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以下の命題は
同値。
命題P：『一次変換f Rn→Rn 』が対角化可能である。
命題Q：以下の2条件を満たすn個の実n次元数ベクトルp1, p2,…, pn が存在する。
[条件Q1] n個の実n次元数ベクトルp1, p2,…, pn は、『一次変換f Rn→Rn 』の固有ベクトルである。
[条件Q2] n個の実n次元数ベクトルp1, p2,…, pn は一次独立である。 」
命題R：以下の2条件を満たすn個の実n次元数ベクトルp1, p2,…, pn が存在する。
[条件R1] n個の実n次元数ベクトルp1, p2,…, pn は、『一次変換f Rn→Rn 』の固有ベクトルである。
[条件R2] n個の実n次元数ベクトルp1, p2,…, pn は『Rnの基底』をなす。
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[ 文献]
・松坂『解析入門4』18.1-C定理1 (p.88)：証明つき・数ベクトル空間限定;
・斎藤『線形代数入門』5章§1[1.2](p.132):体上のベクトル空間上の一次変換:証明つき;
・志賀『線型代数30講』27(pp170-1);
・神谷浦井『経済学のための数学入門』定理5.3.2(pp.197-8);
・岡田『経済学・経営学のための数学』定理2.29(p.104);定理2.30(p.105)：証明つき。
※対角化可能な行列の固有値・固有ベクトル/行列の対角化可能条件―固有ベクトルの観点/行列の対角化可能条件－固有値の観点
※特殊な一次変換についての対角化可能条件：対称変換の対角化
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命題P「『一次変換f Rn→Rn 』が対角化可能である」
⇔ 命題P'：「『一次変換f Rn→Rn 』の標準基底に関する表現行列Aに対して、
diag(λ1,λ2,…,λn) = P－１APを満たすn次対角行列 diag(λ1,λ2,…,λn)と n次正則行列Pが存在すること」
(step2)
命題P'が成り立つならば、
命題P'で存在が保証された n次正則行列Pの第1列p1, 第2列p2,…, 第n列pnは、
[条件Q1] 『一次変換f Rn→Rn 』の固有ベクトルであること
を満たすn個の実n次元数ベクトルとなる。
なぜなら、
・対角化可能な行列の固有値・固有ベクトルより、
命題P'で存在が保証された n次正則行列Pの第1列p1, 第2列p2,…, 第n列pnは、
『一次変換f Rn→Rn 』の標準基底に関する表現行列Aの固有ベクトル。
・《一次変換の固有ベクトル》と《一次変換の表現行列の固有ベクトル》との関係についての定理より、
「一次変換f Rn→Rn 」の標準基底に関する表現行列の固有ベクトルは、「一次変換f Rn→Rn 」の固有ベクトルでもある。
したがって、
命題P'が成り立つならば、
命題P'で存在が保証された n次正則行列Pの第1列p1, 第2列p2,…, 第n列pnは、
『一次変換f Rn→Rn 』の固有ベクトルとなる。
(step3)
命題P'が成り立つならば、
命題P'で存在が保証された n次正則行列Pの第1列p1, 第2列p2,…, 第n列pnは、
[条件Q2] 一次独立であること
を満たすn個の実n次元数ベクトルとなる。
なぜなら、
一般に、正則行列の各列はベクトルとして一次独立だから、
命題P'で存在が保証された n次正則行列Pの第1列p1, 第2列p2,…, 第n列pnも、一次独立。
(結論)
step2,step3は、
命題Qが要求する2条件を満たすn個の実n次元数ベクトルp1, p2,…, pn の実例の実例として、
「命題P'で存在が保証された n次正則行列Pの第1列p1, 第2列p2,…, 第n列pn」
が存在すること
を証示している。
したがって、
命題P'⇒命題Q
(結論)
以上により、
命題P⇔命題P'⇒命題Q
が示された。
要するに、
命題P「『一次変換f Rn→Rn 』が対角化可能である」⇒命題Q
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証明 |
[ 命題Q ⇒命題P ]
(step1)
[条件Q1] 『一次変換f Rn→Rn 』の固有ベクトルであること
を満たすn個の実n次元数ベクトルp1, p2,…, pnは、それぞれ、
「実固有値λ1に対応する固有ベクトル」,「実固有値λ2に対応する固有ベクトル」,…,「実固有値λnに対応する固有ベクトル」
であるとする。
つまり、
fとp1に対して、実数λ1が存在して、f ( p1)=λ1 p1
