二項述語・2変項命題関数" x loves y"  の二重量化：変域を内包的記法で明示した場合の具体例


　∀x∈男性を全員あつめた集合 ∀y∈女性を全員あつめた集合 ( x loves y )
　∃x∈男性を全員あつめた集合 ∃y∈女性を全員あつめた集合 ( x loves y )
　∀x∈男性を全員あつめた集合 ∃y∈女性を全員あつめた集合 ( x loves y )
　∀y∈女性を全員あつめた集合 ∃x∈男性を全員あつめた集合 ( x loves y )
　∃x∈男性を全員あつめた集合 ∀y∈女性を全員あつめた集合 ( x loves y )
 　∃y∈女性を全員あつめた集合 ∀x∈男性を全員あつめた集合 ( x loves y )


※"x loves y"の二重量化/二項述語二重量化一覧
※論理関連ページ：古典論理/論理記号一覧　
※総目次  　






∀x∈男性を全員あつめた集合 ∀y∈女性を全員あつめた集合 ( x loves y )



・「∀x∈男性を全員あつめた集合 ∀y∈女性を全員あつめた集合 ( x loves y )」は、

　変項xのみを含む一項述語　

　　「∀y∈女性を全員あつめた集合 ( x loves y )」　xは全女性を愛する

　について、

　変項xも全称量化子で束縛して普遍量化した

　　命題「∀x∈男性を全員あつめた集合 (∀y∈女性を全員あつめた集合  ( x loves y ) )」

　の略記。


・「∀x∈男性を全員あつめた集合 ∀y∈女性を全員あつめた集合 ( x loves y )」は、

　　「どの男性、女性を選んでも、
　　　男性を変項xへ、
　　　女性を変項yへ
　　　代入すると、
　　　x-y間に関係・条件" x loves y "が成り立つ。」

　と主張する命題を意味する。

 ※一般化：「∀x∈S ∀y∈T ( x loves y )」/「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」/「∀x ∀y P(x,y)」　

・「∀x∈男性を全員あつめた集合 ∀y∈女性を全員あつめた集合 ( x loves y )」の読み下し例。

　「男性の誰もが、女性の誰もを愛している」（本橋『新しい論理序説』p.64を参考に自作。）


・「∀x∈男性を全員あつめた集合 ∀y∈女性を全員あつめた集合 ( x loves y )」　　男性の誰もが、女性の誰もを愛している　

　は、

　「∀x ( x∈『男性を全員あつめた集合』⇒ ∀y ( y∈『女性を全員あつめた集合』 ⇒ x loves y ) )」　　
　の省略表現。

　※なぜ？→説明　


・「∀x∈男性を全員あつめた集合 ∀y∈女性を全員あつめた集合 ( x loves y )」は、
　　　「　∀x ( 「xは男性」 ⇒ ∀y ( 「yは女性」 ⇒ "x loves y" ) )　」　　　
　に言い換えてよい。　

　※なぜ？

　　『男性を全員あつめた集合』＝{ x | xは男性 } 　
　　『女性を全員あつめた集合』＝{ y | yは女性 } 　
　　であるから、
　　「∀x∈男性を全員あつめた集合 ∀y∈女性を全員あつめた集合 ( x loves y )」は、
　　　「　∀x ( 「xは男性」 ⇒ ∀y ( 「yは女性」 ⇒ "x loves y" ) )　」
　　に言い換えてよい。（∵）　
　　


→"x loves y"の二重量化
→二項述語二重量化一覧
→総目次 


∃x∈男性を全員あつめた集合 ∃y∈女性を全員あつめた集合  ( x loves y )



・「∃x∈男性を全員あつめた集合 ∃y∈女性を全員あつめた集合 ( x loves y )」は、

　変項xのみを含む一項述語「∃y∈女性を全員あつめた集合  ( x loves y )」について、

　変項xも存在量化子で束縛して存在量化した命題

　　　「∃x∈男性を全員あつめた集合 (∃y∈女性を全員あつめた集合 ( x loves y ) ) 」

　の略記。　


・「∃x∈男性を全員あつめた集合 ∃y∈女性を全員あつめた集合 ( x loves y )」は、

　　男性、女性をそれぞれうまく選ぶと、
　　男性を変項xへ、
　　女性を変項yへ代入することによって、
　　"x loves y"というx-y間の関係・条件を成り立たせることができる

