実ベクトル空間から実ベクトル空間への一次写像の行列表示と標準化

・定理：一次写像の行列表示/一次写像の行列表示の標準形/一次写像の合成写像の行列表示/同型写像の逆写像の行列表示
・定理：一次変換の行列表示/一次変換の行列表示の標準形は得られない/　

※関連ページ：
・実ベクトル空間のあいだの一次写像と行列の関係について：実ベクトル空間のあいだの一次写像/基底の変換と一次写像と行列/一次写像の階数と行列の階数の関係　
・一次写像「f:Rⁿ→R^m」と行列の関係について：実n次元数ベクトル空間から実m次元数ベクトル空間への一次写像/一次写像f:Rⁿ→R^mの行列表示と標準化/基底変換と一次写像の行列表示/　　
※線形代数目次・総目次

定理：一次写像・線形写像の行列表示･行列表現

設定

この定理は、以下の舞台設定上で成り立つ。
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
V ：実ベクトル空間（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）であって、
　　　 n次元。つまり、dimV＝n　
{ v₁, v₂, …, v_n }：Vの基底をなす、Vに属すベクトルの集合　　　
W ：実ベクトル空間（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）であって、
　　　 m次元。つまり、dimW＝m　　
{ w₁, w₂, …, w_m }：Wの基底をなす、Wに属すベクトルの集合

[文献]
・永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.4.1(p.28);
・斎藤『線形代数入門』4章§5(pp.113-4) 本論4で定義して、本論1を定理として導出;
・志賀『線形代数30講』17講(p.109);
・ホフマン・クンツェ『線形代数学I』3.4行列による一次変換の表現(p.89);
・藤原『線形代数』4.3(p.102);
・神谷浦井『経済学のための数学入門』§5.2.1線形写像の行列表現(p.165);
・松坂『解析入門4』15.1-F(p.12);
・砂田『行列と行列式』§5.5(a) (p.187):
　　　　　体上のベクトル空間のあいだの一次写像全般について。
・酒井『環と体の理論』1.6(p.23)

本論1

Vの基底{ v₁, v₂, …, v_n }、Wの基底{ w₁, w₂, …, w_m }と、
一次写像「f:V→W」にたいして、　
　　 f (v₁)=a₁₁w₁+a₂₁w₂+…+a_m1w_m 　　
　　 f (v₂)=a₁₂w₁+a₂₂w₂+…+a_m2w_m 　　
　　　：　　　　　：　
　　 f (v_n)=a_1nw₁+a_2nw₂+…+a_mnw_m 　　
を満たす(m,n)型実行列　

　　　　
が一意的に存在する。　
　※　　　　　　
　　｜ f (v₁)=a₁₁w₁+a₂₁w₂+…+a_m1w_m
　　｜ f (v₂)=a₁₂w₁+a₂₂w₂+…+a_m2w_m 　　
　　｜　：　　　　　：　
　　｜ f (v_n)=a_1nw₁+a_2nw₂+…+a_mnw_m 　　
　を、行列の乗法風に、
　　　
　と書く、簡便法が、頻繁に用いられる。　
　この簡便法を用いると、上記の命題は、次のように、簡潔に表せる。
　　｜　Vの基底{ v₁, v₂, …, v_n },Wの基底{ w₁, w₂, …, w_m }と、一次写像f:V→Wにたいして、
　　｜　　　　　　f (v₁, v₂, …, v_n)=(w₁, w₂, …, w_m )A　　
　　｜　を満たす(m,n)型実行列Aが一意的に存在する　
　　　

※ポイント
　「一次写像f : V→W」の行列表示は、
　「一次写像f:Rⁿ→R^m」の行列表示の場合とちがって、
　V,Wに、標準基底と呼ばれる基底がないので、
　自分で自由に基底をV,Wに定めて、
　「一次写像f : V→W」を行列表示するほかない。

※ポイント
　「一次写像f : V→W」の行列表示は、
　　Vの基底のとりかた,Wの基底のとりかたの二点から、定まる。
　これに対して、
　一次変換の行列表示は、Vの基底のとりかたのみから、定まる。
　この違いは、
　基底を取り替えが、行列表示に及ぼす影響を、
　考察する際に、重要になる。

