実n次元数ベクトル空間における基底―トピック一覧　
　　・基底の定義/基底であるための必要十分条件/基本ベクトルは基底の一例/基底の存在/座標ベクトル　
※実n次元数ベクトル空間関連ページ：実n次元数ベクトル空間の定義/線形結合/一次独立・一次従属/線形結合と線形独立･従属の関係/次元/部分ベクトル空間
※上位概念：一般のベクトル空間における基底/体上の数ベクトル空間における基底/実ベクトル空間における基底/
　　　　　　実n次元数ベクトル空間の部分空間の基底　
※線形代数目次・総目次

定義：実n次元数ベクトル空間における基底　basis　
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
+：実n次元数ベクトル空間Rnに定義されているベクトルの加法
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実n次元数ベクトル空間Rnに定められているスカラー乗法
u1, u2, …, ul：l個の実n次元数ベクトル。
　　　　　　　具体的に書くと、
　　　　　　　u11, u12, …, u1n∈Rとして、u1=( u11, u12, …, u1n )　∈Rn　　
　　　　　　　u21, u22, …, u2n∈Rとして、u2=( u21, u22, …, u2n )　∈Rn　　
　　　　　　　　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　　
　　　　　　　ul1, ul2, …, uln∈Rとして、ul=( ul1, ul2, …, uln )　∈Rn　
　　　　　　　なお、個数lが有限個であること、個数lが、Rnのnと等しくなくてもよいことに注意。　　
v：実n次元数ベクトル。
　　　　　　　具体的に書くと、v1, v2, …, vn∈Rとして、v=( v1, v2, …, vn )　　　
　　　　　　　したがって、v∈Rn 。
a1, a2, …, al ：スカラー。a1, a2, …, al ∈R　　
定義 「l個の実n次元数ベクトルの有限集合{ u1, u2, …, ul }が
　　　　　　　　　実n次元数ベクトル空間Rnの基底basisである」
とは、
{ u1, u2, …, ul }が、次の2条件を満たすことを言う。
条件P1：u1, u2, …, ul が線形独立となること。
条件P2：u1, u2, …, ul の一次結合として、Rnに属す任意の実n次元数ベクトルを表せること。
 　　　　( ∀v∈Rn) ( ∃a1,a2,…,al ∈R) ( v ＝ a1u1+a2u2+…+alul )　
なお、この2条件は、次の条件と同値。
条件Q：u1, u2, …, ulの一次結合としてRnに属す任意の実n次元数ベクトルを一意的に表せる。
※グリーン『計量経済分析I』定義2.6(p.26)は、　
　この定義の必要十分条件（→基底であるための必要十分条件）を、基底の定義としている。　　		 [文献]
・永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(p.11);
・グリーン『計量経済分析I』定義2.3(p.24);定義2.6(p.26);

※関連事項：基底であるための必要十分条件
※活用例：座標ベクトル　
証明 (証明：条件P1;P2⇔命題Q)
・条件P1;P2⇒条件Q　
　　　永田『理系のための線形代数の基礎』補題1.3.2(pp.17-8);　
・条件Q⇒条件P1;P2　
　　　永田『理系のための線形代数の基礎』補題1.3.2(p.18);　
※ 実n次元数ベクトル空間Rnの基底（の定義を満たすRnの部分集合）は、複数セット存在しうる。
※ 上位概念：一般のベクトル空間の有限集集合が基底であるということ、体上の数ベクトル空間の有限集合が基底であるということ。



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定理：実n次元数ベクトル空間の基底であるための必要十分条件
要旨 実n次元数ベクトル空間Rnの基底は、
どれも、「n個の線形独立な実n次元数ベクトル」である。
　※「n個の線形独立な実n次元数ベクトル」を基底の定義とするテキストもある。[グリーン『計量経済分析I』定義2.6(p.26)]
　※正則行列であるための必要十分条件―基底の観点も見よ。　
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　
+：実n次元数ベクトル空間Rnに定義されているベクトルの加法
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実n次元数ベクトル空間Rnに定められているスカラー乗法
u1, u2, …, ul：l個の実n次元数ベクトル。
　　　　　　　具体的に書くと、
　　　　　　　u11, u12, …, u1n∈Rとして、u1=( u11, u12, …, u1n )　∈Rn　　
　　　　　　　u21, u22, …, u2n∈Rとして、u2=( u21, u22, …, u2n )　∈Rn　　
　　　　　　　　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　　
　　　　　　　ul1, ul2, …, uln∈Rとして、ul=( ul1, ul2, …, uln )　∈Rn　
　　　　　　　なお、個数lが有限個であること、個数lが、Rnのnと等しくなくてもよいことに注意。　　
v：実n次元数ベクトル。
　　　　　　　具体的に書くと、v1, v2, …, vn∈Rとして、v=( v1, v2, …, vn )　　　
　　　　　　　したがって、v∈Rn 。
a1, a2, …, al ：スカラー。a1, a2, …, al ∈R　　
　　


