実線形空間・実ベクトル空間の定義 : トピック一覧
定義:
実線形空間・実ベクトル空間
(
ベクトル
,
係数体
,
スカラー
,
加法・和
,
零ベクトル
,
逆ベクトル
,
スカラー倍
)
定理:
零ベクトルのスカラー倍
/
ベクトルのスカラー0倍
/
逆ベクトルとスカラー積
※
実ベクトル空間関連:
部分ベクトル空間
/
一次結合
/
線形従属・線形独立
/
基底
/
次元
※
一次写像関連:
一次写像−定義
/
一次写像と演算
/
一次写像の代数系
/
一次写像と線形独立
/
同型写像
/
同型写像と線形独立
※
実ベクトル空間の上位概念:体
上の線形空間・ベクトル空間
※
実ベクトル空間の下位概念:
実
n
次元数ベクトル空間
→
線形代数目次
→
総目次
定義:実線形空間
real linear space
・ 実ベクトル空間
real vector space
【舞台設定】
R
:
実数体
(
実数をすべて集めた集合
)
【本題】
・
実線形空間
real linear space
ないし
実ベクトル空間
real vector space
とは、
体
として
実数体
R
を指定した際の「
体
上の線形空間・ベクトル空間
」のこと。
・具体的に言うと、
実線形空間
・
実ベクトル空間
とは、
以下の条件を満たす集合Vのこと。
なお、実ベクトル空間Vの
元
を
ベクトル
vector
と呼ぶ。
これに対して、
実数
(
実数体
R
の
元
)を
スカラー
scalar
、
実数体
R
を「Vの
係数体
field of scalars
基礎体
basic field,ground field
」、
と呼ぶ。
条件T
-1.
V
は、
加法
"
+
"
の定義された
代数系
であること。
つまり、
任意
の
u
,
v
∈
V
に対して、それに対応する
u
+
v
∈
V
が一つずつ定まること。
なお、この
V
に定められた
加法
"
+
"
を
ベクトルの加法
、
u
+
v
を
ベクトル和
という。
条件T
-2.
V
は、上記の
"
ベクトルの加法
"
に関して
加法群
(
加法に関する可換群
)
をなすこと。
つまり、
-1.
上記の加法が、「結合則:
(
∀
u
,
v
,
w
∈
V
)
(
(
u
+
v
)
+
w
=
u
+
(
v
+
w
)
)
」を満たすこと。
-2.
上記加法に「
単位元
0
:
(
∀
v
∈
V
)
(
0+
v
=
v
かつ
v
+0
=
v
)
を満たす
0
∈
V
」が存在すること。
この
V
上の加法の単位元
0
を
零ベクトル
と呼ぶ。
→
零ベクトルのスカラー倍
の性質、
-3.
V
のすべての
元
v
に対して、上記の
"
ベクトルの加法
"
に関する
逆元
−
v
∈
V
が存在すること。
この
V
上の加法に関する、
v
の逆元−
v
を
v
の逆ベクトル
と呼ぶ。
-4.
上記の加法が、「可換則:
(
∀
u
,
v
∈
V
)
(
u
+
v
=
v
+
u
)
」を満たすこと。
条件U
-1.
任意
の
実数
(
実数体
R
の
元
)
a
と、
V
の
任意
の
元
v
の組に対して、
V
の
元
を一意的に定める演算が
定義されていること。
この演算を
スカラー倍
scalar multiple
・スカラー乗法・スカラー積
scalar multiplication
と呼び、
a
v
ないし
a
・
v
で表す。
条件U
-2.
スカラー積が次の
4
条件を満たすこと。
-1.
任意
の
v
∈
V
に対して、
1
v
=
v
※左辺の
"1"
は
実数体
R
上で定義された
乗法の単位元
を指す。
-2.
結合則:
任意
の
実数
a,b
∈
R
と、
任意
の
v
∈
V
に対して、
(
ab
)
v
=
a
(
b
v
)
-3.
ベクトルに関する分配則:
任意
の
実数
a
∈
R
と、
任意
の
u
,
v
∈
V
に対して、
a
(
u
+
v
)=
a
u
+
a
v
※両辺の
"
+
"
は
V
上の加法
(
→条件
I-1)
を指す。
-4.
