存在記号∃  : トピック一覧

【記号∃の説明】
 ・論理記号∃の呼称
 ・論理記号∃の使用法
  x P(x) / xX P(x)
  x P(x,y) / xX P(x,y)
  ∃x P(x1,…,xn) / xX P(x1,…,xn)
  多重量化 
 ・論理記号∃の読み下し方
 ・論理記号∃の推論規則
  論理記号∃の導入則
  論理記号∃の除去則 
【用語別】
 ・存在量化記号
 ・存在記号
 ・特称記号
 ・existential quantifier 
 ・存在量化子 
 ・特称量化子
 ・存在作用素
 ・特称作用素



・対象領域
・議論領域
・変項の定義域

存在量化
存在量化子による量化
・束縛する
・束縛変数(束縛変項)
・自由変数(自由変項)

n項述語量化関連ページ:n項述語・n変項命題関数/普遍量化・全称量化/範囲を限定した普遍量化・全称量化/範囲を限定した存在量化/二重量化
存在量化関連ページ:1項述語存在量化/2項述語存在量化 /

論理関連ページ:古典論理/論理記号一覧/述語・命題関数 
総目次 

n項述語・n変項命題関数の存在量化 ∃xi  P(x1, x2, …, xn)

 ・「∃ 変項 n項述語」の意味と読み下し方 
 ・議論領域が有限集合の場合の「∃ 変項 n項述語」  
 ・「∃ 変項 n項述語」の読み下し例一覧 
 ・「∃ 変項 n項述語」の具体的な使用例 
 ・「∃ 変項 n項述語」のなかで用いられる用語
 ・「∃ 変項 n項述語」の集合表現


xi  P(x1, x2, …, xn) の意味 

【ざっくり】

・「 x1  ( x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件P )」は、
 
  「 x1に代入されると、x2, …, xnとの関係・条件Pを満たす対象が、
                  少なくとも一つは存在する」

 という(n-1)変項命題関数(n-1)項述語を意味し、

   「あるx1が存在してx1, …, xnは関係Pにある/条件Pを満たす

   「あるx1についてx1, …, xnは関係Pにある/条件Pを満たす

   「x2, …, xnとの関係・条件Pを満たすx1が存在する

 と読み下される。

・「 x2  ( x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件P ) 」は、
 
  「 x2に代入されると、x1, x3, …, xnとの関係・条件Pを満たす対象が、
                   少なくとも一つは存在する」

 という一変項(n-1)変項の命題関数((n-1)項述語)を意味し、

   「あるx2が存在してx1, …, xnは関係Pにある/条件Pを満たす

   「あるx2についてx1, …, xnは関係Pにある/条件Pを満たす

   「x2, …, xnとの関係・条件Pを満たすx2が存在する

 と読み下される。

 :
 :

・「 xn  ( x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件P ) 」は、
 
  「 xnに代入されると、x1, x2, …, xn-1との関係・条件Pを満たす対象が、
                     少なくとも一つは存在する」

 という(n-1)変項の命題関数(n-1)項述語を意味し、

   「あるxnが存在してx1, …, xnは関係Pにある/条件Pを満たす

   「あるxnについてx1, …, xnは関係Pにある/条件Pを満たす

   「x1, x2, …, xn-1との関係・条件Pを満たすxnが存在する

 と読み下される。

【きっちり】


 関連事項−n項述語の量化: xX P(x1,…,xn)の意味 / xi P(x1,…,xn)の意味 / xiX P(x1,…,xn)の意味  
 関連事項−n項述語の二重量化:「∀xixj P(x1,…,xn)の意味/「∃xixj P(x1,…,xn)の意味/「∀xixj P(x1,…,xn)の意味 / 「∃xixj P(x1,…,xn)の意味 





【文献−数学一般】
 ●中内『ろんりの練習帳』2.5存在命題関数(p.99);
 ・齋藤『日本語から記号論理へ』2章§3∃量化子(pp.56-61);§5異種の量化子による二重量化(pp.69-74) 
 ・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(pp.38-46)5.5導く性質に∃xyがある場合(pp.176-186);5.6導く性質に∀x∃y∀zがある場合(pp.186-194); 
 ●本橋『新しい論理序説』3.2例3;問題4-5(pp.42-43);4(pp.62-83):述語と量化とその読み下し方について豊富な具体例。;5.概念の合成都分析(pp.84-109);5.3実数の順序関係:実数の集合の上界・最大元、関数の値域・最大値・連続(pp.91-109).

