存在記号∃　　：　トピック一覧

【記号∃の説明】
　・論理記号∃の呼称
　・論理記号∃の使用法
　　∃x P(x) / ∃x∈X P(x)
　　∃x P(x,y) / ∃x∈X P(x,y)
　　∃x P(x1,…,xn) / ∃x∈X P(x1,…,xn)
　　多重量化　
　・論理記号∃の読み下し方
　・論理記号∃の推論規則
　　論理記号∃の導入則
　　論理記号∃の除去則　
 【用語別】
　・存在量化記号
　・存在記号
　・特称記号
　・existential quantifier　
　・存在量化子　
　・特称量化子
　・存在作用素
　・特称作用素



・対象領域
・議論領域
・変項の定義域

・存在量化
・存在量化子による量化
・束縛する
・束縛変数(束縛変項)
・自由変数（自由変項）

※n項述語量化関連ページ：n項述語・n変項命題関数/普遍量化・全称量化/範囲を限定した普遍量化・全称量化/範囲を限定した存在量化/二重量化
※存在量化関連ページ：1項述語存在量化/2項述語存在量化
※論理関連ページ：古典論理/論理記号一覧/述語・命題関数　
※総目次 

n項述語・n変項命題関数の存在量化　∃xi∈S  P(x1, x2, …, xn)


　・「∃変項∈変域　n項述語」の意味と読み下し方　
　・「∃変項∈『内包的に定義された集合』 n項述語」の解釈　
　・「∃変項∈有限集合　n項述語」の解釈　
　・「∃変項∈集合 n項述語」の省略形「∃+条件式+一項述語」　
　・「∃ 変項∈変域　n項述語」の読み下し例一覧　
　・「∃ 変項∈変域　n項述語」の具体的な使用例　
　・「∃ 変項∈変域　n項述語」のなかで用いられる用語
　・「∃ 変項∈変域　n項述語」の集合表現

∃xi∈S  P(x1, x2, …, xn) の意味　

【ざっくり】

・「∃ x1 ∈《変項が動く範囲を表す集合S》 （ x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件P ）」は、
　
　　　「 x1に代入されると、x2, …, xnとの関係・条件Pを満たす対象が、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　集合Sのなかに少なくとも一つは存在する」

　という意味で、

　　　「ある『集合Sに属す元』x1が存在して、x1, …, xnは関係Pにある/条件Pを満たす」

　　　「ある『集合Sに属す元』x1について、x1, …, xnは関係Pにある/条件Pを満たす」

　　　「x2, …, xnとの関係・条件Pを満たす『集合Sに属す元』x1が存在する」

　と読み下される。

　→詳細：集合Sを特定の対象に固定した場合　
　→詳細：集合Sも変項とした場合

・「∃ x2 ∈《変項が動く範囲を表す集合S》 （ x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件P ） 」は、


　　「 x2に代入されると、x1, x3, …, xnとの関係・条件Pを満たす対象が、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　集合Sのなかに少なくとも一つは存在する」

　という意味で、

　　　「ある『集合Sに属す元』x2が存在して、x1, …, xnは関係Pにある/条件Pを満たす」

　　　「ある『集合Sに属す元』x2について、x1, …, xnは関係Pにある/条件Pを満たす」

　　　「x2, …, xnとの関係・条件Pを満たす『集合Sに属す元』x2が存在する」

　と読み下される。

　→詳細：集合Sを特定の対象に固定した場合　
　→詳細：集合Sも変項とした場合

　：
　：

・「∃ xn ∈《変項が動く範囲を表す集合S》 （ x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件P ） 」は、
　
　　　「 xnに代入されると、x1, x2, …, xn-1との関係・条件Pを満たす対象が、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　集合Sのなかに少なくとも一つは存在する」

　という意味で、

　　　「ある『集合Sに属す元』xnが存在して、x1, …, xnは関係Pにある/条件Pを満たす」

　　　「ある『集合Sに属す元』xnについて、x1, …, xnは関係Pにある/条件Pを満たす」

　　　「x1, x2, …, xn-1との関係・条件Pを満たす『集合Sに属す元』xnが存在する」

　と読み下される。

　→詳細：集合Sを特定の対象に固定した場合　
　→詳細：集合Sも変項とした場合
　※関連事項−n項述語の量化： ∃x P(x1,…,xn)の意味 / ∀xi P(x1,…,xn)の意味 / ∀xi∈X P(x1,…,xn)の意味  
　※さらに量化すると：  「∃xi∃xj P(x1,…,xn)」の意味/「∀xi∃xj P(x1,…,xn)」の意味　
　※具体例：1項述語の存在量化/2項述語の存在量化　


