論理記号∃　　：　トピック一覧

【記号∃の説明】
　・論理記号∃の呼称
　・論理記号∃の使用法
　　∃x P(x) / ∃x∈X P(x)
　　∃x P(x,y) / ∃x∈X P(x,y)　
　　多重量化　
　・論理記号∃の読み下し方
　・論理記号∃の推論規則
　　論理記号∃の導入則
　　論理記号∃の除去則　
 【用語別】
　・存在量化記号
　・存在記号
　・特称記号
　・existential quantifier　
　・存在量化子　
　・特称量化子
　・存在作用素
　・特称作用素



・対象領域
・議論領域
・変項の定義域

・存在量化
・存在量化子による量化
・束縛する
・束縛変数(束縛変項)
・自由変数（自由変項）

→　∃x∈S P(x,y)　
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二項述語・2変項命題関数の存在量化：具体例3　　



　　∃x∈S ( x loves y )　
　　∃y∈T ( x loves y )　

【解釈】

　　「∃　変項∈範囲　2項述語」というかたちにおいて、
　　　　変項 をxおよびy、
　　　　範囲をSおよびT、
　　　　二項述語を「 x loves y 」
　　としたもの。

【意味】

　・「∃x∈S ( x loves y )」は、
※関連項目："x loves y" /「∃x ( x loves y )」/「∃y ( x loves y )」/「∀x ( x loves y )」/「∀y ( x loves y )」/「∀x∈S ( x loves y )」/「∀y∈T ( x loves y )」  　 　　
※さらに量化：「∃x∈S ∃y∈T  ( x loves y )」/「∀x∈S ∃y∈T ( x loves y )」/「∀y∈S ∃x∈T ( x loves y )」 




【文献】
　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』第4章述語論理(pp.29-3２):
　●戸田山『論理学をつくる』7.1.5愛の論理学(pp.169-172)
　・野矢茂樹『論理学』第2章第2節-多重量化(pp.96-98)問題42.

　・本橋『新しい論理序説』4.1量化の問題(p.64):∃∃,∃∀。


　　「"x loves y"というyとの関係を満たす対象が、Sのなかに、少なくとも一つは、存在する」つまり、「Sの誰かがyを愛してる」「yはSの誰かに愛されてる」という
　　yの中身だけに依存して、様々な命題を表す命題関数（1変項yの命題関数）。
　
　・「∃y∈T ( x loves y )」は、
　　「"x loves y"というxとの関係を満たす対象が、Tのなかに少なくとも一つは、存在する」つまり、「xはTの誰かを愛してる」「Tの誰かがxに愛されてる」という
　　　xの中身だけに依存して、様々な命題を表す命題関数（1変項xの命題関数）。

　・2項述語(2変数命題関数)「 x loves y 」は、

　　　　　・m-flo　loves 　野宮真貴 
　　　　　・m-flo　loves 　PERFUME 
　　　　　・恩田三姉妹　loves 猫 
　　　　　・鳥居みゆき loves 戸川純　

　　といった具合に、
　　x,yの中身に依存して、様々な命題を表すが、

　　1変項yの命題関数「∃x∈Perfume ( x loves y )」  （Perfumeの誰かが  loves y ）は、

　　　　　・∃x∈Perfume ( x loves the world )　　　　「Perfumeの誰かが、loves the world」
　　　　　・∃x∈Perfume ( x loves 猫 )　　　　　　　　「Perfumeの誰かは、やっぱり猫が好き」
　　　　　・∃x∈Perfume ( x loves　戸川純 )　　　　　「Perfumeの誰かが、戸川純のこと、好き好き大好き」
　　　　　・∃x∈Perfume ( x loves　鳥居みゆき )　　　　「Perfumeの誰かが、鳥居みゆきファン。」

