【記号∃の説明】 ・論理記号∃の呼称 ・論理記号∃の使用法 ∃x P(x) / ∃x∈X P(x) ∃x P(x,y) / ∃x∈X P(x,y) ∃x P(x1,…,xn) / ∃x∈X P(x1,…,xn) 多重量化 ・論理記号∃の読み下し方 ・論理記号∃の推論規則 論理記号∃の導入則 論理記号∃の除去則 |
【用語別】 ・存在量化記号 ・存在記号 ・特称記号 ・existential quantifier ・存在量化子 ・特称量化子 ・存在作用素 ・特称作用素 | ・対象領域 ・議論領域 ・変項の定義域 |
・存在量化 ・存在量化子による量化 ・束縛する ・束縛変数(束縛変項) ・自由変数(自由変項) |
・「∃ 変項 n項述語」の意味と読み下し方 ・議論領域が有限集合の場合の「∃ 変項 n項述語」 ・ ・「∃ 変項 n項述語」の具体的な使用例 ・「∃ 変項 n項述語」のなかで用いられる用語 ・ |
∃xi P(x1, x2, …, xn) の意味
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※関連事項−n項述語の量化: ∃x∈X P(x1,…,xn)の意味 / ∀xi P(x1,…,xn)の意味 / ∀xi∈X P(x1,…,xn)の意味 ※関連事項−n項述語の二重量化:「∀xi∀xj P(x1,…,xn) 」 /「∃xi∀xj P(x1,…,xn)」 /「∀xi∃xj P(x1,…,xn)」 / 「∃xi∃xj P(x1,…,xn)」
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【設定】 P(x1, x2, …, xn)を、 変項x1の議論領域をX1 , 変項x2の議論領域をX2 , … , 変項xnの議論領域をXn とするn項述語・n変数命題関数 とする。 【∃ x1 P(x1, x2, …, xn)】 「∃ x1 P(x1, x2, …, xn) 」は、議論領域をX2, … , Xn とする(n-1)変項命題関数Q(x2, …, xn) 。 →意味: x1に代入されると、x2, …, xnとの関係・条件Pを満たす対象が、議論領域X1のなかに少なくとも一つは存在するということ。 →読み:「あるx1が存在して、x1, …, xnは関係Pにある/条件Pを満たす」 「あるx1について、x1, …, xnは関係Pにある/条件Pを満たす」 「x2, …, xnとの関係・条件Pを満たすx1が存在する」 【∃ x2 P(x1, x2, …, xn)】 「∃ x2 P(x1, x2, …, xn) 」は、議論領域をX1, X3,… , Xn とする(n-1)変項命題関数Q(x1, x3,…, xn)。 →意味: x2に代入されると、x1 , x3 , …, xn との関係・条件Pを満たす対象が、議論領域X2のなかに少なくとも一つは存在するということ。 →読み:「あるx2が存在して、x1, …, xnは関係Pにある/条件Pを満たす」 「あるx2について、x1, …, xnは関係Pにある/条件Pを満たす」 「x2, …, xnとの関係・条件Pを満たすx2が存在する」 : : 【∃ xn P(x1, x2, …, xn)】 「∃ xn P(x1, x2, …, xn) 」は、議論領域をX1, X2,… , Xn-1とする(n-1)変項命題関数Q(x1, x2,…, xn-1)。 →意味: xnに代入されると、x1, x2, …, xn-1との関係・条件Pを満たす対象が、議論領域Xnのなかに少なくとも一つは存在するということ。 →読み:「あるxnが存在して、x1, …, xnは関係Pにある/条件Pを満たす」 「あるxnについて、x1, …, xnは関係Pにある/条件Pを満たす」 「x1, …, xnとの関係・条件Pを満たす xnが存在する」 と読み下される。 [→主要テキストの読み下し例一覧] [→具体的な使用例] |
有限集合が議論領域のときの「∃変項 n項述語」の解釈
