であれ、
　　「Aならば『BならばA』 」 　
　は、トートロジー。

・つまり、
　　A,B に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、
　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　 「　A ⇒ (B⇒A)  　」の真理値
　は真になる。

(2)
・推論『A。ゆえに B⇒A。』は、意味論的に妥当。




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45
　

　
　　　
*　証明論での扱いは？→添加律はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の定理としての添加律　
トートロジーの例 【22】名称不明
(1)
・A,Bがどのような命題であれ、
　　「『Aでない』ならば、『AならばB』 」 　
　は、トートロジー。

・つまり、
　　A,Bに、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、
　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　 「　¬A ⇒ (A⇒B)  　」の真理値
　は真になる。

(2)
・推論『¬A。ゆえに A⇒B。』は、意味論的に妥当。




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45
　・清水『記号論理学』p.15:20「特に普及した名称はない」

　
　　　*　証明論での扱いは？→　¬A⇒(A⇒B)　はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としての【22】　

トートロジーの例 【23】パースの法則  Peirce's law　　
(1)
・A,B がどのような命題であれ、
　　「『AならばB』ならばA」ならば A  　
　は、トートロジー。

・つまり、
　　A,B に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、
　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　 「　 ((A⇒B) ⇒ A ) ⇒ A  　」の真理値
　は真になる。
(2)
・推論『(A⇒B) ⇒ A。ゆえに A。』は、意味論的に妥当。




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45
　

　

　　　*　証明論での扱いは？→パースの法則はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としてのパースの法則　

トートロジーの例 【24】law of adjunction　　
(1)
・A,B がどのような命題であれ、
　　「『AならばB』ならばA」ならば A  　
　は、トートロジー。

・つまり、
　　A,B に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、
　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　 「　  A ⇒ ( B ⇒ ( A∧B ) ) 　」の真理値
　は真になる。

(2)
・推論『A。ゆえに B ⇒ ( A∧B )』は、意味論的に妥当。




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45
　

　
　　　

　　　*　証明論での扱いは？→自然演繹の定理としてのlaw of adjunction　/自然演繹の派生推論規則としてのlaw of adjunction　　

トートロジーの例 【25】　名称不明　（⇒の同値条件）
(1)
・A,B がどのような命題であれ、
　　「AならばB」と「『Aでない』またはB」とは 同値
　　「AならばB」と「『Aかつ《Bでない》』ということはない」とは 同値
　は、トートロジー。

・つまり、
　　A,B に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、
　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　 「　( A ⇒ B ) ⇔ ( ¬A∨B )　」の真理値
　 「　( A ⇒ B ) ⇔  ¬ ( A ∧ (¬B) )　」の真理値
　は真になる。

(2)
・推論『A⇒B。ゆえに ¬A∨B。』は、意味論的に妥当。
・推論『¬A∨B。ゆえに A⇒B。』は、意味論的に妥当。
・推論『A⇒B。ゆえに ¬ ( A ∧ (¬B) )。』は、意味論的に妥当。
・推論『¬ ( A ∧ (¬B) )。ゆえに A⇒B。』は、意味論的に妥当。




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45 :25
　・清水『記号論理学』p.15:19「特に普及した名称はない」
　

　
　　
*　「A⇒B」の言い換え表現一覧　　
*　証明論での扱いは？→(A⇒B)⇔(¬A∨B)はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としての【25】　

トートロジーの例 【26】　入替律　law of permutation　　
(1)
・A,B がどのような命題であれ、
　　「Aならば『BならばC』」と「Bならば『AならばC』」とは 同値
　は、トートロジー。

・つまり、
　　A,B に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、
　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　 「　( A ⇒ ( B ⇒ C ) ) ⇔ ( B ⇒ ( A ⇒ C ) )　」の真理値
　は真になる。
(2)
・推論『A⇒(B⇒C)。ゆえに B⇒(A⇒C)』は、意味論的に妥当。
・推論『B⇒(A⇒C)。ゆえに A⇒(B⇒C)』は、意味論的に妥当。




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45


　

　　　*　証明論での扱いは？→入替律はNKにおける定理[証明付]/自然演繹の派生推論規則としての入替律　
/
トートロジーの例 【27】　合成律　law of composition　　
(1)
・A,B がどのような命題であれ、
　　「AならばB」ならば「『AならばC』ならば『Aならば《BかつC》』」
　は、トートロジー。

・つまり、
　　A,B,C に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、
　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　 「　( A ⇒ B  ) ⇒ ( ( A ⇒ C ) ⇒ ( A ⇒ (B∧C) ) )　」の真理値
　は真になる。
(2)
・推論『A⇒B。ゆえに (A⇒C)⇒(A⇒(B∧C))』は、意味論的に妥当。