【文献】
　・中内『ろんりの練習帳』2.5存在命題関数(pp.99-102):n変数命題関数を存在量化したn-1変数命題関数。
　・井関清志『集合と論理』§1.2(pp.6-7):一元一次方程式が解ける,例1例2(pp.10-11;)
　・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(pp.3８-46)5.5導く性質に∃x∀yがある場合(pp.176-186);5.6導く性質に∀x∃y∀zがある場合(pp.186-194);　
　・新井紀子『数学は言葉』2.3脚注8(pp.57-58)：∃m∈N ∃n∈N P(m,n)；例題3.2.11(pp.92-93)∃x∈R (¬(∃n∈N∃m∈Z x=m/n));例題3.2.15(p.98)(p.100);4.1(p.124);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);
　・本橋『新しい論理序説』4(pp.62-83):述語と量化とその読み下し方について豊富な具体例。；5.概念の合成都分析(pp.84-109);5.3実数の順序関係:実数の集合の上界・最大元、関数の値域・最大値・連続(pp.91-109).

　






【きっちり】

　　　　→「∃xi∈Si P(x1, x2, …, xn)」の集合Siを特定の対象に固定した場合　
　　　　→「∃xi∈Si  P(x1, x2, …, xn) 」の集合Siも変項とした場合　



【　∃xi∈特定の対象 P(x1, x2, …, xn)　】　
　　　　(1)

　　　　[設定]
　　　
　　　　　・P(x1, x2, …, xn) ：　変項x1の議論領域をX1、変項x2の議論領域をX2 、…、変項xnの議論領域をXn とするn項述語・n変数命題関数　
　　　　　・S1 ：特定の「X1の部分集合」　
　　　
　　　　[本題]


　　　　　・「∃ x1∈S1 P(x1, x2, …, xn) 」　　x1に代入されると、x2, …, xnとの関係・条件Pを満たす対象が、S1のなかに少なくとも一つは存在する
　　　　　　は、　

　　　　　　議論領域をX2, … , Xn とする(n-1)変項命題関数
　　　　　　　　「 ∃x1 ( x1∈S1 かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」
　　　　　　　　　　　　　　　x1に代入されると、《S1に属し、かつ、x2, …, xnとの関係・条件Pを満たす》対象が、
　　　　　　　　　　　　　　　議論領域X1のなかに少なくとも一つは存在する

　　　　　　の省略表現。

　 　　　　・したがって、「∃ x1∈S1 P(x1, x2, …, xn) 」と「 ∃x1 ( x1∈S1 かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」とは、互いに言い換えてよい。


　　　　* このように、n項述語・n変数命題関数 P(x1, x2, …, xn) の頭に「∃x1∈《X1の特定の部分集合》」をつける（存在量化する）と、
　　　　　　　　　(n-1)変項命題関数Q(x1, x2,…, xn-1)になる。

　　　　* 「∃ x1∈S1 P(x1, x2, …, xn) 」 と書くとき、S1 を 変項x1の議論領域X1 にしても構わない。つまり、「∃ x1∈X1 P(x1, x2, …, xn) 」という表現もOK。
　　　 　　この「∃ x1∈X1 P(x1, x2, …, xn) 」という表現によって、 変項x1の議論領域X1を読者に明示的に伝達することが可能[新井p.90;松井p.36]。


　　　 (2)

　　　 　[設定]

　　　　　・P(x1, x2, …, xn) ：　変項x1の議論領域をX1、変項x2の議論領域をX2 、…、変項xnの議論領域をXn とするn項述語・n変数命題関数　
　　　　　・S2 ：特定の「X2の部分集合」　

　　　 　[本題]


　　　 　　・「∃ x2∈S2 P(x1, x2, …, xn) 」　　 x2に代入されると、x1 , x3 , …, xn との関係・条件Pを満たす対象が、S2のなかに少なくとも一つは存在する　
　　　　　　は、

　　　　　　議論領域をX1, X3,… , Xn とする(n-1)変項命題関数Q(x1, x3,…, xn)　

　　　　　　　　「 ∃x2 ( x2∈S2 かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」
　　　　　　　　　　　　　x2に代入されると、《S2に属し、かつ、x1 , x3 , …, xn との関係・条件Pを満たす》対象が、
　　　　　　　　　　　　　議論領域X2のなかに少なくとも一つは存在する

　　　　　　の省略表現。

　　　 　　・したがって、「∃x2∈S2 P(x1, x2, …, xn) 」と「 ∃x2 ( x2∈S2 かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」とは、互いに言い換えてよい。

　　　 　　*　このように、n変数命題関数P(x1, x2, …, xn)の頭に「∃ x2∈《X2の特定の部分集合》」を一つつける（存在量化する）と、
　　　　　　　　　　　　(n-1)変項命題関数Q(x1, x3,…, xn)になる。

