実行列についての逆行列・正則行列・特異行列　―　トピック一覧

定義：逆行列・正則行列・特異行列
・性質：逆行列の一意性/左逆行列と右逆行列の一致/逆行列の逆行列/積の逆行列/転置行列と逆行列/正則行列と基本行列
・正則行列であるための必要十分条件： 正則行列であるための必要十分条件―階数の観点/正則行列であるための必要十分条件―一次独立の観点
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正則行列であるための必要十分条件―基底の観点　

※実行列関連ページ：実行列の定義/正方行列に関する様々な定義/行列の和･スカラー倍の定義/行列の積の定義/行列の積の性質/転置行列の性質/行列の代数系
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定義：逆行列・正則行列・特異行列　inverse matrix, regular matrix, singular matrix

設定

R：実数をすべて集めた集合（実数体）　
A：実行列でn次正方行列　

[文献]
・『岩波数学辞典』項目83B(p.220);
・永田『理系のための線形代数の基礎』1.4(p.26);
・藤原『線形代数』2.2(p.30);
・斎藤『線形代数入門』2章§2(p.41);
・佐武『線形代数学』I§3(pp.13-14);
・戸田山田『計量経済学の基礎：統計的手法の理論とプログラミング』2.2.3(p.62)
・ホフマン・クンツェ『線形代数学I』1.6(p.22);
・岩田『経済分析のための統計的方法』12.4.2逆行列(pp.294-5)。

定義

・任意のn次正方行列Aに対して、AX=XA=Inを満たす実行列Xが存在するとは限らない。
　「AX=XA=Inを満たすX 」を有すn次正方行列Aもあれば、
　「AX=XA=Inを満たすX 」を有さないn次正方行列Aもある。
・「AX=XA=Inを満たすX 」を有すn次正方行列Aのことを、
　　n次正則行列regular matrix・可逆行列invertible matrix・非特異行列non-singular matrix
　と呼び、　
　　この「AX=XA=Inを満たすX 」のことを、Aの逆行列inverse matrixと呼び、A−1で表す。
・「AX=XA=Inを満たすX 」を有さないn次正方行列Aのことを、
　　特異行列singular matrixと呼ぶ。

定理：逆行列の一意性


設定


R：実数をすべて集めた集合（実数体）　
A：実行列でn次正方行列　


[文献]
・『岩波数学辞典』項目83B(p.220);
・藤原『線形代数』2.2(pp.31-2):証明付;
・斎藤『線形代数入門』2章§2(p.41);
・岩田『経済分析のための統計的方法』12.4.2逆行列(p.295)。

本題

n次正方行列Aが正則行列ならば、Aの逆行列はただ一つ。
つまり、n次正方行列Aが正則行列であって、X,YがAの逆行列ならば、X=Y　

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定理：左逆行列と右逆行列の一致


設定


R：実数をすべて集めた集合（実数体）　
A：実行列でn次正方行列　


[文献]
・永田『理系のための線形代数の基礎』1.4問4(p.26)その証明(p.208);
・藤原『線形代数』2.2(p.31):証明付;
・斎藤『線形代数入門』2章§2(p.41);
・佐武『線形代数学』I§3(pp.13-14);
・ホフマン・クンツェ『線形代数学I』1.6(p.22;24):証明付;
・岩田『経済分析のための統計的方法』12.4.2逆行列(p.295)

本題

・任意のn次正方行列Aに対して、AX=Inを満たす実行列Xが存在するとは限らない。
　「AX=Inを満たす実行列X 」を有すn次正方行列Aもあれば、
　「AX=Inを満たす実行列X 」を有さないn次正方行列Aもある。　　
　n次正方行列Aが「AX=Inを満たす実行列X 」を有すとき、
　　この「AX=Inを満たす実行列X 」のことを、Aの右逆行列と呼ぶ。
・任意のn次正方行列Aに対して、XA=Inを満たす実行列Xが存在するとは限らない。
　「XA=Inを満たす実行列X 」を有すn次正方行列Aもあれば、
　「XA=Inを満たす実行列X 」を有さないn次正方行列Aもある。　　
　n次正方行列Aが「XA=Inを満たす実行列X 」を有すとき、
　　この「XA=Inを満たす実行列X 」のことを、Aの左逆行列と呼ぶ。
・任意のn次正方行列Aに対して、右逆行列と左逆行列がともに存在するならば、右逆行列=左逆行列。
　つまり、任意のn次正方行列Aに対して、AX=YA=Inが成り立つならば、X=Y。　
・任意のn次正方行列Aに対して、右逆行列と左逆行列のいずれか一方の存在を仮定するだけで、
　Aは正則行列であるといえる。
　つまり、任意のn次正方行列Aに対して、AX=InもしくはYA=Inが成り立つならば、Aは正則行列。

