実n次元数ベクトル空間から実m次元数ベクトル空間への一次写像の定義
・定義：一次写像･線形写像/像Image/核Kernel/階数rank/退化次数nullity　　
　　　　一次変換･線形変換･一次作用素･線形作用素/可逆な一次変換・逆変換/零写像　
・定理：零写像は一次写像　
※一次写像「f:Rn→Rm」関連ページ：ベクトル演算の一次写像/一次写像の代数系/一次写像と一次独立/一次写像―全射･単射/階数　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　同型写像/同型写像と線形独立/一次変換の固有値と固有ベクトル
　　　　　　　　　　　　　　　　　　一次写像の行列表示/基底の変換と一次写像と行列　
※一次写像「f:Rn→Rm」の具体例：R2上の一次変換　
※一次写像「f:Rn→Rm」の一般化：実ベクトル空間上の一次変換　
※線形代数目次・総目次

定義：実n次元数ベクトル空間から実m次元数ベクトル空間への一次写像・線形写像linear mapping　　

定義
「実n次元数ベクトル空間Rnから実m次元数ベクトル空間Rmへの一次写像･線形写像」
　とは、
　n変数m値ベクトル値関数f:Rn→Rm　
　であって、
　　　　　（つまり、「実n次元数ベクトル空間Rnから実m次元数ベクトル空間Rmへの写像」f:Rn→Rmであって、）
　次の二要件を満たすもののこと。

　要件１：n変数m値ベクトル値関数f:Rn→Rmがベクトル和を保存すること。
　　　　　つまり、
　　　　　　・任意の実n次元数ベクトルの(Rnで定義された)和の「n変数m値ベクトル値関数fがRmに写した像」
　　　　　と、　　
　　　　　　・それらの実n次元数ベクトルの「n変数m値ベクトル値関数fがRmに写した像」どおしの(Rmで定義された)和　
　　　　　とが、
　　　　　一致すること。
　　　　　　 (∀u∈Rn) (∀v∈Rn) ( f(u＋v)＝f(u) ＋ f(v) )
　　　　すなわち　
　　　　 (∀(u1,u2,…,un)∈Rn) (∀(v1,v2,…,vn)∈Rn) ( f(u1+v1,u2+v2,…,un+vn)＝f(u1,u2,…,un)＋f(v1,v2,…,vn) )
　要件２：n変数m値ベクトル値関数f:Rn→Rmがスカラー倍を保存すること。
　　　　　つまり、
　　　　　　・「任意の実n次元数ベクトル」の任意の実数(Rの元)による(Rnで定義された)スカラー倍を、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　「n変数m値ベクトル値関数fによってRmに写した像」
　　　　　と、　　
　　　　　　・その実n次元数ベクトルの「n変数m値ベクトル値関数fがRmに写した像」の
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　任意の実数(Rの元)による(Rmで定義された) スカラー倍　　
　　　　　とが、一致すること。
　　　　　　(∀v∈Rn) (∀a∈R) ( f ( av )= a f (v ) )　　
　　　　　　　すなわち、
　　　　　　(∀(v1, v2,…, vn )∈Rn) (∀a∈R) ( f ( av1, av2,…, avn )= a f ( v1, v2,…, vn ) )　　

※実n次元数ベクトル空間から実m次元数ベクトル空間への線形写像は、どれも、
　実行列によって表される。（→一次写像の行列表示）　　
　だから、線形写像の分類・操作などが論じられる際には、
　　　　　それに対応する実行列の分類・操作に思いをめぐらせるのが、
　　　　　肝要。


[文献]
・佐武『線形代数学』Ⅰ§4(p.17)
・志賀『線形代数30講』
　　　・6講:R2からR2への線形写像・その図式化(pp.37-8)
　　　・10講:R3からR2への線形写像(p.63)
　　　・12講:R3からR2への線形写像(p.76)
・佐和隆光『回帰分析』2.2.3線形写像(p.27)
・志賀『固有値問題30講』1講 R2からR2の線形写像・その図式化(pp.3-7)
・戸田山田『計量経済学の基礎：統計的手法の理論とプログラミング』2.5.1(p.84)

※一次写像の諸属性：Image,核Kernel,階数rank,退化次数nullity　
※一般化：実ベクトル空間から実ベクトル空間への一次写像
※具体例：Rn上の一次変換/射影　