　　と主張する命題。


・「∃x∈男性を全員あつめた集合 ∃y∈女性を全員あつめた集合 ( x loves y )」の読み下し例。

　「男性の誰かが、女性の誰かを愛している」（本橋『新しい論理序説』p.64を参考に）


 ※一般化：「∃x∈S ∃y∈T ( x loves y )」/「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」/「∃x ∃y P(x,y)」


・「∃x∈男性を全員あつめた集合 ∃y∈女性を全員あつめた集合 ( x loves y )」

　は、

　「 ∃x ( x∈男性を全員あつめた集合　かつ　∃y ( y∈女性を全員あつめた集合 かつ x loves y ) ) 」
　
　の省略表現。

　※なぜ？→説明　


・「∃x∈男性を全員あつめた集合 ∃y∈女性を全員あつめた集合 ( x loves y )」

　は、


　　　「 ∃x ( 「xは男性」 かつ　∃y ( 「yは女性」 かつ "x loves y"  ) ) 」

　に言い換えてよい。

　※なぜ？

　　『男性を全員あつめた集合』＝{ x | xは男性 } 　
　　『女性を全員あつめた集合』＝{ y | yは女性 } 　
　　であるから、
　　集合S,Tが内包的に定義された場合の意味にしたがって。


→"x loves y"の二重量化
→二項述語二重量化一覧
→総目次 

∀x∈男性を全員あつめた集合 ∃y∈女性を全員あつめた集合  ( x loves y )



→具体例1:「∀x∈『男子を全員あつめた集合』　∃y∈『女子を全員あつめた集合』 ( x loves y )」　

　　範例のSを『男子を全員あつめた集合』、
　　範例のTを『女子を全員あつめた集合』にした具体例。

→具体例2:「∀x∈『このクラスの男子を全員あつめた集合』　∃y∈『このクラスの女子を全員あつめた集合』 ( x loves y )」　

　　範例のSを『このクラスの男子を全員あつめた集合』、
　　範例のTを『このクラスの女子を全員あつめた集合』にした具体例。
　　
【具体例1】

・「∀x∈『男性を全員あつめた集合』　∃y∈『女性を全員あつめた集合』 ( x loves y )」 は、

　変項xのみを含む一項述語「∃y∈『女性を全員あつめた集合』 ( x loves y )」について、

　変項xを全称量化子で束縛して普遍量化した命題

　　　「∀x∈『男性を全員あつめた集合』 (∃y∈『女性を全員あつめた集合』 ( x loves y ) ) 」

　の略記。
　

・「∀x∈『男性を全員あつめた集合』　∃y∈『女性を全員あつめた集合』 ( x loves y )」 は、　  

　「どの男性を選んで変項xへ代入しても、
　　その男性にたいして、
　　　　女性をうまく選んで変項yへ代入してあげることによって、
　　　　　"x loves y"というx-y間の関係を成り立たせることができる」

　と主張する命題になる。



・「∀x∈『男性を全員あつめた集合』　∃y∈『女性を全員あつめた集合』 ( x loves y )」 の読み下し例。

　「すべての男性xについて、xが好きな女性yが存在する。」（本橋『新しい論理序説』p.81）
　「すべての男性について、その男性が好きな女性が存在する。」（本橋『新しい論理序説』p.81）
　「どの男性にも、好きな女性がいるものだ。」（本橋『新しい論理序説』p.81）

　「男性の誰もが、女性の誰かを愛している」（本橋『新しい論理序説』p.64）
　「男性の誰にでも、好きな女性が、いる」（本橋『新しい論理序説』p.75）

 ※一般化：「∀x∈S ∃y∈T ( x loves y )」/「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」/「∀x ∃y P(x,y)」


【文献−数学一般】
　●本橋『新 しい論理序説』4.5問題7(;pp.81-82)　

　


・「∀x∈『男性を全員あつめた集合』　∃y∈『女性を全員あつめた集合』 ( x loves y )」　　男性の誰もが、女性の誰かを愛している　
　は、

　「∀x ( x∈『男性を全員あつめた集合』⇒ ∃y ( y∈『女性を全員あつめた集合』 かつ x loves y ) )」　　誰もが、男性ならば、「彼が愛し、かつ、女性である」誰かが、存在する。
　の省略表現。