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』pp.44-45


　
　　*　証明論での扱いは？→ 自然演繹の定理としての合成律　/自然演繹の派生推論規則としての合成律　

トートロジーの例 【28】　名称なし
【恒真命題と「または」　A∨T　,　T∨A　】

・A がどのような命題であれ、
　「 『 A または トートロジー』とトートロジーとは、同値」
　　は、トートロジー。

・A がどのような命題であれ、
　「 『トートロジー または A 』とトートロジーとは、同値」
　　は、トートロジー。

・つまり、
　　A に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、
　　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　　　 「　A∨T ⇔ T　」の真理値
　　　 「　T∨A ⇔ T　」の真理値
　　は真になる。




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』p.45
　・清水『記号論理学』p.15:21「特に普及した名称はない」　
　・中内『ろんりの練習帳』定理1.7.3(p.40)
　・中谷『論理』 1.5-A (p.24)　

　
　　　

【恒真命題と「かつ」　A∧T　,　T∧A　】

・A がどのような命題であれ、「『 A かつ トートロジー 』と A とは、 同値」は、トートロジー。
・A がどのような命題であれ、「『 トートロジー かつ A 』と A とは、 同値」は、トートロジー。

・つまり、
　　A に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　 　　「　(A∧T) ⇔ A　」の真理値
　 　　「　(T∧A) ⇔ A　」の真理値
　　は真になる。

【恒偽命題と「または」　A∨⊥　,　⊥∨A　】

・A がどのような命題であれ、「『 A または 恒偽命題 』と A とは、 同値」は、トートロジー。
・A がどのような命題であれ、「『 恒偽命題 または A 』と A とは、 同値」は、トートロジー。

・つまり、
　　A に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　 　　「　(A∨⊥) ⇔ A　」の真理値
　 　　「　(⊥∨A) ⇔ A　」の真理値
　　は真になる。

【恒偽命題と「かつ」　A∧⊥　,　⊥∧A　】

・A がどのような命題であれ、「 『A かつ 恒偽命題』と 恒偽命題とは、同値」は、トートロジー。
・A がどのような命題であれ、「 『恒偽命題 かつ A』と 恒偽命題とは、同値」は、トートロジー。

・つまり、
　　A に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、
　　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　　　 「　A∧⊥ ⇔ ⊥　」の真理値
　　　 「　⊥∧A ⇔ ⊥　」の真理値
　　は真になる。


トートロジーの例 【29】　
【恒真命題の否定　¬T　　】

・「 『トートロジーでない』と恒偽命題とは、同値」
　　は、トートロジー。

・つまり、
　　「　¬T ⇔ ⊥　」の真理値 は真。

【恒偽命題の否定　¬⊥　　】

・「 『恒偽命題でない』とトートロジーとは、同値」
　　は、トートロジー。

・つまり、
　　「　¬⊥ ⇔ T　」の真理値 は真。




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』p.45
　・中内『ろんりの練習帳』定理1.7.3(p.40)
　・中谷『論理』 1.5-A (p.24)　

　
　　　

トートロジーの例 【30】　

・A がどのような命題であれ、
　　　「 A ならば トートロジー」は、トートロジー。

・A がどのような命題であれ、
　　　「 恒偽命題 ならば A」は、トートロジー。

・つまり、
　　A に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、
　　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　　　 「　A ⇒ T 　」の真理値
　　　 「　⊥ ⇒A 　」の真理値
　　は真になる。




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』p.45 

　
　　　

トートロジーの例 【31】　

・A がどのような命題であれ、
　　「 『A ならば 恒偽命題』ならば、『Aでない』　」
　は、トートロジー。


・つまり、
　　A に、どのような論理式(命題変数単体でなくてよい)をいれても、
　　そこに含まれる命題変数(原子式)の真理値にかかわらず、
　　　 「　（A ⇒ ⊥）⇒ (¬A)　」の真理値
　　は真になる。




【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』p.45 

　
　　　

 
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恒真命題と「かつ」　A∧I　,　I∧A　　


・「 A かつ 恒真命題 」「 恒真命題 かつ A 」は、　「 A 」と、
　互いに言い換えてよい。

   

恒偽命題と「または」　A∨O　,　O∨A　　


・「 A または 恒偽命題 」「 恒偽命題 または A 」は、　　

　「 A 」と、

　互いに言い換えてよい。

   


恒偽命題と「かつ」　A∧O　,　O∧A　　


・「 A かつ 恒偽命題 」「 恒偽命題 かつ A 」は、　　

　恒偽命題　と、

　互いに言い換えてよい。