論理記号∀　　：　トピック一覧

【記号∀の説明】
　・論理記号∀の呼称
　・論理記号∀の使用法
　　∀x P(x) / ∀x∈X P(x)
　　∀x P(x,y) / ∀x∈X P(x,y)
　　∀xi P(x1,…,xn)
　　多重量化　
　・論理記号∀の読み下し方
　・論理記号∀の推論規則
　　−論理記号∀の導入則
　　−論理記号∀の除去則
【用語別】
　・全称量化記号
　・全称記号
　・universal quantifier　
　・全称量化子
　・全称作用素
・対象領域
・議論領域
・変項の定義域

・全称量化
・全称量化子による量化
・普遍量化
・束縛する
・束縛変数(束縛変項)
・自由変数（自由変項）

※n項述語量化関連ページ：述語・命題関数/範囲を限定しない普遍量化・全称量化/存在量化/範囲を限定した存在量化/多重量化　
※全称量化関連ページ：1項述語全称量化/2項述語全称量化
※論理関連ページ：古典論理/論理記号一覧/述語・命題関数/
※総目次 

∀+変項∈範囲+n項述語　

【ポイント】

・「∀xi∈Di  P(x1, x2, …, xn) 」 は、
　集合Diという範囲から対象を選んで、変項xに代入すると、
　どの対象を集合Diから選んで、変項xiに代入しても、
　 x1, x2, …, xnは関係・条件Pを満たす　
　という主張。

・集合Diが特定の対象に固定されている場合、
　「∀xi∈Di  P(x1, x2, …, xn) 」は、
　　x1, x2, …, xnからxiを除いた(n-1)個の変項からなる(n-1)項述語。

　　　→詳細　


・集合Diも変項で、様々な対象が代入される場合、
　「∀xi∈Di  P(x1, x2, …, xn) 」 は、
　x1, x2, …, xnからxiを除いた(n-1)個の変項と、
　変項Diからなるn項述語・n変数命題関数　。

　　　→詳細

　【詳細】
　　・意味と読み下し方/読み下し例/使用例/用語
　　・∀変項∈『内包的に定義された集合』 n項述語/∀変項∈有限集合 n項述語/∀条件式　n項述語　


「∀+変項∈範囲+n項述語」の意味　


【ざっくり】

・「∀x1∈《変項が動く範囲を表す集合D》 （ x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件P ）  」
　は、
　「集合Dのすべての/任意の/あらゆる x1について 、
　　　　　　　　　 x1, x2, …, xnは関係・条件Pを満たす」
　と読み下され、
　　「 x1に代入された《集合Dに属す対象》はすべて、
　　　　　　　　　　x2, …, xnとの関係・条件Pを満たす」
　ことを意味する。　

　※集合Dを特定の対象に固定した場合の詳細　
　※集合Dも変項とした場合の詳細


・「∀x2∈《変項が動く範囲を表す集合D》 （ x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件P ）」
　は、
　「集合Dのすべての/任意の/あらゆるx2について、
　　　　　　　　　 x1, x2, …, xnは関係・条件Pを満たす」
　と読み下され、
　　「 x2に代入された《集合Dに属す対象》はすべて、
　　　　　　　　　x1, x3…, xnとの関係・条件Pを満たす」
　ことを意味する。　

　※集合Dを特定の対象に固定した場合の詳細　
　※集合Dも変項とした場合の詳細
　：
　：
・「∀xn∈《変項が動く範囲を表す集合D》 （ x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件P ） 」は、
　　「集合Dのすべての/任意の/あらゆる xnについて 、
　　　　　　　　　　x1, x2…, xnは関係・条件Pを満たす」
　と読み下され、
　　「 xn に代入された《集合Dに属す対象》はすべて、
　　　　　　　　x1, x2…, xn-1との関係・条件Pを満たす」
　　ことを意味する。　

　※集合Dを特定の対象に固定した場合の詳細　
　※集合Dも変項とした場合の詳細

　[中内注意2.3.2(p.89)];本橋pp.42-43;斎藤p.52;前原1章§8(p.24)]


　
 　


　※関連事項−n項述語の量化： ∀xi P(x1,…,xn)の意味 / ∃xi P(x1,…,xn)の意味 / ∃x∈X P(x1,xn)の意味
　※関連事項−n項述語の二重量化：「∀xi∀xj P(x1,…,xn) 」の意味/「∃xi∀xj P(x1,…,xn)」の意味/「∀xi∃xj P(x1,…,xn)」の意味 / 「∃xi∃xj P(x1,…,xn)」の意味　





