二項述語・2変項命題関数" x loves y"  の二重量化（変域明示）


(1)「∀x∈S ∀y∈T ( x loves y )」の意味・読み
(2)「∃x∈S ∃y∈T  ( x loves y )」 の意味・読み
(3-1) 「∀x∈S ∃y∈T ( x loves y )」 の意味・読み
(3-2) 「∀y∈S ∃x∈T ( x loves y )」 の意味・読み
(4-1) 「∃x∈S ∀y∈T ( x loves y )」 の意味・読み
 (4-2) 「∃y∈S ∀x∈T ( x loves y )」 の意味・読み 　
※一階述語論理による表現の応用例
　　・「誰もが誰か愛し愛されて生きるのさ」
※二項述語二重量化一覧/多重量化一覧　
※論理関連ページ：古典論理/論理記号一覧/述語・命題関数
※総目次  　






∀x∈S ∀y∈T ( x loves y ) 




・「∀x∈S ∀y∈T ( x loves y )」は、

　変項xのみを含む一項述語　
　　　　「∀y∈T ( x loves y )」
　について、

　変項xも全称量化子で束縛して普遍量化した

　　命題「∀x∈S (∀y∈T  ( x loves y ) )」

　の略記。


・「∀x∈S ∀y∈T ( x loves y )」は、

　　「集合S,Tから、どの対象を選んでも、
　　　Sから選んだ対象を変項xへ、
　　　Tから選んだ対象を変項yへ
　　　代入すると、
　　　x-y間に関係・条件" x loves y "が成り立つ。」

　と主張する命題を意味する。


・「∀x∈S ∀y∈T ( x loves y )」の読み下し例。

　「Sの誰もが、Tの誰もを愛している」
　（本橋『新しい論理序説』p.64を参考に自作。）


 【具体例】
　・∀x∈『男性を全員あつめた集合』　∀y∈『女性を全員あつめた集合』 ( x loves y )　
　　Sを『男性を全員あつめた集合』、Tを『女性を全員あつめた集合』にした具体例。　　　　
　・∀x∈YMO　∀y∈Perfume ( x loves y )　　
　　　Sを外延的に定義された有限集合YMO、Tを外延的に定義された有限集合Perfumeとした場合の具体例。


以下未確認

【文献−数学基礎論】
　・前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(p.21-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-2５)。
　・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀(⇒∃)(p.９0):変則的;∃∈∀∈(p.９2);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

【文献−分析哲学・論理学】
　●戸田山『論理学をつくる』7.1.5愛の論理学(pp.169-172)
　・野矢『論理学』2-2-2-多重量化(pp.96-9９)

　




・「∀x∈S ∀y∈T ( x loves y )」　

　は、

　「∀x ( x∈S ⇒ ∀y ( y∈T ⇒ x loves y ) )」　　
　の省略表現。

　※なぜ？→説明　


・「∀x∈S ∀y∈T ( x loves y )」　

　は、

　「∀(x,y) ∈S×T  x loves y 」

　と表現してもよい。

　※なぜ？→　順序対を用いて二項述語を一項述語と解釈すると…/「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」の順序対・直積を用いた別表現　　

→二項述語"x loves y"の二重量化一覧
→二項述語二重量化一覧/多重量化一覧　
→総目次 

∃x∈S ∃y∈T  ( x loves y )




・「∃x∈S ∃y∈T ( x loves y )」は、

　変項xのみを含む一項述語「∃y∈T  ( x loves y )」について、

　変項xも存在量化子で束縛して存在量化した命題

　　　「∃x∈S (∃y∈T ( x loves y ) ) 」

　の略記。　


・「∃x∈S ∃y∈T ( x loves y )」は、

　　《集合Sに属す対象》《集合Tに属す対象》をそれぞれうまく選んで、
　　《集合Sに属す対象》を変項xへ、
　　《集合Tに属す対象》を変項yへ代入することによって、
　　"x loves y"というx-y間の関係・条件を成り立たせることができる

　　と主張する命題。


・「∃x∈S ∃y∈T ( x loves y )」の読み下し例。

　「誰かが誰かを愛している」（本橋『新しい論理序説』p.64）



 【具体例】
　・∃x∈『男性を全員あつめた集合』　∃y∈『女性を全員あつめた集合』 ( x loves y )　
　　Sを内包的に定義された『男性を全員あつめた集合』、Tを内包的に定義された『女性を全員あつめた集合』にした具体例。
　・∃x∈YMO　∃y∈Perfume ( x loves y )　　
　　　Sを外延的に定義された有限集合YMO、Tを外延的に定義された有限集合Perfumeとした場合の具体例。