[文献]
・永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(p.11);
・グリーン『計量経済分析I』定義2.3(p.24);定義2.6(p.26);
詳細 「l個の実n次元数ベクトルの有限集合{ u1, u2, …, ul }が実n次元数ベクトル空間Rnの基底である」
ことは、
　{ u1, u2, …, ul }が、次の2条件を満たすことと同値である。
　　条件R1：u1, u2, …, ulが線形独立となること。
　　条件R2：l＝n　であること。　
証明 ・「{ u1, u2, …, ul }が条件R1,R2を満たす」⇒「{ u1, u2, …, ul }がRnの基底の定義を満たす」を示す。
　定理より、
　　「実n次元数ベクトル空間Rnにおいては、
　　　　　n個の実n次元数ベクトルu1, u2, …, unが線形独立ならば、Rnの基底となる」
　から、
　{ u1, u2, …, ul }が、条件R1,R2を満たす、　
　　　　　　すなわち、{ u1, u2, …, ul=un} が(→R2)、線形独立となる(→R1)　　
　ならば、　　
　{ u1, u2, …, ul=un} は、Rnの基底の定義を満たす。　
・「{ u1, u2, …, ul }が基底の定義を満たす」⇒「{ u1, u2, …, ul }が条件R1,R2を満たす」
　を示す。　
　・基底であるための条件P1と、条件R1はもともと同じ。
　　したがって、
　　　「{ u1, u2, …, ul }がRnの基底の定義を満たす」⇒「{ u1, u2, …, ul }が条件R1を満たす」
　・Rnの次元に関する定理より、
　　　　{ u1, u2, …, ul }がRnの基底の定義を満たすならば、l＝n　となる。　
　　したがって、
　　　「{ u1, u2, …, ul }がRnの基底の定義を満たす」⇒「{ u1, u2, …, ul }が条件R2を満たす」



　

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定理：基本ベクトルは基底の一例
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間　		 [文献]
・永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(p.11);
・神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.4(p.125);
・布川谷野中山『線形代数と凸解析』例2.4(pp.36-7)
本題

実n次元数ベクトル空間Rnの基本ベクトルは、Rnの基底である。
そこで、実n次元数ベクトル空間Rnの基本ベクトルは、Rnの標準基底とも呼ばれる。
証明 ・基本ベクトルe1, e2,…,enは線形独立（∵）。　　　
・基本ベクトルe1, e2,…,enの一次結合として、Rn に属す任意の実n次元数ベクトルを表せる。
　実際、　　
　　任意のv=( v1, v2, …, vn )∈Rn は、v＝v1e1+v2e2+…+vnen 　と表せる。　
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定理：基底の存在
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間
本題 実n次元数ベクトル空間Rnは、すべて、(少なくとも一セット以上の)基底を有す。
証明 少なくとも、実n次元数ベクトル空間Rnの基本ベクトルは、Rnの基底であるから。
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定義：座標ベクトル
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rn：実n次元数ベクトル空間
[文献]
・松坂『解析入門4』18.1-A (p.84)：数ベクトル空間限定;
・志賀『線形代数30講』8講:R2のケース「斜交座標」(p.51) ;10講:R3のケース(p.66)

※一般化：実ベクトルの座標ベクトル/
※活用例：基底変換行列　
定義

 ・「実n次元数ベクトルvの《Rnの基底 { u1, u2, …, un }》に関する座標ベクトル」とは、
　　実n次元数ベクトルv=( v1, v2, …, vn )∈Rnを、
　　　　　「Rnの基底{ u1, u2, …, un}の一次結合」v =x1u1+x2u2+…+xnun　
　　として表した際の、
　　実数の組(x1,x2,…,xn)のことをいう。
性質

 ・「実n次元数ベクトルv=( v1, v2, …, vn )∈Rnの
　　　　　　　　《Rnの標準基底 { e1, e2, …, en }》に関する座標ベクトル」は、
　実n次元数ベクトルv=( v1, v2, …, vn )それ自身である。
　実際、
　任意のv=( v1, v2, …, vn )∈Rn は、
　　　　v =v1e1+v2e2+…+vnen 　
　と表される。

・「標準基底 { e1, e2, …, en }以外の《Rnの基底 { u1, u2, …, un }》に関する
　　　実n次元数ベクトルv=( v1, v2, …, vn )∈Rnの座標ベクトル」に、
　基底変換の行列をかけると、
　「実n次元数ベクトルv=( v1, v2, …, vn )∈Rnの
　　　　　　　　《Rnの標準基底 { e1, e2, …, en }》に関する座標ベクトル」
　すなわち、
　実n次元数ベクトルv=( v1, v2, …, vn )それ自身
　に変換される（→活用例：基底変換行列）。


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　 (reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、15講基底と次元(pp.94-99):有限次元ベクトル空間のみ扱っている。
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.3基底と次元(pp.41-50)。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.3-b(p.173).
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。線形従属・独立については、数ベクトルに限定？
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。 線形従属・独立については、数ベクトルに限定？
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§2線形空間(p.96):実線形空間･複素線形空間のみ;附録Ⅲ§2体(p.249)。

代数学のテキスト
本部均『新しい数学へのアプローチ5：新しい代数』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：環と体の理論』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22):数ページしか触れていないが、逆に、一般の線形空間の理論の骨組みだけを浮かびあがってくるので、何が重要事項なのかを見極める上で便利。

解析学のテキスト
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1980年、I章§4(pp.33-4)

数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。
布川昊,谷野哲三,中山弘隆『線形代数と凸解析』コロナ社、1991年、2.4基底と次元(pp.36-41)。
西村和雄『経済数学早わかり』日本評論社、1982年、２章線形代数§1ベクトル(pp.26-)。


数理統計学のテキスト
William H. Greene（斯波・中妻・浅井訳） 『経済学体系シリーズ：グリーン計量経済分析I：改訂4版』エコノミスト社、2000年、第２章行列代数2.2行列の用語(pp.10-12);2.3行列の算法(pp.12-21)。
岩田暁一『経済分析のための統計的方法 (第2版)』東洋経済新報社、1983年、12.1行列の演算(pp.269-277);12.4.2逆行列(pp.294-5)。　
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