【文献】
　・中内『ろんりの練習帳』2.3.1全称命題関数(pp.88-9);
　・井関清志『集合と論理』§1.2(pp.6-7):一元一次方程式が解ける,例1例2(pp.10-11;)
　・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(pp.3８-46)5.5導く性質に∃x∀yがある場合(pp.176-186);5.6導く性質に∀x∃y∀zがある場合(pp.186-194);　
　・本橋『新しい論理序説』4(pp.62-83):述語と量化とその読み下し方について豊富な具体例。；5.概念の合成都分析(pp.84-109);5.3実数の順序関係:実数の集合の上界・最大元、関数の値域・最大値・連続(pp.91-109).
　・新井紀子『数学は言葉』2.3(pp.57-58);例題3.1.4(pp.67-70):∀n∃m(n<m),∃m∀n(n<m);例題3.2.10(p.90):3項述語の存在量化;例題3.2.11(pp.92-93)∃x∈R (¬(∃n∈N∃m∈Z x=m/n));4.1∀x∃y y=2x ，∃y∀x y=2x (pp.１２３-5); 4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

　




→集合Xが『内包的に定義された集合』のときの解釈　
→集合Xが有限集合であるときの解釈　

→主要テキストの読み下し例一覧
　



　　　【きっちり】

　　　　→「∀xi∈Di P(x1, x2, …, xn)」の集合Diを特定の対象に固定した場合　
　　　　→「∀xi∈Di  P(x1, x2, …, xn) 」の集合Diも変項とした場合　


　　　【　∀xi∈特定の対象 P(x1, x2, …, xn)　】　

　　　　(1)

　　　　[設定]
　　　
　　　 　　・P(x1, x2, …, xn) ：　変項x1の議論領域をX1、変項x2の議論領域をX2 、…、変項xnの議論領域をXn とするn項述語・n変数命題関数　
　　　　　・D1 ：特定の「X1の部分集合」　
　　　
　　　 　[本題]

　　　 　・「∀x1∈D1  P(x1, x2, …, xn) 」　集合D1のすべての/任意の/あらゆる x1について x1, x2, …, xnは関係・条件Pを満たす　　
　　　　　は、
　　　　　議論領域をX2, … , Xn とする(n-1)変項命題関数Q(x2, …, xn)　
　　　　　　「 ∀x1 ( x1∈D1 ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」
　　　　　　　　議論領域X1のなかの任意のx1について、x1が集合D1に属すならば、x2, …, xnは、x1との関係・条件Pを満たす　
　　　　　の省略表現。　

　　　 　・したがって、「∀x1∈D1  P(x1, x2, …, xn) 」と「 ∀x1 ( x1∈D1 ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」とは、互いに言い換えてよい。

　　　 　* このように、n変数命題関数P(x1, x2, …, xn)の頭に「∀x1∈《X1の特定の部分集合》」を一つつける（普遍量化する）と、
　　　　　　　　　　　(n-1)変項命題関数Q(x2, …, xn)になる。
　　　 　* 「∀x1∈D1  P(x1, x2, …, xn) 」と書くとき、D1 を 変項x1の議論領域X1 にしても構わない。つまり、「∀x1∈X1  P(x1, x2, …, xn) 」という表現もOK。
　　　 　　この「∀x1∈X1  P(x1, x2, …, xn) 」という表現によって、 変項x1の議論領域X1を読者に明示的に伝達することが可能[新井p.90;松井p.36]。

　　　 (2)

　　　 　[設定]

　　　　　・P(x1, x2, …, xn) ：　変項x1の議論領域をX1、変項x2の議論領域をX2 、…、変項xnの議論領域をXn とするn項述語・n変数命題関数　
　　　　　・D2 ：特定の「X2の部分集合」　

　　　 　[本題]

　　　 　　・「∀x2∈D2  P(x1, x2, …, xn) 」　集合D2のすべての/任意の/あらゆる x2について x1, x2, …, xnは関係・条件Pを満たす　　
　　　　　　は、
　　　　　　議論領域をX1, X3,… , Xn とする(n-1)変項命題関数Q(x1, x3,…, xn)　
　　　　　　　「 ∀x2 ( x2∈D2 ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」
　　　　　　　　　　議論領域X2のなかの任意のx2について、x2が集合D2に属すならば、x1,x3, …, xnは、x2との関係・条件Pを満たす　
　　　　　　の省略表現。　

　　　 　　・したがって、「∀x2∈D2  P(x1, x2, …, xn) 」と「 ∀x2 ( x2∈D2 ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」とは、互いに言い換えてよい。