fとp2に対して、実数λ2が存在して、f ( p2)=λ2 p2
： ： ： ：
fとpnに対して、実数λ1が存在して、f ( pn)=λn pn
(step2)
・実n次元数ベクトル空間Rnの基底をなすための必要十分条件より、
[条件Q2] 一次独立であること
を満たすn個の実n次元数ベクトルp1, p2,…, pn は、
『Rnの基底』をなす。
(step3)
[条件Q2] 一次独立であること
を満たすn個の実n次元数ベクトルp1, p2,…, pn を、第1列, 第2列,…, 第n列とする実n次正方行列Pをつくる。
step2より、p1, p2,…, pn は『Rnの基底』だから、
これらを第1列, 第2列,…, 第n列とする実n次正方行列Pは、
「標準基底{ e1, e2, …, en }から基底{ p1, p2, …, pn }への基底変換行列」となる。
一般に、「標準基底{ e1, e2, …, en }から基底{ p1, p2, …, pn }への基底変換行列」は n次正則行列であるから（∵）、
step3でつくった「標準基底{ e1, e2, …, en }から基底{ p1, p2, …, pn }への基底変換行列」Pも n次正則行列。
(step4)
[条件Q1][条件Q2]を満たす一次独立な固有ベクトルp1, p2, …, pnを『Rnの基底』として採用して(→step2より可能)、
この《Rnの基底 { p1, p2, …, pn } 》に関する一次変換fの行列表示を行うと、
n次対角行列となる。
・「《Rnの基底 { p1, p2, …, pn } 》に関する一次変換fの行列表示」をBと定義する。
・一般に、
「『一次変換f: Rn→Rn 』の任意基底に関する表現行列の（実）固有値」は「『一次変換f: Rn→Rn 』の(実)固有値」に等しく（∵）、
「『f: Rn→Rn 』の任意基底{p1,p2,…,pn}に関する表現行列の『一つの（実）固有値』λに対する固有ベクトル」は
「『f: Rn→Rn 』の(実)固有値λに対応する固有ベクトルx＝t ( x1 , x2 ,…, xn )の《Rnの基底 { p1, p2, …, pn } 》に関する座標ベクトルx'=t ( x'1 , x'2 ,…, x'n ) 」に等しい（∵）。
・「p1の《Rnの基底 { p1, p2, …, pn } 》に関する座標ベクトル」は基本ベクトルe1=t ( 1 ,０,…,０)。
「p2の《Rnの基底 { p1, p2, …, pn } 》に関する座標ベクトル」は基本ベクトルe2=t (０, 1,０,…,０)。
：
「p nの《Rnの基底 { p1, p2, …, pn } 》に関する座標ベクトル」は基本ベクトルen =t (０,…,０,１)。
・上記二点より、
・「『一次変換f: Rn→Rn 』の実固有値」λ1,λ2,…,λn(→step1で定義)は、
「《Rnの基底{ p1, p2, …, pn }》に関する一次変換fの行列表示」Bの固有値
・「『一次変換f Rn→Rn 』の固有ベクトルp1(→条件Q1)の《Rnの基底 { p1, p2, …, pn } 》に関する座標ベクトル」e1は、
『Bの固有値λ1に対応する固有ベクトル』
・「『一次変換f Rn→Rn 』の固有ベクトルp2(→条件Q1)の《Rnの基底 { p1, p2, …, pn } 》に関する座標ベクトル」e2は、
『Bの固有値λ2に対応する固有ベクトル』
： ：
・「『一次変換f Rn→Rn 』の固有ベクトルpn(→条件Q1)の《Rnの基底 { p1, p2, …, pn } 》に関する座標ベクトル」e nは、
『Bの固有値λnに対応する固有ベクトル』
となる。
対角行列であるための必要十分条件により、
このとき、「《[条件Q1][条件Q2]を満たすp1, p2, …, pnから成る基底》に関する一次変換fの行列表示」Bはn次対角行列となる。
すなわち、B= diag(λ1,λ2,…,λn)
(step5)
「『Rnの標準基底』に関する一次変換fの行列表示」をAと定義すると、
一次変換の行列表示に関する基底変換公式より、
step4で作成した「《条件Q1][条件Q2]を満たすp1, p2, …, pnから成る基底》に関する一次変換fの行列表示」Bは、
・step3で作成した「標準基底{ e1, e2, …, en }から基底{ p1, p2, …, pn }への基底変換行列」P
・「Rnの標準基底」に関する一次変換fの行列表示A
に対して、次の関係を満たす。
B=P－１AP
これを、step4の結論とあわせると、
P－１AP= diag(λ1,λ2,…,λn)
これは、
「『一次変換f Rn→Rn 』が対角化可能」の定義にほかならない。 |