　　　 　　*　「∃x2∈S2 P(x1, x2, …, xn) 」　と書くとき、S2を変項x２の議論領域X2 にしても構わない。つまり、「∃x2∈X2 P(x1, x2, …, xn) 」という表現もOK。
　　　　　　　この「∃x2∈X2 P(x1, x2, …, xn) 」という表現によって、変項x２の議論領域X2 を読者に明示的に伝達することが可能[新井p.90;松井p.36]。
　　　：
　　　：

　　　 (n)

　　　 　[設定]

　　　　　・P(x1, x2, …, xn) ：　変項x1の議論領域をX1、変項x2の議論領域をX2 、…、変項xnの議論領域をXn とするn項述語・n変数命題関数　
　　　　　・Sn  ：特定の「Snの部分集合」　

　　　 　[本題]

　　　　　・「∃ xn∈Sn P(x1, x2, …, xn) 」　　xnに代入されると、x1, x2, …, xn-1との関係・条件Pを満たす対象が、Snのなかに少なくとも一つは存在する
　　　　　　は、

　　　　　　議論領域をX1, X2,…, Xn-1と とする(n-1)変項命題関数Q(x1, x2,…, xn-1)　

　　　　　　　　　「 ∃xn ( xn∈Sn かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」
　　　　　　　　　　　　xnに代入されると、《Snに属し、かつ、x1, x2, …, xn-1との関係・条件Pを満たす》対象が、
　　　　　　　　　　　　議論領域Xnのなかに少なくとも一つは存在する
　　
　　　　　　の省略表現。　

　　　 　　・したがって、「∃ xn∈Sn P(x1, x2, …, xn) 」 と 「 ∃xn ( xn∈Sn かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」とは、互いに言い換えてよい。

　　　 　　*　このように、n変数命題関数P(x1, x2, …, xn)の頭に「∃ xn∈《Xnの特定の部分集合》」を一つつける（存在量化する）と、
　　　　　　　　　　　　　(n-1)変項命題関数Q(x1, x2,…, xn-1)になる。

　　　 　　*　 「 ∃ xn∈Sn P(x1, x2, …, xn) 」　と書くとき、Snを 変項xnの議論領域Xn にしても構わない。
　　　　　　　つまり、「 ∃ xn∈Xn P(x1, x2, …, xn) 」という表現もOK。
　　　　　　　この「 ∃ xn∈Xn P(x1, x2, …, xn) 」という表現によって、
　　　　　　　変項xnの議論領域Xn を読者に明示的に伝達することが可能[新井p.90;松井p.36]。


　　　＊「 ∃＋ 変項(変数) ＋ n項述語・n変数命題関数」の後ろに、記号が続いていく場合、
　　　　「 ∃ ＋ 変項 (変数)」が支配している範囲（スコープ）を明示するために、
　　　 　「 ∃ ＋ 変項(変 数)」の適用範囲に入っている述語を（）で括る。





【　∃xi∈変項 P(x1, x2, …, xn)　】　



　　　 (1')

　　　 　[設定]

　　　 　　・P(x1, x2, …, xn) ：　変項x1の議論領域をX1、変項x2の議論領域をX2 、…、変項xnの議論領域をXn とするn項述語・n変数命題関数　
　　　　　・1 ：特定の「X1の部分集合系」　
　　　　　・S1 ：「X1の部分集合系」1に属す様々な「X1の部分集合」が代入される変項　

　　　 　[本題]

　　　 　　・「 ∃ x1∈S1 P(x1, x2, …, xn) 」　は、「 ∃x1 ( x1∈S1 かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」の省略表現。　

　　　　　　　　※ 「 ∃x1 ( x1∈S1 かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」の詳細情報　
　
　　　　　　　　　　・「x1∈S1 かつ P(x1, x2, …, xn)」は、変項S1,x1,…,xn からなる(n+1)項述語・(n+1)変項命題関数。
　　　　　　　　　　・「x1∈S1 かつ P(x1, x2, …, xn)」の変項x1を∃で束縛し存在量化したのが 「 ∃x1 ( x1∈S1 かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」。
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　・  「 ∃x1 ( x1∈S1 かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」で自由変項のままなのは、 S1,  x2, …, xn 。
　　　　　　　　　　　「 ∃x1 ( x1∈S1 かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」 は、S1,  x2, …, xnを変項とするn項述語・n変数命題関数となる。
　　　　　　　
　　　　　　　　　　・n項述語・n変数命題関数「 ∃x1 ( x1∈S1 かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」 の変項S1の議論領域は「X1の部分集合系」1　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(S1にまつわる設定より)。
　　　　　　　　　　　n項述語・n変数命題関数「 ∃x1 ( x1∈S1 かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」 の変項x2の議論領域はX2　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（P(x1, x2, …, xn)にまつわる設定より）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：　　　　　　：　
　　　　　　　　　　　n項述語・n変数命題関数「 ∃x1 ( x1∈S1 かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」 の変項xnの議論領域はXn　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（P(x1, x2, …, xn)にまつわる設定より）
 
