実n次元数ベクトル空間から実m次元数ベクトル空間への一次写像の行列表示と標準化
・定理：標準基底に関する一次写像の行列表示/一次写像の行列と基本ベクトルのうつしかたの関連/任意基底に関する一次写像の行列表示/一次写像の行列表示の標準形/一次写像の合成写像と行列
・定理：標準基底に関する一次変換の行列表現/任意の基底に関する一次変換の行列表現/一次変換の行列表示の標準形は得られない/
※関連ページ：
　・一次写像「f:Rn→Rm」と行列の関係について：実n次元数ベクトル空間から実m次元数ベクトル空間への一次写像/基底変換と一次写像の行列表示/　　
　・一般化：一般の実ベクトル空間のあいだの一次写像の行列表示と標準化　
　・具体化：実2次元数ベクトル空間R2上の一次変換の行列表示と標準化 　　　
※線形代数目次・総目次


定理：実n次元数ベクトル空間から実m次元数ベクトル空間への一次写像・線形写像の、標準基底に関する行列表示

設定
この定理は、以下の舞台設定上で成り立つ。
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
A：(m,n)型実行列　
Rn：実n次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、Rn＝R×R×…×R＝{ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvn∈R }に、
　　　　　　　　ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。　
　　ただし、Rnに属すすべての実n次元数ベクトルは、n次元縦ベクトルの形式で表されているものとする。
v：実n次元縦ベクトル。
Rm：実m次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、Rm＝R×R×…×R＝{ ( v1, v2, …, vm)｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvm∈R }に、
　　　　　　　　ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。
　　ただし、Rmに属すすべての実m次元数ベクトルは、m次元縦ベクトルの形式で表されているものとする。

[文献－線型代数]
・佐武『線形代数学』Ⅰ§4定理2(pp.17-18):数ベクトル空間限定。証明つき。
・木村『線形代数：数理科学の基礎』3.4(p.58)
・永田『理系のための線形代数の基礎』(p.26-7);
・斎藤『線形代数入門』2章§3(pp.44-6);
・佐武『線形代数学』Ⅰ§4(pp.17-19);
・志賀『線形代数30講』7講:R2→R2; (pp.42-5);10講:R3→R3; (p.63);12講(p.77):R2→R3;
・ホフマン・クンツェ『線形代数学I』3.4例13(p.91);
[文献－解析学]
・松坂『解析入門4』15.1-E命題11(p.10);F注(p.13);標準基底に関する表現行列

※特殊例：標準基底に関する一次変換の行列表示　
※一般化：
　・数ベクトル空間のあいだの一次写像の、任意基底に関する行列表示　
　・実ベクトル空間のあいだの一次写像の行列表示
※発展事項：一次写像の行列表示の標準形/基底変換行列/基底変換公式　　
本論1 実n次元数ベクトル空間Rnから実m次元数ベクトル空間Rmへの
任意の一次写像f:Rn→Rmにたいして、
　　(∀v∈Rn) ( f (v)=(Av) )
を満たす(m,n)型実行列Aが一意的に存在する。　
証明 ※なぜ？→佐武『線形代数学』Ⅰ§4定理2の前段(pp.17-18)
本論2 (m,n)型実行列Aを用いて、
実n次元数ベクトル空間Rnから、実m次元数ベクトル空間Rmへの写像f:Rn→Rmを、
次式で定義する。　　　
　　任意の実n次元縦ベクトルv∈Rnにたいして、f (v)=(Av)　
つまり、
Rnの元である実n次元数ベクトルvを、Rmの元である実m次元数ベクトル(Av)にうつす写像を、
写像f:Rn→Rm　として定義する　　
　　　　　*Aは(m,n)型実行列、vは実n次元縦ベクトル(つまり、(n,1)型実行列)だから、
　　　　　　行列積の定義により、(Av)は、実m次元数ベクトル(つまり、(m,1)型実行列)となる。
すると、
任意の(m,n)型実行列Aに対して、
　　(∀v∈Rn) ( f(v)=(Av) )で定義した写像f:Rn→Rm　は、一次写像となる。
　
証明 ※なぜ？→佐武『線形代数学』Ⅰ§4定理2の前段(p.17)
本論3 ・上記の(m,n)型実行列Aを、
　　「一次写像fに対応する行列」、「一次写像fの行列」、
　厳密には、
　　「Rnの標準基底{ e1, e2, …, en }, Rmの標準基底{ e1, e2, …, em }に関する一次写像fの表現行列」
　などと呼ぶ。
　上記の一次写像fを、「Aによって定義される一次写像」などと呼ぶ。
・「Rnの標準基底{ e1, e2, …, en }, Rmの標準基底{ e1, e2, …, em }に関する一次写像fの表現行列」が、
　「任意基底に関する一次写像fの表現行列」といかなる関係にあるのかは、
　基底変換公式を参照せよ。
※特殊例：標準基底に関する一次変換の行列表示　
※一般化：
　・数ベクトル空間のあいだの一次写像の、任意基底に関する行列表示　
　・実ベクトル空間のあいだの一次写像の行列表示
※発展事項：一次写像の行列表示の標準形/基底変換行列/基底変換公式　　
→[トピック一覧：実n次元数ベクトル空間から実m次元数ベクトル空間への一次写像の表現行列]
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定理：行列によって定義される一次写像は、基本ベクトルをどのように写すか