証明

※なぜ？→証明

本論2

Vの基底{ v₁, v₂, …, v_n },Wの基底{ w₁, w₂, …, w_m }と、
(m,n)型実行列
　　
にたいして、　
　　 f (v₁)=a₁₁w₁+a₂₁w₂+…+a_m1w_m 　　
　　 f (v₂)=a₁₂w₁+a₂₂w₂+…+a_m2w_m 　　
　　　：　　　　　：　
　　 f (v_n)=a_1nw₁+a_2nw₂+…+a_mnw_m 　　
を満たす一次写像f:V→Wがきまる。　　　
※　　　　　　
　　｜ f (v₁)=a₁₁w₁+a₂₁w₂+…+a_m1w_m
　　｜ f (v₂)=a₁₂w₁+a₂₂w₂+…+a_m2w_m 　　
　　｜　：　　　　　：　
　　｜ f (v_n)=a_1nw₁+a_2nw₂+…+a_mnw_m 　　
　を、行列の乗法風に、
　　　
　と書く、簡便法が、頻繁に用いられる。
　　　　　　　　（数ベクトル空間のケースだと、便利さが引き立つらしい）　
　この簡便法を用いると、上記の命題は、次のように、簡潔に表せる。　　　
　　　　　　｜　Vの基底{ v₁, v₂, …, v_n },Wの基底{ w₁, w₂, …, w_m }と、
　　　　　　｜　(m,n)型実行列Aにたいして、　
　　　　　　｜　　　　　　f (v₁, v₂, …, v_n)=(w₁, w₂, …, w_m )A　　
　　　　　　｜　を満たす一次写像f:V→Wがきまる。　

証明

※なぜ？→証明

本論3

・上記の(m,n)型実行列Aを、
　基底{ v₁, v₂, …, v_n }, { w₁, w₂, …, w_m }に関する１次写像fの行列表示、　　
　基底{ v₁, v₂, …, v_n }, { w₁, w₂, …, w_m }に関する１次写像fの表現行列、　　
　基底{ v₁, v₂, …, v_n }, { w₁, w₂, …, w_m }を定めたとき１次写像fに対応する行列　
　と呼ぶ。
・(m,n)型実行列Aが、
　「『Vの基底』α={ v₁, v₂, …, v_n }, 『Wの基底』β={ w₁, w₂, …, w_m }に関する
　　　　　１次写像fの表現行列」
　であることを、　　
　　
　という記号で表すことがある。

※特殊例：
　　・一次写像f:Rⁿ→R^mの標準基底に関する一次写像の行列表示　　
　　・一次写像f:Rⁿ→R^mの任意基底に関する行列表示･行列表現　　
　　・一次変換f:V→Vの行列表示　
※発展事項：一次写像の行列表示の標準形/基底変換の行列　　

※

このように「一次写像f : V→W」の行列表示は、Vの基底のとりかた,Wの基底のとりかたの二点から、定まる。
これに対して、一次変換の行列表示は、Vの基底のとりかたのみから、定まる。
この違いは、基底を取り替えが、行列表示に及ぼす影響を、
考察する際に、重要になる。

本論4

[一次写像y=f (x)の行列表現]
・実ベクトル空間Vに属す任意のベクトルxは、
　　Vの基底α={ v₁, v₂, …, v_n }の一次結合として一意的に表せる（∵基底の定義）。
　つまり、
　　任意のx∈Vに対して、ある実数x₁ , x₂ ,…, x_nが一意に存在して、
　　　　x=x₁v₁+ x₂v₂+…+ x_nv_n　
　　を満たす。
　この実数の組(x₁ , x₂ ,…, x_n) の縦ベクトルを、
　　xの《Vの基底α={ v₁, v₂, …, v_n }》に関する座標ベクトルと呼び、
　　　[x]_α　
　　と表す。
・実ベクトル空間Wに属す任意のベクトル yは、
　　Wの基底β={ w₁, w₂, …, w_m }の一次結合として一意的に表せる（∵基底の定義）。
　つまり、
　　任意のy∈Wに対して、ある実数y₁ , y₂ ,…, y_mが一意に存在して、
　　　　y=y₁w₁+ y₂w₂+…+ y_mw_m　
　　を満たす。
　この実数の組(y₁ , y₂ ,…, y_m)の縦ベクトルを、
　　yの《Wの基底β={ w₁, w₂, …, w_m }》に関する座標ベクトルと呼び、
　　　[y]_β　
　　と表す。
・すると、一次写像y=f (x)は、
　　xの《Vの基底α={ v₁, v₂, …, v_n }》に関する座標ベクトル [x]_α　
　　yの《Wの基底β={ w₁, w₂, …, w_m }》に関する座標ベクトル [y]_β　
　　Vの基底α={ v₁, v₂, …, v_n },Wの基底β={ w₁, w₂, …, w_m }に関する１次写像fの表現行列A
　を用いて、
　　[y]_β＝A [x]_α　
　と表せる。