【文献−数学基礎論】
 ・前原昭二『記号論理入門』第1章§7.7(p.23);§9変数を含む命題:例2-4(pp.30-31)。
 ・前原昭二『数理論理学序説』U述語論理§1命題関数3.3〜3.4(pp.152-3)
 ・井関清志『集合と論理』§1.2(pp.6-7):一元一次方程式が解ける,例1例2(pp.10-11;);§1.5注意1(p.29)3項述語三重量化、4項述語4重量化。
 ・新井紀子『数学は言葉』2.3(pp.57-58)∃∃P(x,y);例題3.1.4(pp.67-70):∀n∃m(n<m),∃m∀n(n<m);例題3.2.10(p.90):3項述語の存在量化;例題3.2.11(pp.92-93)∃x∈R (¬(∃n∈N∃m∈Z x=m/n));4.1∀x∃y y=2x ,∃y∀x y=2x (pp.123-5); 4.2関数の定義∀xy f(x)=y・全射∀yx f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界M ,∀a f(a)M)(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

【文献−分析哲学・論理学】
 ・戸田山『論理学をつくる』7.1.4多重量化(pp.167-9):練習問題50:3重量化、
 ・高崎金久『数理論理学入門V.述語論理の意味論-1.4 量化子の使い方:連続性の定義「IsContinuous(f,a) ⇔ ∀ε∃δ∀x (|x - a|<δ ⇒ |f(x) - f(a)|<ε)連続性の定義;1.5 変数の出現位置と視野


 



【設定】

 P(x1, x2, …, xn)を、
   変項x1の議論領域X1 , 変項x2の議論領域X2 , … ,  変項xnの議論領域Xn とするn項述語・n変数命題関数 
 とする。 

x1  P(x1, x2, …, xn)

 「 x1  P(x1, x2, …, xn) 」は、議論領域X2, … , Xn とする(n-1)変項命題関数Q(x2, …, xn) 。

  →意味: x1に代入されると、x2, …, xnとの関係・条件Pを満たす対象が、議論領域X1のなかに少なくとも一つは存在するということ。
  →読み:「あるx1が存在してx1, …, xnは関係Pにある/条件Pを満たす
      「あるx1についてx1, …, xnは関係Pにある/条件Pを満たす
      「x2, …, xnとの関係・条件Pを満たすx1が存在する

x2  P(x1, x2, …, xn)

 「 x2  P(x1, x2, …, xn) 」は、議論領域X1, X3,… , Xn とする(n-1)変項命題関数Q(x1, x3,…, xn)

  →意味: x2に代入されると、x1 , x3 , …, xn との関係・条件Pを満たす対象が、議論領域X2のなかに少なくとも一つは存在するということ。
  →読み:「あるx2が存在してx1, …, xnは関係Pにある/条件Pを満たす
      「あるx2についてx1, …, xnは関係Pにある/条件Pを満たす
      「x2, …, xnとの関係・条件Pを満たすx2が存在する

 : 
 :

xn P(x1, x2, …, xn)

 「 xn P(x1, x2, …, xn) 」は、議論領域X1, X2,… , Xn-1とする(n-1)変項命題関数Q(x1, x2,…, xn-1)。  

  →意味: xnに代入されると、x1, x2, …, xn-1との関係・条件Pを満たす対象が、議論領域Xnのなかに少なくとも一つは存在するということ。
  →読み:「あるxnが存在してx1, …, xnは関係Pにある/条件Pを満たす
      「あるxnについてx1, …, xnは関係Pにある/条件Pを満たす
      「x1, …, xnとの関係・条件Pを満たす xnが存在する
 と読み下される。

 [→主要テキストの読み下し例一覧]
 [→具体的な使用例]

   ・このように、n項述語・n変数命題関数 P(x1, x2, …, xn) の頭に「 x1 」「 x2 」…「 xn 」のいずれか一つをつける(存在量化する)と、
     (n-1)変項命題関数Q(x1, x2,…, xn-1)になる。
 