スカラーに関する分配則:
任意
の
実数
a,b
∈
R
と、
任意
の
v
∈
V
に対して、
(
a
+
b
)
v
=
a
v
+
b
v
※左辺の
"+"
は
実数体
R
上で定義された加法、右辺の
"
+
"
は
V
上の加法
(
→条件
I-1)
を指す。
※
以上を満たすスカラー倍の性質:
零ベクトルのスカラー倍
、
ベクトルのスカラー0倍
、
※
実ベクトル空間の例:
[斎藤『
線形代数入門
』4章§2(p.97);ホフマン『
線形代数学I
』2.1(pp.28-34);志賀『線形代数30講』14(pp.88-90); 佐武『
線形代数学
』V§6(p.116);]
・
実
n
次元数ベクトル空間
・
実数
を係数とする1変数多項式の全体
・実数上のある区間で定義された連続実関数全体の集合
・実数上のある区間で定義された連続実関数全体の集合
【文献】
・
岩波数学辞典
』210線形空間:A定義(pp.570-576);
・斎藤『
線形代数入門
』4章§2線形空間(p.96);
・ホフマン『
線形代数学I
』2.1ベクトル空間(pp.28-34);
・永田『
理系のための線形代数の基礎
』1.3(pp.14-6);
・佐武『
線形代数学
』V§6(p.115);
・志賀『
線形代数30講
』13講(pp.85-7);14講(pp.88-90);
・藤原『
線形代数
』4.1(p.91);
・神谷浦井『
経済学のための数学入門
』§3.1(p.105);
・杉浦『
解析入門I
』I章§4命題4.1(p.34);
・松坂『
集合・位相入門
』§5-A(pp.275-6)
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トピック一覧:実ベクトル空間の定義
]
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線形代数目次
・
総目次
定義:ベクトル
vector
実ベクトル空間
Vの
元
のことを、
ベクトル
vector
とよぶ。
※「はじめに
ベクトル空間
が定義されていて、そのうえで、
ベクトル空間
の
元
をベクトルと呼ぶ」のであって、
「はじめにベクトルが定義されていて、それをあつめたものを
ベクトル空間
と呼ぶ」のではない。
【文献】
『
岩波数学辞典
』210線形空間:A定義(pp.570-576);
斎藤『
線形代数入門
』4章§2線形空間(p.96);
ホフマン『
線形代数学I
』2.1ベクトル空間(pp.28-34);
永田『
理系のための線形代数の基礎
』1.3(pp.14-6);
佐武『
線形代数学
』V§6(p.115);
志賀『
線形代数30講
』13講(pp.85-7);14講(pp.88-90);
藤原『
線形代数
』4.1(p.91);
神谷浦井『
経済学のための数学入門
』§3.1(p.105)
定義:係数体
field of scalars
基礎体
basic field,ground field
実ベクトル空間
Vにたいして、
実数体
R
のことを、
「
実ベクトル空間
Vの
係数体
field of scalars
」「
実ベクトル空間
Vの
基礎体
basic field,ground field
」
という。
【文献】
『
岩波数学辞典
』210線形空間:A定義(pp.570-576);
斎藤『
線形代数入門
』4章§2線形空間(p.96);
ホフマン『
線形代数学I
』2.1ベクトル空間(pp.28-34);
永田『
理系のための線形代数の基礎
』1.3(pp.14-6);
佐武『
線形代数学
』V§6(p.115);
志賀『
線形代数30講
』13講(pp.85-7);14講(pp.88-90);
藤原『
線形代数
』4.1(p.91);
神谷浦井『
経済学のための数学入門
』§3.1(p.105)
定義:スカラー
scalar
実ベクトル空間
Vにたいして、
実数
(
実数体
Rの
元
)を
スカラー
scalar
と呼ぶ。
→
スカラー乗法
【文献】
・『
岩波数学辞典
』210線形空間:A定義(pp.570-576);
・斎藤『
線形代数入門
』4章§2線形空間(p.96)
・ホフマン『
線形代数学I
』2.1ベクトル空間(pp.28-34)
・永田『
理系のための線形代数の基礎
』1.3(pp.14-6)
・佐武『
線形代数学
』V§6(p.115)
・志賀『
線形代数30講
』13講(pp.85-7);14講(pp.88-90)
・藤原『
線形代数
』4.1(p.91)
・神谷浦井『
経済学のための数学入門
』§3.1(p.105)
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トピック一覧:実ベクトル空間の定義
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・