　　　 　　※このように、n変数命題関数P(x1, x2, …, xn)の頭に「∀x2∈《X2の特定の部分集合》」を一つつける（普遍量化する）と、
　　　　　　　　　　　　(n-1)変項命題関数Q(x1, x3,…, xn)になる。

　　　 　　※「∀x2∈D2  P(x1, x2, …, xn) 」　と書くとき、D2を変項x２の議論領域X2 にしても構わない。つまり、「∀x2∈X2  P(x1, x2, …, xn) 」という表現もOK。
　　　　　　この「∀x2∈X2  P(x1, x2, …, xn) 」という表現によって、変項x２の議論領域X2 を読者に明示的に伝達することが可能[新井p.90;松井p.36]。
　　　：
　　　：

　　　 (n)

　　　 　[設定]

　　　　　・P(x1, x2, …, xn) ：　変項x1の議論領域をX1、変項x2の議論領域をX2 、…、変項xnの議論領域をXn とするn項述語・n変数命題関数　
　　　　　・Dn  ：特定の「Dnの部分集合」　

　　　 　[本題]

　　　　　・「∀xn∈Dn  P(x1, x2, …, xn) 」　集合Dnのすべての/任意の/あらゆるxnについて x1, x2, …, xnは関係・条件Pを満たす　　
　　　　　　は、
　　　　　　議論領域をX1, X2,…, Xn-1と とする(n-1)変項命題関数Q(x1, x2,…, xn-1)　

　　　　　　　　「 ∀xn ( xn∈Dn ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」
　　　　　　　　　　　議論領域Xnのなかの任意のxnについて、
　　　　　　　　　　　　xnが集合Dnに属すならば、x1, x2…, xn-1は、xnとの関係・条件Pを満たす　

　　　　　　の省略表現。　

　　　 　　・したがって、「∀xn∈Dn  P(x1, x2, …, xn) 」と「 ∀xn ( xn∈Dn ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」とは、互いに言い換えてよい。

　　　 　　※このように、n変数命題関数P(x1, x2, …, xn)の頭に「∀xn∈《Xnの特定の部分集合》」を一つつける（普遍量化する）と、
　　　　　　　　　　　　　(n-1)変項命題関数Q(x1, x2,…, xn-1)になる。

　　　　　※「∀xn∈Dn  P(x1, x2, …, xn) 」　と書くとき、Dn を 変項xnの議論領域Xn にしても構わない。つまり、「∀xn∈Xn  P(x1, x2, …, xn) 」という表現もOK。
　　　　　　この「∀xn∈Xn  P(x1, x2, …, xn) 」という表現によって、変項xnの議論領域Xn を読者に明示的に伝達することが可能[新井p.90;松井p.36]。


　　　【　∀xi∈変項 P(x1, x2, …, xn)　】　



　　　 (1')

　　　 　[設定]

　　　 　　・P(x1, x2, …, xn) ：　変項x1の議論領域をX1、変項x2の議論領域をX2 、…、変項xnの議論領域をXn とするn項述語・n変数命題関数　
　　　　　・1 ：特定の「X1の部分集合系」　
　　　　　・D1 ：「X1の部分集合系」1に属す様々な「X1の部分集合」が代入される変項　

　　　 　[本題]

　　　 　　・「∀x1∈D1  P(x1, x2, …, xn) 」　は、「 ∀x1 ( x1∈D1 ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」の省略表現。　

　　　　　　　　※ 「 ∀x1 ( x1∈D1 ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」の詳細情報　
　
　　　　　　　　　　・「x1∈D1 ⇒P(x1, x2, …, xn)」は、変項D1,x1,…,xn からなる(n+1)項述語・(n+1)変項命題関数。
　　　　　　　　　　・「x1∈D1 ⇒P(x1, x2, …, xn)」の変項x1を∀で束縛し普遍量化したのが 「 ∀x1 ( x1∈D1 ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」。
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　・  「 ∀x1 ( x1∈D1 ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」 で自由変項のままなのは、 D1,  x2, …, xn 。
　　　　　　　　　　　「 ∀x1 ( x1∈D1 ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」 は、D1,  x2, …, xnを変項とするn項述語・n変数命題関数となる。
　　　　　　　
　　　 　　　　　　　・n項述語・n変数命題関数「 ∀x1 ( x1∈D1 ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」 の変項D1の議論領域は「X1の部分集合系」1　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(D1にまつわる設定より)。
　　　　　　　　　　　n項述語・n変数命題関数「 ∀x1 ( x1∈D1 ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」 の変項x2の議論領域はX2　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（P(x1, x2, …, xn)にまつわる設定より）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：　　　　　　：　
　　　　　　　　　　　n項述語・n変数命題関数「 ∀x1 ( x1∈D1 ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」 の変項xnの議論領域はXn　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（P(x1, x2, …, xn)にまつわる設定より）
 
