実ベクトル空間のあいだの一次写像の階数と行列表示の階数

※関連ページ：ベクトル空間からベクトル空間への１次写像の行列表示、基底の変換と一次写像と行列

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定理：一次写像の階数と、一次写像の行列表示の階数　　

　[斎藤『線形代数入門』４章§5[5.1](p.116);砂田『行列と行列式』§5.5-d(p.194);]　

【舞台設定】
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
V ：実ベクトル空間（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）で、有限次元。　
W ：実ベクトル空間（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）で、有限次元　
「f ：V→W」：一次写像　
rank f ：一次写像f の階数　

【本題】
　V, Wに任意の基底を定めたときの一次写像fに対応する行列Aの階数は、　
　　　　　一次写像fの階数に等しい。　
　つまり、V, Wに任意の基底を定めたときの一次写像fに対応する行列Aにたいして、　
　　　　　　rankA=rank f　　　

【証明】
[準備1]　　
　一次写像f：V→W　には、
　　　f (v1)=w1 , f (v2)=w2 , …, f (vrankf )=wrankf , f (vrankf+1)=０ , f (vrankf+2)=０ ,…, f (vdimV)=０ 　
　を満たす　
　Vの基底{v1,v2,…,vdimV }、Wの基底{w1,w2,…,wdimW }が存在する。（∵）　
[準備2]　　
　したがって、[準備1]で存在が示された、Vの基底{v1,v2,…,vdimV }、Wの基底{w1, w2, …, wdimW}をとると、　
　これらの基底に関する一次写像fの行列表示は、　
　　　　　
　となる。（∵）　　
[本題]　　
Vに「任意の基底」{ v'1, v'2, …, v'dimV }を、Wに「任意の基底」{ w'1, w'2, …, w'dimW }を定めたとき一次写像fに対応する行列をAとおく。
{ v'1, v'2, …, v'dimV }から、1.で存在が示された{v1,v2,…,vdimV }へ変える基底変換行列が一意的に存在し(∵)、これを、Pとおく。Pは正則行列である（∵）。
{ w'1, w'2, …, w'dimW }　から、1.で存在が示された{w1, w2, …, wdimW}へ変える基底変換行列が一意的に存在し(∵)、これを、Qとおく。Qは正則行列である（∵）。
基底変換公式より、Vの基底{v1,v2,…,vdimV }、Wの基底{w1, w2, …, wdimW}に関する一次写像fの行列表示は、Q－１AP。
また、[準備2]より、Vの基底{v1,v2,…,vdimV }、Wの基底{w1, w2, …, wdimW}に関する一次写像fの行列表示は、
　　　　
したがって、
　Q－１AP=D (dimW,dimV, rank f)　
が成り立つ。
Q-1, Pは正則行列だから、基本行列を掛け合わせた行列積として表せる（∵）。　
したがって、D (dimW, dimV, rank f)は、行列Aの標準形であり、
rank fは、行列Aの階数である。（∵）　　
以上から、V,Wに任意の基底を定めたときの一次写像fに対応する行列Aの階数rankAは、
　　　　　一次写像fの階数rank f　に等しくなることがわかる。

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(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目83行列L線形写像(p.222)
線形代数のテキスト
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、17講線形写像(pp.107-112)。
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、3.4行列による一次変換の表現(p.89)。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.4行列と一次写像(pp.23-31)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.3線形写像の階数と行列の階数(p.102)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第2章§3行列と線形写像(p.44):実線形空間･複素線形空間のみ;。
以下未確認
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。線形従属・独立については、数ベクトルに限定？
代数学のテキスト
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：環と体の理論』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22)。:数ページしか触れていないが、逆に、一般の線形空間の理論の骨組みだけを浮かびあがってくるので、何が重要事項なのかを見極める上で便利。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§5.2.1線形写像の行列表現(p.165)。