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【定理としての交換律1-1】
「A,Bに、どのような論理式(命題変数単体に限らない)をいれても、( A∧B ) ⇒ ( B∧A
) 」は、
命題論理における自然演繹の定理。 →【証明:1-1】
【証明:1-1】( A∧B ) ⇒ ( B∧A ) |
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(1)
が得られること (2)
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戸田山『論理学をつくる』は、交換律を(A∧B)⇒(B∧A),(A∨B)⇒(B∨A)としている。 |
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仮定1 |
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・推論規則「∧除去則」にしたがって、
「A∧B」を「B」へ
「A∧B」を「A」
へ
書き換える。
・推論規則「∧除去則」により、
書き換え後に引き継がれる仮定は、書き換え前の仮定のすべてとなるから、
書き換え後の「B」「A」は、それぞれ、仮定1「A∧B」
のもとにある。
・これで、推論規則「∧除去則」による書き換えによって、
仮定1「A∧B」から、
「仮定1「A∧B」のもとでの『B』」
「仮定1「A∧B」のもとでの『A』」
が導出されたことになる。
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仮定1 |
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仮定1 A∧B | |
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(∧除去) |
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(∧除去) |
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B | A |
・推論規則「∧導入則」にしたがって、
「仮定1「A∧B」のもとでの『B』」
「仮定1「A∧B」のもとでの『A』」
を
「B∧A」
へ書き換える。
・推論規則「∧導入則」の規定により、
書き換え後に引き継がれる仮定は、書き換え前の仮定のすべてとなるから、
書き換え後の「B∧A」は、仮定1「A∧B」
のもとにある。
・これで、推論規則「∧導入則」による書き換えで、
「仮定1「A∧B」のもとでの『B』」
「仮定1「A∧B」のもとでの『A』」
から、
「仮定1『A∧B』のもとで『B∧A』」
が、導出されたことになる。
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(∧導入) |
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B∧A |
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A∧B |
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B∧A |
は以上で得られた。
・推論規則「⇒導入則」にしたがって、「仮定1『A∧B』のもとで『B∧A』」を「A∧B ⇒
B∧A」へ書き換える。
・推論規則「⇒導入則」の規定にしたがうと、
「A∧B ⇒
B∧A」への書き換え後に引き継がれる仮定は、
書き換え前の仮定「A∧B」から、仮定「A∧B」を差し引いた分だけとなるから、
「A∧B ⇒
B∧A」への書き換え後に仮定はすべて差し引かれてなくなって
しまい、
仮定なしの「A∧B ⇒
B∧A」が得られる。
・これで、推論規則「⇒導入則」による書き換えで、
「仮定1『A∧B』のもとで『B∧A』」から、
仮定なしの「A∧B ⇒
B∧A」が導出されたことになる。
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(∧導入) |
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B∧A | |||||||||||||||||||||
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(⇒導入)仮定1を解消 |
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( A∧B ) ⇒ ( B∧A ) |
→ 派生推論規則と
しての交換律 / 定理としての交換律 |
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