→
戻る
証明：実ベクトル空間における一次変換の行列表示
[
永田『
理系のための線形代数の基礎
』定理
1.4.1(
pp
.28-9);
ホフマン・クンツェ『
線形代数学
I
』
3.4
行列による一次変換の表現
(
pp
.90-91);
神谷浦井『
経済学のための数学入門
』§
5.2.1
線形写像の行列表現
(
p
.165)
。
;]
(
舞台設定
)
R
：
実数体
(
実数をすべて集めた集合
）
V
：
実ベクトル空間
（
実数体
R
上の線形空間・ベクトル空間
」）であって、
n
次元
。
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
：
V
の
基底
をなす、
V
に属す
ベクトル
の集合
(
定理の確認
)
V
の
基底
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
と、
実
n
次正方行列
にたいして、
f
(
v
1
)
=
a
11
v
1
+
a
21
v
2
+
…
+
a
n
1
v
n
f
(
v
2
)
=
a
12
v
1
+
a
22
v
2
+
…
+
a
n
2
v
n
： ：
f
(
v
n
)
=
a
1
n
v
1
+
a
2
n
v
2
+
…
+
a
nn
v
n
を満たす
一次変換
f
: V
→
V
がきまる。
→
戻る
（証明）
まず、
V
の
基底
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
と
実
n
次正方行列
A
から
写像
f
を定義し、
次に、
写像
f
が
一次写像
となることを示す。
Step
1:
実
n
次正方行列
A
から
写像
f
を定義
・
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
∈
V
であって、
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
は
V
の
基底
とされていた。…
(1-1)
・まず、
(1-1)
の
V
の
基底
から
V
への
写像
f
：
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
→
V
を、
の成分を用いて、
f
0
(
v
1
)
=
a
11
v
1
+
a
21
v
2
+
…
+
a
n
1
v
n
∈
V
f
0
(
v
2
)
=
a
12
v
1
+
a
22
v
2
+
…
+
a
n
2
v
n
∈
V
： ：
f
0
(
v
n
)
=
a
1
n
v
1
+
a
2
n
v
2
+
…
+
a
nn
v
n
∈
V
と定義する。…
(1-2)
※
なお、上記右辺の演算記号は、
実ベクトル空間
V
において定義されている
ベクトル和
と
スカラー積
・
(1-1)
より、
V
に属す
任意の
ベクトル
を、
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
の
一次結合
として一意的に表せる。（
∵
）
つまり、
∀
x
∈
V
に対して、ある
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
∈
R
が一意的に存在して、
x
=
x
1
v
1
+
x
2
v
2
+
…
+
x
n
v
n
…
(1-3)
・
V
から
V
への
写像
f
：
V
→
V
を、
x
∈
V
にたいして、
(1-3)
によって一意的に存在する
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
∈
R
を用いて、
f
(
x
)
=
f
(
x
1
v
1
+
x
2
v
2
+
…
+
x
n
v
n
)
≡
x
1
f
0
(
v
1
)
+
x
2
f
0
(
v
2
)
+
…
+
x
n
f
0
(
v
n
)
∈
V
…
(1-4)
※
なお、上記の演算記号は、すべて、
実ベクトル空間
V
において定義されている
ベクトル和
と
スカラー積
と定義する。
上記右辺を整理すると、以下のようになる。
x
1
f
0
(
v
1
)
+
x
2
f
0
(
v
2
)
+
…
+
x
n
f
0
(
v
n
)
=
x
1
(
a
11
v
1
+
a
21
v
2
+
…
+
a
n
1
v
n
)
+
x
2
(
a
12
v
1
+
a
22
v
2
+
…
+
a
n
2
v
n
)
+
…
+
x
n
(
a
1
n
v
1
+
a
2
n
v
2
+
…
+
a
nn
v
n
)
∵
(1-2)
=
x
1
a
11
v
1
+
x
1
a
21
v
2
+
…
+
x
1
a
n
1
v
n
+
x
2
a
12
v
1
+
x
2
a
22
v
2
+
…
+
x
2
a
n
2
v
n
+
…
+
x
n
a
1
n
v
1
+
x
n
a
2
n
v
2
+
…
+
x
n
a
nn
v
n
∵
V
は
実ベクトル空間
だから
実ベクトル空間におけるベクトルに関する分配則
が成り立つ。
=(
x
1
a
11
+
x
2
a
12
+
…
+
x
n
a
1
n
)
v
1
+
(
x
1
a
21
+
x
2
a
22
+
…
+
x
n
a
2
n
)
v
2
+
…
+
(
x
1
a
n
1+
x
2
a
n
2+
…
+
x
n
a
nn
)
v
n
∵
V
は
実ベクトル空間
だから
実ベクトル空間におけるスカラーに関する分配則
が成り立つ。
※
(
)
内の
"+"
は、
実数体
R
に定義されている加法を表し、
x
*
a
**
は
実数体
R
に定義されている乗法を表す。
したがって、
ここで定義した
写像
f
：
V