[文献]
・松坂『解析入門4』15.1-F(p.12);

・斎藤『線形代数入門』4章§5(p.114);

つまり、　　　　
「Vの基底α={ v₁, v₂, …, v_n },Wの基底β={ w₁, w₂, …, w_m }に関する一次写像『f:V→W』表現行列」Aとは、
　　・Vの基底 { v₁, v₂, …, v_n }で決まる同型写像「ψ：V→ Rⁿ」の逆写像「ψ^-1：Rⁿ→V」、
　　・一次写像『f:V→W』、　
　　・Wの基底 { w₁, w₂, …, w_m }で決まる同型写像「ψ'：V→R^m」
　の合成写像
　　　ψ'○f○ψ^-1：Rⁿ→V→R^m　
　で表される一次写像の行列に他ならない。　　　

※なぜ？
・y=f (x)= f (x₁v₁+ x₂v₂+…+ x_nv_n )　　　∵基底の定義　
　　= x₁ f (v₁)+ x₂ f (v₂)+…+ x_n f (v_n )　　∵一次写像の定義　
　　= x₁ (a₁₁w₁+a₂₁w₂+…+a_m1w_m)+ x₂ (a₁₂w₁+a₂₂w₂+…+a_m2w_m)+…+ x_n (a_1nw₁+a_2nw₂+…+a_mnw_m)　　∵一次写像の行列表現[本論1]　
　　= (a₁₁ x₁w₁+a₂₁ x₁w₂+…+a_m1 x₁w_m)+ (a₁₂ x₂w₁+a₂₂ x₂w₂+…+a_m2 x₂w_m)+…+ (a_1n x_n w₁+a_2n x_n w₂+…+a_mn x_n w_m)　　
　　= (a₁₁ x₁w₁+ a₁₂ x₂w₁+…+ a_1n x_n w₁) + (a₂₁ x₁w₂+ a₂₂ x₂w₂+…+ a_2n x_n w₂)+…+ (a_m1 x₁w_m+a_m2 x₂w_m…+a_mn x_n w_m)　
　　= (a₁₁ x₁+ a₁₂ x₂+…+ a_1n x_n) w₁ + (a₂₁ x₁+a₂₂ x₂+…+ a_2n x_n) w₂+…+ (a_m1 x₁+a_m2 x₂+…+a_mn x_n) w_m　
　他方
・y=y₁w₁+ y₂w₂+…+ y_mw_m　　　∵基底の定義　
・上記二点から、
　y₁w₁+ y₂w₂+…+ y_mw_m＝(a₁₁ x₁+ a₁₂ x₂+…+ a_1n x_n) w₁ + (a₂₁ x₁+ a₂₂ x₂+…+ a_2n x_n) w₂+…+ (a_m1 x₁+a_m2 x₂+…+a_mn x_n) w_m　
　つまり、
　y₁＝a₁₁ x₁+ a₁₂ x₂+…+ a_1n x_n　
　y₂＝a₂₁ x₁ +a₂₂ x₂+…+a_2n x_n　
　：
　y_m＝a_m1 x₁+a_m2 x₂+…+a_mn x_n　
　 (y₁ , y₂ ,…, y_m)の縦ベクトルを[y]_βで表し、(x₁ , x₂ ,…, x_n) の縦ベクトルを[x]_βで表し、
　　
　と置くと、
　これは、
　　[y]_β＝A [x]_α　
　に他ならない。　