　　　 　　・だから、「 ∀x1 ( x1∈D1 ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」を省略した「∀x1∈D1  P(x1, x2, …, xn) 」も、
　　　　　　　　　D1, x2, …, xnを変項とするn項述語・n変数命題関数で、議論領域は1,X2,…,Xn
　　　　　・このように、n変数命題関数P(x1, x2, …, xn)の頭に「∀x1∈《様々な「X1の部分集合」が代入される変項》」を一つつける（普遍量化する）と、
　　　　　　　　　　　　n変項命題関数Q(D1,x2,…,xn)になる。

　　　 (2')

　　　 　[設定]

　　　 　　・P(x1, x2, …, xn) ：　変項x1の議論領域をX1、変項x2の議論領域をX2 、…、変項xnの議論領域をXn とするn項述語・n変数命題関数　
　　　　　・2 ：特定の「X2の部分集合系」　
　　　 　　・D2 ：「X2の部分集合系」2に属す様々な「X2の部分集合」が代入される変項　

　　　 　[本題]

　　　　　・「∀x2∈D2  P(x1, x2, …, xn) 」　は、「 ∀x2 ( x2∈D2 ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」の省略表現。　
　　　　　　　　※ 「 ∀x2 ( x2∈D2 ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」 の詳細情報　
　
　　　　　　　　　　・「 x2∈D2 ⇒P(x1, x2, …, xn) 」は、変項D2,x1,…,xn からなる(n+1)項述語・(n+1)変項命題関数。
　　　　　　　　　　・「 x2∈D2 ⇒P(x1, x2, …, xn) 」の変項x2を∀で束縛し普遍量化したのが 「 ∀x2 ( x2∈D2 ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」。
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　・「 ∀x2 ( x2∈D2 ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」 で自由変項のままなのは、 D2,  x1, x3, …, xn。
　　　　　　　　　　　「 ∀x2 ( x2∈D2 ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」 は、D2,  x1, x3, …, xnを変項とするn項述語・n変数命題関数となる。
　　　　　　　
　　　 　　　　　　　・n項述語・n変数命題関数「 ∀x2 ( x2∈D2 ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」 の変項D2の議論領域は「X2の部分集合系」2　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (D2にまつわる設定より)
　　　　　　　　　　　n項述語・n変数命題関数「 ∀x2 ( x2∈D2 ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」 の変項x1の議論領域はX1　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（P(x1, x2, …, xn)にまつわる設定より）
　　　　　　　　　　　n項述語・n変数命題関数「 ∀x2 ( x2∈D2 ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」 の変項x3の議論領域はX3　（P(x1, x2, …, xn)にまつわる設定より）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：　　　　　　：　
　　　　　　　　　　　n項述語・n変数命題関数「 ∀x2 ( x2∈D2 ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」 の変項xnの議論領域はXn　　（P(x1, x2, …, xn)にまつわる設定より）
 
　　　 　　・だから、「 ∀x2 ( x2∈D2 ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」を省略した「∀x2∈D2  P(x1, x2, …, xn) 」も、
　　　　　　　　　D2,  x1, x3, …, xnを変項とするn項述語・n変数命題関数で、議論領域は2, X1, X3, …, Xn

　　　 　　・このように、n変数命題関数P(x1, x2, …, xn)の頭に「∀x2∈《様々な「X2の部分集合」が代入される変項》」を一つつける（普遍量化する）と、
　　　　　　　　　　　　n変項命題関数Q(D2,x1,x3,…,xn)になる。

　　　：
　　　：

　　　 (n')

　　　 　[設定]

　　　 　　・P(x1, x2, …, xn) ：　変項x1の議論領域をX1、変項x2の議論領域をX2 、…、変項xnの議論領域をXn とするn項述語・n変数命題関数　
　　　　　・n ：特定の「Xnの部分集合系」　
　　　 　　・Dn ：「Xnの部分集合系」nに属す様々な「Xnの部分集合」が代入される変項　

　　　 　[本題]

　　　　　・「∀xn∈Dn  P(x1, x2, …, xn) 」　は、 「 ∀xn ( xn∈Dn ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」の省略表現。　