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定理:零ベクトルのスカラー倍
【舞台設定】
R
:
実数体
(
実数をすべて集めた集合
)
V:
実ベクトル空間
0
:V上の
零ベクトル
。
a
:
スカラー
。つまり、
a
は
実数
。(
a
∈
R
)
【本題】
零ベクトル
の
スカラー倍
は、すべて、
零ベクトル
。
つまり、
任意
の
実数
a
∈
R
にたいして、
a
0
=
0
【証明】
[ホフマン『
線形代数学I
』2.1ベクトル空間:式2-8 (p.31);]
・
零ベクトル
の定義:
0
+
v
=
v
より、
0
+
0
=
0
…
(1)
・
スカラー乗法
の分配則:
a
(
u
+
v
)=
a
u
+
a
v
…
(2)
・
a
0
=
a
(
0
+
0
)
∵
(1)
=
a
0
+
a
0
∵
(2)
よって、
a
0
=
a
0
+
a
0
…
(3)
・
実ベクトル空間
では、すべてのベクトルに
逆ベクトル
が存在するから、
a
0
+
(−
a
0
)
=
0
…
(4)
を満たす、
a
0
の
逆ベクトル
−
a
0
が存在する。
(3)
の両辺に−
a
0
を足し合わせると、
a
0
−
a
0
=
a
0
+
a
0
−
a
0
よって、
(4)
より、
0
=
a
0
【文献】
・ホフマン『
線形代数学I
』2.1ベクトル空間:式2-8 (p.31);
・酒井『
環と体の理論
』1.6問題1.14(p.22)
定理:ベクトルのスカラー0倍
0
v
=
0
∵
スカラー乗法
の分配則より。
【文献】
・ホフマン『
線形代数学I
』2.1ベクトル空間:式2-9 (p.31);
・永田『
理系のための線形代数の基礎
』1.3(p.16)
・志賀『
線形代数30講
』13講(p.86)
・酒井『
環と体の理論
』1.6問題1.14(p.22)
定理:逆ベクトルとスカラー積
【舞台設定】
R
:
実数体
(
実数をすべて集めた集合
)
V:
実ベクトル空間
【本題】
実数
"−1"(
実数体
Rの
乗法の単位元
の
加法に関する逆元
)と、
ベクトル
との
スカラー積
は、
その
ベクトル
の
逆ベクトル
に等しい。
すなわち、
任意
の
v
∈
Vにたいして、 (−1)
v
=
−
v
【文献】
・酒井『
環と体の理論
』1.6問題1.14(
p
.22)
→[
トピック一覧:実ベクトル空間の定義
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線形代数目次
・
総目次
(
reference
)
日本数学会編集『
岩波数学辞典
(第三版)』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
【線形代数のテキスト】
ホフマン・クンツェ『
線形代数学I
』培風館、1976年、2.1ベクトル空間(pp.28-34)。
永田雅宜『
理系のための線形代数の基礎
』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『
線形代数学
(第44版)』裳華房、1987年、Vベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。
砂田利一『現代数学への入門:
行列と行列式
』2003年、§5.1-b(p.155).
志賀浩二『数学30講シリーズ:
線形代数30講
』朝倉書店、1988年、13講ベクトル空間へ(pp.85-7);14講ベクトル空間の例と基本概念(pp.88-90)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2:
線形代数
』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。
斎藤正彦『
線形代数入門
』東京大学出版会、1966年、第4章§2線形空間(p.96):実線形空間・複素線形空間のみ;附録V§2体(p.249)。
【代数学のテキスト】
本部均『新しい数学へのアプローチ5:
新しい代数
』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8:
環と体の理論
』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22)。
【数理経済学のテキスト】
神谷和也・浦井憲『
経済学のための数学入門
』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。
解析学のテキスト
杉浦光夫『
解析入門I
』東京大学出版会、1987年、I章§4(pp.33-38)。
位相空間・距離空間についてのテキスト
松坂和夫『
集合・位相入門
』岩波書店、1968年、§5ノルム空間、Banach空間(pp.275-288)。