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証明：一次変換の行列表示･行列表現　　
　[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.4.1(pp.28-9);ホフマン・クンツェ『線形代数学I』3.4行列による一次変換の表現(pp.90-91);神谷浦井『経済学のための数学入門』§5.2.1線形写像の行列表現(p.165)。;]
(舞台設定)
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
V ：実ベクトル空間（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）であって、 n次元。　
{ v₁, v₂, …, v_n }：Vの基底をなす、Vに属すベクトルの集合　　　
(定理の確認)
Vの基底{ v₁, v₂, …, v_n }と、一次変換f:V→Vにたいして、　
　　 f (v₁)=a₁₁v₁+a₂₁v₂+…+a_n1v_n 　　
　　 f (v₂)=a₁₂v₁+a₂₂v₂+…+a_n2v_n 　　
　　　：　　　　　：　
　　 f (v_n)=a_1nv₁+a_2nv₂+…+a_nnv_n 　　
を満たす実n次正方行列
　　　　　
が一意的に存在する。　

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（証明）　　
v₁, v₂, …, v_n ∈Vであるとされていた。
fは、VからVへの一次変換とされていた。
したがって、fによるv₁, v₂, …, v_nの像は、Vに属す。
　　　つまり、　 f (v₁), f (v₂), …, f (v_n)∈V。　…(1)　
{ v₁, v₂, …, v_n }はVの基底であるとされた。　　
よって、
Vに属す任意のベクトルを、{ v₁, v₂, …, v_n }の一次結合として一意的に表せる。（∵）　　
だから、(1)により、
　 f (v₁), f (v₂), …, f (v_n)も、それぞれ、{ v₁, v₂, …, v_n }の一次結合として一意的に表せることになる。
これは、すなわち、
　　 f (v₁)=a₁₁v₁+a₂₁v₂+…+a_n1v_n 　　
　　 f (v₂)=a₁₂v₁+a₂₂v₂+…+a_n2v_n 　　
　　　：　　　　　：　
　　 f (v_n)=a_1nv₁+a_2nv₂+…+a_nnv_n 　　
を満たす実n次正方行列　　　
　　　　　　　　　
が一意的に存在するということにほかならない。

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