　　　 　　・だから、「 ∃x1 ( x1∈S1 かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」を省略した「 ∃ x1∈S1 P(x1, x2, …, xn) 」も、
　　　　　　　　　S1, x2, …, xnを変項とするn項述語・n変数命題関数で、議論領域は1,X2,…,Xn
　　　　　・このように、n変数命題関数P(x1, x2, …, xn)の頭に「 ∃x1∈《様々な「X1の部分集合」が代入される変項》」を一つつける（存在量化する）と、
　　　　　　　　　　　　n変項命題関数Q(S1,x2,…,xn)になる。

　　　 (2')

　　　 　[設定]

　　　 　　・P(x1, x2, …, xn) ：　変項x1の議論領域をX1、変項x2の議論領域をX2 、…、変項xnの議論領域をXn とするn項述語・n変数命題関数　
　　　　　・2 ：特定の「X2の部分集合系」　
　　　 　　・S2 ：「X2の部分集合系」2に属す様々な「X2の部分集合」が代入される変項　

　　　 　[本題]

　　　　　・「∃ x2∈S2 P(x1, x2, …, xn) 」　は、「 ∃x2 ( x2∈S2 かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」の省略表現。　
　　　　　　　　※ 「 ∃x2 ( x2∈S2 かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」 の詳細情報　
　
　　　　　　　　　　・「 x2∈S2 かつ P(x1, x2, …, xn) 」は、変項S2,x1,…,xn からなる(n+1)項述語・(n+1)変項命題関数。
　　　　　　　　　　・「 x2∈S2 かつ P(x1, x2, …, xn) 」の変項x2を∃で束縛し存在量化したのが  「 ∃x2 ( x2∈S2 かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」。
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　・ 「 ∃x2 ( x2∈S2 かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」 で自由変項のままなのは、 S2,  x1, x3, …, xn。
　　　　　　　　　　　「 ∃x2 ( x2∈S2 かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」 は、 S2, x1, x3, …, xnを変項とするn項述語・n変数命題関数となる。
　　　　　　　
　　　 　　　　　　　・n項述語・n変数命題関数 「 ∃x2 ( x2∈S2 かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」 の変項S2の議論領域は「X2の部分集合系」2　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (S2にまつわる設定より)
　　　　　　　　　　　n項述語・n変数命題関数 「 ∃x2 ( x2∈S2 かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」 の変項x1の議論領域はX1　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（P(x1, x2, …, xn)にまつわる設定より）
　　　　　　　　　　　n項述語・n変数命題関数 「 ∃x2 ( x2∈S2 かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」 の変項x3の議論領域はX3　（P(x1, x2, …, xn)にまつわる設定より）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：　　　　　　：　
　　　　　　　　　　　n項述語・n変数命題関数 「 ∃x2 ( x2∈S2 かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」 の変項xnの議論領域はXn　　（P(x1, x2, …, xn)にまつわる設定より）
 
　　　 　　・だから、 「 ∃x2 ( x2∈S2 かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」 を省略した「∃ x2∈S2 P(x1, x2, …, xn) 」も、
　　　　　　　　　S2,  x1, x3, …, xnを変項とするn項述語・n変数命題関数で、議論領域は2, X1, X3, …, Xn

　　　 　　・このように、n変数命題関数P(x1, x2, …, xn)の頭に「∃x2∈《様々な「X2の部分集合」が代入される変項》」を一つつける（存在量化する）と、
　　　　　　　　　　　　n変項命題関数Q(S2,x1,x3,…,xn)になる。

　　　：
　　　：

　　　 (n')

　　　 　[設定]

　　　 　　・P(x1, x2, …, xn) ：　変項x1の議論領域をX1、変項x2の議論領域をX2 、…、変項xnの議論領域をXn とするn項述語・n変数命題関数　
　　　　　・n ：特定の「Xnの部分集合系」　
　　　 　　・Sn ：「Xnの部分集合系」nに属す様々な「Xnの部分集合」が代入される変項　

　　　 　[本題]

　　　　　・「∃ xn∈Sn P(x1, x2, …, xn) 」　は、 「 ∃xn ( xn∈Sn かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」 の省略表現。　