※

→[トピック一覧：実ベクトル空間のあいだの一次写像の行列表示]
→線形代数目次・総目次

定理：一次写像の行列表示の標準形

設定

この定理は、以下の舞台設定上で成り立つ。
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
V ：実ベクトル空間（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）であって、有限次元。
W ：実ベクトル空間（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）であって、有限次元。
「f ：V→W」：一次写像
rank f ：一次写像f の階数

[文献−線型代数]
・志賀『線形代数30講』20講(pp.127-8);
・永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.6.4(p.37);
・斎藤『線形代数入門』４章§5[5.1](p.116);
・砂田『行列と行列式』§5.5-d(p.194);
・佐武『線形代数学』�V§7問2(p.122)]　

本論1

一次写像f ：V→W　には、
　　　f (v₁)=w₁, f (v₂)=w₂, …, f (v_rankf )=w_rankf , f (v_rankf+1)=０ , f (v_rankf+2)=０ ,…, f (v_dimV)=０ 　
を満たす　
Vの基底{v₁,v₂,…,v_dimV }、Wの基底{w₁,w₂,…,w_dimW }(これはImagefの基底を拡大して得たWの基底)
が存在する。　

証明

※なぜ？→証明　

本論2

したがって、
[本論1]で存在が示された、Vの基底{v₁,v₂,…,v_dimV }、Wの基底{w₁, w₂, …, w_dimW}をとると、
これらの基底に関する一次写像fの行列表示は、　
　　　　　
となる。
ただし、
この行列D (dimW,dimV, rank f )は、 (dimW, dimV)型実行列であって、
　　　(1,1)成分, (2,2)成分, …, (rank f,rank f)成分という(rank f )個の成分が1　　
　　　それ以外の成分はすべて０　
となる行列を表すものとする。　

※特殊例へのリンク： 一次写像f:Rⁿ→R^mの行列表示の標準化の問題　
Cf.一次変換の行列表示のケースでは、うまく標準化できない。
　　→一次変換の行列表示の標準化の問題　
※ここで利用されている事項：基底に関する一次写像fの行列表示　　

※なぜ？
　・一般に、
　　Vの基底{ v₁, v₂, …, v_dimV }、Wの基底{ w₁, w₂, …, w_dimW }に関する一次写像f:V→Wの行列表示とは、
　　　　 f (v₁)=a₁₁w₁+a₂₁w₂+…+a _dimW ₁w _dimW 　　
　　　　 f (v₂)=a₁₂w₁+a₂₂w₂+…+a _dimW ₂w _dimW 　　
　　　　　：　　　　　：　
　　　　 f (v_dimV )=a_1dimVw₁+a_2nw₂+…+a _dimW _dimVw _dimW 　　
　　を満たす(dimW, dimV)型実行列　　　　　
　　　　
　　と定義された（→一次写像の行列表示）。
　・「f (v₁)=w₁, f (v₂)=w₂, …, f (v_rankf )=w_rankf , f (v_rankf+1)=０ , f (v_rankf+2)=０ ,…, f (v_dimV)=０ 」
　　を満たすVの基底{v₁,v₂,…,v_dimV }、Wの基底{w₁,w₂,…,w_dimW }とは、
　　　　 f (v₁)=a₁₁w₁+a₂₁w₂+…+a _dimW ₁w _dimW 　　
　　　　 f (v₂)=a₁₂w₁+a₂₂w₂+…+a _dimW ₂w _dimW 　　
　　　　　：　　　　　：　
　　　　 f (v_dimV )=a_1dimVw₁+a_2nw₂+…+a _dimW _dimVw _dimW 　　
　　　　a₁₁＝a₂₂＝…＝a_rankfrankf＝１
　　　　a₁₁,a₂₂,…,a_rankfrankfを除く係数は全て零
　　を満たすVの基底{v₁,v₂,…,v_dimV }、Wの基底{w₁,w₂,…,w_dimW }である。
　・したがって、　　
　　Vの基底{ v₁, v₂, …, v_dimV }、Wの基底{ w₁, w₂, …, w_dimW }に関する一次写像f:V→Wの行列表示
　　　　
　　は、
　　　　　(1,1)成分, (2,2)成分, …, (rank f,rank f)成分という(rank f )個の成分が1　　
　　　それ以外の成分はすべて０　
　　となる行列D (dimW,dimV, rank f )になる。　
　　　