設定
この定理は、以下の舞台設定上で成り立つ。
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
A：(m,n)型実行列　
Rn：実n次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、Rn＝R×R×…×R＝{ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvn∈R }に、
　　　　　　　　ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。　
　　ただし、Rnに属すすべての実n次元数ベクトルは、n次元縦ベクトルの形式で表されているものとする。
v：実n次元縦ベクトル。
Rm：実m次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、Rm＝R×R×…×R＝{ ( v1, v2, …, vm)｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvm∈R }に、
　　　　　　　　ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。
　　ただし、Rmに属すすべての実m次元数ベクトルは、m次元縦ベクトルの形式で表されているものとする。

 [文献－線型代数]
・永田『理系のための線形代数の基礎』1.4行列と一次写像:注意1(p.29);
・志賀『線形代数30講』7講:R2上の一次変換のケース(p.44)
[文献－解析学]
・松坂『解析入門4』15.1-E命題11 (p.10)
本論 (m,n)型実行列　　
　　　　　　
によって定義された一次写像を、f:Rn→Rmで表すと、　　
Rnの基本ベクトルe1, e2, …, enのfによる像 f(e1) , f(e2) , …, f(en) ∈Rm は、　　
　　
　　
　　　：
　　
となる。
　
証明 ※なぜ？→行列と基本ベクトルとの積。
　
→[トピック一覧：実n次元数ベクトル空間から実m次元数ベクトル空間への一次写像の表現行列]
→線形代数目次・総目次		 　


定理：実n次元数ベクトル空間から実m次元数ベクトル空間への一次写像・線形写像の、任意基底に関する行列表示･行列表現

設定
この定理は、以下の舞台設定上で成り立つ。
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
A：(m,n)型実行列　
Rn：実n次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、Rn＝R×R×…×R＝{ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvn∈R }に、
　　　　　　　　ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。　
　　ただし、Rnに属すすべての実n次元数ベクトルは、n次元縦ベクトルの形式で表されているものとする。
{ p1, p2, …, pn }：Rnの基底をなす実n次元数ベクトルの集合　　
Rm：実m次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、Rm＝R×R×…×R＝{ ( v1, v2, …, vm)｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvm∈R }に、
　　　　　　　　ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。
　　ただし、Rmに属すすべての実m次元数ベクトルは、m次元縦ベクトルの形式で表されているものとする。
{ q1, q2, …, qm }：Rmの基底をなす実m次元数ベクトルの集合　　

　　　　　