　

　

設定
上記の一次写像の定義は、以下の舞台設定上で、なされる。
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　
Rm ：実m次元数ベクトル空間　
＋：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法　
＋：実m次元数ベクトル空間Rmにおいて定義されているベクトルの加法　
実数に続けて実n次元数ベクトルを並べて書いたもの：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法
実数に続けて実m次元数ベクトルを並べて書いたもの：実m次元数ベクトル空間Rmにおいて定義されているスカラー乗法
　


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定義：実n次元数ベクトル空間から実m次元数ベクトル空間への一次写像の像Image　像空間

設定
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　
Rm ：実m次元数ベクトル空間　
f:Rn→Rm ：実n次元数ベクトル空間Rnから実m次元数ベクトル空間Rmへの一次写像　
[文献]

・佐武『線形代数学』Ⅲ§4(p.103)
・佐和隆光『回帰分析』2.2.3線形写像(p.27)

※一般化：実ベクトル空間のあいだの一次写像の像 　　

定義
一次写像f:Rn→Rmの像Imageとは、定義域Rn全体のfによる像　　
　　{ f (v) | v∈Rn }
のこと。
つまり、Rnに属すあらゆる実n次元数ベクトルのfによる像をあつめた集合を、fの像と呼ぶ。　

なお、
一次写像fの行列がAであるならば、fの像は、{ Av | v∈Rn }と表される。

記号
一次写像fの像を、Image f , Im f などで表す。


意義
写像f:Rn→Rmという概念は、
　定義域Rn全体のfによる像が、終集合Rmと必ずしも一致しなくてもよいものとして
定義されていた。（両者が一致する写像は、特に、全射と呼ばれる）
一次写像f:Rn→Rmの定義は、
写像f:Rn→Rmの概念に、ベクトル和保存・スカラー倍保存の演算則を付け加えただけのものだから、
一次写像f:Rn→Rmの定義も、定義域Rn全体のfによる像が、終集合Rmと一致することを要求していない。
つまり、一次写像f:Rn→Rmには、定義域Rn全体のfによる像と終集合Rmとが一致しないものが多く含まれている。
すると、終集合Rmとは別に、定義域Rn全体のfによる像を検討すべき機会が多々でてくる。
そこで「定義域Rn全体のfによる像」の略称・記号として、「fの像」「Im f 」が用意されることになる。


性質

 一次写像f:Rn→Rmにたいして、
Image f は、Rmの部分ベクトル空間となる。
※なぜ？→証明　　
※dim(Image f) を階数と呼ぶ。→詳細　


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定義：実n次元数ベクトル空間から実m次元数ベクトル空間への一次写像の核・核空間　Kernel　

設定
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　
Rm ：実m次元数ベクトル空間　
f:Rn→Rm ：実n次元数ベクトル空間Rnから実m次元数ベクトル空間Rmへの一次写像　
[文献]
・佐武『線形代数学』Ⅲ§4(p.103)
・志賀『線形代数30講』12講:R3からR2への線形写像(p.78)
・柳井竹内『射影行列･一般逆行列･特異値分解 』§1.3(p.12);
※一般化：実ベクトル空間のあいだの一次写像の核(Kernel )　

定義
一次写像f:Rn→Rm の核Kernelとは、fによる像がRm上の零ベクトルとなる実n次元数ベクトルの集合。
つまり、Rm上の零ベクトルのfによる逆像　
　　f－1 (０)={ v∈Rn | f (v)=０ }
のこと。

記号
一次写像fの核を、Ker fで表す。

性質
f:Rn→Rmにたいして、
Ker f は、Rnの部分ベクトル空間である。
※なぜ？→証明　　
※dim(Ker f) を退化次数と呼ぶ。→詳細　
※活用例：一次写像が単射(1対1写像)であるための必要十分条件、　　


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定義：実n次元数ベクトル空間から実m次元数ベクトル空間への一次写像の階数　rank　

設定
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　
Rm ：実m次元数ベクトル空間　
f:Rn→Rm ：実n次元数ベクトル空間Rnから実m次元数ベクトル空間Rmへの一次写像　
[文献]