　　　　　　　　※「 ∃xn ( xn∈Sn かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」の詳細情報　
　
　　　　　　　　　　・「xn∈Sn かつ P(x1, x2, …, xn) 」は、変項Sn,x1,…,xn からなる(n+1)項述語・(n+1)変項命題関数。
　　　　　　　　　　・「xn∈Sn かつ P(x1, x2, …, xn)」の変項xnを∃で束縛し存在量化したのが 「 ∃xn ( xn∈Sn かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」。
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　・ 「∃xn ( xn∈Sn かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」 で自由変項のままなのは、 Sn , x1,  …, xn-1。
　　　　　　　　　　　「 ∃xn ( xn∈Sn かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」 は、Sn , x1,  …, xn-1 を変項とするn項述語・n変数命題関数となる。
　　　　　　　
　　　 　　　　　　　・n項述語・n変数命題関数「 ∃xn ( xn∈Sn かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」 の変項Snの議論領域は「Xnの部分集合系」n　 (Snにまつわる設定より)。
　　　　　　　　　　　n項述語・n変数命題関数「 ∃xn ( xn∈Sn かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」 の変項x1の議論領域はX1　　（P(x1, x2, …, xn)にまつわる設定より）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：　　　　　　：　
　　　　　　　　　　　n項述語・n変数命題関数「 ∃xn ( xn∈Sn かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」 の変項xn-1の議論領域はXn-1　　（P(x1, x2, …, xn)にまつわる設定より）
 
　　　 　　・だから、「 ∃xn ( xn∈Sn かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」を省略した「∃xn∈Sn P(x1, x2, …, xn) 」も、
　　　　　　　　　Sn , x1,  …, xn-1を変項とするn項述語・n変数命題関数で、議論領域はn, X1,…, Xn-1

　　　 　　・このように、n変数命題関数P(x1, x2, …, xn)の頭に「∃xn∈《様々な「Xnの部分集合」が代入される変項》」を一つつける（存在量化する）と、
　　　　　　　　　　　　　n変項命題関数Q(Sn, x1,…, xn-1)になる。



→[トピック一覧：論理記号∃]
→[総目次]


「 ∃変項∈『内包的に定義された集合』  n項述語 」の解釈　

【設定】

　・P(x1, x2, …, xn)を、

　※具体例：n項述語が1項述語のケース/n項述語が2項述語のケース
　※関連事項： ∀xi∈X P(x1,…,xn)のケース

　　　変項x1の議論領域をX1 , 変項x2の議論領域をX2 , … ,  変項xnの議論領域をXn とするn項述語・n変数命題関数　
　・S1を「議論領域X1の部分集合」
　・S2を「議論領域X2の部分集合」
　：
　：
　・Snを「議論領域Xnの部分集合」
　とする。　

【本題】

・「∃x1∈S1 P(x1, x2, …, xn) 」　　x1に代入されると、x2, …, xnとの関係・条件Pを満たす対象が、S1のなかに少なくとも一つは存在する
　は、
　　S1＝{ x'∈X | Q1(x') } 　集合S1の内包がQ1　　
　であるとき、
　議論領域をX2, … , Xn とする(n-1)変項命題関数
　　　「 ∃x1 ( Q1(x) かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」　x1に代入されると、《条件Q1を満たし、かつ、x2, …, xnとの関係・条件Pを満たす》対象が、議論領域X1のなかに少なくとも一つは存在する
　に言い換えてよい。

・「∃x2∈S2 P(x1, x2, …, xn) 」　　 x2に代入されると、x1 , x3 , …, xn との関係・条件Pを満たす対象が、S2のなかに少なくとも一つは存在する
　は、
　　S2＝{ x'∈X | Q2(x') } 　集合S2の内包がQ1　　
　であるとき、
　議論領域をX1, X3,… , Xn とする(n-1)変項命題関数Q(x1, x3,…, xn)。
　　　　「 ∃x2 ( Q2(x) かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」　x2に代入されると、《条件Q2を満たし、かつ、x1 , x3 , …, xn との関係・条件Pを満たす》対象が、議論領域X2のなかに少なくとも一つは存在する
　に言い換えてよい。

　：　
　：

・「∃xn∈Sn P(x1, x2, …, xn) 」　　xnに代入されると、x1, x2, …, xn-1との関係・条件Pを満たす対象が、Snのなかに少なくとも一つは存在する　　
　は、
　　Sn＝{ x'∈X | Qn(x') } 　集合Snの内包がQn　　
　であるとき、
　　議論領域をX1, X2,… , Xn-1とする(n-1)変項命題関数Q(x1, x2,…, xn-1)。　　
　　　　「 ∃xn ( Qn(x) かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」　xnに代入されると、《条件Qnを満たし、かつ、x1, x2, …, xn-1との関係・条件Pを満たす》対象が、議論領域Xnのなかに少なくとも一つは存在する
　に言い換えてよい。