※

[階数との関連]
少なくとも上記の基底を定めたとき一次写像fに対応する行列D(dimW, dimV,rank f)の階数は、
一次写像fの階数(rank f )と等しいことが確認できる。　
では、他の基底を定めたときに一次写像fに対応する行列の階数も、　　
一次写像fの階数に等しいといえるのだろうか。
⇒一次写像の階数と行列の階数の関係　

本論3

Vの「任意の基底」{ v'₁, v'₂, …, v'_dimV }
Wの「任意の基底」{ w'₁, w'₂, …, w'_dimW }
に関する一次写像fの行列表示Aにたいして、
ある実行列P,Qが存在し、
　　　
を満たす。
ただし、
この行列D (dimW,dimV, rank f )は、 (dimW, dimV)型実行列であって、
　　　(1,1)成分, (2,2)成分, …, (rank f,rank f)成分という(rank f )個の成分が1　　
　　　それ以外の成分はすべて０　
となる行列を表すものとする。　

※一次変換の行列表示のケースとの違い：　
※ここで利用されている事項：
　　　基底に関する一次写像fの行列表示/基底変換の行列/基底変換公式　
　

証明

※なぜ？
　Vに「任意の基底」{ v'₁, v'₂, …, v'_dimV }を、Wに「任意の基底」{ w'₁, w'₂, …, w'_dimW }を定めたとき一次写像fに対応する行列をAとおく。
　{ v'₁, v'₂, …, v'_dimV }から、[本論1]で存在が示された{v₁,v₂,…,v_dimV }へ変える基底変換行列が一意的に存在し(∵)、これを、Pとおく。Pは正則行列である（∵）。
　{ w'₁, w'₂, …, w'_dimW }　から、1.で存在が示された{w₁, w₂, …, w_dimW}へ変える基底変換行列が一意的に存在し(∵)、これを、Qとおく。Qは正則行列である（∵）。
　基底変換公式より、Vの基底{v₁,v₂,…,v_dimV }、Wの基底{w₁, w₂, …, w_dimW}に関する一次写像fの行列表示は、Q^−１AP。
　また、[本論2]より、Vの基底{v₁,v₂,…,v_dimV }、Wの基底{w₁, w₂, …, w_dimW}に関する一次写像fの行列表示は、
　　　　
　したがって、
　　　Q^−１AP= D (dimW,dimV, rank f )　
　が成り立つ。

※

→[トピック一覧：実ベクトル空間のあいだの一次写像の行列表示]
→線形代数目次・総目次

定理：一次変換の行列表示･行列表現

設定

この定理は、以下の舞台設定上で成り立つ。
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
V ：実ベクトル空間（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）であって、
　　 n次元。（つまり、dimV＝n）　
{ v₁, v₂, …, v_n }：Vの基底をなす、Vに属すベクトルの集合　　

[文献−線型代数]
・永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.4.1(pp.28-9);　
・ホフマン・クンツェ『線形代数学I』3.4行列による一次変換の表現(pp.90-91);
・神谷浦井『経済学のための数学入門』§5.2.1線形写像の行列表現(p.165)。
・松坂『解析入門4』15.1-G (p.15);
・砂田『行列と行列式』§5.5(b) (p.189):
　　　　　体上のベクトル空間のあいだの一次写像全般について。
・斎藤『線形代数入門』4章§5(p.117) 本論4で定義して、本論1を定理として導出;
・岡田『経済学・経営学のための数学』2.6(pp.95-6):本論4で定義して、本論1を定理として導出

