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証明：一次写像・線形写像の行列表示･行列表現　　
[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.4.1(p.28);志賀『線形代数30講』17講(p.109);ホフマン・クンツェ『線形代数学I』3.4(p.89);藤原『線形代数』4.3(p.102);神谷浦井『経済学のための数学入門』§5.2.1線形写像の行列表現(p.165)]

(舞台設定)
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
V ：実ベクトル空間（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）であって、 n次元。　
{ v₁, v₂, …, v_n }：Vの基底をなす、Vに属すベクトルの集合　　　
W ：実ベクトル空間（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）であって、 m次元。　
{ w₁, w₂, …, w_m }：Wの基底をなす、Wに属すベクトルの集合　　
(定理の確認)
一次写像f:V→Wにたいして、　
　　 f (v₁)=a₁₁w₁+a₂₁w₂+…+a_m1w_m 　　
　　 f (v₂)=a₁₂w₁+a₂₂w₂+…+a_m2w_m 　　
　　　：　　　　　：　
　　 f (v_n)=a_1nw₁+a_2nw₂+…+a_mnw_m 　　
を満たす(m,n)型実行列　
　　　　　　　　　
が一意的に存在する。　

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（証明）　　
v₁, v₂, …, v_n ∈Vであるとされていた。
fは、VからWへの一次写像とされていた。
したがって、fによるv₁, v₂, …, v_nの像は、Wに属す。
　　　つまり、　 f (v₁), f (v₂), …, f (v_n)∈W。　…(1)　
{ w₁, w₂, …, w_m }はWの基底であるとされた。　　
よって、
Wに属す任意のベクトルを、{ w₁, w₂, …, w_m }の一次結合として一意的に表せる。（∵）　　
だから、(1)により、
　 f (v₁), f (v₂), …, f (v_n)も、それぞれ、{ w₁, w₂, …, w_m }の一次結合として一意的に表せることになる。
これは、すなわち、
　　 f (v₁)=a₁₁w₁+a₂₁w₂+…+a_m1w_m 　　
　　 f (v₂)=a₁₂w₁+a₂₂w₂+…+a_m2w_m 　　
　　　：　　　　　：　
　　 f (v_n)=a_1nw₁+a_2nw₂+…+a_mnw_m 　　
を満たす(m,n)型実行列
　　　　　　　　　
が一意的に存在するということにほかならない。

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