→[トピック一覧：論理記号∃]
→[総目次]



さらなる省略形「∃ 条件式　n項述語」　　　

【設定】

　・P(x1, x2, …, xn)を、
　　変項x1の議論領域をX1 ,
　　変項x2の議論領域をX2 ,
　　　　：　　　　　　：　
　　変項xnの議論領域をXn
　　とするn項述語・n変数命題関数　

　・S1を「議論領域X1の部分集合」
　・S2を「議論領域X2の部分集合」,
　：
　：
　・Snを「議論領域Xnの部分集合」
　とする。



※具体例：n項述語が1項述語のケース/n項述語が2項述語のケース
※関連事項： ∀ 条件式 P(x1,…,xn)

【文献】
　　・中内『ろんりの練習帳』注2.4.8(p.96)略記法。


【本題】

・「 ∃  x1を先頭にした条件式Q1(x)　P(x1, x2, …, xn)」
　　　　　　　　たとえば、　Rを変項x1の議論領域とした際の「∃ x1>0  P(x1, x2, …, xn)」
　は、

　[表現a]　　議論領域をX2, … , Xn とする(n-1)変項命題関数「∃ x1∈ { x∈X1 | Q1(x) } P(x1, x2, …, xn)」　　x1に代入されると、x2, …, xnとの関係・条件Pを満たす対象が、Q1(x)の真理集合のなかに少なくとも一つは存在する
　　　　　　　　上記の例では、　「∃x1∈ { x∈R |  x>0  }　P(x1, x2, …, xn)」　　 x1に代入されると、x2, …, xnとの関係・条件Pを満たす対象が、「x>0」の真理集合のなかに少なくとも一つは存在する
　ないし、

　[表現b]　　議論領域をX2, … , Xn とする(n-1)変項命題関数「∃x1 ( Q1(x) かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」　x1に代入されると、《条件Q1を満たし、かつ、x2, …, xnとの関係・条件Pを満たす》対象が、議論領域X1のなかに少なくとも一つは存在する
　　　　　　　　上記の例では、　「∃x1 ( x1>0 かつ P(x1, x2, …, xn) )」 　　
　の省略表現。

・「∃  x2を先頭にした条件式Q2(x)　P(x1, x2, …, xn)」
　　　　たとえば、　Rを変項x2の議論領域とした際の　「∃ x2>0  P(x1, x2, …, xn)」
　は、

　[表現a]　　議論領域をX1, X3,… , Xn とする(n-1)変項命題関数　「∃ x2∈{ x∈X2 | Q2(x) } 　P(x1, x2, …, xn) 」　　 x2に代入されると、x1 , x3 , …, xn との関係・条件Pを満たす対象が、Q2(x)の真理集合のなかに少なくとも一つは存在する
　　　　　　　　上記の例では、　「∃x2∈ { x∈R |  x>0  }　P(x1, x2, …, xn)」　　x2に代入されると、x1 , x3 , …, xn との関係・条件Pを満たす対象が、「x>0」の真理集合のなかに少なくとも一つは存在する」
　ないし、

　[表現b]　　議論領域をX1, X3,… , Xn とする(n-1)変項命題関数　「∃x2 ( Q2(x) かつ P(x1, x2, …, xn) )」　　x2に代入されると、《条件Q2を満たし、かつ、x1 , x3 , …, xn との関係・条件Pを満たす》対象が、議論領域X2のなかに少なくとも一つは存在する
　　　　　　　　上記の例では、　「∃x2 ( x2>0 かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」　　
　の省略表現。

：　
：
：

・「 ∃  xnを先頭にした条件式Qn(x)　P(x1, x2, …, xn)　」
　　　　たとえば、　Rを変項xnの議論領域とした際の　「∃ xn>0  P(x1, x2, …, xn)」
　は、

　[表現a]　　議論領域をX1, X2,… , Xn-1とする(n-1)変項命題関数「∃ xn∈{ x∈Xn | Qn(x) } P(x1, x2, …, xn)」　　xnに代入されると、x1, x2, …, xn-1との関係・条件Pを満たす対象が、Qn(x)の真理集合のなかに少なくとも一つは存在する
　　　　　　　　上記の例では、　「∃ xn∈{ x∈X | xn>0 }　P(x1, x2, …, xn)」　　xnに代入されると、x1, x2, …, xn-1との関係・条件Pを満たす対象が、「x>0」の真理集合のなかに少なくとも一つは存在する
　ないし、

　[表現b]　　議論領域をX1, X2,… , Xn-1とする(n-1)変項命題関数「∃xn ( Qn(x) かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」　xnに代入されると、《条件Qnを満たし、かつ、x1, x2, …, xn-1との関係・条件Pを満たす》対象が、議論領域Xnのなかに少なくとも一つは存在する
　　　　　　　　上記の例では、　「∃xn ( xn>0 かつ P(x1, x2, …, xn) ) 」　　
　の省略表現。

