一次写像(線形写像)の代数系

[トピック一覧：一次写像の代数系]
・一次写像の和/一次写像のスカラー倍/Hom(V,V')/一次写像の合成　　
※一次写像関連ページ：定義/ベクトル演算の一次写像/一次写像と線形独立/一次写像―全射･単射/階数　
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定義：一次写像(線形写像)の和
　[志賀『線形代数30講』16講(p.101);ホフマン『線形代数学I』3.2一次変換の代数系定理4(p.76);
　　砂田『行列と行列式』§5.1c定義5.10(p.157)；『岩波数学辞典』項目210-D(p.571);]
(舞台設定)
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
V：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　　
V' ：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　
+：実ベクトル空間Vにおいて定義されているベクトルの加法　
+：実ベクトル空間V'において定義されているベクトルの加法　
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実ベクトル空間Vにおいて定義されているスカラー乗法　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　および、実ベクトル空間V'において定義されているスカラー乗法　
f：V→V'：実ベクトル空間Vから実ベクトル空間V'への一次写像　
g：V→V'：実ベクトル空間Vから実ベクトル空間V'への一次写像　
(本題)　　
一次写像f,gの和　(f+g)　とは、
　　　　任意のv∈Vに対して、　f(v)+g(v)
で定義された一次写像(f+g)：V→V'のこと。
(証明)　「(f+g)が実ベクトル空間Vから実ベクトル空間V'への一次写像」の定義を満たすことの証明：未稿　

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定義：一次写像のスカラー倍
　[志賀『線形代数30講』16講(p.101);ホフマン『線形代数学I』3.2一次変換の代数系定理4(p.76);
　　砂田『行列と行列式』§5.1c定義5.10(p.157)；『岩波数学辞典』項目210-D(p.571);;]
(舞台設定)
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
V：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　　
V' ：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　
+：実ベクトル空間Vにおいて定義されているベクトルの加法　
+：実ベクトル空間V'において定義されているベクトルの加法　
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実ベクトル空間Vにおいて定義されているスカラー乗法　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　および、実ベクトル空間V'において定義されているスカラー乗法　
f：V→V'：実ベクトル空間Vから実ベクトル空間V'への一次写像　
(本題)　　
一次写像fのスカラー倍　(af)　とは、
　　　　任意のa∈Rと任意のv∈Vに対して、　f(av)　
で定義された一次写像(af)：V→V'のこと。
(証明)　「(af)が実ベクトル空間Vから実ベクトル空間V'への一次写像」の定義を満たすことの証明：未稿　

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定理：VからV'への一次写像全体のなす集合　Hom (V,V')　は、ベクトル空間をなす。
　[志賀『線形代数30講』16講(p.101);ホフマン『線形代数学I』3.2一次変換の代数系定理4(p.76);
　『岩波数学辞典』項目210-D(p.571);砂田『行列と行列式』§5.1c定義5.10(p.158)；]
(舞台設定)
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
V：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　　
V' ：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　
+：実ベクトル空間Vにおいて定義されているベクトルの加法　
+：実ベクトル空間V'において定義されているベクトルの加法　
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実ベクトル空間Vにおいて定義されているスカラー乗法　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　および、実ベクトル空間V'において定義されているスカラー乗法　
f：V→V'：実ベクトル空間Vから実ベクトル空間V'への一次写像　
(本題)　　
・Hom (V,V')は、実ベクトル空間Vから実ベクトル空間V'への一次写像全体のなす集合をあらわす。
・Hom (V,V')は、
　　「一次写像の和」「一次写像のスカラー倍」という演算の定義された代数系として、実ベクトル空間。

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定理：一次写像の合成写像
　[永田『理系のための線形代数の基礎』1.3問2(p.20);志賀『線形代数30講』16講(p.101);
　　ホフマン『線形代数学I』3.2-定理6(p.78);砂田『行列と行列式』§5.1c(p.157);]
(舞台設定)
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
V：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　　
V' ：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　
V'' ：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　
f：V→V'：実ベクトル空間Vから実ベクトル空間V'への一次写像　　
g：V'→V''：実ベクトル空間V'から実ベクトル空間V''への一次写像　
(本題)　
・fとgとの合成写像g〇f を、
　　　v∈Vに対して、　g ( f ( v ) ) で定義する。
・g〇f は、VからV''への一次写像の定義を満たす。　

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(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、16講線形写像(pp.100-105)。
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.3基底と次元(pp.41-50)。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.1-c(p.157).
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、�Vベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。線形従属・独立については、数ベクトルに限定？
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。 線形従属・独立については、数ベクトルに限定？
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§2線形空間(p.96):実線形空間･複素線形空間のみ;附録�V§2体(p.249)。

代数学のテキスト
本部均『新しい数学へのアプローチ5：新しい代数』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：環と体の理論』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22)。:数ページしか触れていないが、逆に、一般の線形空間の理論の骨組みだけを浮かびあがってくるので、何が重要事項なのかを見極める上で便利。

数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。

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