　　　　　　　　※ 「 ∀xn ( xn∈Dn ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」 の詳細情報　
　
　　　　　　　　　　・「xn∈Dn ⇒P(x1, x2, …, xn) 」は、変項Dn,x1,…,xn からなる(n+1)項述語・(n+1)変項命題関数。
　　　　　　　　　　・「xn∈Dn ⇒P(x1, x2, …, xn) 」の変項xnを∀で束縛し普遍量化したのが 「 ∀xn ( xn∈Dn ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」。
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　・ 「 ∀xn ( xn∈Dn ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」 で自由変項のままなのは、 Dn , x1,  …, xn-1。
　　　　　　　　　　　「 ∀xn ( xn∈Dn ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」 は、Dn, x1,  …, xn-1 を変項とするn項述語・n変数命題関数となる。
　　　　　　　
　　　 　　　　　　　・n項述語・n変数命題関数「 ∀xn ( xn∈Dn ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」 の変項Dnの議論領域は「Xnの部分集合系」n　 (Dnにまつわる設定より)。
　　　　　　　　　　　n項述語・n変数命題関数「 ∀xn ( xn∈Dn ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」 の変項x1の議論領域はX1　　（P(x1, x2, …, xn)にまつわる設定より）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：　　　　　　：　
　　　　　　　　　　　n項述語・n変数命題関数「 ∀xn ( xn∈Dn ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」 の変項xn-1の議論領域はXn-1　　（P(x1, x2, …, xn)にまつわる設定より）
 
　　　 　　・だから、「 ∀xn ( xn∈Dn ⇒P(x1, x2, …, xn) ) 」を省略した「∀xn∈Dn  P(x1, x2, …, xn) 」も、
　　　　　　　　　Dn, x1,  …, xn-1を変項とするn項述語・n変数命題関数で、議論領域はn, X1,…, Xn-1

　　　 　　・このように、n変数命題関数P(x1, x2, …, xn)の頭に「∀xn∈《様々な「Xnの部分集合」が代入される変項》」を一つつける（普遍量化する）と、
　　　　　　　　　　　　　n変項命題関数Q(Dn, x1,…, xn-1)になる。
→[トピック一覧：全称記号∀]
→[総目次]


「∀変項∈D  n項述語」の解釈：Dが『内包的に定義された集合』であるとき　


【設定】

・P(x1, x2, …, xn)：変項x1の議論領域をX1、
　　　　　　　　　　　変項x2の議論領域をX2
　　　　　　　　　　　　　　：
　　　　　　　　　　　　変項xnの議論領域をXn とする
　　　　　　　　　　　　　　　n項述語・n変数命題関数　
・D1：「X1の部分集合」
・D2：「X2の部分集合」
：
・Dn：「Xn の部分集合」

【本題】

※具体例：n項述語が1項述語のケース/n項述語が2項述語のケース
※関連事項： ∃xi∈X P(x1,…,xn)のケース




　　・P(x1, x2, …, xn)は、　変項x1の議論領域をX1、変項x2の議論領域をX2 、…、変項xnの議論領域をXn とするn項述語・n変数命題関数　
　　・D1は「X1の部分集合」、D2は「X2の部分集合」、…、Dnは「Xn の部分集合」
　　との設定のもと、

・「∀x1∈D1  P(x1, x2, …, xn) 」は、  D1＝{ x'∈X1 | Q(x') } であるとき、　
　　「 ∀x1 ( Q(x1)⇒ P(x1, x2, …, xn) ) 」に言い換えてよい。

　　すなわち、「 ∀x1∈ { x'∈X1 | Q(x') }  P(x1, x2, …, xn) 」は、「 ∀x1 ( Q(x1)⇒ P(x1, x2, …, xn) ) 」へ言い換えてよい。

・「∀x2∈D2  P(x1, x2, …, xn) 」は、D2＝{ x'∈X2 | Q(x') } であるとき、　
　　「 ∀x2 ( Q(x2)⇒ P(x1, x2, …, xn) ) 」に言い換えてよい。

　　すなわち、「 ∀x2∈ { x'∈X2 | Q(x') }  P(x1, x2, …, xn) 」は、「 ∀x2 ( Q(x2)⇒ P(x1, x2, …, xn) ) 」へ言い換えてよい。

：
：

・「∀xn∈Dn  P(x1, x2, …, xn) 」は、 Dn＝{ x'∈Xn | Q(x') } であるとき、　
　　「 ∀xn ( Q(xn)⇒ P(x1, x2, …, xn) ) 」に言い換えてよい。

　すなわち、「 ∀xn∈ { x'∈Xn | Q(x') }  P(x1, x2, …, xn) 」は、「 ∀xn ( Q(xn)⇒ P(x1, x2, …, xn) ) 」へ言い換えてよい。

→この場合に使われる略記法　

※なぜ？

　・定義より、
　　「　∀x1∈ { x'∈X | Q(x') }  P(x1, x2, …, xn)　」　は、
　　「　∀x1 ( x1∈ { x'∈X | Q(x') } ⇒ P(x1, x2, …, xn) )　」　の省略表現。