   *「 変項(変数)n項述語・n変数命題関数」の後ろに、記号が続いていく場合、
    「 変項 (変数)」が支配している範囲(スコープ)を明示するために、
     「 変項(変 数)」の適用範囲に入っている述語を()で括る。


有限集合が議論領域のときの「∃変項 n項述語」の解釈 

(n-1)個の変項x2,x3,…,xnをもつ述語・命題関数 

  「 x1  P(x1, x2, …, xn)
 は、






 束縛変項x1議論領域有限集合 { a1 , a2 , … , am } であるとき、

 (n-1)個の変項をもつ述語・命題関数 
   P( a1, x2, …, xn) または P( a2, x2, …, xn) または … または P( am , x2, …, xn) 「x2, …, xnは、a1と関係Pにあるまたはa2と関係Pにあるまたはまたは amと関係Pにある」 

 に言い換えてよい。


(n-1)個の変項x1,x3,…,xnをもつ述語・命題関数 

  「 x  P(x1, x3, …, xn)
 は、
 束縛変項x2議論領域有限集合 { a1 , a2 , … , am } であるとき、

 (n-1)個の変項をもつ述語・命題関数 
   P( x1, a1, x3 , …, xn ) または P( x1, a2, x3 , …, xn ) または … または P( x1, am , x3 , …, xn ) 「x1, x3, …, xnは、a1と関係Pにあるまたはa2と関係Pにあるまたはまたは amと関係Pにある」 

 に言い換えてよい。





(n-1)個の変項x1,x2,…,xn-1を もつ述語・命題関数 

  「 xn P(x1, x2, …, xn)
 は、
 束縛変項xn議論領域有限集合 { a1 , a2 , … , am } であるとき、

 (n-1)個の変項をもつ述語・命題関数 
   P( x1, x2,  …, xn-1, a1 ) または P( x1, x2,  …, xn-1, a2 ) または … または P( x1, x2,  …, xn-1, am ) 「x1,x2,…,xn-1は、a1と関係Pにあるまたはa2と関係Pにあるまたはまたは amと関係Pにある」 
 に言い換えてよい。




→[トピック一覧:論理記号∃]
→[総目次]


「 ∃+変項+二項述語」に関わる諸用語 

【全称記号・全称量化記号/全称量化子・全称作用素】

・「∃ 変項 n項述語(n変数命題関数)」というかたちのなかの、
 「」は、 
  存在記号  [前原p.4;中内p.94;斎藤p.56;井関p.7;杉浦p.401]
  特称記号  [中内p.94]
  存在量化記号 [斎藤p.57;岡田光弘p.30]
  existential quantifier [斎藤p.57;岡田光弘p.30;De LaFuentep.8]
 などと呼ばれる論理記号

・「∃ 変項 n項述語(n変数命題関数)」というかたちのなかの、
 「変項」という部分は、 
  存在作用素 [前原p.4;松本p.28;中内p.94]   
  特称作用素 [前原p.4;松本p.28;中内p.94]   
  存在量化子 [斎藤p.57] 
  特称量化子 [高崎V-1.1;1.4]
  existential quantifier
 と呼ばれる。
  *岡田章は、記号「∃」そのものを「存在量化子」と呼ぶ(p.252)が、
   どうなのだろう?

【量化】

存在量化子・全称作用素変項」を
  n項述語(n変数命題関数)の前につけて
 「∃ 変項 n項述語」というかたちにする行為を、
 
   存在量化 [野矢 p.213;本橋pp.40-41;]
   
 などと呼ぶ。
 別の文脈で、「《変項》の束縛bound」と呼ぶこともある[→詳細]。

  [岡田光弘p.31;]述語の前に、∀x,∃xをつけること[井関p.26]





【スコープ】

・「∃ 変項 n項述語(n変数命題関数)」というかたちのなかで、

 存在量化子・作用素変項」によって量化された

  「n項述語(n変数命題関数)

 の範囲は、

 存在量化子・作用素変項」の

  スコープscope[岡田光弘p.31;松本p.28]
  適用範囲[松本p.28]
  視野
[高崎V-1.5]
  作用域[高崎V-1.5]
  作用範囲[前原1章§8(p.24)]