→
V
は、要するに、
の各成分と、
x
∈
V
にたいして、
(1-3)
によって一意的に存在する
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
∈
R
を用いて、
f
(
x
)
=(
x
1
a
11
+
x
2
a
12
+
…
+
x
n
a
1
n
)
v
1
+
(
x
1
a
21
+
x
2
a
22
+
…
+
x
n
a
2
n
)
v
2
+
…
+
(
x
1
a
n
1+
x
2
a
n
2+
…
+
x
n
a
nn
)
v
n
…
(1-5)
と表されるものである。
Step
2:
写像
f
は
一次写像
・
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
は
V
の
基底
とされていたので、
V
に属す
任意の
ベクトル
を、
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
の
一次結合
として一意的に表せる。（
∵
）
つまり、
∀
x
,
x
'
∈
V
に対して、ある
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
∈
R
,
x
'
1
,
x
'
2
,
…
,
x
'
n
∈
R
が一意的に存在して、
x
=
x
1
v
1
+
x
2
v
2
+
…
+
x
n
v
n
、
x
'=
x
'
1
v
1
+
x
'
2
v
2
+
…
+
x
'
n
v
n
…
(2-1)
したがって、
∀
x
,
x
'
∈
V
に対して、
step
1
で定義した
写像
f
：
V
→
V
は、以下を満たす。
f
(
x
+
x
'
)
※
f
( )
内の
+
は
実ベクトル空間
V
において定義されている
ベクトル和
=
f
(
x
1
v
1
+
x
2
v
2
+
…
+
x
n
v
n
+
x
'
1
v
1
+
x
'
2
v
2
+
…
+
x
'
n
v
n
)
∵
(2-1)
=
f
(
(
x
1
+
x
'
1
)
v
1
+
(
x
2
+
x
'
2
)
v
2
+
…
+
(
x
n
+
x
'
n
)
v
n
)
∵
V
は
実ベクトル空間
だから
実ベクトル空間におけるスカラーに関する分配則
が成り立つ。
=(
x
1
+
x
'
1
)
f
0
(
v
1
)
+
(
x
2
+
x
'
2
)
f
0
(
v
2
)
+
…
+
(
x
n
+
x
'
n
)
f
0
(
v
n
)
∵
(1-4)
=
x
1
f
0
(
v
1
)
+
x
2
f
0
(
v
2
)
+
…
+
x
n
f
0
(
v
n
)
+
x
'
1
f
0
(
v
1
)
+
x
'
2
f
0
(
v
2
)
+
…
+
x
'
n
f
0
(
v
n
)
∵
V
は
実ベクトル空間
だから
スカラーに関する分配則
・
ベクトル和に関する可換則
が成り立つ。
=
f
(
x
1
v
1
+
x
2
v
2
+
…
+
x
n
v
n
)
+
f
(
x
'
1
v
1
+
x
'
2
v
2
+
…
+
x
'
n
v
n
)
∵
(1-4)
=
f
(
x
)
+
f
(
x
'
)
∵
(2-1)
以上から、
∀
x
,
x
'
∈
V
に対して、
f
(
x
+
x
'
)
=
f
(
x
)
+
f
(
x
'
)
…
(2-2)
が示された。
・
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
は
V
の
基底
とされていたので、
V
に属す
任意の
ベクトル
を、
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
の
一次結合
として一意的に表せる。（
∵
）
つまり、
∀
x
∈
V
に対して、ある
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
∈
R
が一意的に存在して、
x
=
x
1
v
1
+
x
2
v
2
+
…
+
x
n
v
n
…
(2-3)
したがって、
∀
x
∈
V,
∀
α
∈
R
に対して、
step
1
で定義した
写像
f
：
V
→
V
は、以下を満たす。
f
(
α
x
)
※
f
( )
内の演算は
実ベクトル空間
V
において定義されている
スカラー乗法
=
f
(
α
(
x
1
v
1
+
x
2
v
2
+
…
+
x
n
v
n
)
)
∵
(2-3)
=
f
(
α
x
1
v
1
+
α
x
2
v
2
+
…
+
α
x
n
v
n
)
∵
V
は
実ベクトル空間
だから
ベクトルに関する分配則
が成り立つ。
=
α
x
1
f
0
(
v
1
)
+
α
x
2
f
0
(
v
2
)
+
…
+
α
x
n
f
0
(
v
n
)
∵
(1-4)
=
α
(
x
1
f
0
(
v
1
)
+
x
2
f
0
(
v
2
)
+
…
+
x
n
f
0
(
v
n
)
)
∵
W
は
実ベクトル空間
だから
ベクトルに関する分配則
が成り立つ。
=
α
f
(
x
1
v
1
+
x
2
v
2
+
…
+
x
n
v
n
)
∵
(1-4)
=
α
f
(
x
)
∵
(2-3)
以上から、
∀
x
∈
V,
∀
α
∈
R
に対して、
f
(
α
x
)
=
α
f
(
x
)
…
(2-4)
が示された。
・
(2-2) (2-4)
より、
step
1
で定義した
写像
f
：
V
→
V
は、
一次写像であるための２要件
を満たしている。
→
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]
の成分を用いて、の各成分と、