※特殊例：
　・標準基底に関する一次変換f:Rn→Rnの行列表示
　・任意基底に関する一次変換f:Rn→Rnの行列表示　
　・標準基底に関する一次写像f:Rn→Rmの行列表示　
※一般化：　
　・実ベクトル空間のあいだの一次写像の行列表示
※発展事項：一次写像の行列表示の標準形/基底変換行列/基底変換公式　　
本論1 Rnの基底{ p1, p2, …, pn }、Rmの基底{ q1, q2, …, qm}と、
一次写像「f:Rn→Rm」にたいして、　
　　f (p1)=a11q1＋a21q2＋…＋am1qm 　　
　　f (p2)=a12q1＋a22q2＋…＋am2qm 　　
　　　：　　　　　：　
　　f (pn)=a1nq1＋a2nq2＋…＋amnqm 　　
を満たす(m,n)型実行列　
　 　　　　
が一意的に存在する。　
　※
　　｜f (p1)=a11q1＋a21q2＋…＋am1qm
　　｜f (p2)=a12q1＋a22q2＋…＋am2qm 　　
　　｜　：　　　　　：　
　　｜f (pn)=a1nq1＋a2nq2＋…＋amnqm 　　
　を、行列の乗法風に、
　　　
　と書く簡便法が、頻繁に用いられる。　
　この簡便法を用いると、上記の命題は、次のように、簡潔に表せる。
　　｜　Rnの基底{ p1, p2, …, pn }、Rmの基底{ q1, q2, …, qm}と、一次写像「f:Rn→Rm」にたいして、
　　｜　　　　　　f (p1, p2, …, pn)=(q1, q2, …, qm)A　　
　　｜　を満たす(m,n)型実行列Aが一意的に存在する　
　　　		 ※ポイント
　一次写像「f :Rn→Rm」の行列表示は、
　　Rnの基底のとりかた, Rmの基底のとりかたの二点から、定まる。
　これに対して、
　一次変換の行列表示は、Rnの基底のとりかたのみから、定まる。
　この違いは、
　基底の取り替えが、行列表示に及ぼす影響を、
　考察する際に、重要になる。
証明 ※なぜ？→証明
　
本論2 Rnの基底{ p1, p2, …, pn }、Rmの基底{ q1, q2, …, qm}と、
(m,n)型実行列
　　
にたいして、　
　　f (p1)=a11q1＋a21q2＋…＋am1qm 　　
　　f (p2)=a12q1＋a22q2＋…＋am2qm 　　
　　　：　　　　　：　
　　f (pn)=a1nq1＋a2nq2＋…＋amnqm 　　
を満たす一次写像「f:Rn→Rm」がきまる。　　　
※
　　｜f (p1)=a11q1＋a21q2＋…＋am1qm
　　｜f (p2)=a12q1＋a22q2＋…＋am2qm 　　
　　｜　：　　　　　：　
　　｜f (pn)=a1nq1＋a2nq2＋…＋amnqm 　　
　を、行列の乗法風に、
　　　
　と書く簡便法が、頻繁に用いられる。　
　この簡便法を用いると、上記の命題は、次のように、簡潔に表せる。
　　｜　Rnの基底{ p1, p2, …, pn }、Rmの基底{ q1, q2, …, qm}と、
　　｜　(m,n)型実行列Aにたいして、
　　｜　　　　　　f (p1, p2, …, pn)=(q1, q2, …, qm)A　　
　　｜　を満たす一次写像「f:Rn→Rm」がきまる　
　　　　
証明 ※なぜ？→証明
本論3 ・上記の(m,n)型実行列Aを、
　「Rnの基底{ p1, p2, …, pn }、Rmの基底{ q1, q2, …, qm}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　に関する一次写像fの行列表示」　　
　「Rnの基底{ p1, p2, …, pn }、Rmの基底{ q1, q2, …, qm}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　に関する一次写像fの表現行列」　　
　「Rnの基底{ p1, p2, …, pn }、Rmの基底{ q1, q2, …, qm}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　を定めたとき一次写像fに対応する行列」
　などと呼ぶ。
・(m,n)型実行列Aが、
　「『Rnの基底』α={ p1, p2, …, pn },『Rmの基底』β={ q1, q2, …, qm }
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　に関する一次写像fの表現行列」
　であることを、　　
　　
　という記号で表すことがある。
・「Rnの基底{ p1, p2, …, pn }、Rmの基底{ q1, q2, …, qm}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　に関する一次写像fの行列表示」
　が、
　「標準基底に関する一次変換f:Rn→Rnの行列表示」
　と、いかなる関係にあるかは、
　基底変換公式を見よ。
※特殊例：
　・標準基底に関する一次変換f:Rn→Rnの行列表示
　・任意基底に関する一次変換f:Rn→Rnの行列表示　
　・標準基底に関する一次写像f:Rn→Rmの行列表示　
※一般化：　
　・実ベクトル空間のあいだの一次写像の行列表示
※発展事項：一次写像の行列表示の標準形/基底変換行列/基底変換公式　　　
※ このように「一次写像f : Rn→Rm」の行列表示は、Rnの基底のとりかた, Rmの基底のとりかたの二点から、定まる。
これに対して、一次変換の行列表示は、Rnの基底のとりかたのみから、定まる。
この違いは、基底の取り替えが、行列表示に及ぼす影響を、
考察する際に、重要になる。
本論4 [一次写像y=f (x)の行列表現]
・実n次元数ベクトル空間Rn に属す任意の実n次元数ベクトルxは、
　　『Rnの基底』α={ p1, p2, …, pn }の一次結合として一意的に表せる（∵基底の定義）。
　つまり、
　　任意のx∈Rnに対して、ある実数x1 , x2 ,…, xnが一意に存在して、
　　　　x=x1 p1＋x2 p2＋…＋xn pn　
　　を満たす。
　この実数の組(x1 , x2 ,…, xn) の縦ベクトルを、
 　　xの《Rnの基底α={ p1, p2, …, pn }》に関する座標ベクトルと呼び、
　　　[x]α　
　　と表す。
・実m次元数ベクトル空間Rmに属す任意の実m次元数ベクトルyは、
　　『Rmの基底』β={ q1, q2, …, qm }の一次結合として一意的に表せる（∵基底の定義）。
　つまり、
　　任意のy∈Rmに対して、ある実数y1 , y2 ,…, ymが一意に存在して、
　　　　y = y 1 q1＋ y 2 q2＋…＋ y m qm　
　　を満たす。
　この実数の組(y1 , y2 ,…, ym)の縦ベクトルを、
　　yの《Rmの基底β={ q1, q2, …, qm }》に関する座標ベクトルと呼び、
　　　[y]β　
　　と表す。
・すると、一次写像y=f (x)は、
　　xの《Rnの基底α={ p1, p2, …, pn }》に関する座標ベクトル [x]α
　　yの《Rmの基底β={ q1, q2, …, qm}》に関する座標ベクトル [y]β
　「『Rnの基底』α={ p1, p2, …, pn },『Rmの基底』β={ q1, q2, …, qm }
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　に関する一次写像fの表現行列」
　を用いて、
　　[y]β＝A [x]α　
　と表せる。
　
　

