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【記号∀の説明】 ・論理記号∀の呼称 ・論理記号∀の使用法 ∀x P(x) / ∀x∈X P(x) ∀x P(x,y) / ∀x∈X P(x,y) ・論理記号∀の読み下し方 ・論理記号∀の推論規則 −論理記号∀の導入則 −論理記号∀の除去則 | 【用語別】 ・全称量化記号 ・全称記号 ・universal quantifier ・全称量化子 ・全称作用素 | ・対象領域 ・議論領域 ・変項の定義域 |
・全称量化 ・全称量化子による量化 ・普遍量化 ・束縛する ・束縛変数(束縛変項) ・自由変数（自由変項） |
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| 【言い換え】 ・「∀x∈S ( x loves y )」 （xがSに属す誰であれ、yを愛す）（Sの誰もが、yを愛す） は、 「∀x ( x∈S ⇒ x loves y )」 （xが誰であれ、xがSに属すならば、yを愛す）（誰もがSに属すならばyを愛す） に言い換えてよい。 |
※ ∃x∈X "x loves y" の言い換え ※ 「∀x∈S∀y∈T P(x,y)」/「∃x∈S∀y∈T P(x,y)」 |
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※なぜ？→∀x∈Sの定義 ※具体例： ・「∀x∈Perfume ( x loves y )」（xがPerfumeに属す誰であれ、loves y） は、 「∀x ( x∈Perfume ⇒ x loves y )」（xが誰であれ、xがPerfumeに属すならば、loves y）に言い換えてよい。 ・「∀y∈T ( x loves y )」（yがTに属す誰であれ、xはyを愛す） (xは、Tの誰もを愛す) は、 「 ∀y ( y∈T ⇒ x loves y ) 」（yが誰であれ、yがTに属すならば、xはyを愛す）(Tに属すならば誰をも、xは愛す) （yが誰であれ、yがTに属すならば、yはxから愛される）(Tに属すならば誰もが、xから愛される) に言い換えてよい。 ※なぜ？→∀y∈Tの定義 ※具体例： ・∀y∈Perfume ( x loves y ) （xは、Perfumeの誰もを love） は、 「 ∀y ( y∈Perfume ⇒ x loves y ) 」（yが誰であれ、yがPerfumeに属すならば、xはyを愛す） に言い換えてよい。 [→さらなる量化] |
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| 【Sが内包的に定義されているときの言い換え】 ・「∀x∈S ( x loves y )」 （xがSに属す誰であれ、xはyを愛す） （Sの誰もが、yを愛す） は、 |
※ ∃x∈X "x loves y" の言い換え ※ 「∀x∈S∀y∈T P(x,y)」/「∃x∈S∀y∈T P(x,y)」 |
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S＝{ x' | S'(x) } （Sは「議論領域から《条件S'を満たす対象》をすべてあつめた集合」） のとき、 「∀x ( S'(x) ⇒ x loves y )」 （xが誰であれ、xが条件S'を満たすならば、yを愛す）（誰もがS'ならばyを愛す） に言い換えてよい。 ※なぜ？→∀x∈Sの言い換え(Sが内包的に定義されている場合) ※具体例： ・「∀x∈50代男性を全員あつめた集合 ( x loves y )」 （xが『50代男性を全員あつめた集合』に属す誰であれ、xは、yのこと、好き好き大好き」 は、 「∀x ( 「xは50代男性である」 ⇒ x loves y )」 （xが誰であれ、xが50代男性であるならば、yのこと、好き好き大好き） に言い換えてよい。 【Tが内包的に定義されているときの言い換え】 ・「∀y∈T ( x loves y )」（yがTに属す誰であれ、xはyを愛す） (xは、Tの誰もを愛す) は、 T＝{ y' | T'(y) } （Tは「議論領域から《条件T'を満たす対象》をすべてあつめた集合」） のとき、 「∀y ( T'(y) ⇒ x loves y )」 （yが誰であれ、yが条件T'を満たすならば、xはyを愛す） に言い換えてよい。 ※なぜ？→∀y∈Tの言い換え(Tが内包的に定義されている場合) ※具体例： ・芸能界＝{ x' | xは芸能人である } （「芸能界」は《条件『xは芸能人である』を満たす対象》をすべてあつめた集合」） との定義のもとで、 ∀y∈芸能界 ( x loves y ) 「xは、芸能界に籍を置いている誰をも好き」は、 「∀y ( yは芸能人である ⇒ x loves y )」 （xは、誰でも芸能人なら、好き。） に言い換えてよい。 |
