実線形空間・実ベクトル空間の定義 : トピック一覧

定義：実線形空間･実ベクトル空間(ベクトル,係数体,スカラー,加法･和,零ベクトル,逆ベクトル,スカラー倍)
定理：零ベクトルのスカラー倍/ベクトルのスカラー０倍/逆ベクトルとスカラー積　

※実ベクトル空間関連：部分ベクトル空間/一次結合/線形従属･線形独立/基底/次元
※一次写像関連：一次写像－定義/一次写像と演算/一次写像の代数系/一次写像と線形独立/同型写像/同型写像と線形独立　　
※実ベクトル空間の上位概念：体上の線形空間・ベクトル空間　　　
※実ベクトル空間の下位概念：実n次元数ベクトル空間　　　　

→線形代数目次　
→総目次　
 　

定義：実線形空間 real linear space ・ 実ベクトル空間 real vector space


【舞台設定】

　R：実数体(実数をすべて集めた集合）

【本題】

　・実線形空間real linear spaceないし実ベクトル空間real vector spaceとは、　
　　体として実数体Rを指定した際の「体上の線形空間・ベクトル空間」のこと。

　・具体的に言うと、実線形空間・実ベクトル空間とは、
　　以下の条件を満たす集合Vのこと。
　　なお、実ベクトル空間Vの元をベクトルvectorと呼ぶ。
　　これに対して、実数（実数体Rの元）をスカラーscalar、
　　　　　　　　実数体Rを「Vの係数体field of scalars基礎体basic field,ground field」、
　　　　　　　　と呼ぶ。

条件Ⅰ-1.　Vは、加法"＋"の定義された代数系であること。
　　　　　つまり、任意のu,v∈Vに対して、それに対応するu＋v∈Vが一つずつ定まること。
　　　　　　なお、このVに定められた加法"＋"をベクトルの加法、u＋vをベクトル和という。　
条件Ⅰ-2.　Vは、上記の"ベクトルの加法"に関して加法群(加法に関する可換群)をなすこと。
　　　　　つまり、
　　　　　-1. 上記の加法が、「結合則：( ∀u,v,w∈V ) ( ( u＋v )＋w = u＋( v＋w ) )」を満たすこと。
　　　　　-2. 上記加法に「単位元０：( ∀v∈V ) ( ０＋v = v かつ v＋０= v )を満たす０∈V」が存在すること。
　　　　　　　　このV上の加法の単位元０を零ベクトルと呼ぶ。　
　　　　　　　　　　　　　→零ベクトルのスカラー倍の性質、　　　　
　　　　　-3. Vのすべての元vに対して、上記の"ベクトルの加法"に関する逆元－v∈Vが存在すること。
　　　　　　　　このV上の加法に関する、vの逆元－vをvの逆ベクトルと呼ぶ。　　　　　　
　　　　　-4. 上記の加法が、「可換則：( ∀u,v∈V ) (u＋v =v＋u )」を満たすこと。　
条件Ⅱ-1.　任意の実数(実数体Rの元)aと、Vの任意の元vの組に対して、Vの元を一意的に定める演算が
　　　　　定義されていること。
　　　　　この演算をスカラー倍scalar multiple・スカラー乗法・スカラー積scalar multiplicationと呼び、
　　　　　avないしa・vで表す。
条件Ⅱ-2.　スカラー積が次の4条件を満たすこと。　
　　　　　-1. 任意のv∈Vに対して、1v=v　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　※左辺の"1"は実数体R上で定義された乗法の単位元を指す。　
　　　　　-2. 結合則：
　　　　　　　任意の実数a,b∈R と、任意のv∈Vに対して、(ab)v=a(bv)　　　　　
　　　　　-3. ベクトルに関する分配則：
　　　　　　　任意の実数a∈R と、任意のu,v∈Vに対して、a(u＋v)=au＋av　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　※両辺の"＋"はV上の加法(→条件I-1)を指す。　
　　　　　-4. スカラーに関する分配則：　
　　　　　　　任意の実数a,b∈R と、任意のv∈Vに対して、(a+b)v=av＋bv　　
　　　　　　　　※左辺の"+"は実数体R上で定義された加法、右辺の"＋"はV上の加法(→条件I-1)を指す。　
※以上を満たすスカラー倍の性質：零ベクトルのスカラー倍、ベクトルのスカラー０倍、
※実ベクトル空間の例：
　　　　　　[斎藤『線形代数入門』４章§2(p.97);ホフマン『線形代数学I』2.1(pp.28-34);志賀『線形代数30講』14(pp.88-90); 佐武『線形代数学』Ⅲ§6(p.116);]
　　・実n次元数ベクトル空間　　
　　・実数を係数とする1変数多項式の全体　　
　　・実数上のある区間で定義された連続実関数全体の集合　　
　　・実数上のある区間で定義された連続実関数全体の集合

【文献】

　・岩波数学辞典』210線形空間:A定義(pp.570-576);
　・斎藤『線形代数入門』４章§2線形空間(p.96);
　・ホフマン『線形代数学I』2.1ベクトル空間(pp.28-34);
　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(pp.14-6);
　・佐武『線形代数学』Ⅲ§6(p.115);
　・志賀『線形代数30講』13講(pp.85-7);14講(pp.88-90);
　・藤原『線形代数』4.1(p.91);
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1(p.105);
　・杉浦『解析入門I』I章§4命題4.1(p.34);
　・松坂『集合・位相入門』§5-A(pp.275-6)　

