定義:線形空間・ベクトル空間(ベクトル/係数体/スカラー/加法・和/零ベクトル/逆ベクトル/スカラー倍)
定理:零ベクトルのスカラー倍/ベクトルのスカラー0倍/逆ベクトルとスカラー積
※関連ページ:
・一般のベクトル空間の諸概念:部分ベクトル空間/一次結合/線形従属・線形独立/基底/次元
・一次写像関連ページ:一次写像−定義/一次写像と演算/一次写像の代数系/一次写像と線形独立/同型写像/同型写像と線形独立
・ベクトル空間の下位類型・具体例:一般の数ベクトル空間/実ベクトル空間/実n次元数ベクトル空間Rn/実2次元数ベクトル空間R2
※高校でベクトルとして習ったものは、実2次元数ベクトル
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【舞台設定】
K:体 (例:有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C)
【本題】
「体K上の線形空間linear space over K」ないし「体K上のベクトル空間vector space over K」とは、
以下の条件を満たす集合Vのこと。
なお、「K上のベクトル空間」Vの元をベクトルvector、
Kを「Vの係数体field of scalars基礎体basic field,ground field」、
Kの元をスカラーscalarと呼ぶ。
条件T-1. Vは、加法"+"の定義された代数系であること。
つまり、任意のu,v∈Vに対して、それに対応するu+v∈Vが一つずつ定まること。
なお、このVに定められた加法"+"をベクトルの加法、u+vをベクトル和という。
条件T-2. Vは、上記の"ベクトルの加法"に関して加法群(加法に関する可換群)をなすこと。
つまり、
-1. 上記の加法が、「結合則: ∀u,v,w∈V ( ( u+v )+w = u+( v+w ) )」を満たすこと。
-2. 上記加法に「単位元0: ∀v∈V ( 0+v = v かつ v+0= v )を満たす0∈V」が存在すること。
このV上の加法の単位元0を零ベクトルと呼ぶ。
→零ベクトルのスカラー倍の性質
-3. Vのすべての元vに対して、上記の"ベクトルの加法"に関する逆元−v∈Vが存在すること。
このV上の加法に関する、vの逆元−vをvの逆ベクトルと呼ぶ。
-4. 上記の加法が、「可換則: ∀u,v∈V (u+v =v+u )」を満たすこと。
条件U-1. Kの任意の元aと、Vの任意の元vの組に対して、Vの元を一意的に定める演算が定義されていること。
この演算をスカラー倍scalar multiple・スカラー乗法・スカラー積scalar multiplicationと呼び、avないしa・vで表す。
条件U-2. スカラー積が次の4条件を満たすこと。
-1. 任意のv∈Vに対して、1v=v
※左辺の"1"は体K上で定義された乗法の単位元を指す。
-2. 結合則:
任意のa,b∈Kと、任意のv∈Vに対して、(ab)v=a(bv)
-3. ベクトルに関する分配則:
任意のa∈Kと、任意のu,v∈Vに対して、a(u+v)=au+av
※両辺の"+"はV上の加法(→条件I-1)を指す。
-4. スカラーに関する分配則:
任意のa,b∈Kと、任意のv∈Vに対して、(a+b)v=av+bv
※左辺の"+"は体K上で定義された加法、右辺の"+"はV上の加法(→条件I-1)を指す。
※以上を満たすスカラー倍の性質:零ベクトルのスカラー倍、ベクトルのスカラー0倍
※ベクトル空間の例: [ホフマン『線形代数学I』2.1ベクトル空間(pp.28-34);志賀『線形代数30講』14講ベクトル空間の例と基本概念(pp.88-90)。 ]
・K上の多項式関数の空間
・数ベクトル空間
・実ベクトル空間
・複素ベクトル空間・複素線形空間complex linear space
・実n次元数ベクトル空間Rn/実2次元数ベクトル空間R2
※高校でベクトルとして習ったものは、実n次元数ベクトル空間。
実ベクトル空間、数ベクトル空間、体K上のベクトル空間は、高校数学で習うベクトルを、一般化したもの。
【文献】
・『岩波数学辞典』210線形空間:A定義(pp.570-576)
・本部『新しい代数』5.2-Aベクトル空間(p.132)
・酒井『環と体の理論』1.6ベクトル空間(p.22)
・ホフマン『線形代数学I』2.1ベクトル空間(pp.28-34)
・永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(pp.14-6)
・佐武『線形代数学』V§6(p.115)
・志賀『線形代数30講』13講(pp.85-7);14講(pp.88-90)
・藤原『線形代数』4.1(p.91)
・神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1(p.105)
・松坂『集合・位相入門』3章§5C(p.133)
・入谷久我『数理経済学入門』定義3.5(p.57)
→トピック一覧:一般のベクトル空間の定義 |
[『岩波数学辞典』210線形空間:A定義(pp.570-576);本部『新しい代数』5.2-Aベクトル空間(p.132);酒井『環と体の理論』1.6ベクトル空間(p.22);ホフマン『線形代数学I』2.1ベクトル空間(pp.28-34);永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(pp.14-6);佐武『線形代数学』V§6(p.115);志賀『線形代数30講』13講(pp.85-7);14講(pp.88-90);藤原『線形代数』4.1(p.91);神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1(p.105) ]
ベクトルvectorとは、ベクトル空間の元のこと。※「はじめにベクトル空間が定義されていて、そのうえで、ベクトル空間の元をベクトルと呼ぶ」のであって、
「はじめにベクトルが定義されていて、それをあつめたものをベクトル空間と呼ぶ」のではない。
[『岩波数学辞典』210線形空間:A定義(pp.570-576);本部『新しい代数』5.2-Aベクトル空間(p.132);酒井『環と体の理論』1.6ベクトル空間(p.22);ホフマン『線形代数学I』2.1ベクトル空間(pp.28-34);永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(pp.14-6);佐武『線形代数学』V§6(p.115);志賀『線形代数30講』13講(pp.85-7);14講(pp.88-90);藤原『線形代数』4.1(p.91);神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1(p.105) ]
体K上のベクトル空間Vが定義されているとき、[『岩波数学辞典』210線形空間:A定義(pp.570-576);本部『新しい代数』5.2-Aベクトル空間(p.132);酒井『環と体の理論』1.6ベクトル空間(p.22);ホフマン『線形代数学I』2.1ベクトル空間(pp.28-34);永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(pp.14-6);佐武『線形代数学』V§6(p.115);志賀『線形代数30講』13講(pp.85-7);14講(pp.88-90);藤原『線形代数』4.1(p.91);神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1(p.105) ]
体K上のベクトル空間Vが定義されているとき、※具体例:体上の数ベクトル空間におけるスカラー/実ベクトル空間におけるスカラー/実n次元数ベクトル空間におけるスカラー/実2次元数ベクトル空間におけるスカラー
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[ホフマン『線形代数学I』2.1ベクトル空間:式2-9 (p.31);永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(p.16);志賀『線形代数30講』13講(p.86);酒井『環と体の理論』1.6問題1.14(p.22);]
・0v=0 ∵スカラー乗法の分配則より。
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