　・  x1∈ { x'∈X | Q(x') } はQ(x1)に言い換えてよい（∵）から、
　　　∀x1 ( x1∈ { x'∈X | Q(x') } ⇒ P(x1, x2, …, xn) )　」
　　は、
　　「 ∀x1 ( Q(x1)⇒ P(x1, x2, …, xn) ) 」
　　に言い換えてよい。

→[トピック一覧：全称記号∀]
→[総目次]


さらなる省略形「∀ 条件式　n項述語」　　　

【設定】

・P(x1, x2, …, xn)：変項x1の議論領域をX1、
　　　　　　　　　　　変項x2の議論領域をX2
　　　　　　　　　　　　　　：
　　　　　　　　　　　　変項xnの議論領域をXn とする
　　　　　　　　　　　　　　　n項述語・n変数命題関数　
・D1：「X1の部分集合」
・D2は「X2の部分集合」
：
・Dnは「Xn の部分集合」

【本題】
※具体例：n項述語が1項述語のケース/n項述語が2項述語のケース
※関連事項： ∃　条件式 P(x1,…,xn)




以下未確認
【文献−数学一般】
　・中内『ろんりの練習帳』注2.2.8(p.85)略記法

　・杉浦『解析入門I』附録2(pp.400-402)
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』1.2.3限量子(pp.20-21);



・「 ∀  x1を先頭にした条件式Q(x1)  　P(x1, x2, …, xn)　」　たとえば、　Rを変項x1の議論領域とした際の「　 ∀  x1>0  P(x1, x2, …, xn)　」
　　は、
　　「 ∀x1∈ { x'∈X1 | Q(x') }  P(x1, x2, …, xn) 」　　　　上の例では、　∀x1∈ { x'∈R | x'>0 } 　P(x1, x2, …, xn)　
　　「 ∀x1 ( Q(x1)⇒ P(x1, x2, …, xn) ) 」　　　　　　　　　上の例では、　∀x1 ( x1>0 ⇒ P(x1, x2, …, xn) )　
　　の省略表現。

・「 ∀  x2を先頭にした条件式Q(x2)  　P(x1, x2, …, xn)　」　たとえば、　Rを変項x2の議論領域とした際の「　 ∀  x2>0  P(x1, x2, …, xn)　」
　　は、
　　「 ∀x2∈ { x'∈X2 | Q(x') }  P(x1, x2, …, xn) 」　　　　上の例では、　∀x2∈ { x'∈R | x'>0 } 　P(x1, x2, …, xn)　
　　「 ∀x2 ( Q(x2)⇒ P(x1, x2, …, xn) ) 」　　　　　　　　　上の例では、　∀x2 ( x2>0 ⇒ P(x1, x2, …, xn) )　
　　の省略表現。　
:
:
・「 ∀  xnを先頭にした条件式Q(xn)  　P(x1, x2, …, xn)　」　たとえば、　Rを変項xnの議論領域とした際の「　 ∀  xn>0  P(x1, x2, …, xn)　」
　　は、
　　「 ∀xn∈ { x'∈Xn | Q(x') }  P(x1, x2, …, xn) 」　　　　上の例では、　∀xn∈ { x'∈R | x'>0 } 　P(x1, x2, …, xn)　
　　「 ∀xn ( Q(xn)⇒ P(x1, x2, …, xn) ) 」　　　　　　　　　上の例では、　∀xn ( xn>0 ⇒ P(x1, x2, …, xn) )　
　　の省略表現。


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有限集合が議論領域のときの「∀変項 n項述語」の解釈　

【設定】

・P(x1, x2, …, xn)：変項x1の議論領域をX1、
　　　　　　　　　　　変項x2の議論領域をX2
　　　　　　　　　　　　　　：
　　　　　　　　　　　　変項xnの議論領域をXn とする
　　　　　　　　　　　　　　　n項述語・n変数命題関数　
・D1：「X1の部分集合」
・D2は「X2の部分集合」
：
・Dnは「Xn の部分集合」

【本題】

※具体例：n項述語が1項述語のケース/n項述語が2項述語のケース

※関連事項： ∃xi∈X P(x1,…,xn)のケース



・「∀x1∈D1  P(x1, x2, …, xn) 」は、D1が有限集合 { a1 , a2 , … , am } であるとき、
　　　　P( a1, x2, …, xn)　かつ　P( a2, x2, …, xn)　かつ　…　かつ　P( am , x2, …, xn)　「x2, …, xnは、a1と関係Pにあり、かつ、a2と関係Pにあり、かつ…かつ amと関係Pにある」　
　に言い換えてよい。