　　といった具合に、
　　yの中身(the world, 猫, 戸川純,鳥居みゆき …)だけに依存して、様々な命題を表し、　


　　1変項yの命題関数「∃x∈アラフォー男性を全員あつめた集合 （ x loves y )」 は、

　　　　　・∃x∈アラフォー男性を全員あつめた集合 （ x loves the world )　　　　「アラフォー男性のなかには、loves the worldしてるのもいる。」
　　　　　・∃x∈アラフォー男性を全員あつめた集合 （ x loves 猫 )　　　　　　　　「アラフォー男性には、やっぱり猫が好きなやつもいる」
　　　　　・∃x∈アラフォー男性を全員あつめた集合 （ x loves　戸川純 )　　　　　「アラフォー男性のなかに、戸川純が好き好き大好きなのっているよね。」
　　　　　・∃x∈アラフォー男性を全員あつめた集合 （ x loves　鳥居みゆき )　　　　　「アラフォー男性なのに、鳥居みゆきloveな人っているよね。」

　　といった具合に、
　　yの中身(the world, 猫, 戸川純,鳥居みゆき,…)だけに依存して、様々な命題を表す。

　　同様に、

　　1変項xの命題関数「∃y∈Perfume ( x loves y )」 は、

　　　　　・∃y∈Perfume ( m-flo　loves y )　　　　　　　　　　　　　　「m-floは、Perfumeの誰もを love」
　　　　　・∃y∈Perfume (  YMO loves y )　　　　　　　　　　　　　　「YMOは、Perfumeの誰もを love」

　　といった具合に、
　　xの中身(m-flo, YMO, …)だけに依存して、様々な命題を表し、　

　　1変項xの命題関数「∃y∈アラフォー男性を全員あつめた集合 （ x loves y )」 は、

　　　　　・∃y∈アラフォー男性を全員あつめた集合 （ 野宮真貴 loves y )　　　　
　　　　　・∃y∈アラフォー男性を全員あつめた集合 （ 戸川純 loves y )　　　　
　　　　　・∃y∈アラフォー男性を全員あつめた集合 （ 猫 loves y )　　

　　といった具合に、
　　xの中身(野宮真貴, 戸川純, 猫, …)だけに依存して、様々な命題を表す。　



【言い換え】

・「∃x∈S ( x loves y )」
　　（Sに属す誰かが、yを愛す）（Sの誰かが、yを愛す）　
　は、
　「 ∃x ( x∈Sかつ x loves y ) 」
　　　（誰かが、Sに属しかつyを愛している）
　　　（Sに属しかつyを愛している誰かがいる。）
　に言い換えてよい。

 　
　※対象例： ∀x∈X "x loves y" の言い換え
　※さらに二重量化した例：「∃x ∃y∈T  ( x loves y )」/「∀x∈S ∃y∈T ( x loves y )」/「∀y∈S ∃x∈T ( x loves y )」 　　　

 　※なぜ？→∃x∈Sの定義　　

　※具体例：
　　・「∃x∈Perfume ( x loves y )」（Perfumeに属す誰かが、loves y）　は、　
　　　「 ∃x ( x∈Perfume かつ x loves y ) 」（Perfumeに属しかつyを愛している誰かがいる。）に言い換えてよい。


・「∃y∈T ( x loves y )」（xは「Tに属す誰か」を愛す） (「Tに属す誰か」は、xから愛されている)　　
　は、
　「「∃y ( y∈Tかつ x loves y ) 」（誰かが、Tに属しかつyから愛されている）（Tに属しかつyから愛されている誰かがいる。）
　に言い換えてよい。　

　※なぜ？→∃x∈Tの定義　　

　※具体例：
　　・「∃y∈Perfume ( x loves y )」　　（xは、Perfumeの誰かを love）　は、
　　　「∃y ( y∈Perfumeかつ x loves y ) 」（誰かが、Perfumeに属しかつyから愛されている）（Perfumeに属しかつyから愛されている誰かがいる。）
　に言い換えてよい。　[→さらなる量化]
　　　




【Sが内包的に定義されているときの言い換え】

・「∃x∈S ( x loves y )」

　　（Sに属す誰かが、yを愛す）（Sの誰かが、yを愛す）　
　は、
　※対照例： ∀x∈X "x loves y" の言い換え
　※さらに量化した例：「∃x ∃y∈T  ( x loves y )」/「∀x∈S ∃y∈T ( x loves y )」/「∀y∈S ∃x∈T ( x loves y )」 　　

