【記号∀の説明】 ・論理記号∀の呼称 ・論理記号∀の使用法 ∀x P(x) / ∀x∈X P(x) ∀x P(x,y) / ∀x∈X P(x,y) ∀xi P(x1,…,xn) 多重量化 ・論理記号∀の読み下し方 ・論理記号∀の推論規則 −論理記号∀の導入則 −論理記号∀の除去則 | 【用語別】 ・全称量化記号 ・全称記号 ・universal quantifier ・全称量化子 ・全称作用素 | ・対象領域 ・議論領域 ・変項の定義域 |
・全称量化 ・全称量化子による量化 ・普遍量化 ・束縛する ・束縛変数(束縛変項) ・自由変数(自由変項) |
【ポイント】 ・「∀xi∈Di P(x1, x2, …, xn) 」 は、 集合Diという範囲から対象を選んで、変項xに代入すると、 どの対象を集合Diから選んで、変項xiに代入しても、 x1, x2, …, xnは関係・条件Pを満たす という主張。 ・集合Diが特定の対象に固定されている場合、 「∀xi∈Di P(x1, x2, …, xn) 」は、 x1, x2, …, xnからxiを除いた(n-1)個の変項からなる(n-1)項述語。 →詳細 ・集合Diも変項で、様々な対象が代入される場合、 「∀xi∈Di P(x1, x2, …, xn) 」 は、 x1, x2, …, xnからxiを除いた(n-1)個の変項と、 変項Diからなるn項述語・n変数命題関数 。 →詳細 |
「∀+変項∈範囲+n項述語」の意味
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※関連事項−n項述語の量化: ∀xi P(x1,…,xn)の意味 / ∃xi P(x1,…,xn)の意味 / ∃x∈X P(x1,xn)の意味 ※関連事項−n項述語の二重量化:「∀xi∀xj P(x1,…,xn) 」 /「∃xi∀xj P(x1,…,xn)」 /「∀xi∃xj P(x1,…,xn)」 / 「∃xi∃xj P(x1,…,xn)」
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→集合Xが『内包的に定義された集合』のときの解釈 →集合Xが有限集合であるときの解釈 →主要テキストの読み下し例一覧 |
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有限集合が議論領域のときの「∀変項 n項述語」の解釈
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※具体例:n項述語が1項述語のケース/n項述語が2項述語のケース ※関連事項: ∃xi∈X P(x1,…,xn)のケース |
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・「∀x1∈D1 P(x1, x2, …, xn) 」は、D1が有限集合 { a1 , a2 , … , am } であるとき、 P( a1, x2, …, xn) かつ P( a2, x2, …, xn) かつ … かつ P( am , x2, …, xn) 「x2, …, xnは、a1と関係Pにあり、かつ、a2と関係Pにあり、かつ…かつ amと関係Pにある」 に言い換えてよい。 ・「∀x2∈D2 P(x1, x2, …, xn) 」は、D2が有限集合 { a1 , a2 , … , am } であるとき、 P( x1, a1, …, xn) かつ P( x1, a2, …, xn) かつ … かつ P( x1, am, …, xn) に言い換えてよい。 : : ・「∀xn∈Dn P(x1, x2, …, xn) 」は、Dnが有限集合 { a1 , a2 , … , am } であるとき、 P( x1, x2, …, a1) かつ P( x1, x2, …, a2) かつ … かつ P( x1, x2, …, am) に言い換えてよい。 |
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「∀+変項∈範囲+n項述語」に関わる諸用語
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【スコープ】 ・「∀ + 変項 ∈範囲 + n項述語(n変数命題関数)」というかたちのなかで、 全称量化子・作用素「∀ + 変項 ∈範囲」によって量化された 「n項述語(n変数命題関数)」 の部分は、 全称量化子・作用素「∀ + 変項∈範囲 」の スコープscope[岡田光弘p.31;松本p.28] 適用範囲[松本p.28] 視野[高崎V-1.5] 作用域[高崎V-1.5] 作用範囲[前原1章§8(p.24)] などと呼ばれる。 ※「∀ + 変項 ∈範囲 + n項述語(n変数命題関数)」の後ろに、記号が続いていく場合、 どこまでが「∀ + 変項∈範囲」のスコープなのか、はっきりしなくなることがある。 そういうときは、 「∀ + 変項∈範囲」のスコープがどこまでかを明示するために、 「∀ + 変項∈範囲」の適用範囲に入っている述語を()で括る。 |
【束縛する/束縛変項/自由変項】 ・ ∀xi ∈範囲を、 x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件P(x1, x2, …, xn)の前につける行為を、 「変項(変数)xiを束縛するbound」と呼ぶ。[井関p.26] このとき、 P(x1, x2, …, xn)の変項xi は、 束縛変項 (束縛変数) bound variable P(x1, x2, …, xn)のxi以外の(n-1)個の変項 は、 自由変項 (自由変数) free variable と呼ばれる。 ・ ∀x1 ∈範囲を、 x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件P(x1, x2, …, xn)の前につけて、 「∀x1 ∈範囲 P(x1, x2, …, xn)」とする行為を、 「変項(変数)x1を束縛するbound」と呼ぶ。 このとき、 P(x1, x2, …, xn)の変項x1 は、 束縛変項 (束縛変数) bound variable P(x1, x2, …, xn)のx1以外の変項x2, …, xnは、 自由変項 (自由変数) free variable と呼ばれる。 ・ ∀x2∈範囲を、 x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件P(x1, x2, …, xn)の前につけて、 「∀x2 ∈範囲 P(x1, x2, …, xn)」とする行為を、 「変項(変数)x2を束縛するbound」と呼ぶ。 このとき、 P(x1, x2, …, xn)の変項x2 は、 束縛変項 (束縛変数) bound variable P(x1, x2, …, xn)のx2以外の変項x1,x3, …, xnは、 自由変項 (自由変数) free variable と呼ばれる。 : : ・ ∀xn∈範囲を、 x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件P(x1, x2, …, xn)の前につけて、 「∀xn ∈範囲 P(x1, x2, …, xn)」とする行為を、 「変項(変数)xnを束縛するbound」と呼ぶ。 このとき、 P(x1, x2, …, xn)の変項xnは、 束縛変項 (束縛変数) bound variable P(x1, x2, …, xn)のxn以外の変項x1, x2…, xn-1は、 自由変項 (自由変数) free variable と呼ばれる。 |
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「∀xi∈Di P(x1, x2, …, xn) 」の読み下し例:一覧
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※関連事項−n項述語の量化: ∀xi P(x1,…,xn)の / ∃xi P(x1,…,xn)の / ∃x∈X P(x1,xn)の ※関連事項−n項述語の二重量化:「∀xi∀xj P(x1,…,xn) 」 /「∃xi∀xj P(x1,…,xn)」 /「∀xi∃xj P(x1,…,xn)」 / 「∃xi∃xj P(x1,…,xn)」 【 n=1 のとき具体例 】 → 1項述語・1変数命題関数の具体例 【 n=2 のとき具体例 】 → 2項述語・2変数命題関数の具体例 【 n=3 のとき具体例 】
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「∀xi∈Di P(x1, x2, …, xn) 」の具体例:一覧
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