・「∀x2∈D2  P(x1, x2, …, xn) 」は、D2が有限集合 { a1 , a2 , … , am } であるとき、
　　　　P( x1, a1, …, xn)　かつ　P( x1, a2, …, xn)　かつ　…　かつ　P( x1, am, …, xn)　　
　に言い換えてよい。
：
：
・「∀xn∈Dn  P(x1, x2, …, xn) 」は、Dnが有限集合 { a1 , a2 , … , am } であるとき、
　　　　P( x1, x2, …, a1)　かつ　P( x1, x2, …, a2)　かつ　…　かつ　P( x1, x2, …, am)　　
　に言い換えてよい。

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「∀+変項∈範囲+n項述語」に関わる諸用語　

【全称記号・全称量化記号/全称量化子・全称作用素】

・「∀ ＋ 変項 ∈範囲 ＋ n項述語(n変数命題関数)」というかたちのなかの、
　「∀」は、　
　　全称量化記号　[斎藤p.49;井関p.7;岡田光弘p.30]　
　　全称記号　　　[前原p.4;斎藤p.49;中内p.82;杉浦p.401]
　　universal quantifier　[斎藤p.49;岡田光弘p.30;De LaFuente,p.8]
　などと呼ばれる論理記号。

・「∀ ＋ 変項 ∈範囲 ＋ n項述語(n変数命題関数)」というかたちのなかの、
　「∀＋変項」という部分は、　
　　　全称量化子 [斎藤p.49]
　　　全称作用素 [前原p.4;松本p.28;中内p.82]　　　
　　　universal quantifier　[前原p.4;斎藤p.49]
　と呼ばれる。
　　＊岡田章は、記号「∀」そのものを「全称量化子」と呼ぶ(p.252)が、
　　　どうなのだろう？


【量化】

・全称量化子・全称作用素「∀ ＋ 変項 ∈範囲 」を
　 n項述語(n変数命題関数)の前につけて
　「∀ ＋ 変項 ∈範囲 ＋ n項述語(n変数命題関数)」というかたちにする行為を、
　
　　　全称量化子による量化　[斎藤p.49]
　　　全称量化　[野矢 p.213]
　　　普遍量化　[本橋pp.40-41]
　　　
　などと呼ぶ。
　別の文脈で、「《変項》の束縛bound」と呼ぶこともある[→詳細]。

　　[岡田光弘p.31;]述語の前に、∀x,∃xをつけること[井関p.26]

　　　　　　




【スコープ】

・「∀ ＋ 変項 ∈範囲 ＋ n項述語(n変数命題関数)」というかたちのなかで、
　全称量化子・作用素「∀ ＋ 変項 ∈範囲」によって量化された
　　「n項述語(n変数命題関数)」
　の部分は、
　全称量化子・作用素「∀ ＋ 変項∈範囲 」の
　　スコープscope[岡田光弘p.31;松本p.28]
　　適用範囲[松本p.28]
　　視野[高崎V-1.5]
　　作用域[高崎V-1.5]
　　作用範囲[前原1章§8(p.24)]
　などと呼ばれる。
　
※「∀ ＋ 変項 ∈範囲 ＋ n項述語(n変数命題関数)」の後ろに、記号が続いていく場合、
　どこまでが「∀ ＋ 変項∈範囲」のスコープなのか、はっきりしなくなることがある。
　そういうときは、
　　　「∀ ＋ 変項∈範囲」のスコープがどこまでかを明示するために、
　　　「∀ ＋ 変項∈範囲」の適用範囲に入っている述語を（）で括る。
　　　　　　




【束縛する/束縛変項/自由変項】


・ ∀xi ∈範囲を、
　　　 x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件P(x1, x2, …, xn)の前につける行為を、
　「変項(変数)xiを束縛するbound」と呼ぶ。[井関p.26]　

　このとき、
　　P(x1, x2, …, xn)の変項xi は、
　　　束縛変項　（束縛変数）　bound variable

　　P(x1, x2, …, xn)のxi以外の(n-1)個の変項 は、
　　　自由変項 （自由変数）　free variable
　　と呼ばれる。
　
・ ∀x1 ∈範囲を、
　　　 x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件P(x1, x2, …, xn)の前につけて、
　「∀x1 ∈範囲  P(x1, x2, …, xn)」とする行為を、
　「変項(変数)x1を束縛するbound」と呼ぶ。