※なぜ？
・y=f (x)= f (x1 p1＋x2 p2＋…＋xn pn)　　　∵基底の定義　
　　= x1 f (p1) ＋ x2 f (p2) ＋…＋xn f (pn )　　∵一次写像の定義　
　　= x1 (a11q1＋a21q2＋…＋am1qm) ＋x2 (a12q1＋a22q2＋…＋am2qm) ＋…＋xn (a1nq1＋a2nq2＋…＋amnqm)　　∵一次写像の行列表現[本論1]　
　　= (a11 x1q1＋a21 x1q2＋…＋am1 x1qm) ＋ (a12 x2q1＋a22 x2q2＋…＋am2 x2qm) ＋…＋ (a1n xn q1＋a2n xn q2＋…＋amn xn qm)　　
　　= (a11 x1q1 ＋a12 x2q1＋…＋a1n xn q1) ＋ (a21 x1q2＋ a22 x2q2＋…＋a2n xnq2) ＋…＋ (am1 x1qm＋am2 x2qm＋…＋amn xnqm)　
　　= (a11 x1 +a12 x2+…+ a1n xn) q1 + (a21 x1+ a22 x2+…+ a2n xn) q2＋…＋ (am1 x1+am2 x2+…+amn xn) qm　
　他方
・y=y1q1＋y2q2＋…＋ymqm　　　∵基底の定義　
・上記二点から、
　y1q1＋y2q2＋…＋ymqm＝(a11 x1 +a12 x2+…+ a1n xn) q1 ＋ (a21 x1+ a22 x2+…+ a2n xn) q2＋…＋ (am1 x1+am2 x2+…+amn xn) qm　
　つまり、
　y1＝a11 x1 +a12 x2+…+ a1n xn　
　y2＝a21 x1+ a22 x2+…+ a2n xn
　：
　ym＝am1 x1+am2 x2+…+amn xn　
　 (y1 , y2 ,…, ym)の縦ベクトルを[y]βで表し、(x1 , x2 ,…, xn) の縦ベクトルを[x]βで表し、
　　
　と置くと、
　これは、
　　[y]β＝A [x]α　
　に他ならない。　
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定理：実n次元数ベクトル空間から実m次元数ベクトル空間への一次写像の行列表示の標準形

設定
この定理は、以下の舞台設定上で成り立つ。
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、Rn＝R×R×…×R＝{ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvn∈R }に、
　　　　　　　　ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。　
　　ただし、Rnに属すすべての実n次元数ベクトルは、
　　　　　　n次元縦ベクトルの形式で表されているものとする。
Rm：実m次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、Rm＝R×R×…×R＝{ ( v1, v2, …, vm)｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvm∈R }に、
　　　　　　　　ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。
　　ただし、Rmに属すすべての実m次元数ベクトルは、
　　　　　　m次元縦ベクトルの形式で表されているものとする。
「f : Rn→Rm」：RnからRmへの一次写像　
rank f ：一次写像 f の階数

[文献]
・志賀『線形代数30講』26講(pp.164-6);

※一般化：実ベクトル空間のあいだの一次写像の標準形
本論1 一次写像「f : Rn→Rm」には、
　　　f (p1)=q1, f (p2)=q2, …, f (prankf )=qrankf , f (prankf+1)=０, f (prankf+2)=０,…, f (pn)=０ 　
を満たす
　『Rnの基底』{ p1, p2, …, pn }、『Rmの基底』{ q1, q2, …, qm }
が存在する。　
証明 ※なぜ？→証明　
本論2 したがって、
[本論1]で存在が示された、『Rnの基底』{ p1, p2, …, pn }、『Rmの基底』{ q1, q2, …, qm }をとると、
これらの基底に関する一次写像fの行列表示は、　
　　　　　
となる。
ただし、
この行列D (m,n, rankf )は、 (m,n)型実行列であって、
　　　(1,1)成分, (2,2)成分, …, (rank f,rank f)成分という(rank f )個の成分が1　　
　　　それ以外の成分はすべて０　
となる行列を表すものとする。　
Cf.一次変換の行列表示のケースでは、うまく標準化できない。
　　→一次変換の行列表示の標準化の問題　
※ここで利用されている事項：基底に関する一次写像fの行列表示　　
　

※なぜ？
　・一般に、
　　「『Rnの基底』{ p1, p2, …, pn }、『Rmの基底』{ q1, q2, …, qm}に関する一次写像f:Rn→Rmの行列表示」とは、
　　　　 f (p1)=a11q1＋a21q2＋…＋am1qm 　　
　　　　 f (p2)=a12q1＋a22q2＋…＋am2qm 　　
　　　　　：　　　　　：　
　　　　 f (pn)=a1nq1＋a2nq2＋…＋amnqm 　　
　　を満たす(m,n)型実行列　
　　　　
　　と定義された（→任意基底に関する一次写像の行列表示）。
　・「f (p1)=q1, f (p2)=q2, …, f (prankf )=qrankf , f (prankf+1)=０, f (prankf+2)=０,…, f (pn)=０ 」　
　　を満たす『Rnの基底』{ p1, p2, …, pn }、『Rmの基底』{ q1, q2, …, qm }とは、
　　　　 f (p1)=a11q1＋a21q2＋…＋am1qm 　　
　　　　 f (p2)=a12q1＋a22q2＋…＋am2qm 　　
　　　　　：　　　　　：　
　　　　 f (pn)=a1nq1＋a2nq2＋…＋amnqm 　　
　　　　a11＝a22＝…＝arankfrankf＝１
　　　　a11,a22,…,arankfrankfを除く係数は全て零
　　を満たす『Rnの基底』{ p1, p2, …, pn }、『Rmの基底』{ q1, q2, …, qm }である。
　・したがって、　　
　　「『Rnの基底』{ p1, p2, …, pn }、『Rmの基底』{ q1, q2, …, qm}に関する一次写像f:Rn→Rmの行列表示」
　　　　
　　は、
　　　(1,1)成分, (2,2)成分, …, (rank f,rank f)成分という(rank f )個の成分が1　　
　　　それ以外の成分はすべて０　
　　となる行列D (m,n, rankf )になる。　

