一般の線形空間・ベクトル空間の定義

　定義：線形空間･ベクトル空間(ベクトル/係数体/スカラー/加法･和/零ベクトル/逆ベクトル/スカラー倍)
　定理：零ベクトルのスカラー倍/ベクトルのスカラー０倍/逆ベクトルとスカラー積　
※関連ページ：
　　　・一般のベクトル空間の諸概念：部分ベクトル空間/一次結合/線形従属･線形独立/基底/次元
　　　・一次写像関連ページ：一次写像−定義/一次写像と演算/一次写像の代数系/一次写像と線形独立/同型写像/同型写像と線形独立　
　　　・ベクトル空間の下位類型・具体例：一般の数ベクトル空間/実ベクトル空間/実n次元数ベクトル空間Rⁿ/実2次元数ベクトル空間R²
　　　　　　　　　　　　　　　　　※高校でベクトルとして習ったものは、実2次元数ベクトル　

定義：線形空間linear space・ベクトル空間vector space　 

【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　

【本題】

　「体K上の線形空間linear space over K」ないし「体K上のベクトル空間vector space over K」とは、
　以下の条件を満たす集合Vのこと。

　なお、「K上のベクトル空間」Vの元をベクトルvector、
　　　Kを「Vの係数体field of scalars基礎体basic field,ground field」、
　　　Kの元をスカラーscalarと呼ぶ。

条件�T-1.　Vは、加法"＋"の定義された代数系であること。
　　　　　つまり、任意のu,v∈Vに対して、それに対応するu＋v∈Vが一つずつ定まること。
　　　　　　なお、このVに定められた加法"＋"をベクトルの加法、u＋vをベクトル和という。　
条件�T-2.　Vは、上記の"ベクトルの加法"に関して加法群(加法に関する可換群)をなすこと。
　　　　　つまり、
　　　　　-1. 上記の加法が、「結合則： ∀u,v,w∈V ( ( u＋v )＋w = u＋( v＋w ) )」を満たすこと。

　　　　　-2. 上記加法に「単位元０： ∀v∈V ( ０＋v = v かつ v＋０= v )を満たす０∈V」が存在すること。
　　　　　　　　このV上の加法の単位元０を零ベクトルと呼ぶ。　
　　　　　　　　　　　　　→零ベクトルのスカラー倍の性質　　 　　　

　　　　　-3. Vのすべての元vに対して、上記の"ベクトルの加法"に関する逆元−v∈Vが存在すること。
　　　　　　　　このV上の加法に関する、vの逆元−vをvの逆ベクトルと呼ぶ。　
　　　　　-4. 上記の加法が、「可換則： ∀u,v∈V (u＋v =v＋u )」を満たすこと。　

条件�U-1.　Kの任意の元aと、Vの任意の元vの組に対して、Vの元を一意的に定める演算が定義されていること。

　　　　　この演算をスカラー倍scalar multiple・スカラー乗法・スカラー積scalar multiplicationと呼び、avないしa・vで表す。

条件�U-2.　スカラー積が次の4条件を満たすこと。　
　　　　　-1. 任意のv∈Vに対して、1v=v　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　※左辺の"1"は体K上で定義された乗法の単位元を指す。　
　　　　　-2. 結合則：
　　　　　　　任意のa,b∈Kと、任意のv∈Vに対して、(ab)v=a(bv)　
　　　　　-3. ベクトルに関する分配則：
　　　　　　　任意のa∈Kと、任意のu,v∈Vに対して、a(u＋v)=au＋av　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　※両辺の"＋"はV上の加法(→条件I-1)を指す。　
　　　　　-4. スカラーに関する分配則：　
　　　　　　　任意のa,b∈Kと、任意のv∈Vに対して、(a+b)v=av＋bv　　
　　　　　　　　　　※左辺の"+"は体K上で定義された加法、右辺の"＋"はV上の加法(→条件I-1)を指す。　