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定理：逆行列の逆行列


設定


R：実数をすべて集めた集合（実数体）　
A：実行列でn次正方行列　


[文献]
・藤原『線形代数』2.2(p.37);
・斎藤『線形代数入門』2章§2[2.1](p.41);
・ホフマン・クンツェ『線形代数学I』1.6(p.22);
・岩田『経済分析のための統計的方法』12.4.2定理12.12(p.296)。

本題

n次正方行列Aが正則行列ならば、Aの逆行列A−1も正則行列であって、(A−1)−1= A

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定理：行列積の逆行列


設定


R：実数をすべて集めた集合（実数体）
A,B：実行列でn次正方行列


[文献]
・ホフマン・クンツェ『線形代数学I』1.6(p.22):証明付;
・藤原『線形代数』2.2(p.36);
・斎藤『線形代数入門』2章§2[2.1](p.41);
・佐武『線形代数学』I§3-(19)(p.14);
・岩田『経済分析のための統計的方法』12.4.2定理12.14(p.297)。

本題

n次正方行列A,Bが正則行列ならば、
積ABも正則行列であって、　(AB)−1=B−1 A−1　

※

活用例：基本行列の積　

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定理：転置行列と逆行列


設定


R：実数をすべて集めた集合（実数体）　
A：実行列でn次正方行列　


[文献]
・『岩波数学辞典』項目83B(p.220);
・藤原『線形代数』2.2(p.30);
・岩田『経済分析のための統計的方法』12.4.2定理12.13(p.296)。

本題

n次正方行列Aが正則行列ならば、　( tA )−1= t( A−1) 　

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定理：正則行列と基本行列


任意の正則行列は、基本行列の積として、表される。
※逆も成り立つ→詳細　


[文献]
・斎藤『線形代数入門』2章§4[4.3](p.52);
・永田『理系のための線形代数の基礎』1.7定理1.7.5(p.41);

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定理：正則行列であるための必要十分条件−階数の観点から


設定


R：実数をすべて集めた集合（実数体）　
A：実行列でn次正方行列　


[文献]
・斎藤『線形代数入門』2章§4[4.3](p.52);
・永田『理系のための線形代数の基礎』1.7定理1.8.4(p.44);
・


本題


次の２つの命題は同値。
・命題1：　n次正方行列Aは正則行列である。　　
・命題2：　n次正方行列Aの階数がnである。　　

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定理：正則行列であるための必要十分条件−一次独立の観点から


設定


R：実数をすべて集めた集合（実数体）　
A：実行列でn次正方行列　


[文献]
・松坂『解析入門4』158.1-G-命題15 (p.15)：数ベクトル空間限定;
・永田『理系のための線形代数の基礎』1.7定理1.8.4(p.44);
・


本題


次の3つの命題は同値。
・命題1：　n次正方行列Aは正則行列である。　　
・命題2：　n次正方行列Aを構成するn個の行ベクトルは、一次独立である。　　
・命題3：　n次正方行列Aを構成するn個の列ベクトルは、一次独立である。　　

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定理：正則行列であるための必要十分条件−　Rnの基底の観点から


設定


R：実数をすべて集めた集合（実数体）　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
A：実行列でn次正方行列　


[文献]
・松坂『解析入門4』158.1-G-命題15 (p.15)：数ベクトル空間限定;


※関連事項：基底変換行列　


本題


次の命題は同値。
・命題P：　n次正方行列Aは正則行列である。　　
・命題Q：　n次正方行列Aを構成するn個の列ベクトルは、
　　　　　　　　　　　　　実n次元数ベクトル空間Rnの基底をなす。　　
※なぜ？
　　以下二点より。
　　・正則行列であるための必要十分条件―一次独立の観点
　　・基底であるための必要十分条件　　
　　　　

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(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目83行列B行列の算法(p.220)
線形代数のテキスト
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.4行列と一次写像(pp.23-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、I.ベクトルと行列の演算§3行列の演算(pp.13-14)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§2.2一般の行列(pp.54-60)、§2.3行列の演算(pp.60-65)、§2.4行列の操作(pp.66-70).
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、2.2(p.30)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第2章行列§2(p.41)。
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、1.6可逆な行列(pp.21-27)。

志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、17講線形写像と行列(pp.107-112)。

数理経済学のテキスト
西村和雄『経済数学早わかり』日本評論社、1982年、２章線形代数§2行列と行列式(pp.46-72)。
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、5章行列(pp.161-199):一次写像の行列表現を中心にしている。
William H. Greene（斯波・中妻・浅井訳） 『経済学体系シリーズ：グリーン計量経済分析I：改訂4版』エコノミスト社、2000年、第２章行列代数2.2行列の用語(pp.10-12);2.3行列の算法(pp.12-21)。
岩田暁一『経済分析のための統計的方法(第2版)』東洋経済新報社、1983年、12.4.2逆行列(pp.294-5)。

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