　※なぜ？→説明　


・「∀x∈『男性を全員あつめた集合』　∃y∈『女性を全員あつめた集合』 ( x loves y )」は、
　　　「　∀x ( 「xは男性」⇒ ∃y ( 「yは女性」 かつ "x loves y" ) )　」と言い換えてよい。　

　※なぜ？

　　『男性を全員あつめた集合』＝{ x | xは男性 } 　
　　『女性を全員あつめた集合』＝{ y | yは女性 } 　
　　であるから、
　　「∀x∈『男性を全員あつめた集合』　∃y∈『女性を全員あつめた集合』 ( x loves y )」は、
　　　「　∀x ( 「xは男性」⇒ ∃y ( 「yは女性」 かつ "x loves y" ) )　」
　　と言い換えてよい。（∵）　



【具体例2】

・「∀x∈『このクラスの男子を全員あつめた集合』　∃y∈『このクラスの女子を全員あつめた集合』 ( x loves y )」 は、

　変項xのみを含む一項述語「∃y∈『このクラスの女子を全員あつめた集合』 ( x loves y )」について、

　変項xを全称量化子で束縛して普遍量化した命題

　　　「∀x∈『このクラスの男子を全員あつめた集合』 (∃y∈『このクラスの女子を全員あつめた集合』 ( x loves y ) ) 」

　の略記。　


・「∀x∈『このクラスの男子を全員あつめた集合』　∃y∈『このクラスの女子を全員あつめた集合』 ( x loves y )」 は、　  

　「このクラスのどの男子を選んで変項xへ代入しても、
　　その男子にたいして、
　　　　このクラスの女子をうまく選んで変項yへ代入してあげることによって、
　　　　　"x loves y"というx-y間の関係を成り立たせることができる」

　と主張する命題になる。


・「∀x∈『このクラスの男子を全員あつめた集合』　∃y∈『このクラスの女子を全員あつめた集合』 ( x loves y )」 の読み下し例。
　このクラスのなかのどの男子にも、（その男子が）好きな女子がこのクラスのなかにいる。（本橋『新しい論理序説』p.81;p.83）
　「このクラスの男子の誰もが、このクラスの女子の誰かを愛している」（本橋『新しい論理序説』p.64）
　「このクラスの男子の誰にも、好きな人が、このクラスの女子のなかにいる」（本橋『新しい論理序説』p.75）

・「∀x∈『このクラスの男子を全員あつめた集合』　∃y∈『このクラスの女子を全員あつめた集合』 ( x loves y )」は、
　　　「　∀x ( x∈『このクラスの男子を全員あつめた集合』⇒ ∃y ( y∈『このクラスの女子を全員あつめた集合』 かつ x loves y ) )　」の省略表現。

　※なぜ？→説明　

・「∀x∈『このクラスの男子を全員あつめた集合』　∃y∈『このクラスの女子を全員あつめた集合』 ( x loves y )」は、
　　　「　∀x ( 「xはこのクラスの男子」⇒ ∃y ( 「yはこのクラスの女子」 かつ x loves y ) )　」と言い換えてよい。　

　※なぜ？

　　『このクラスの男子を全員あつめた集合』＝{ x | xはこのクラスの男子 } 　
　　『このクラスの女子を全員あつめた集合』＝{ y | yはこのクラスの女子 } 　
　　であるから、
　　「∀x∈『このクラスの男子を全員あつめた集合』　∃y∈『このクラスの女子を全員あつめた集合』 ( x loves y )」は、
　　　「　∀x ( 「xはこのクラスの男子」⇒ ∃y ( 「yはこのクラスの女子」 かつ x loves y ) )　」
　　と言い換えてよい。（∵）　
　　　　
　　　



→"x loves y"の二重量化
→二項述語二重量化一覧
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∀y∈女性を全員あつめた集合 ∃x∈男性を全員あつめた集合 ( x loves y )



・「 ∀y∈女性を全員あつめた集合 ∃x∈男性を全員あつめた集合 ( x loves y )  」 は、

　変項yのみを含む一項述語「∃x∈男性を全員あつめた集合  ( x loves y )」について、

　変項yを全称量化子で束縛して普遍量化した命題

　　「∀y∈女性を全員あつめた集合 (∃x∈男性を全員あつめた集合 ( x loves y ) ) 」

　の略記。　


・「 ∀y∈女性を全員あつめた集合 ∃x∈男性を全員あつめた集合 ( x loves y )  」は、　  
　「どの女性を選んで変項yへ代入しても、
　　その女性にたいして、
　　　　男性をうまく選んで変項xへ代入してあげることによって、
　　　　　x-y間の関係・条件P(x,y)を成り立たせることができる」