※一次写像の行列表示との違い：
　一次写像「f:V→W」の行列表示では、
　　Vの基底、Wの基底を、それぞれきめて、
　　この二つの基底に関する一次写像fの行列表示を定めた。
　　つまり、
　　一次写像「f:V→W」の行列表示は、
　　　　・Vの基底のとりかた
　　　　・Wの基底のとりかた
　　という二点の変更によって、いじれるということになる。
　全く同様に考えるのならば、　
　「一次変換f:V→V」の行列表示でも、
　　「fで写される前のVの基底」「fで写された後のVの基底」をそれぞれ決めて、
　　　　　　　　　　（たとえば、「fで写される前のVの基底」を{ v₁, v₂, …, v_n }、
　　　　　　　　　　　　　　　　「fで写された後のVの基底」を{ v'₁, v'₂, …, v'_n }
　　　　　　　　　　　といった具合に決めて）
　この二つの基底に関する一次写像fの行列表示を定めてもよさそうなものである。
　こうすると、
　「一次変換f:V→V」の行列表示も、
　　　　・fで写される前のVの基底のとりかた
　　　　・fで写された後のVの基底のとりかた
　　の二点でいじれるはずである。
　しかし、
　「一次変換f:V→V」の行列表示を、このようにおこなうのは、一般的でない。
　左欄に述べたように、
　「fで写される前のVの基底」「fで写された後のVの基底」を一つの共通な基底で定めて、
　これに応じた行列表示を得るのが一般的である。
　この場合、「一次変換f:V→V」の行列表示をいじれる点は、
　「fで写される前のVの基底」「fで写された後のVの基底」の二点ではなく、
　「fで写される前のVの基底」「fで写された後のVの基底」をともに定める基底の一点のみ
　に制限されることになる。　

本論1

Vの基底{ v₁, v₂, …, v_n }と、一次変換f:V→Vにたいして、　
　　 f (v₁)=a₁₁v₁+a₂₁v₂+…+a_n1v_n 　　
　　 f (v₂)=a₁₂v₁+a₂₂v₂+…+a_n2v_n 　　
　　　：　　　　　：　
　　 f (v_n)=a_1nv₁+a_2nv₂+…+a_nnv_n 　　
を満たす実n次正方行列
　　　　　
が一意的に存在する。　
　※
　　｜ f (v₁)=a₁₁v₁+a₂₁v₂+…+a_n1v_n 　　
　　｜ f (v₂)=a₁₂v₁+a₂₂v₂+…+a_n2v_n 　　
　　｜　：　　　　　：　
　　｜ f (v_n)=a_1nv₁+a_2nv₂+…+a_nnv_n 　　
　を、行列の乗法風に、
　　　
　と書く、簡便法が、頻繁に用いられる。
　　　　　　（数ベクトル空間のケースだと、便利さが引き立つらしい）　
　この簡便法を用いると、上記の命題は、次のように、簡潔に表せる。　　　
　　　　　　｜　Vの基底{ v₁, v₂, …, v_n }と、一次変換f:V→Vにたいして、　
　　　　　　｜　　　　　　f (v₁, v₂, …, v_n)=(v₁, v₂, …, v_n)A　　
　　　　　　｜　を満たす実n次正方行列Aが一意的に存在する　

証明

※なぜ？→証明　　

本論2

Vの基底{ v₁, v₂, …, v_n }と、
実n次正方行列
　　　　
にたいして、　
　　 f (v₁)=a₁₁v₁+a₂₁v₂+…+a_n1v_n 　　
　　 f (v₂)=a₁₂v₁+a₂₂v₂+…+a_n2v_n 　　
　　　：　　　　　：　
　　 f (v_n)=a_1nv₁+a_2nv₂+…+a_nnv_n 　　
を満たす一次変換f : V→Vがきまる。　　　
※　　　　　　
　　｜ f (v₁)=a₁₁v₁+a₂₁v₂+…+a_n1v_n 　　
　　｜ f (v₂)=a₁₂v₁+a₂₂v₂+…+a_n2v_n 　　
　　｜　：　　　　　：　
　　｜ f (v_n)=a_1nv₁+a_2nv₂+…+a_nnv_n 　　
　を、行列の乗法風に、
　　　
　と書く、簡便法が、頻繁に用いられる。
　　（数ベクトル空間のケースだと、便利さが引き立つらしい）　
　この簡便法を用いると、上記の命題は、次のように、簡潔に表せる。　　　
　　　　　　｜　Vの基底{ v₁, v₂, …, v_n }と、実n次正方行列Aにたいして、　
　　　　　　｜　　　　　　f (v₁, v₂, …, v_n)=(v₁, v₂, …, v_n)A　　　
　　　　　　｜　を満たす一次変換f : V→Vがきまる。　
　　　