以下未確認
【文献−数学一般】

【文献−数学基礎論】
　・前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(p.21-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-2５)。
　・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀(⇒∃)(p.９0):変則的;∃∈∀∈(p.９2);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

【文献−分析哲学・論理学】
　●戸田山『論理学をつくる』7.1.5愛の論理学(pp.169-172)
　・野矢『論理学』2-2-2-多重量化(pp.96-9９)

　




・「∃x∈S ∃y∈T ( x loves y )」　

　は、

　「 ∃x ( x∈S　かつ　∃y ( y∈TかつP(x,y) ) ) 」
　
　の省略表現。

　※なぜ？→説明　


→二項述語"x loves y"の二重量化一覧
→二項述語二重量化一覧/多重量化一覧　
→総目次 


∀x∈S ∃y∈T  ( x loves y )



・「∀x∈S　∃y∈T ( x loves y )」 は、

　変項xのみを含む一項述語「∃y∈T ( x loves y )」について、

　変項xを全称量化子で束縛して普遍量化した命題

　　　「∀x∈S (∃y∈T ( x loves y ) ) 」

　の略記。　


・「∀x∈S　∃y∈T ( x loves y )」 は、　  

　「どの《集合Sに属す対象》を選んで変項xへ代入しても、
　　その《集合Sに属す対象》にたいして、
　　　　《集合Tに属す対象》をうまく選んで変項yへ代入してあげることによって、
　　　　　"x loves y"というx-y間の関係を成り立たせることができる」

　と主張する命題。


・「∀x∈S　∃y∈T ( x loves y )」 の読み下し例。

　「誰もが誰かを愛している」（本橋『新しい論理序説』p.64）

　「誰にも好きな人がいる」（本橋『新しい論理序説』p.75）


【応用例】

・誰もが誰か愛し愛されて生きるのさ

　　「　∀x (　∃y( x loves y )　  )　かつ　∀y (　∃x ( x loves y )　  )　」　　　

 【具体例】
　・∀x∈『男子を全員あつめた集合』　∃y∈『女子を全員あつめた集合』 ( x loves y )　
　　Sを『男子を全員あつめた集合』、Tを『女子を全員あつめた集合』にした具体例。
　・∀x∈YMO　∃y∈Perfume ( x loves y )　　
　　　Sを外延的に定義された有限集合YMO、Tを外延的に定義された有限集合Perfumeとした場合の具体例。




【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』4.5問題7(;pp.81-82)問題8場合2(p.74;83)　


下記未確認


【文献−数学基礎論】
　・前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(p.21-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-2５)。
　・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀(⇒∃)(p.９0):変則的;∃∈∀∈(p.９2);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

【文献−分析哲学・論理学】
　●戸田山『論理学をつくる』7.1.5愛の論理学(pp.169-172)
　・野矢『論理学』2-2-2-多重量化(pp.96-9９)

　




　　
→二項述語"x loves y"の二重量化一覧
→二項述語二重量化一覧/多重量化一覧　
→総目次 


 ∀y∈T ∃x∈S ( x loves y )



・「 ∀y∈T ∃x∈S ( x loves y )  」 は、

　変項yのみを含む一項述語「∃x∈S  ( x loves y )」について、

　変項yを全称量化子で束縛して普遍量化した命題

　　「∀y∈T (∃x∈S ( x loves y ) ) 」

　の略記。　


・「 ∀y∈T ∃x∈S ( x loves y )  」は、　  
　「どの《部分集合Tに属す対象》を選んで変項yへ代入しても、
　　その《部分集合Tに属す対象》にたいして、
　　　　《部分集合Sに属す対象》をうまく選んで変項xへ代入してあげることによって、
　　　　　x-y間の関係・条件P(x,y)を成り立たせることができる」

　と主張する命題。


・ ∀y∈T ∃x∈S ( x loves y )  」の読み下し例。

　「誰もが誰かに愛されている」（本橋『新しい論理序説』p.64を参考に自作。）


　

【応用例】

・誰もが誰か愛し愛されて生きるのさ

　　「　∀x (　∃y( x loves y )　  )　かつ　∀y (　∃x ( x loves y )　  )　」　　　



 【具体例】
　・∀y∈『女子を全員あつめた集合』　∃x∈『男子を全員あつめた集合』 ( x loves y )
　　Sを『男子を全員あつめた集合』、Tを『女子を全員あつめた集合』にした具体例。
　・∀y∈Perfume　∃x∈YMO ( x loves y )　　
　　　Sを外延的に定義された有限集合YMO、Tを外延的に定義された有限集合Perfume　とした場合の具体例。