 などと呼ばれる。
 
※「∃ 変項 n項述語(n変数命題関数)」の後ろに、記号が続いていく場合、
 どこまでが「変項」のスコープなのか、はっきりしなくなることがある。
 そういうときは、
 「変項」のスコープがどこまでかを明示するために、
 「変項」の適用範囲に入っている述語を()で括る。
      





【束縛する/束縛変項/自由変項】

・  xi を、x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件Pの前につける行為を、
 「変項(変数)xiを束縛するboundと呼ぶ。[井関p.26] 

・「 xi  P(x1, x2, …, xn)  」において、

 「xi 」のスコープにある 変項xi 

  つまり、
   「 xi 」によって量化されたn項述語(n変数命題関数) 
    P(x1, x2, …, xn)    
   のなかの変項xi

 は、
  束縛変項 (束縛変数) bound variable
 と呼ばれる。[斎藤p.50;前原1章§7-8][岡田光弘p.31;]
       [本橋2.4(pp.31-34))]







下記未確認
【文献−数学基礎論】
 ●前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(pp.20-23);§8自由変数束縛変数(pp.23-26)。
 ・井関清志『集合と論理』§1.2(pp.6-7);§1.5(pp.24-30)。
 ・高崎金久『数理論理学入門V.述語論理の意味論-1.4 量化子の使い方;1.5 変数の出現位置と視野

【文献−分析哲学・論理学】
 ・戸田山『論理学をつくる』7.1.4多重量化(p.167)

【文献−数学一般】
 ●本橋『新しい論理序説』;2.4(pp.31-34):自由変数と束縛変数;3.2(pp.40-43);4(pp.62-83):述語と量化とその読み下し方について豊富な具体例。



 


・「 xi  P(x1, x2, …, xn)  」において、「xi 」のスコープにあるものの「xi 」によって束縛されていない変項 

  つまり、n項述語(n変数命題関数) P(x1, x2, …, xn) のなかの変項x1,…, xi-1xi+1 ,…, xn  

 は、
 自由変項 (自由変数) free variable
 と呼ばれる。[岡田光弘p.31;井関p.29;前原1章§8(p.24)]  


→[トピック一覧:論理記号∃]
→[総目次]


「∃xi P(x1,x2,…,xn) 」の読み下し例:一覧  


【英語】

there exists xi such that P(x1, x2, …, xn) .  [新井4.1p.124]


for some x, P(x1, x2, …, xn) [岡田光弘p.30]

【日本語type1】

(1)

・「 あるxiについて、P(x1, x2, …, xn) 」 [中谷p.141;本橋p.70] 

・「 少なくともひとつのxiに対して、P(x1, x2, …, xn) 」 [斎藤p.56]

(2)

・「あるxiが存在し、P(x1, x2, …, xn) 」 [野矢『入門!論理学p.218]

【日本語type2】

・「 P(x1, x2, …, xn)となるxiがある 」 [本橋p.70 ; p.42] 

・「 P(x1, x2, …, xn)なるxiが存在する 」[斎藤p.56]



 関連事項−n項述語の量化: xX P(x1,xn)の読み / xi P(x1,…,xn)の読み / xiX P(x1,…,xn)の読み  
 関連事項−n項述語の二重量化:「∀xixj P(x1,…,xn)の読み/「∃xixj P(x1,…,xn)読み/「∀xixj P(x1,…,xn)読み / 「∃xixj P(x1,…,xn)読み 





下記未確認
【文献】
 ・中谷『論理』6.3A多変数の命題関数の限定命題(p.141)
 ●本橋『新しい論理序説』3.2例3;問題4-5(pp.42-43);4.1(p.64):
 ●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§3存在量化子(pp.56-7)
 ・新井紀子『数学は言葉』4.1(p.124);4.2(p.128)
 ・野矢茂樹『入門!論理学』第6章(pp.218-222)∀x∃y P(x,y).∃y∀x P(x,y).
 ●De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,1.2.a.Properties and Quantifiers(pp.8-9):二重量化。英語での読み下し例。
 ・戸田山『論理学をつくる』7.1.4多重量化(pp.167-9)


 ・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』第4章述語論理脚注3(p.30):


 



※さらに量化すると… 「∀xixj P(x1,…,xn)の読み / 「∃xixj P(x1,…,xn)の読み     


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