証明

※なぜ？→証明

本論3

・上記の実n次正方行列Aを、　
　　基底{ v₁, v₂, …, v_n }に関する一次変換fの行列表示、　　
　　基底{ v₁, v₂, …, v_n }に関する一次変換fの表現行列、　　
　　基底{ v₁, v₂, …, v_n }を定めたとき一次変換fに対応する行列　　
　などと呼ぶ。

　
※特殊例：
　　・一次変換f:Rⁿ→Rⁿの標準基底に関する行列表示　
　　・一次変換f:Rⁿ→Rⁿの任意基底に関する行列表示　
※発展事項：一次変換の行列表示の標準化の問題/基底変換の行列　
※具体例：高校で習う１次変換
　　　　→神谷浦井『経済学のための数学入門』§5.2.1例5.2.1(p.165)　　　

※

要するに、
「『実ベクトル空間Vの基底』α={ v₁, v₂, …, v_n }, 『実ベクトル空間Wの基底』β={ w₁, w₂, …, w_m }に関する一次写像『f: V→W』の表現行列」
　　　
のうち、
　　[条件1]　実ベクトル空間Wが実ベクトル空間Vであること、
　　[条件2]『実ベクトル空間Wの基底』β={ w₁, w₂, …, w_m }が、α={ v₁, v₂, …, v_n }であること
を満たす特殊例
　　すなわち、

　　　「『実ベクトル空間Vの基底』α={ v₁, v₂, …, v_n }, 『実ベクトル空間Vの基底』α={ v₁, v₂, …, v_n }に関する一次写像『f: V→V』の表現行列」
　　　　
が、
「基底{ v₁, v₂, …, v_n }に関する『一次変換f : V→V』の表現行列」
に他ならない。　　

本論4

[一次変換y=f (x)の行列表現]
・実ベクトル空間Vに属す任意のベクトルxは、
　　Vの基底α={ v₁, v₂, …, v_n }の一次結合として一意的に表せる（∵基底の定義）。
　したがって、
　　任意のx∈Vに対して、ある実数x₁ , x₂ ,…, x_nが一意に存在して、
　　　　x=x₁v₁+ x₂v₂+…+ x_nv_n　
　　を満たす。
　この実数の組(x₁ , x₂ ,…, x_n) の縦ベクトルを、
　　xの《Vの基底α={ v₁, v₂, …, v_n }》に関する座標ベクトルと呼び、
　　　[x]_α　
　　と表す。
　　また、
　　任意のy∈Vに対しても、ある実数y₁ , y₂ ,…, y_nが一意に存在して、
　　　　y=y₁ v₁+ y₂ v ₂+…+ y_n v _n　
　　を満たす。
　この実数の組(y₁ , y₂ ,…, y_n)の縦ベクトルを、
　　yの《Vの基底α={ v₁, v₂, …, v_n }》に関する座標ベクトルと呼び、
　　　[y]_α　
　　と表す。
・すると、一次変換y=f (x)は、
　　　xの《Vの基底α={ v₁, v₂, …, v_n }》に関する座標ベクトル [x]_α　
　　　yの《Vの基底α={ v₁, v₂, …, v_n }》に関する座標ベクトル [y]_α　
　　　Vの基底α={ v₁, v₂, …, v_n }に関する１次変換fの表現行列A　
　を用いて、
　　[y]_α＝A [x]_α　
　と表せる。

[文献]
・斎藤『線形代数入門』4章§5(p.117);

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定理：一次変換の行列表示の標準形は得られない

設定

この定理は、以下の舞台設定上で成り立つ。
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
V ：実ベクトル空間（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）であって、有限次元。
「f : V→V」：一次変換

[文献−線型代数]
・志賀『線形代数30講』20講Teatime(p.131);26講(pp.164-167);
・斎藤『線形代数入門』４章§5 (p.117);

本論1

一次変換 「f : V→V」には、
　　　「f (v₁)= v₁, f (v₂)= v₂, …, f (v_rankf )=v_rankf , f (v_rankf+1)=０ , f (v_rankf+2)=０ ,…, f (v_dimV)=０ 」を満たす「Vの基底」{v₁,v₂,…,v_dimV }が存在する
とはいえない。　