　 S＝{ x' | S'(x) } 　（Sは「議論領域から《条件S'を満たす対象》をすべてあつめた集合」）

　のとき、

　「∃x ( S'(x)  かつ x loves y )」　（誰かが、条件S'を満たし、かつyを愛している）（「条件S'を満たしかつyを愛している」誰かがいる。）

　に言い換えてよい。

　※なぜ？→∃x∈Sの言い換え(Sが内包的に定義されている場合)　　

　※具体例：

　　・「∃x∈50代男性を全員あつめた集合 ( x loves y )」
　　　　（『50代男性を全員あつめた集合』に属す誰かが、yのことが好き。」
　　　は、
　　　「∃x ( 「xは50代男性である」　かつ x loves y )」　（誰かが、50代男性であり、かつ、yを愛している）（50代男性かつyを愛している誰かがいる。）
　　　に言い換えてよい。
　　　　

【Tが内包的に定義されているときの言い換え】


・「∃y∈T ( x loves y )」（xは「Tに属す誰か」を愛す） (「Tに属す誰か」は、xから愛されている)　は、
　
　 T＝{ y' | T'(y) } 　（Tは「議論領域から《条件T'を満たす対象》をすべてあつめた集合」）

　のとき、

　「∃y ( T'(y)かつ x loves y ) 」（誰かが、条件T'を満たしかつyから愛されている）（条件T'を満たしかつyから愛されている誰かがいる。）
　に言い換えてよい。　

　※なぜ？→∃y∈Tの言い換え(Tが内包的に定義されている場合)　　

　※具体例：

　　・芸能界＝{ x' | xは芸能人である } 　（「芸能界」は《条件『xは芸能人である』を満たす対象》をすべてあつめた集合」）
　　　との定義のもとで、　　
　　　∃y∈芸能界 ( x loves y )　　「xは、芸能界に籍を置いている誰かを好き」は、
　　　∃y ( yは芸能人である かつ x loves y )  （誰かが、「芸能人であり、かつxから愛されている」)　（「芸能人であり、かつxから愛されている」誰かがいる。）
　　　に言い換えてよい。




【Sが『外延的に定義された有限集合』のときの言い換え】

・「∃x∈S ( x loves y )」
　　（Sに属す誰かが、yを愛す）（Sの誰かが、yを愛す）　
　は、
　

　※対照例： ∀x∈X "x loves y" の言い換え
　※さらに量化した例：「∃x ∃y∈T  ( x loves y )」/「∀x∈S ∃y∈T ( x loves y )」/「∀y∈S ∃x∈T ( x loves y )」 　　　　
　　

　 S＝ { a1 , a2 , … , an } 　　のとき、
　
　　"a1 loves y" または "a2 loves y" または … または "an loves y"  
　　　　（a1 か a2 か …  an が、yを愛す）(yは、a1 か a2か… an、から愛されている)

　に言い換えてよい。

　※なぜ？→∃x∈Sの言い換え(Sが外延的に定義されている場合)　　

　※具体例：
　　・Perfumeの定義より、Perfume ＝ { 大本, 西脇, 樫野 }　だから、　
　　　「∃x∈S ( x loves y )」（Perfumeに属す誰かが、loves y）　は、　
　　　「"大本 loves y " または "西脇 loves y" または "樫野 loves y" 」
　　　　(大本か西脇か樫野がyを好き)（yは、大本か西脇か樫野から気に入られてる）
　　　に言い換えてよい。　

【Tが『外延的に定義された有限集合』のときの言い換え】
　　
・「∃y∈T ( x loves y )」（xは「Tに属す誰か」を愛す） (「Tに属す誰か」は、xから愛されている)　は、

　は、

　 T＝ { a1 , a2 , … , an } 　　のとき、

　　"x loves a1" または "x loves a2" または … または "x loves an"    　　
　　　　(xは、a1 か a2か… anを好き)（a1 か a2 か …  an は、xから愛されている）