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【Sが『外延的に定義された有限集合』のときの言い換え】 ・「∀x∈S ( x loves y )」 （xがSに属す誰であれ、yを愛す）（Sの誰もが、yを愛す） (yは、Sの誰からも愛されている) は、 S＝ { a1 , a2 , … , an } のとき、 "a1 loves y" かつ "a2 loves y" かつ … かつ "an loves y" （a1 も a2 も … an もyを愛す）(yは、a1 からも a2からも… anからも愛されている) に言い換えてよい。 ※なぜ？→∀x∈Sの言い換え(Sが外延的に定義されている場合) ※具体例： ・Perfumeの定義より、Perfume ＝ { 大本, 西脇, 樫野 } だから、 「∀x∈Perfume ( x loves y )」（xがPerfumeに属す誰であれ、loves y） は、 「"大本 loves y " かつ "西脇 loves y" かつ "樫野 loves y" 」 (大本も西脇も樫野もyが好き)（yは、大本からも西脇からも樫野からも気に入られてる） に言い換えてよい。 【Tが『外延的に定義された有限集合』のときの言い換え】 ・「∀y∈T ( x loves y )」（yがTに属す誰であれ、xはyを愛す） (xは、Tの誰もを愛す) は、 T＝ { a1 , a2 , … , an } のとき、 "x loves a1" かつ "x loves a2" かつ … かつ "x loves an" (xは、a1 も a2も… anも好き)（a1 も a2 も … an もxから愛されている） に言い換えてよい。 ※なぜ？→∀y∈Tの言い換え(Sが外延的に定義されている場合) ※具体例： ・Perfumeの定義より、Perfume ＝ { 大本, 西脇, 樫野 } だから、 ∀y∈Perfume ( x loves y ) （xは、Perfumeの誰もを love） は、 「"x loves 大本" かつ "x loves 西脇" かつ "x loves 樫野" 」 (xは、大本も西脇も樫野も好き)（大本も西脇も樫野もxから気に入られてる） に言い換えてよい。 |
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| 【読み下し例】 ・「∀x∈S ( x loves y )」 「Sならだれでもyを愛しているぜ」[戸田山p.167] 「Sのすべての人は、yが好き。」[岡田p.30] 「Sのすべての人はyを愛する」[野矢問題42(p.9７)] 「yはSのすべての人から愛される」[野矢問題4３3(p.9７) 「Sの誰もが yを愛する」[野矢p.98] ・「∀y∈T ( x loves y ) 」 「xはTなら誰でも好きになっちまうのさ」[戸田山p.167] 「xはTのすべての人を愛する」[野矢問題42(p.9７) |
※一般化：∀x∈S P(x,y)の読み /∀x P(x,y)の読み ※さらに量化：「∀x∈S ∀y∈T ( x loves y )」/「∃x∈S ∀y∈T ( x loves y )」 / 「∃y∈S ∀x∈T ( x loves y )」
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| 【用語:全称記号・量化子・量化】 ・「∀x∈S ( x loves y )」「∀y∈T ( x loves y )」の「∀」は、全称記号とよばれる論理記号。 ・「∀x∈S ( x loves y )」「∀y∈T ( x loves y )」 の「∀x」「∀y」は、全称量化子・全称作用素とよばれる。 ・全称量化子・作用素「∀x∈S」「∀y∈T」を「 x loves y 」の前につけて∀x∈S ( x loves y )」「∀y∈T ( x loves y )」をつくることは、 全称量化・普遍量化とよばれる |
| 【用語:スコープ】 ・「∀x∈S ( x loves y )」というかたちのなかで、全称量化子・作用素「∀x∈S」によって量化された 「 x loves y 」 は、 全称量化子・作用素「∀x∈S」のスコープscope適用範囲,視野,作用域 などと呼ばれる。 |
| 【用語:束縛変数・自由変数】 ・「∀x∈S ( x loves y )」において、∀x∈Sによって量化された「 x loves y 」のなかの変数xは、 束縛変数とよばれる。 ・「∀x∈S ( x loves y )」において、∀x∈Sによって量化された「 x loves y 」のなかで、 束縛されていない方の変数yは、自由変数とよばれる。 ・「∀y∈T ( x loves y )」において、∀y∈Tによって量化された「 x loves y 」のなかの変数yは、 束縛変数とよばれる。 ・「∀y∈T ( x loves y )」において、∀y∈Tによって量化された「 x loves y」のなかで、 束縛されていない方の変数xは、自由変数とよばれる。 |
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