集合から論理へ　：　トピック一覧

【基本】

　・定義：集合の内包　

【元と集合の関係を表す述語・命題関数】

　・性質：∈を表す述語・命題関数/ ∈の否定を表す述語・命題関数

【集合から演算によってつくられた集合の内包】

　・性質：積集合の内包をなす述語・命題関数/和集合の内包をなす述語・命題関数/補集合の内包をなす述語・命題関数/差集合の内包をなす述語・命題関数
　・性質：普遍集合を表す「述語・命題関数の属性」…扱う集合の内包をなす述語・命題関数の議論領域　

【集合間関係を表す命題】

　・性質：集合間の包含関係⊂を表す命題/集合間の一致＝を表す命題/普遍集合との一致を表す命題/空集合との一致を表す命題/互いに素を表す命題　

	[文献] 　・中谷『論理』 5章命題関数と集合-5.1真理集合(pp.99-102) 　・前原『記号論理入門』 第1章§5記号条件集合(pp.8-9);§6(pp.10-19)。

　【言葉で】

　・「集合Aの内包は、Pである」とは、
　　集合Aが性質・条件Pを満たすモノをすべてあつめた集合であることをいう。


　【記号で】

　・普遍集合Ωにおける「集合Aの内包intension・意味」とは、
　　集合Aを
　　　　　A＝{ x∈Ω | P(x) }　
　　と内包的に表現したときの、述語・命題関数P(x)のこと。

　　　　　　　　[中谷『論理』5.1真理集合(p.101)；前原『記号論理入門』(p.11)]　　　

　※外延的記法で定義された集合でも、内包的記法で表現し直せるので[中谷『論理』p.102]、すべての集合に内包は存在する。
　　たとえば、外延的記法で定義された集合Perfume ＝ { 大本, 西脇, 樫野 }　は、
　　　　Perfume ＝  { x | 「xは大本である」 または 「xは西脇である」 または 「xは樫野である」 }　
　　と内包的記法で表現し直せるので、
　　述語・命題関数「『xは大本である』 または 『xは西脇である』 または 『xは樫野である』」という内包が存在することになる。　　　　

	[文献] 　・竹内『集合とはな にか―はじめて学ぶ人のために』1章立場の変換-翻訳語としての集合(p.22) 　・本橋『新 しい論理序説』2.3集合の条件による表示・条件の集合による表示(p.30)　 　・中谷『論理』 5章命題関数と集合-5.1真理集合(5.2)(5.2')(p.101) 　・前原『記号論理入門』 第1章§5記号条件集合(pp.8-9);§6(pp.10-19)。

【ざっくり】

　集合Aの内包がPであるとき、

　【集合表現】　　a∈A　　　「aは集合Aに属す」「aは集合Aに属す」　

　は、

　一項述語・1変数命題関数　
　　　　P(a)　　　「aはPである」「aは性質Pをもつ」「aは条件Pを満たす」　
　に言い換えてよい。
　

【きっちり】

　以下、P(x) は、Ωを議論領域とする述語・命題関数P(x)とする。

　次の表現は、同一のことがらを表すので、互いに言い換えてよい。

　【集合表現】　　a∈ { x∈Ω | P(x) }　　「aは《普遍集合Ωから性質・条件Pを 満たすものを全部あつめた集合》に属す」「aは《性質・条件Pの 真理集合》に属す」　

　【述語・命題関数】　P(a)　 　　　　　　「aはPである」「aは性質Pをもつ」「aは条件Pを満たす」

【なぜ？】

　真理集合の定義より。

【例】　

　「芸能界」を議論領域とする述語・命題関数「xはNHK出演経験アリ」を記号NHK(x)で表すことにする。
　以下の2表現は同一。
　
　　　【集合表現】　Perfume∈ { x∈芸能界 | NHK(x)}　　すなわち、　Perfume∈ { x∈芸能界 | 「xはNHK出演経験アリ」 }　
　　　　　　　　　　書き下すと、「Perfumeは《普遍集合「芸能界」から条件「NHK出演経験アリ」を満たす者を全員あつめた集合》に属す」「Perfumeは《「NHK出演経験アリ」という条件の 真理集合》に属す」　

　　　【述語・命題関数】　 NHK(Perfume) 　
　　　　　　　　　　　　　　書き下すと、「Perfumeは『NHK出演経験アリ』である」「Perfumeは条件『NHK出演経験アリ』を満たす」　

　

	[文献] 　・竹内『集合とはな にか―はじめて学ぶ人のために』1章立場の変換-翻訳語としての集合(p.2４) 　・中谷『論理』 5章命題関数と集合-5.1真理集合(5-3)(p.101)

　【ざっくり】

　　集合Aの内包がPであるとき、
　
　　集合表現「a A」「aは集合Aに属さない」「aは集合Aに属さない」　は、

　　集合Aの内包Pを用いた表現
　　　　「¬ P(a)」「aはPでない」「aは性質Pをもたない」「aは条件Pを満たさない」

　　　に言い換えてよい。
　

　【きっちり】　

　　　以下、P(x) を、Ωを議論領域とする述語・命題関数とする。

　　　次の表現は、同一のことがらを表すので、互いに言い換えてよい。

　　　【集合表現】　a { x∈Ω | P(x) }　　「aは《普遍集合Ωから性質・条件Pを 満たすものを全部あつめた集合》に属さない」　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　「aは《性質・条件Pの 真理集合》に属さない」　
　　　【述語・命題関数】　 ¬ P(a)　 　　　　　「aはPでない」「aは性質Pをもたない」「aは条件Pを満たさない」