　に言い換えてよい。

　※なぜ？→∃y∈Tの言い換え(Tが外延的に定義されている場合)　　

　※具体例：
　　・Perfumeの定義より、Perfume ＝ { 大本, 西脇, 樫野 }　だから、　
　　　∃y∈T ( x loves y )　（xは、Perfumeの誰かを love）　は、
　　　「"x loves 大本" または "x loves 西脇" または "x loves 樫野" 」
　　　　(xは、大本か西脇か樫野を好き)（大本か西脇か樫野はxから気に入られてる）
　　　に言い換えてよい。　





【読み下し例】

 ・「 ∃x∈S ( x loves y ) 」

　[直訳]

　「ある『Sに属す対象』xについて、x loves y」[本橋 p.64]
　「x loves yとなる『Sに属す対象』xがある。」[本橋 p.64]

　[意訳]

　「yを愛する『Sに属す対象』がいる」[戸田山p.1６７]

　「Sのなかにはyを愛するやつもいる」[戸田山p.1６７]

　「Sのある人は、yが好き。」[岡田光弘p.30]　

　「yを愛する人がSにいる」[野矢問題42(p.9７)]

　「Sの誰かがyを愛している」[本橋 p.64]


・「 ∃y∈T ( x loves y ) 」

　[直訳]

　「ある『Tに属す対象』yについて、x loves y」[本橋 p.64]
　「x loves yとなる『Tに属す対象』yがある。」[本橋 p.64]

　[意訳]

　「xが愛している『Tに属す対象』がいる」[戸田山p.1６７]」

　「xには愛するひとがTにいる」[野矢問題42(p.9７)問題4３(p.9７)p.98]

　「xがTにの誰かを愛している」[本橋 p.64]


 ※一般化： ∃x∈X P(x,y)の読み / ∃x P(x,y)の読み 
※さらに量化：「∃x ∃y∈T  ( x loves y )」/「∀x∈S ∃y∈T ( x loves y )」/「∀y∈S ∃x∈T ( x loves y )」 　　　　
　　


【文献】
　・戸田山『論理学をつくる』7.1.3練習問題49(2)(3)(5)(p.167)
　・野矢茂樹『論理学』第2章第2節-多重量化(pp.96-97)二重量化の説明.
　・本橋『新しい論理序説』4.1量化の問題(p.64):∃∃,∃∀。
　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』第4章述語論理(pp.29-3２):









【用語:存在記号・量化子・量化】

　　・「 ∃x∈S ( x loves y ) 」「 ∃y∈T ( x loves y ) 」の「∃」は、存在記号とよばれる論理記号。

　　・「 ∃x∈S ( x loves y ) 」「 ∃y∈T ( x loves y ) 」 の「∃x∈S」「∃y」は、存在量化子・存在作用素とよばれる。
　
　　・存在量化子・存在作用素「∃x」「∃y」を「 x loves y 」の前につけて「 ∃x∈S ( x loves y ) 」「 ∃y∈T ( x loves y ) 」をつくることは、
　　　存在量化とよばれる




【用語:スコープ】

　　・「 ∃x∈S ( x loves y ) 」というかたちのなかで、存在量化子・存在作用素によって量化された
　　　　「 x loves y 」
　　　は、
　　　存在量化子・存在作用素「∃x」のスコープscope適用範囲,視野,作用域　
　　　などと呼ばれる。　



【用語:束縛変数・自由変数】

　　・「 ∃x∈S ( x loves y ) 」において、∃x∈Sによって量化された「 x loves y 」のなかの変数xは、
　　　束縛変数とよばれる。

　　・「 ∃x∈S ( x loves y ) 」において、∃x∈Sによって量化された「 x loves y 」のなかで、
　　　束縛されていない方の変数yは、自由変数とよばれる。

　　・「 ∃y∈T ( x loves y ) 」において、∃y∈Tによって量化された「 x loves y 」のなかの変数yは、
　　　束縛変数とよばれる。

　　・「 ∃y∈T ( x loves y ) 」において、∃y∈Tによって量化された「 x loves y」のなかで、
　　　束縛されていない方の変数xは、自由変数とよばれる。





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