本論2

したがって、
ある「Vの基底」{v₁,v₂,…,v_dimV }をとると、
これらの基底に関する一次変換fの行列表示は、　
　　　　　
となる
とはいえない。
なお、
この行列D (dimV,dimV, rank f )は、 (dimV, dimV)型実行列であって、
　　　(1,1)成分, (2,2)成分, …, (rank f,rank f)成分という(rank f )個の成分が1　　
　　　それ以外の成分はすべて０　
となる行列を表すものとする。　

※特殊例へのリンク：
　　・一次変換f:Rⁿ→Rⁿの行列表示の標準化の問題　
※ここで利用されている事項：　
　　　基底に関する一次変換fの行列表示/基底変換の行列/基底変換公式　
※一次写像一般では、一次写像の行列表示の標準形が得られるのに、
　なぜ、ここで、一次変換の行列表示の標準形が得られなくなるのか？
・「一次写像f:V→W」に対して、行列表示の標準形が得られたのは、
　　　　・Vの基底のとりかた

　　　　・Wの基底のとりかた

　の二点を操作したからだった。　
・これと全く同様に、
　「一次変換 f : V→V」に対して、

　　　　・fで写される前のVの基底のとりかた

　　　　・fで写された後のVの基底のとりかた

　の二点を操作すれば、
　「『fで写される前のVの基底』,『fで写された後のVの基底』に関する
　　　一次写像『f: V→V』の表現行列」
　の標準形は、得られる[→志賀『線形代数30講』26講(pp.164-5)]。
・ところが、「一次変換 f : V→V」の行列表示は、
　　　　・fで写される前のVの基底のとりかた

　　　　・fで写された後のVの基底のとりかた

　という二点に応じてではなく、
　　　　・fで写される前後共通のVの基底のとりかた　
　という一点に応じて定義されたのだった。
　「一次変換 f : V→V」について基底変換を施す場合も、
　　　　・fで写される前のVの基底
　　　　・fで写された後のVの基底　
　を別々に取り替えていくのではなく、
　fで写される前後共通のVの基底のとりかたを、
　取り替えていくのが普通であった。
・こうした経緯で、
　　　　・fで写される前のVの基底
　　　　・fで写された後のVの基底　
　を別々に取り替えていくのではなく、
　fで写される前後共通のVの基底のとりかたを、
　取り替えていった場合に、
　「一次変換 f : V→V」の標準形が得られるといえるのか
　を問うたのが、左欄になる。
　その結果は、
　　　　・fで写される前のVの基底
　　　　・fで写された後のVの基底
　をまとめて一つの「Vの基底」として操作したがために、
　一次写像の表現行列とは違って、標準形が得られるとはいえない
　というものである。
　

本論3

Vの「任意の基底」{ v'₁, v'₂, …, v'_dimV }に関する一次変換fの行列表示Aにたいして、
ある実行列Pが存在し、
　　
を満たす
とはいえない。


※志賀『線形代数30講』26講(pp.164-167)に反例が示されている。

本論4

ところが、
ある種の一次変換 「f : V→V」には、
　　　f (v₁)=λ₁ v₁, f (v₂)=λ₂ v₂, …, f (v_dimV)=λ_dimVv_dimV　（λ₁,λ₂,…,λ_nはfの固有値）
を満たす　
Vの基底{v₁,v₂,…, v_dimV }
が存在する。

したがって、
ある種の一次変換 「f : V→V」に対して、
ある「Vの基底」{v₁,v₂,…,v_dimV }をとると、
これらの基底に関する一次変換fの行列表示は、
　　
となる。
だから、
ある種の一次変換 「f : V→V」については、
Vの「任意の基底」{ v₁,v₂,…,v_dimV }に関する一次変換fの行列表示Aにたいして、
ある実行列Pが存在し、
　P^−１AP= diag(λ₁,λ₂,…,λ_n)
を満たす。
そこで、一次変換では、
標準化にかわって、このようなかたちに変形することが課題として浮上する。
一次変換の行列表示を、このようなかたちに変形することを対角化といい、
一次変換の行列表示が対角化可能となる条件を求める問題は、固有値問題と呼ばれる。

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