　　　
※ [階数との関連]
少なくとも上記の基底に関する一次写像fの行列表示D (m,n, rankf )の階数は、
一次写像fの階数(rank f )と等しいことが確認できる。　
では、他の基底に関する一次写像fの行列表示の階数も、　　
一次写像fの階数に等しいといえるのだろうか。
⇒一次写像の階数と行列の階数の関係　
　
本論3 「『Rnの標準基底』{ e1, e2, …, en },『R mの標準基底』{ e'1, e'2, …, e'm }に関する一次写像fの行列表示」Aにたいして、
ある実行列P,Qが存在し、
　　
を満たす。
ただし、
この行列D (m,n, rankf )は、 (m,n)型実行列であって、
　　　(1,1)成分, (2,2)成分, …, (rank f,rank f)成分という(rank f )個の成分が1
　　　それ以外の成分はすべて０
となる行列を表すものとする。
※一次変換の行列表示のケースとの違い：　
※ここで利用されている事項：
　　　基底に関する一次写像fの行列表示/基底変換の行列/基底変換公式　
　
証明

※なぜ？
　・「『Rnの標準基底』{ e1, e2, …, en },『R mの標準基底』{ e'1, e'2, …, e'm }に関する一次写像fの行列表示」をAとおく。
　・『Rnの標準基底』{ e1, e2, …, en },から、[本論1]で存在が示された『Rnの基底』{ p1, p2, …, pn }へ変える基底変換行列が一意的に存在し(∵)、
　　これを、Pとおく。Pは正則行列である（∵）。
　・{ e'1, e'2, …, e'm }　から、1.で存在が示された『Rmの基底』{ q1, q2, …, qm }へ変える基底変換行列が一意的に存在し(∵)、
　　これを、Qとおく。Qは正則行列である（∵）。
　・基底変換公式より、「『Rnの基底』{ p1, p2, …, pn },『Rmの基底』{ q1, q2, …, qm }に関する一次写像fの行列表示」は、Q－１AP。
　また、[本論2]より、「『Rnの基底』{ p1, p2, …, pn },『Rmの基底』{ q1, q2, …, qm }に関する一次写像fの行列表示」は、
　　　
　　　　
　したがって、
　　　Q－１AP= D (m,n, rankf )　
　が成り立つ。
→[トピック一覧：実n次元数ベクトル空間から実m次元数ベクトル空間への一次写像の表現行列]
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定理：実n次元数ベクトル空間Rn上の一次変換の、標準基底に関する行列表示


設定
この定理は、以下の舞台設定上で成り立つ。
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
A：(m,n)型実行列　
Rn：実n次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、Rn＝R×R×…×R＝{ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvn∈R }に、
　　　　　　　　ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。　
　　ただし、Rnに属すすべての実n次元数ベクトルは、n次元縦ベクトルの形式で表されているものとする。
v：実n次元縦ベクトル
 [文献－線型代数]
・志賀『線形代数30講』7講:R2上の一次変換のケース(pp.42-5)10講(p.63);
・佐武『線形代数学』Ⅰ§4(p.20)
[文献－解析学]
・松坂『解析入門4』15.1-E命題11(p.10);F注(p.13); 18.1-A (pp.84-5);標準基底に関する表現行列
　

本論1

 実n次元数ベクトル空間Rn上の任意の一次変換「f:Rn→Rn」にたいして、　　　
　　(∀v∈Rn) ( f (v)=(Av) )　
を満たすn次正方行列Aが一意的に存在する。　