※上記の表現aと表現bが同一の事態を表しているのはなぜ?　→　理由　　

→[トピック一覧：存在記号∃]
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「∃変項∈有限集合 n項述語」の解釈　

【設定】

　・P(x1, x2, …, xn)を、
　　変項x1の議論領域をX1 ,
　　変項x2の議論領域をX2 ,
　　　　：　　　　　　：　
　　変項xnの議論領域をXn
　　とするn項述語・n変数命題関数　

　・S1を「議論領域X1の部分集合」
　・S2を「議論領域X2の部分集合」,
　：
　：
　・Snを「議論領域Xnの部分集合」
　とする。


※具体例：n項述語が1項述語のケース/n項述語が2項述語のケース

※関連事項：∀xi∈X P(x1,…,xn)のケース






【本題】

・「∃ x1∈S1 P(x1, x2, …, xn) 」は、S1が有限集合 { a1 , a2 , … , am } であるとき、
　「　P( a1, x2, …, xn)　または　P( a2, x2, …, xn)　または　…　または　P( am , x2, …, xn)　」　x2, …, xnは、a1と関係Pにある、または、a2と関係Pにある、または…または amと関係Pにある　　
　に言い換えてよい。

・「∃ x2∈S2 P(x1, x2, …, xn) 」は、　S2が有限集合 { a1 , a2 , … , am } であるとき、
　「　P( x1, a1, x3 , …, xn )　または　P( x1, a2, x3 , …, xn )　または　…　または　P( x1, am , x3 , …, xn )　」　x1, x3, …, xnは、a1と関係Pにある、または、a2と関係Pにある、または…または amと関係Pにある　
　に言い換えてよい。

：
：
：

・「∃ xn∈Sn P(x1, x2, …, xn) 」は、Snが有限集合 { a1 , a2 , … , am } であるとき、
　「　P( x1, x2,  …, xn-1, a1 )　または　P( x1, x2,  …, xn-1, a2 )　または　…　または　P( x1, x2,  …, xn-1, am )　」　x1,x2,…,xn-1は、a1と関係Pにある、または、a2と関係Pにある、または…または amと関係Pにある
　に言い換えてよい。

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「∃xi∈S  P(x1, x2, …, xn)」に関わる諸用語　

【全称記号・全称量化記号/全称量化子・全称作用素】

・「∃ 変項∈範囲　n項述語(n変数命題関数)」というかたちのなかの、
　「∃」は、　
　　存在記号　　[前原p.4;中内p.94;斎藤p.56;井関p.7;杉浦p.401]
　　特称記号　　[中内p.94]
　　存在量化記号　[斎藤p.57;岡田光弘p.30]
　　existential quantifier　[斎藤p.57;岡田光弘p.30;De LaFuentep.8]
　などと呼ばれる論理記号。

・「∃ 変項∈範囲　n項述語(n変数命題関数)」というかたちのなかの、
　「∃変項」という部分は、　
　　存在作用素 [前原p.4;松本p.28;中内p.94]　　　
　　特称作用素 [前原p.4;松本p.28;中内p.94]　　　
　　存在量化子 [斎藤p.57]　
　　特称量化子 [高崎V-1.1;1.4]
　　existential quantifier
　と呼ばれる。
　　＊岡田章は、記号「∃」そのものを「存在量化子」と呼ぶ(p.252)が、
　　　どうなのだろう？





　　　【量化】

　　　 ・存在量化子・作用素「∃変項∈範囲」をn項述語(n変数命題関数)の前につけて
　　　　「∃ 変項∈範囲　n項述語」というかたちにする行為を、
　
　　　 　　　存在量化　[野矢 p.213;本橋pp.40-41;]
　　　
　　　 　などと呼ぶ。
　　　　別の文脈で、「《変項》の束縛bound」と呼ぶこともある[→詳細]。

　　　 　　[岡田光弘p.31;]述語の前に、∀x,∃xをつけること[井関p.26]




【スコープ】

・「∃変項∈範囲　n項述語(n変数命題関数)」というかたちのなかで、

　存在量化子・作用素「∃変項∈範囲」によって量化された

　　「n項述語(n変数命題関数)」

　の範囲は、

　存在量化子・作用素「∃変項∈範囲」の

　　スコープscope[岡田光弘p.31;松本p.28]
　　適用範囲[松本p.28]
　　視野[高崎V-1.5]
　　作用域[高崎V-1.5]
　　作用範囲[前原1章§8(p.24)]

