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定理：一次写像の階数と、一次写像の行列表示の標準形
　[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.6.4(p.37);斎藤正彦『線形代数入門』４章§5[5.1](p.116);
　　砂田『行列と行列式』§5.5-d(p.194).]　
(舞台設定)
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
V ：実ベクトル空間（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）であって、有限次元。　
W ：実ベクトル空間（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）であって、有限次元。　
(本題)
一次写像f ：V→W　には、
　　f (v₁)=w₁, f (v₂)=w₂,…, f (v_rankf )=w_rankf , f (v_rankf+1)=０ , f (v_rankf+2)=０ ,…, f (v_dimV)=０ 　
を満たす
Vの基底{v₁,v₂,…,v_dimV }、Wの基底{w₁,w₂,…,w_dimV' }(これはImagefの基底を拡大して得たWの基底)が存在する。

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(証明)
[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.6.4(p.37);砂田『行列と行列式』§5.5-d(p.194).]
・Image fの基底の定義を満たす、rank f個の「Image fに属すベクトル」を　　　
　　　　{w₁ , w₂ , …, w_rankf }とおく。…(1)　　
　なお、この設定下では、Image fには、rank f個の基底が必ず存在する。
　なぜなら、
　　Wは「有限次元の実ベクトル空間」で、Image fはW の部分ベクトル空間である（∵）から、
　　rank f（=dimImage f）≦dimW　
　　したがって、Image fは「有限次元の実ベクトル空間」。
　　「有限次元の実ベクトル空間」とは、有限個の基底が存在するベクトル空間のことであるから、
　　Image fには、有限rank f個の基底が存在することになる。　
・f⁻¹ (w₁ ), f⁻¹ (w₂ ),…, f⁻¹ (w_rankf )をv₁, v₂,…,v_rankf　とおく。　　
　　f (v₁)=w₁　を満たすv₁∈V　
　　f (v₂)=w₂　を満たすv₂∈V　
　　　：　　　　　　　　　：　　　
　　f (v_rankf )=w_rankf 　を満たすv_rankf ∈V　
　となる。…(2)　　　
・Ker fの基底の定義を満たす、dim(Ker f)個の「Ker fに属すベクトル」を　　　
　　　　{v_rankf+1,v_rankf+2,…,v_{rankf+dim(Kerf)}}とおく。　
　定理より、dimV＝rank f ＋dim(Ker f)　だから、
　Ker fの基底{v_rankf+1,v_rankf+2,…,v_{rankf+dim(Kerf)}}は、
　{v_rankf+1, v_rankf+2,…, v_divV}と書いてよい。…(3)　　
・Ker fの定義より、v_rankf+1 , v_rankf+2 ,…, v_divV [→(3)]について、次が成り立つ。　
　　f (v_rankf+1)=〇 , f (v_rankf+2)=〇 ,…, f (v_divV )=〇　…(4)　
　　　　　（右辺の〇は、V'に属す零ベクトル）　
・定理より、
　「Ker fの基底」{v_rankf+1, v_rankf+2,…, v_divV} [→(3)]に
　「Image fの基底のfによる逆像」{v₁ , v₂ , …, v_rankf } [→(2)]を付け加えたもの
　　　{v₁ , v₂ , …, v_rankf , v_rankf+1, v_rankf+2,…, v_divV }　　
　は、Vの基底となる。…(5)
・Image fの基底{w₁ , w₂ , …, w_rankf }[→(1)]は、
　Wに属す線形独立なベクトルである。（∵Image fの定義、基底の定義）
　よって、
　定理により、{w₁ , w₂ , …, w_rankf }を拡大して、
　　Wの基底{w₁,w₂,…, w_rankf , w_rankf+1 , w_rankf+2,…, w_dimW }を得ることができる。…(6)
・以上で、
　一次写像f：V→W　には、
　　　Vの基底{v₁ , v₂ , …, v_rankf , v_rankf+1, v_rankf+2,…, v_divV }　[→(5)]　
　　　Wの基底{w₁,w₂,…, w_rankf , w_rankf+1 , w_rankf+2,…, w_dimW }　[→(6)]　
　が存在し、
　　f (v₁)=w₁, f (v₂)=w₂, …, f (v_rankf )=w_rankf 　を満たし、[→(2)]　　　
　　 f (v_rankf+1)=０ , f (v_rankf+2)=０ ,…, f (v_dimV)=０ 　を満たす[→(4)]　
　ことを示せたことになる。　　

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