本論2

 n次正方行列Aを用いて、
実n次元数ベクトル空間Rnから実n次元数ベクトル空間Rnへの写像f:Rn→Rnを、
次式で定義する。
　　任意の実n次元縦ベクトルv∈Rnにたいして、f (v)=(Av)　
つまり、
実n次元縦ベクトルvを、実n次元数ベクトル(Av)にうつす写像を、
写像f:Rn→Rnとして定義する　　
　　　　　*Aはn次正方行列、vは実n次元縦ベクトル(つまり、(n,1)型実行列)だから、
　　　　　　行列積の定義により、(Av)は、実n次元数ベクトル(つまり、(n,1)型実行列)となる。
すると、
任意のn次正方行列Aに対して、
　　(∀v∈Rn) ( f (v)=(Av) )で定義した写像「f:Rn→Rn」は、一次変換となる。
　
本論3 ・上記のn次正方行列Aを、
　　「一次変換fに対応する行列」、「一次変換fの行列」、
　厳密には、
　　「Rnの標準基底{ e1, e2, …, en }に関する一次変換fの表現行列」
　などと呼ぶ。
　上記の一次変換fを、「Aによって定義される一次変換」などと呼ぶ。
・「Rnの標準基底{ e1, e2, …, en }に関する一次変換fの表現行列」が、
　任意基底に関する一次変換fの表現行列と、
　いかなる関係にあるかは、
　基底変換公式を見よ。　　
※具体例：R2上の一次変換の標準基底に関する行列表示 　
※一般化：　
　・任意基底に関する一次変換f:Rn→Rnの行列表示　
　・標準基底に関する一次写像f:Rn→Rmの行列表示　
　・任意基底に関する一次写像f:Rn→Rmの行列表示
　・実ベクトル空間のあいだの一次写像の行列表示　　
※発展事項：一次変換の行列表示の標準形/基底変換の行列　　
図解
[図解：2次正方行列によって定義される一次変換の挙動]
2次正方行列
( )
によって定義される一次変換の挙動は、x-y平面上に、以下のように図示できる。

R2上の一次変換の挙動の図示

→[トピック一覧：実n次元数ベクトル空間から実m次元数ベクトル空間への一次写像の表現行列]
→線形代数目次・総目次		 　 　
　
定理：任意の基底に関する一次変換の行列表示･行列表現

設定
この定理は、以下の舞台設定上で成り立つ。
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、
　　　Rn＝R×R×…×R＝{ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvn∈R }
　　に、ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。　
　　ただし、Rnに属すすべての実n次元数ベクトルは、
　　　　　　　n次元縦ベクトルの形式で表されているものとする
{ p1, p2, …, pn }：Rnの基底をなす実n次元数ベクトルの集合
[文献]
・松坂『解析入門4』15.1-E命題11(p.10);F注(p.13); 18.1-A (pp.84-5);

※具体例―基底の具体化：
　・標準基底に関する一次変換f:Rn→Rnの行列表示
※具体例―Rnの具体化：
　・R2上の一次変換の任意基底に関する行列表示 　
※一般化：　
　・任意基底に関する一次写像f:Rn→Rmの行列表示
　・実ベクトル空間のあいだの一次写像の行列表示　　
※発展事項：
　・一次変換の行列表示の標準形
　・基底変換の行列
　・基底変換公式
本論1 Rnの基底{ p1, p2, …, pn }と、一次変換「f:Rn→Rn」にたいして、　
　　 f (p1)=a11 p1＋a21 p2＋…＋an1 pn
　　 f (p2)=a12 p1＋a22 p2＋…＋an2 pn 　　
　　　：　　　　　：　
　　 f (pn)=a1n p1＋a2n p2＋…＋ann pn 　　
を満たす実n次正方行列
　　　　　
が一意的に存在する。　
　※
 　　｜ f (p1)=a11 p1＋a21 p2＋…＋an1 pn 　　
　　｜ f (p2)=a12 p1＋a22 p2＋…＋an2 pn 　　
　　｜　：　　　　　：　
　　｜ f (pn)=a1n p1＋a2n p2＋…＋ann pn 　　
　を、行列の乗法風に、
　　　
　と書く簡便法が、頻繁に用いられる。
　この簡便法を用いると、上記の命題は、次のように、簡潔に表せる。　　　
　　　　　　｜　Rnの基底{ p1, p2, …, pn }と、一次変換「f:Rn→Rn」にたいして、　
　　　　　　｜　　　　　　f (p1, p2, …, pn)=(p1, p2, …, pn)A　　
　　　　　　｜　を満たす実n次正方行列Aが一意的に存在する　
本論2 Rnの基底{ p1, p2, …, pn }と、
実n次正方行列
　　　　
にたいして、
　　 f (p1)=a11 p1＋a21 p2＋…＋an1 pn
　　 f (p2)=a12 p1＋a22 p2＋…＋an2 pn 　　
　　　：　　　　　：　
　　 f (pn)=a1n p1＋a2n p2＋…＋ann pn 　　
　を満たす一次変換「f:Rn→Rn」がきまる。　　　
※　　　　　　