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束縛変項x1の議論領域が有限集合 { a1 , a2 , … , am } であるとき、 (n-1)個の変項をもつ述語・命題関数 P( a1, x2, …, xn) または P( a2, x2, …, xn) または … または P( am , x2, …, xn) 「x2, …, xnは、a1と関係Pにある、または、a2と関係Pにある、または…または amと関係Pにある」 に言い換えてよい。 ・(n-1)個の変項x1,x3,…,xnをもつ述語・命題関数 「∃ x2 P(x1, x3, …, xn) 」 は、 束縛変項x2の議論領域が有限集合 { a1 , a2 , … , am } であるとき、 (n-1)個の変項をもつ述語・命題関数 P( x1, a1, x3 , …, xn ) または P( x1, a2, x3 , …, xn ) または … または P( x1, am , x3 , …, xn ) 「x1, x3, …, xnは、a1と関係Pにある、または、a2と関係Pにある、または…または amと関係Pにある」 に言い換えてよい。 : : : ・(n-1)個の変項x1,x2,…,xn-1を もつ述語・命題関数 「∃ xn P(x1, x2, …, xn) 」 は、 束縛変項xnの議論領域が有限集合 { a1 , a2 , … , am } であるとき、 (n-1)個の変項をもつ述語・命題関数 P( x1, x2, …, xn-1, a1 ) または P( x1, x2, …, xn-1, a2 ) または … または P( x1, x2, …, xn-1, am ) 「x1,x2,…,xn-1は、a1と関係Pにある、または、a2と関係Pにある、または…または amと関係Pにある」 に言い換えてよい。 |
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「 ∃+変項+二項述語」に関わる諸用語
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【スコープ】 ・「∃ 変項 n項述語(n変数命題関数)」というかたちのなかで、 存在量化子・作用素「∃変項」によって量化された 「n項述語(n変数命題関数)」 の範囲は、 存在量化子・作用素「∃変項」の スコープscope[岡田光弘p.31;松本p.28] 適用範囲[松本p.28] 視野[高崎V-1.5] 作用域[高崎V-1.5] 作用範囲[前原1章§8(p.24)] などと呼ばれる。 ※「∃ 変項 n項述語(n変数命題関数)」の後ろに、記号が続いていく場合、 どこまでが「∃変項」のスコープなのか、はっきりしなくなることがある。 そういうときは、 「∃変項」のスコープがどこまでかを明示するために、 「∃変項」の適用範囲に入っている述語を()で括る。 |
【束縛する/束縛変項/自由変項】 ・ ∃xi を、x1, x2, …, xnのあいだの関係・条件Pの前につける行為を、 「変項(変数)xiを束縛するbound」と呼ぶ。[井関p.26] ・「∃ xi P(x1, x2, …, xn) 」において、 「∃xi 」のスコープにある 変項xi つまり、 「 ∃ xi 」によって量化されたn項述語(n変数命題関数) P(x1, x2, …, xn) のなかの変項xi は、 束縛変項 (束縛変数) bound variable と呼ばれる。[斎藤p.50;前原1章§7-8][岡田光弘p.31;] [本橋2.4(pp.31-34))] |
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・「∃ xi P(x1, x2, …, xn) 」において、「∃xi 」のスコープにあるものの「∃xi 」によって束縛されていない変項 つまり、n項述語(n変数命題関数) P(x1, x2, …, xn) のなかの変項x1,…, xi-1, xi+1 ,…, xn は、 自由変項 (自由変数) free variable と呼ばれる。[岡田光弘p.31;井関p.29;前原1章§8(p.24)] |
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「∃xi P(x1,x2,…,xn) 」の読み下し例:一覧
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※関連事項−n項述語の量化: ∃x∈X P(x1,xn)の読み / ∀xi P(x1,…,xn)の読み / ∀xi∈X P(x1,…,xn)の読み ※関連事項−n項述語の二重量化:「∀xi∀xj P(x1,…,xn) 」 /「∃xi∀xj P(x1,…,xn)」 /「∀xi∃xj P(x1,…,xn)」 / 「∃xi∃xj P(x1,…,xn)」
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※さらに量化すると… 「∀xi∃xj P(x1,…,xn)」 |
/ 「∃xi∃xj P(x1,…,xn)」
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