　と主張する命題。


 ※一般化：「∀y∈T ∃x∈S ( x loves y )」/「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」/「∀x ∃y P(x,y)」　　
　

　




【文献−数学一般】
　●本橋『新 しい論理序説』4.5問題7(;pp.81-82)　

　


・ 「 ∀y∈女性を全員あつめた集合 ∃x∈男性を全員あつめた集合 ( x loves y )  」の読み下し例。

　「任意の女性yに対して、ある男性xが存在し、 x loves yが成り立つ。」

　「すべての女性yについて、yのことを好きな男性xが存在する。」（本橋『新しい論理序説』p.81を参考に自作）
　「すべての女性について、その女性のことを好きな男性が存在する。」（本橋『新しい論理序説』p.81を参考に自作）

　「女性の誰もが、男性の誰かに愛されている」（本橋『新しい論理序説』p.64を参考に自作。）

・「 ∀y∈女性を全員あつめた集合 ∃x∈男性を全員あつめた集合 ( x loves y )  」　　女性の誰もが、男性の誰かに愛されている
　は、

　「　∀y ( y∈女性をあつめた集合⇒ ∃x ( x∈男性を全員あつめた集合 かつ "x loves y" ) )　」の省略表現。　

　の省略表現。

　※なぜ？→説明　


・「 ∀y∈女性を全員あつめた集合 ∃x∈男性を全員あつめた集合 ( x loves y )  」　は、
　　　「　∀y ( 「yは女性」⇒ ∃x ( 「xは男性」 かつ "x loves y" ) )　」と言い換えてよい。　

　※なぜ？

　　『男性を全員あつめた集合』＝{ x | xは男性 } 　
　　『女性を全員あつめた集合』＝{ y | yは女性 } 　
　　であるから、
　　　「 ∀y∈女性を全員あつめた集合 ∃x∈男性を全員あつめた集合 ( x loves y )  」　は、
　　　「　∀y ( 「yは女性」⇒ ∃x ( 「xは男性」 かつ "x loves y" ) )　」
　　と言い換えてよい。（∵）　


→"x loves y"の二重量化
→二項述語二重量化一覧
→総目次 

∃x∈男性を全員あつめた集合 ∀y∈女性を全員あつめた集合 ( x loves y )



・「∃x∈『男性を全員あつめた集合』 ∀y∈『女性を全員あつめた集合』 ( x loves y )」 は、　  

　変項xのみを含む一項述語

　　「∀y∈『女性を全員あつめた集合』  ( x loves y )」
　　　　　　xは、全女性を愛している。

　について、

　変項xを存在量化子で束縛して存在量化した命題

　　「∃x∈『男性を全員あつめた集合』 (∀y∈『女性を全員あつめた集合』  ( x loves y ) )」
　　　　　　ある男性が存在して、全女性を彼は愛している。

　の略記。　　


・「∃x∈『男性を全員あつめた集合』 ∀y∈『女性を全員あつめた集合』 ( x loves y )」 は、　

　「男性をうまく選んで変項xへ代入してあげることによって、

　　　いかなる女性を変項yへ代入しようとも、
　　　　
　　　　　　"x loves y"というx-y間の関係を成り立たせることができる」

　と主張する命題。


・「∃x∈『男性を全員あつめた集合』 ∀y∈『女性を全員あつめた集合』 ( x loves y )」の読み下し例。

　　「全女性を愛する男性が、少なくとも一人は存在する。」（自作）
　　「ある男性が存在して、全女性を彼は愛している。」（自作）

　　「誰かが誰をも愛している」（本橋『新しい論理序説』p.64を参考に自作。）
　　「誰をも好きになる人がいる」（本橋『新しい論理序説』p.76を参考に自作。）

 ※一般化：「∃x∈S ∀y∈T ( x loves y )」/「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」/「∃x ∀y P(x,y)」


【文献−数学一般】
　●本橋『新 しい論理序説』4.5問題7(pp.81-82);問題8(pp.82-83) 　

　