 　　｜ f (p1)=a11 p1＋a21 p2＋…＋an1 pn 　　
　　｜ f (p2)=a12 p1＋a22 p2＋…＋an2 pn 　　
　　｜　：　　　　　：　
　　｜ f (pn)=a1n p1＋a2n p2＋…＋ann pn 　
　を、行列の乗法風に、
　　　
　と書く簡便法が、頻繁に用いられる。
　　（数ベクトル空間のケースだと、便利さが引き立つらしい）　
　この簡便法を用いると、上記の命題は、次のように、簡潔に表せる。　　　
　　　　　　｜　Rnの基底{ p1, p2, …, pn }と、実n次正方行列Aにたいして、　
　　　　　　｜　　　　　　f (p1, p2, …, pn)=(p1, p2, …, pn)A　　　
　　　　　　｜　を満たす一次変換「f:Rn→Rn」がきまる。　
　　　
証明 ※なぜ？→証明
本論3 ・上記の実n次正方行列Aを、　
　　基底{ p1, p2, …, pn }に関する一次変換fの行列表示、　　
　　基底{ p1, p2, …, pn }に関する一次変換fの表現行列、　　
　　基底{ p1, p2, …, pn }を定めたとき一次変換fに対応する行列　　
　などと呼ぶ。
・基底{ p1, p2, …, pn }に関する一次変換fの表現行列が、
　標準基底に関する一次変換fの表現行列と、
　いかなる関係にあるかは、
　基底変換公式を見よ。　　
　
※発展事項：一次変換の行列表示の標準化の問題/基底変換の行列/基底変換公式　
※具体例―基底の具体化：
　・標準基底に関する一次変換f:Rn→Rnの行列表示
※具体例―Rnの具体化：
　・R2上の一次変換の任意基底に関する行列表示 　　　

※

 要するに、

「『Rnの基底』α={ p1, p2, …, pn }, 『Rmの基底』β={q1, q2, …, qm}に関する一次写像『f: Rn→Rm』の表現行列」
　　　
のうち、
　　[条件1]　n=mであること、
　　[条件2] 『Rmの基底』β={ q1, q2, …, qm }が、α={ p1, p2, …, pn  }であること
を満たす特殊例
　　すなわち、

　　　「『Rnの基底』α={ p1, p2, …, pn }, 『Rnの基底』α={ p1, p2, …, pn }に関する一次写像『f: Rn→Rn』の表現行列」
　　　　
が、
「基底{ p1, p2, …, pn }に関する『一次変換f: Rn→Rn』の表現行列」
に他ならない。　　
本論4 [一次変換y=f (x)の行列表現]
・実n次元数ベクトル空間Rnに属す任意の実n次元数ベクトルxは、
　『Rnの基底』α={ p1, p2, …, pn }の一次結合として一意的に表せる（∵基底の定義）。
　したがって、
　　任意のx∈Rnに対して、ある実数x1 , x2 ,…, xnが一意に存在して、
　　　　x＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　
　　を満たす。
　この実数の組(x1,x2,…,xn) の縦ベクトルを、
　　xの《Rnの基底α={ p1, p2, …, pn }》に関する座標ベクトルと呼び、
 　　　[x]α　
　　と表す。
　　また、
　　任意のy∈Rnに対しても、ある実数y1,y2,…,ynが一意に存在して、
　　　　y＝y1p1＋y2p2＋…＋ynpn　
　　を満たす。
　この実の組(y1,y2,…,yn)の縦ベクトルを、
　　yの《Rnの基底α={ p1, p2, …, pn }》に関する座標ベクトルと呼び、
　　　[y]α　
　　と表す。
・すると、一次変換y=f (x)は、
　　　xの《Rnの基底α={ p1, p2, …, pn }》に関する座標ベクトル [x]α　
　　　yの《Rnの基底α={ p1, p2, …, pn }》に関する座標ベクトル [y]α　
 　　　《Rnの基底α={ p1, p2, …, pn }》に関する一次変換fの表現行列A
　を用いて、
　　[y]α＝A[x]α　
　と表せる。
[文献]
・斎藤『線形代数入門』4章§5(p.117);
→[トピック一覧：実n次元数ベクトル空間から実m次元数ベクトル空間への一次写像の表現行列]
→線形代数目次・総目次
　


定理：一次変換の行列表示の標準形は得られない

設定
この定理は、以下の舞台設定上で成り立つ。
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間。　
 　　すなわち、Rn＝R×R×…×R＝{ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvn∈R }に、
　　　　　　　　ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。　
　　ただし、Rnに属すすべての実n次元数ベクトルは、n次元縦ベクトルの形式で表されているものとする
「f:Rn→Rn」：一次変換　
rank f ：一次変換 f の階数
 [文献－線型代数]
・志賀『線形代数30講』26講(pp.166-167);
・斎藤『線形代数入門』４章§5 (p.117);
本論1 一次変換「f:Rn→Rn」には、
　　　f (p1)＝ p1 , f (p2)＝ p2, …, f (prankf )＝prankf , f (prankf+1)＝０, f (prankf+2)＝０,…, f (pn)＝０　
を満たす
『Rnの基底』{ p1, p2, …, pn }
が存在する
とはいえない。　
証明 　
本論2 したがって、
ある 『Rnの基底』{ p1, p2, …, pn } をとると、
これらの基底に関する一次変換fの行列表示は、　
　　　
となる
とはいえない。
なお、
この行列D(n,n,rankf )は、(n,n)型実行列であって、
　　　(1,1)成分, (2,2)成分, …, (rank f, rank f)成分という(rank f )個の成分が1　　
　　　それ以外の成分はすべて０　
となる行列を表すものとする。　

Cf　
※ここで利用されている事項：基底に関する一次変換fの行列表示　

※一次写像一般では、一次写像の行列表示の標準形が得られるのに、
　なぜ、ここで、一次変換の行列表示の標準形が得られなくなるのか？
　[・志賀『線形代数30講』20講Teatime(p.131);26講(pp.164-167);
　　　斎藤『線形代数入門』４章§5 (p.117);]