【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』4.5問題7(;pp.81-82)問題8場合2(p.74;83)　


下記未確認


【文献−数学基礎論】
　・前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(p.21-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-2５)。
　・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀(⇒∃)(p.９0):変則的;∃∈∀∈(p.９2);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

【文献−分析哲学・論理学】
　●戸田山『論理学をつくる』7.1.5愛の論理学(pp.169-172)
　・野矢『論理学』2-2-2-多重量化(pp.96-9９)

　




　　

→二項述語"x loves y"の二重量化一覧
→二項述語二重量化一覧/多重量化一覧　
→総目次 

∃x∈S ∀y∈T ( x loves y )



・「∃x∈S ∀y∈T ( x loves y )」 は、　  

　変項xのみを含む一項述語

　　　「∀y∈T  ( x loves y )」

　について、

　変項xを存在量化子で束縛して存在量化した命題

　　「∃x∈S (∀y∈T  ( x loves y ) )」

　の略記。　　


・「∃x∈S ∀y∈T ( x loves y )」 は、　

　「《部分集合Sに属す対象》をうまく選んで変項xへ代入してあげることによって、

　　　いかなる《部分集合Tに属す対象》を変項yへ代入しようとも、
　　　　
　　　　　　"x loves y"というx-y間の関係を成り立たせることができる」

　と主張する命題。


 【具体例】
　・∃x∈『男子を全員あつめた集合』　∀y∈『女子を全員あつめた集合』 ( x loves y )」　
　　Sを『男子を全員あつめた集合』、Tを『女子を全員あつめた集合』にした具体例。
　・∃x∈YMO　∀y∈Perfume ( x loves y )　　
　　　Sを外延的に定義された有限集合YMO、Tを外延的に定義された有限集合Perfume　とした場合の具体例。


【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』4.5問題7(;pp.81-82)問題8場合2(p.74;83)　


下記未確認

【文献−数学基礎論】
　・前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(p.21-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-2５)。
　・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀(⇒∃)(p.９0):変則的;∃∈∀∈(p.９2);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

【文献−分析哲学・論理学】
　●戸田山『論理学をつくる』7.1.5愛の論理学(pp.169-172)
　・野矢『論理学』2-2-2-多重量化(pp.96-9９)

　


・「∃x∈S ∀y∈T ( x loves y )」の読み下し例。

　　「Sに属す誰かが、Tに属す誰をも愛している」（本橋『新しい論理序説』p.64を参考に自作。）
　　「Tに属す誰をも好きになる『「Sに属す人』がいる」（本橋『新しい論理序説』p.76を参考に自作。）

　
→二項述語"x loves y"の二重量化一覧
→二項述語二重量化一覧/多重量化一覧　
→総目次 

∃y∈T ∀x∈S  ( x loves y )



・「∃y∈T ∀x∈S ( x loves y )  」 は、

　変項yのみを含む一項述語
　　　「∀x  ( x loves y )」
　について、

　変項xを存在量化子で束縛して存在量化した

　　　命題「∃y∈T (∀x∈S ( x loves y ) )」

　の略記。
　


　   		【具体例】
　・∃y∈『女子を全員あつめた集合』　∀x∈『男子を全員あつめた集合』 ( x loves y )　
　　　Sを『男子を全員あつめた集合』、Tを『女子を全員あつめた集合』にした具体例。
　・∃y∈Perfume　∀x∈YMO ( x loves y )　　
　　　Sを外延的に定義された有限集合YMO、Tを外延的に定義された有限集合Perfumeとした場合の具体例。


【文献−数学一般】

　●本橋『新しい論理序説』4.5問題7(p.82);問題8場合2(p.74;83)

以下未確認

【文献−数学基礎論】
　・前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(p.21-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-2５)。
　・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀(⇒∃)(p.９0):変則的;∃∈∀∈(p.９2);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

【文献−分析哲学・論理学】
　●戸田山『論理学をつくる』7.1.5愛の論理学(pp.169-172)
　・野矢『論理学』2-2-2-多重量化(pp.96-9９)

　




・「∃y∈T ∀x∈S ( x loves y )」 は、　

　「《部分集合Tに属す対象》をうまく選んで変項yへ代入してあげることによって、

　　　いかなる《部分集合Sに属す対象》を変項xへ代入しようとも、
　　　　
　　　　　　"x loves y"というx-y間の関係を成り立たせることができる」

　と主張する命題。

・「∃y∈T ∀x∈S ( x loves y )」の読み下し例。

　「Sに属す誰からも好かれる「Tに属す人』がいる」（本橋『新しい論理序説』p.76;82）
　　


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→二項述語二重量化一覧/多重量化一覧　
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