※以上を満たすスカラー倍の性質：零ベクトルのスカラー倍、ベクトルのスカラー０倍
※ベクトル空間の例：　[ホフマン『線形代数学I』2.1ベクトル空間(pp.28-34);志賀『線形代数30講』14講ベクトル空間の例と基本概念(pp.88-90)。 ]
　　・K上の多項式関数の空間　
　　・数ベクトル空間　　
　　・実ベクトル空間　　
　　・複素ベクトル空間・複素線形空間complex linear space　　
　　・実n次元数ベクトル空間Rⁿ/実2次元数ベクトル空間R²
※高校でベクトルとして習ったものは、実n次元数ベクトル空間。　
　　実ベクトル空間、数ベクトル空間、体K上のベクトル空間は、高校数学で習うベクトルを、一般化したもの。　

【文献】
　・『岩波数学辞典』210線形空間:A定義(pp.570-576)
　・本部『新しい代数』5.2-Aベクトル空間(p.132)
　・酒井『環と体の理論』1.6ベクトル空間(p.22)
　・ホフマン『線形代数学I』2.1ベクトル空間(pp.28-34)
　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(pp.14-6)
　・佐武『線形代数学』�V§6(p.115)
　・志賀『線形代数30講』13講(pp.85-7);14講(pp.88-90)
　・藤原『線形代数』4.1(p.91)
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1(p.105)
　・松坂『集合・位相入門』3章§5C(p.133)
　・入谷久我『数理経済学入門』定義3.5(p.57)　

定義：ベクトル　vector　　

　 　[『岩波数学辞典』210線形空間:A定義(pp.570-576);本部『新しい代数』5.2-Aベクトル空間(p.132);酒井『環と体の理論』1.6ベクトル空間(p.22);ホフマン『線形代数学I』2.1ベクトル空間(pp.28-34);永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(pp.14-6);佐武『線形代数学』�V§6(p.115);志賀『線形代数30講』13講(pp.85-7);14講(pp.88-90);藤原『線形代数』4.1(p.91);神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1(p.105)　]

※「はじめにベクトル空間が定義されていて、そのうえで、ベクトル空間の元をベクトルと呼ぶ」のであって、
　「はじめにベクトルが定義されていて、それをあつめたものをベクトル空間と呼ぶ」のではない。　　

定義：係数体 field of scalars 基礎体 basic field,ground field

　[『岩波数学辞典』210線形空間:A定義(pp.570-576);本部『新しい代数』5.2-Aベクトル空間(p.132);酒井『環と体の理論』1.6ベクトル空間(p.22);ホフマン『線形代数学I』2.1ベクトル空間(pp.28-34);永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(pp.14-6);佐武『線形代数学』�V§6(p.115);志賀『線形代数30講』13講(pp.85-7);14講(pp.88-90);藤原『線形代数』4.1(p.91);神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1(p.105)　]

定義：スカラー scalar

　[『岩波数学辞典』210線形空間:A定義(pp.570-576);本部『新しい代数』5.2-Aベクトル空間(p.132);酒井『環と体の理論』1.6ベクトル空間(p.22);ホフマン『線形代数学I』2.1ベクトル空間(pp.28-34);永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(pp.14-6);佐武『線形代数学』�V§6(p.115);志賀『線形代数30講』13講(pp.85-7);14講(pp.88-90);藤原『線形代数』4.1(p.91);神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1(p.105)　]

※具体例:体上の数ベクトル空間におけるスカラー/実ベクトル空間におけるスカラー/実n次元数ベクトル空間におけるスカラー/実2次元数ベクトル空間におけるスカラー　　　

定理：零ベクトルのスカラー倍

定理：ベクトルのスカラー０倍　

[ホフマン『線形代数学I』2.1ベクトル空間:式2-9 (p.31);永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(p.16);志賀『線形代数30講』13講(p.86);酒井『環と体の理論』1.6問題1.14(p.22);]

定理：逆ベクトルとスカラー積　

(reference)