→[トピック一覧：実ベクトル空間の定義]
→線形代数目次・総目次

定義：ベクトル　vector　　

　実ベクトル空間Vの元のことを、ベクトルvectorとよぶ。

※「はじめにベクトル空間が定義されていて、そのうえで、ベクトル空間の元をベクトルと呼ぶ」のであって、
　「はじめにベクトルが定義されていて、それをあつめたものをベクトル空間と呼ぶ」のではない。　　

【文献】

　『岩波数学辞典』210線形空間:A定義(pp.570-576);
　斎藤『線形代数入門』４章§2線形空間(p.96);
　ホフマン『線形代数学I』2.1ベクトル空間(pp.28-34);
　永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(pp.14-6);
　佐武『線形代数学』Ⅲ§6(p.115);
　志賀『線形代数30講』13講(pp.85-7);14講(pp.88-90);
　藤原『線形代数』4.1(p.91);
　神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1(p.105)

定義：係数体　field of scalars　基礎体　basic field,ground field


　実ベクトル空間Vにたいして、
　実数体Rのことを、
　「実ベクトル空間Vの係数体field of scalars」「実ベクトル空間Vの基礎体basic field,ground field」
　という。

【文献】

　『岩波数学辞典』210線形空間:A定義(pp.570-576);
　斎藤『線形代数入門』４章§2線形空間(p.96);
　ホフマン『線形代数学I』2.1ベクトル空間(pp.28-34);
　永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(pp.14-6);
　佐武『線形代数学』Ⅲ§6(p.115);
　志賀『線形代数30講』13講(pp.85-7);14講(pp.88-90);
　藤原『線形代数』4.1(p.91);
　神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1(p.105)　

定義：スカラー scalar

　
　実ベクトル空間Vにたいして、実数（実数体Rの元）をスカラーscalarと呼ぶ。
　→スカラー乗法　


【文献】
　・『岩波数学辞典』210線形空間:A定義(pp.570-576);
　・斎藤『線形代数入門』４章§2線形空間(p.96)
　・ホフマン『線形代数学I』2.1ベクトル空間(pp.28-34)
　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(pp.14-6)
　・佐武『線形代数学』Ⅲ§6(p.115)
　・志賀『線形代数30講』13講(pp.85-7);14講(pp.88-90)
　・藤原『線形代数』4.1(p.91)
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1(p.105)


→[トピック一覧：実ベクトル空間の定義]
→線形代数目次・総目次

定理：零ベクトルのスカラー倍


【舞台設定】

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
V：実ベクトル空間　
０：V上の零ベクトル。　　
a：スカラー。つまり、aは実数。（a∈R）　

【本題】

零ベクトルのスカラー倍は、すべて、零ベクトル。
つまり、任意の実数a∈Rにたいして、a０＝０　

【証明】

　[ホフマン『線形代数学I』2.1ベクトル空間:式2-8 (p.31);]
・零ベクトルの定義：０＋v = v より、０＋０ =０ …(1)
・スカラー乗法の分配則：a(u＋v)=au＋av　…(2)
・a０＝a(０＋０)　∵(1)　
　　　＝a０＋a０　∵(2)　　
　よって、a０＝a０＋a０　　　…(3)　　
・実ベクトル空間では、すべてのベクトルに逆ベクトルが存在するから、
　a０＋（－a０）=０　　…(4)
　を満たす、a０の逆ベクトル－a０が存在する。
　(3)の両辺に－a０を足し合わせると、
　　a０－a０＝a０＋a０－a０　
よって、(4)より、
　　０＝a０　　

【文献】
　・ホフマン『線形代数学I』2.1ベクトル空間:式2-8 (p.31);
　・酒井『環と体の理論』1.6問題1.14(p.22)

定理：ベクトルのスカラー０倍　

　０v＝０　　∵スカラー乗法の分配則より。　

　【文献】
　・ホフマン『線形代数学I』2.1ベクトル空間:式2-9 (p.31);
　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(p.16)
　・志賀『線形代数30講』13講(p.86)
　・酒井『環と体の理論』1.6問題1.14(p.22)

定理：逆ベクトルとスカラー積　


【舞台設定】

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
V：実ベクトル空間　

【本題】

実数"－1"（実数体Rの乗法の単位元の加法に関する逆元）と、ベクトルとのスカラー積は、
そのベクトルの逆ベクトルに等しい。　　
すなわち、
任意のv∈Vにたいして、　（－1）v＝－v　　
　
【文献】

　・酒井『環と体の理論』1.6問題1.14(p.22)

→[トピック一覧：実ベクトル空間の定義]
→線形代数目次・総目次

(reference)

　日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)

【線形代数のテキスト】

　ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.1ベクトル空間(pp.28-34)。
　永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
　佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。
　砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.1-b(p.155).
　志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、13講ベクトル空間へ(pp.85-7);14講ベクトル空間の例と基本概念(pp.88-90)。
　藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。
　斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§2線形空間(p.96):実線形空間･複素線形空間のみ;附録Ⅲ§2体(p.249)。

【代数学のテキスト】

　本部均『新しい数学へのアプローチ5：新しい代数』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)。
　酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：環と体の理論』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22)。

【数理経済学のテキスト】

　神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。
　解析学のテキスト
　杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1987年、I章§4(pp.33-38)。
　位相空間・距離空間についてのテキスト
　松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年、§5ノルム空間、Banach空間(pp.275-288)。