　このとき、
　　P(x1, x2, …, xn)の変項x1 は、
　　　束縛変項　（束縛変数）　bound variable

　　P(x1, x2, …, xn)のx1以外の変項x2, …, xnは、
　　　自由変項 （自由変数）　free variable
　　と呼ばれる。
　
・ ∀x2∈範囲を、
　　　 x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件P(x1, x2, …, xn)の前につけて、
　「∀x2 ∈範囲 P(x1, x2, …, xn)」とする行為を、
　「変項(変数)x2を束縛するbound」と呼ぶ。

　このとき、
　　P(x1, x2, …, xn)の変項x2 は、
　　　束縛変項　（束縛変数）　bound variable

　　P(x1, x2, …, xn)のx2以外の変項x1,x3, …, xnは、
　　　自由変項 （自由変数）　free variable
　　と呼ばれる。
：
：
・ ∀xn∈範囲を、
　　 x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件P(x1, x2, …, xn)の前につけて、
　「∀xn ∈範囲 P(x1, x2, …, xn)」とする行為を、
　「変項(変数)xnを束縛するbound」と呼ぶ。

　このとき、
　　P(x1, x2, …, xn)の変項xnは、
　　　束縛変項　（束縛変数）　bound variable

　　P(x1, x2, …, xn)のxn以外の変項x1, x2…, xn-1は、
　　　自由変項 （自由変数）　free variable
　　と呼ばれる。
　





以下未確認
【文献−数学基礎論】
　●前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(pp.20-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-26)。
　・井関清志『集合と論理』§1.2(pp.6-7);§1.5(pp.24-30)。
　・高崎金久『数理論理学入門』V.述語論理の意味論-1.4 量化子の使い方；1.5 変数の出現位置と視野

【文献−分析哲学・論理学】
　・戸田山『論理学をつくる』7.1.4多重量化(p.167)

【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』;2.4(pp.31-34):自由変数と束縛変数;3.2(pp.40-43);4(pp.62-83):述語と量化とその読み下し方について豊富な具体例。

　


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「∀xi∈Di P(x1, x2, …, xn) 」の読み下し例：一覧　　


・「∀xi ∈Di P(x1, x2, …, xn)」は、

　「すべての『Diに属す対象』xiについて、P(x1, x2, …, xn)　」[本橋p.70;中谷p.142]　
　「任意の『Diに属す対象』xiにたいして、P(x1, x2, …, xn)　」[斎藤p.52]　
　「任意の『Diに属す対象』xiについて、P(x1, x2, …, xn)　」[本橋p.70]　

　などと読み下す。

・n項述語(n変数命題関数)P(x1, x2, …, xn)　は、

　　　「 x1, x2, …, xnは関係Pにある」
　　　「 x1, x2, …, xnは条件Pを満たす」

　と読むのだったから、
　これに従うと、
 　「∀xi ∈Di P(x1, x2, …, xn)」
　は、　
　「　すべての/任意の『Diに属す対象』xiにたいして(について)、
　　　　　　 x1, x2, …, xnは関係Pにある/条件Pを満たす　」
　　　"for all  xi in Di ,  (x1,…,xn) has property P."
　　　　　　　　　　　　　[De La Fuente,p.8]
　と読み下せる。

　※関連事項−n項述語の量化： ∀xi P(x1,…,xn)の読み / ∃xi P(x1,…,xn)の読み / ∃x∈X P(x1,xn)の読み
　※関連事項−n項述語の二重量化：「∀xi∀xj P(x1,…,xn) 」の読み/「∃xi∀xj P(x1,…,xn)」の読み/「∀xi∃xj P(x1,…,xn)」の読み / 「∃xi∃xj P(x1,…,xn)」の読み

 【　n=1 のとき具体例　】

　→　1項述語・1変数命題関数の具体例　

【　n=2 のとき具体例　】

　→　2項述語・2変数命題関数の具体例　

【　n=３ のとき具体例　】
　
　


以下未確認
【文献】
　・中谷『論理』6.3A多変数の命題関数の限定命題(p.141)
　●本橋『新しい論理序説』4.1(p.64):
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子(pp.48-55))
　・戸田山『論理学をつくる』7.1.4多重量化(pp.167-9)
　●De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,1.2.a.Properties and Quantifiers(pp.8-9):二重量化。英語での読み下し例

　


→[トピック一覧：全称記号∀]
→[総目次]


　　

「∀xi∈Di P(x1, x2, …, xn) 」の具体例：一覧　　



 【　n=1 のとき具体例　】

　→　1項述語・1変数命題関数の普遍量化の具体例　

【　n=2 のとき具体例　】

　→　2項述語・2変数命題関数の普遍量化の具体例　

【　n=３ のとき具体例　】
　
　・∀n∈N （ 《数列》の第n項≦M ） 　
　・∀n∈N　 （ m≦ 《数列》の第n項 ）