　
本論3 「『Rnの標準基底』{ e1, e2, …, en },『Rmの標準基底』{ e'1, e'2, …, e'm }に関する一次変換fの行列表示」Aにたいして、
ある実行列Pが存在し、
　　　　
を満たす
とはいえない。
 ※一次変換の行列表示のケースとの違い：　
※ここで利用されている事項：
　　　基底に関する一次変換fの行列表示/基底変換の行列/基底変換公式　
　
本論4

ところが、
ある種の一次変換「f:Rn→Rn」には、
　　　f (p1)=λ1 p1, f (p2)=λ2 p2, …, f (pn)=λn pn　（λ1,λ2,…,λnはfの固有値）
を満たす 『Rnの基底』{ p1, p2, …, pn } が存在する。

したがって、
ある種の一次変換「f:Rn→Rn」に対して、
ある 『Rnの基底』{ p1, p2, …, pn }をとると、
これらの基底に関する一次変換fの行列表示は、

となる。
だから、
ある種の一次変換「f:Rn→Rn」については、
「『Rnの標準基底』{ e1, e2, …, en } に関する一次変換fの行列表示Aにたいして、
ある実行列Pが存在し、
　P－１AP= diag(λ1,λ2,…,λn)　
を満たす。
 そこで、一次変換では、
標準化にかわって、このようなかたちに変形することが課題として浮上する。
一次変換の行列表示を、このようなかたちにできることを対角化可能といい、
一次変換の行列表示が対角化可能となる条件を求める問題は、固有値問題と呼ばれる。
　
→[トピック一覧：実n次元数ベクトル空間から実m次元数ベクトル空間への一次写像の表現行列]
→線形代数目次・総目次		 　 　

　
定理：実行列との乗法による一次写像の合成写像

設定
この定理は、以下の舞台設定上で成り立つ。
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
A：(m,n)型実行列　
B：(l,m)型実行列　
v：実n次元縦ベクトル。
Rn：実n次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、Rn＝R×R×…×R＝{ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvn∈R }に、
　　　　　　　　ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。　
　　ただし、Rnに属すすべての実n次元数ベクトルは、n次元縦ベクトルの形式で表されているものとする。
Rm：実m次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、Rm＝R×R×…×R＝{ ( v1, v2, …, vm)｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvm∈R }に、
　　　　　　　　ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。
　　ただし、Rmに属すすべての実m次元数ベクトルは、m次元縦ベクトルの形式で表されているものとする。
Rl：実l次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、Rl＝R×R×…×R＝{ ( v1, v2, …, vl)｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvl∈R }に、
　　　　　　　　ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。
　　ただし、Rlに属すすべての実l次元数ベクトルは、l次元縦ベクトルの形式で表されているものとする。
「A：Rn→Rm」：(m,n)型実行列Aと実n次元縦ベクトルとの乗法による
　　　　　　　　　実n次元数ベクトル空間Rnから、実m次元数ベクトル空間Rmへの
　　　　　　　　　一次写像　
「B：Rm→Rl」：(l,m)型実行列Bとm次元縦ベクトルとの乗法による
　　　　　　　　　実m次元数ベクトル空間Rmから、実l次元数ベクトル空間Rlへの
　　　　　　　　　一次写像


[文献－線型代数]
　永田『理系のための線形代数の基礎』(p.26-7);
　斎藤『線形代数入門』2章§3(p.45);
　佐武『線形代数学』Ⅰ§4(p.20)
[文献－解析学]
　松坂『解析入門4』15.1-E命題12 (p.11);
本論 一次写像A：Rn→Rmと、一次写像B：Rm→Rl　の合成写像B〇Aは、　　
行列積BA[(l,n)型実行列]とn次元縦ベクトルとの乗法で表せる。
　
解説 なぜなら、
合成写像B〇Aとは、
　　n次元縦ベクトル ∈Rnに対して、
　　B(Av)　
とすること。
ところが、結合則より、
　　B(Av)=(BA)v　		 　
→[トピック一覧：実n次元数ベクトル空間から実m次元数ベクトル空間への一次写像の表現行列]
→線形代数目次・総目次
　 　

(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目83行列L線形写像(p.222)
線形代数のテキスト
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、7講線形写像と行列(pp.42-7)、10講R3上の線形写像(pp.62-7)、17講線形写像(pp.107-112)。
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、3.4行列による一次変換の表現(p.89)。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.4行列と一次写像(pp.23-31)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.3線形写像の階数と行列の階数(p.102)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第2章§3行列と線形写像(pp.44-5):実線形空間･複素線形空間のみ;。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅰベクトルと行列の演算§4一次写像(pp.17-19)。
代数学のテキスト
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：環と体の理論』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22)。:数ページしか触れていないが、逆に、一般の線形空間の理論の骨組みだけを浮かびあがってくるので、何が重要事項なのかを見極める上で便利。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§5.2.1線形写像の行列表現(p.165)。

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