・「∃x∈『男性を全員あつめた集合』 ∀y∈『女性を全員あつめた集合』 ( x loves y )」　ある男性が存在して、全女性を彼は愛している。　

　は、

　「 ∃ x ( x∈『男性を全員あつめた集合』　かつ ∀y ( y∈『女性を全員あつめた集合』⇒ "x loves y" ) ) 」　ある者が存在して、彼は男性であり、かつ、彼は、万人に関して、それが女性ならば愛する
　の省略表現。

　※なぜ？→説明　


・「∃x∈『男性を全員あつめた集合』 ∀y∈『女性を全員あつめた集合』 ( x loves y )」は、

　「 ∃ x ( 「xは男性」 かつ ∀y ( 「yは女性」 ⇒"x loves y" ) ) 」　
　
　に言い換えてよい。　

　※なぜ？

　　『男性を全員あつめた集合』＝{ x | xは男性 } 　
　　『女性を全員あつめた集合』＝{ y | yは女性 } 　
　　であるから、
　　「∃x∈『男性を全員あつめた集合』 ∀y∈『女性を全員あつめた集合』 ( x loves y )」は、
　　　「 ∃ x ( 「xは男性」 かつ ∀y ( 「yは女性」 ⇒"x loves y" ) ) 」　
　　に言い換えてよい。（∵）　

→"x loves y"の二重量化
→二項述語二重量化一覧
→総目次 

∃y∈女性を全員あつめた集合 ∀x∈男性を全員あつめた集合  ( x loves y )



・「∃y∈『女性を全員あつめた集合』 ∀x∈『男性を全員あつめた集合』 ( x loves y )」 は、　  

　変項yのみを含む一項述語

　　「∀x∈『男性を全員あつめた集合』  ( x loves y )」
　　　　　　yは、全男性に愛されている。

　について、

　変項yを存在量化子で束縛して存在量化した命題

　　「∃y∈『女性を全員あつめた集合』 (∀x∈『男性を全員あつめた集合』  ( x loves y ) )」
　　　　　　ある女性が存在して、全男性は彼女を愛している。
　　　　　　全男性から愛される女性が、少なくとも一人は存在する。

　の略記。　　


・「∃y∈『女性を全員あつめた集合』 ∀x∈『男性を全員あつめた集合』 ( x loves y )」 は、　

　「女性をうまく選んで変項yへ代入してあげることによって、

　　　いかなる男性を変項xへ代入しようとも、
　　　　
　　　　　　"x loves y"というx-y間の関係を成り立たせることができる」

　と主張する命題。


・「∃y∈『女性を全員あつめた集合』 ∀x∈『男性を全員あつめた集合』 ( x loves y )」 の読み下し例。

　　「ある女性が存在して、全男性は彼女を愛している。」（自作）
　　「全男性から愛される女性が、少なくとも一人は存在する。」（自作）

　　「すべての男性に好かれる女性がいる」（本橋『新しい論理序説』p.82）
　　「男性の誰もに好かれる女性がいる」
※一般化：「∃y∈T ∀x∈S ( x loves y )」/「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」/「∃x ∀y P(x,y)」


【文献−数学一般】
　●本橋『新 しい論理序説』4.5問題7(pp.81-82);問題8(pp.82-83) 　

　


・「∃y∈『女性を全員あつめた集合』 ∀x∈『男性を全員あつめた集合』 ( x loves y )」 　男性の誰もに好かれる女性がいる

　は、

　「 ∃ y ( y∈『女性を全員あつめた集合』　かつ ∀x ( x∈『男性を全員あつめた集合』⇒ "x loves y" ) ) 」　

　の省略表現。

　※なぜ？→説明　


・「∃y∈『女性を全員あつめた集合』 ∀x∈『男性を全員あつめた集合』 ( x loves y )」は、

　「 ∃ y ( 「yは女性」 かつ ∀x ( 「xは男性」 ⇒"x loves y" ) ) 」　
　
　に言い換えてよい。　

　※なぜ？

　　『男性を全員あつめた集合』＝{ x | xは男性 } 　
　　『女性を全員あつめた集合』＝{ y | yは女性 } 　
　　であるから、
　　「∃y∈『女性を全員あつめた集合』 ∀x∈『男性を全員あつめた集合』 ( x loves y )」は、
　　　「 ∃ y ( 「xは女性」 かつ ∀x ( 「xは男性」 ⇒"x loves y" ) ) 」　
　　に言い換えてよい。（∵）　


→"x loves y"の二重量化
→二項述語二重量化一覧
→総目次