　などと呼ばれる。
　
※「∃変項∈範囲　n項述語(n変数命題関数)」の後ろに、記号が続いていく場合、
　どこまでが「∃変項∈範囲」のスコープなのか、はっきりしなくなることがある。
　そういうときは、
　「∃変項∈範囲」のスコープがどこまでかを明示するために、
　「∃変項∈範囲」の適用範囲に入っている述語を（）で括る。
　　　　　　




【束縛する/束縛変項/自由変項】

・ ∃xi∈範囲を、x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件Pの前につける行為を、
　「変項(変数)xiを束縛するbound」と呼ぶ。[井関p.26]　

・「∃xi∈範囲 P(x1, x2, …, xn)  」において、

　「∃xi∈範囲」のスコープにある 変項xi　

　　つまり、
　　　「∃xi∈範囲」によって量化されたn項述語(n変数命題関数)　
　　　　P(x1, x2, …, xn)　　　　
　　　のなかの変項xi

　は、
　　束縛変項　（束縛変数）　bound variable
　と呼ばれる。[斎藤p.50;前原1章§7-8][岡田光弘p.31;]
　　　　　　　[本橋2.4(pp.31-34))]





下記未確認
【文献−数学基礎論】
　●前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(pp.20-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-26)。
　・井関清志『集合と論理』§1.2(pp.6-7);§1.5(pp.24-30)。
　・高崎金久『数理論理学入門』V.述語論理の意味論-1.4 量化子の使い方；1.5 変数の出現位置と視野

【文献−分析哲学・論理学】
　・戸田山『論理学をつくる』7.1.4多重量化(p.167)

【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』;2.4(pp.31-34):自由変数と束縛変数;3.2(pp.40-43);4(pp.62-83):述語と量化とその読み下し方について豊富な具体例。

　


・「∃xi∈範囲 P(x1, x2, …, xn)  」において、「∃xi∈範囲」のスコープにあるものの「∃xi∈範囲」によって束縛されていない変項　

　　つまり、n項述語(n変数命題関数)　P(x1, x2, …, xn)　のなかの変項x1,…, xi-1,  xi+1 ,…, xn　　

　は、
　自由変項 （自由変数）　free variable
　と呼ばれる。[岡田光弘p.31;井関p.2９;前原1章§8(p.24)]　　

→[トピック一覧：論理記号∃]
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「∃xi ∈S　P(x1,x2,…,xn) 」の読み下し例：一覧　　

【日本語type1】

（１）

・「ある『Sに属す対象』xiについて、P(x1, x2, …, xn)　」　[中谷p.141;本橋p.70]　

・「少なくともひとつの『Sに属す対象』xiに対して、P(x1, x2, …, xn)　」 [斎藤p.56]

(2)

・「ある『Sに属す対象』xiが存在し、P(x1, x2, …, xn)　」　[野矢『入門！論理学』p.218]

【日本語type2】

・「　P(x1, x2, …, xn)となる『Sに属す対象』xiがある　」　[本橋p.70 ; p.42]　

・「　P(x1, x2, …, xn)なる『Sに属す対象』xiが存在する　」[斎藤p.56]


　※関連事項−n項述語の量化： ∃xi P(x1,…,xn)の読み / ∀xi P(x1,…,xn)の読み / ∀xi∈X P(x1,…,xn)の読み  
　※関連事項−n項述語の二重量化：「∀xi∀xj P(x1,…,xn) 」の読み/「∃xi∀xj P(x1,…,xn)」の読み/「∀xi∃xj P(x1,…,xn)」の読み / 「∃xi∃xj P(x1,…,xn)」の読み

 【　n=1 のとき具体例　】

　→　1項述語・1変数命題関数の具体例　

【　n=2 のとき具体例　】

　→　2項述語・2変数命題関数の具体例　

【　n=３ のとき具体例　】
　


下記未確認
【文献】
　・中谷『論理』6.3A多変数の命題関数の限定命題(p.141)
　●本橋『新しい論理序説』3.2例3;問題4-5(pp.42-43);4.1(p.64):
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§3存在量化子(pp.56-7)
　・新井紀子『数学は言葉』4.1(p.124);4.2(p.128)
　・野矢茂樹『入門！論理学』第6章(pp.218-222)∀x∃y P(x,y).∃y∀x P(x,y).
　●De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,1.2.a.Properties and Quantifiers(pp.8-9):二重量化。英語での読み下し例。
　・戸田山『論理学をつくる』7.1.4多重量化(pp.167-9)

　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』第4章述語論理脚注3(p.30):


　


※さらに量化すると…　「∀xi∈Si ∃xj∈Sj P(x1,…,xn)」の読み / 「∃xi∃xj P(x1,…,xn)」の読み　 　　　

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