・佐武『線形代数学』Ⅲ§4(p.105)
・佐和隆光『回帰分析』2.2.3線形写像(p.27)
・戸田山田『計量経済学の基礎：統計的手法の理論とプログラミング』2.5.1(p.87)
※一般化：実ベクトル空間のあいだの一次写像の階数 　

定義
一次写像f:Rn→Rmの階数rankとは、fの像[Image f ]の次元のこと。
　　すなわち、rank f = dim(Image f) 　と定義される。

性質
rank f≦m　
これは、　
Ker f が「Rnの部分ベクトル空間」であること(∵)と、
「Vの部分ベクトル空間」の次元は、Vの次元より大きくならないということによる。　　　
※一次写像の階数の性質、行列の階数　


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定義：実n次元数ベクトル空間から実m次元数ベクトル空間への一次写像の退化次数　nullity　


設定
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
Rn：実n次元数ベクトル空間　　
Rm ：実m次元数ベクトル空間　
f:Rn→Rm ：実n次元数ベクトル空間Rnから実m次元数ベクトル空間Rmへの一次写像
[文献]
・佐武『線形代数学』Ⅲ§4(p.105：脚注)
※一般化：実ベクトル空間のあいだの一次写像の退化次数　 　


定義
一次写像f:Rn→Rmの退化次数nullityとは、
　　fの核[Ker f]の次元、すなわち、dim ( Ker f ) 　
のこと。


性質
dim ( Ker f ) ≦dimRn　
これは、　
Ker f が「Rnの部分ベクトル空間」であること(∵)と、
「Vの部分ベクトル空間」の次元は、Vの次元より大きくならないということによる。　　


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定義：実n次元数ベクトル空間上の一次変換・線形変換linear transformation　一次作用素・線形作用素

定義
実n次元数ベクトル空間Rn上の一次変換･線形変換とは、
実n次元数ベクトル空間RnからRn自身への一次写像f:Rn→Rn のことをいう。　
[文献]
・佐武『線形代数学』Ⅰ§4(p.20)
・志賀『線形代数30講』
　・6講:R2からR2への線形写像・その図式化(pp.37-8)
　・10講:R3からR2への線形写像(p.63)
・志賀『固有値問題30講』1講 R2からR2への線形写像・その図式化(pp.3-7)
※具体例：R2上の一次変換　
※一般化：実ベクトル空間上の一次変換　
※関連事項：一次変換の行列表示/一次変換の固有値と固有ベクトル　
　

設定
上記の定義は、以下の舞台設定上で、なされる。
　R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
　Rn：実n次元数ベクトル空間　　
　＋：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法　
　実数に続けて実n次元数ベクトルを並べて書いたもの：
　　　実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法


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定義：実n次元数ベクトル空間上の正則な一次変換・可逆な一次変換invertible linear transformation　逆変換

定義
　
[文献]
・松坂『解析入門4』158.1-G (p.14)：体上の線形空間上の一次変換について;

※一般化：　
※関連事項：　
　

設定
上記の定義は、以下の舞台設定上で、なされる。
　R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
　Rn：実n次元数ベクトル空間　　
　＋：実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法　
　実数に続けて実n次元数ベクトルを並べて書いたもの：
　　　実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法


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定義：零写像

定義
「n変数m値ベクトル値関数f:Rn→Rm が零写像である」とは、
任意の実n次元数ベクトルの「写像fがRmに写した像」がすべて、Rmの零ベクトルとなることをいう。
　　　　　(∀x∈Rn) ( f (x)=０ )　
[文献]
・
※具体例：R2上の零写像　
※一般化：実ベクトル空間上の零写像　
　

設定
上記の一次写像の定義は、以下の舞台設定上で、なされる。
　R：実数体(実数をすべて集めた集合）
　Rn：実n次元数ベクトル空間　
　Rm ：実m次元数ベクトル空間　
　f:Rn→Rm ：実n次元数ベクトル空間Rnから実m次元数ベクトル空間Rmへの一次写像　
　



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定理：零写像は一次写像

定義		 実n次元数ベクトル空間Rnから実m次元数ベクトル空間Rmへの零写像は、一次写像の定義を満たす。
[文献]
※一般化：実ベクトル空間のあいだの一次写像のケース　
　

設定


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