実数体上の正方行列に関する様々な定義 [数学についてのwebノート]

・定義：対角成分･非対角成分/対角和･トレース　
・定義：対角行列/スカラー行列/クロネッカーのδ/単位行列/直交行列/ベキ等行列　

定義：正方行列の対角成分・非対角成分
設定	A：n次正方行列　　　すなわち、	[文献] ・斎藤『線形代数入門』2章§2(p.43); ・藤原『線形代数』2.1(p.21) ; ・松坂『解析入門4』15.1-C (p. 6) ; ・戸田山田『計量経済学の基礎：統計的手法の理論とプログラミング』2.1.1(p.48)
定義	n次正方行列 Aの対角成分とは、 Aの対角線上にある成分a₁₁, a₂₂, …,a_nnのこと。 n次正方行列 Aの非対角成分とは、 Aの対角線上にない成分a_ij (i≠j)のこと。


定義：対角和・跡・トレースtrace・シュプールSpur
設定	R：実数をすべて集めた集合（実数体）　 A：R上のn次正方行列　　　すなわち、	[文献] ・藤原『線形代数』2.1(p.29)
定義	n次正方行列 Aの対角和・跡・トレースtrace・シュプールSpurとは、 Aの対角成分の和a₁₁＋a₂₂＋…＋a_nnのこと。　（なお、上記の＋は、実数体Rにおいて定義されている加法）
記号	n次正方行列 Aの対角和・トレースは、記号「Tr A」などで表される。

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定義：対角行列diagonal matrix
		[文献] ・『岩波数学辞典』83行列A(p.220); ・永田『理系のための線形代数の基礎』5.1(p.133); ・斎藤『線形代数入門』2章§2(p.43); ・藤原『線形代数』2.5(p.52); ・グリーン『計量経済分析』2.2行列の用語(p.12) ; ・戸田山田『計量経済学の基礎：統計的手法の理論とプログラミング』2.1.1(p.49)　・松坂『解析入門4』18.1-C (p.88)：数ベクトル空間限定;
	対角行列とは、すべての非対角成分が０である正方行列のことをいう。　　すなわち、　　　　　　　のこと。対角行列　　　　　　　を、　　diag(a₁₁, a₂₂,…, a_{n n})　と表すこともある。
※	性質：対角行列の固有値・固有ベクトル　活用例：対角化可能

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定義：スカラー行列scalar matrix
		[文献] ・『岩波数学辞典』83行列(p.220); ・斎藤『線形代数入門』2章§2(p.43); ・グリーン『計量経済分析』2.2(p.12)
定義	スカラー行列とは、すべての対角成分が等しい対角行列のこと、すなわち、すべての対角成分が等しく、なおかつ、すべての非対角成分が０である正方行列のことをいう。　　すなわち、　　　　　　のこと。

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定義：クロネッカーのデルタ　Kronecker's delata
		[文献] ・『岩波数学辞典』83行列A(p.220); ・永田『理系のための線形代数の基礎』1.4(p.25); ・斎藤『線形代数入門』2章§1(p.35); ・藤原『線形代数』1.2(p.11)
定義	次のように定義したδ_ijを、クロネッカーのデルタと呼ぶ。

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定義：単位行列 unit matrix, identity matrix
		[文献] ・『岩波数学辞典』83行列(p.220); ・永田『理系のための線形代数の基礎』1.4(p.26); ・斎藤『線形代数入門』2章§1(p.35); ・藤原『線形代数』2.1(p.27); ・グリーン『計量経済分析』2.2(p.12) ; ・戸田山田『計量経済学の基礎：統計的手法の理論とプログラミング』2.1.1(p.49) ・高橋『経済学とファイナンスのための数学』(p.16); ・松坂『解析入門4』15.1-C (p. 6)
	（一般的な定義）　　n次単位行列とは、　すべての対角成分が「実数体Rにおける乗法の単位元『1』」であり、　なおかつ、　すべての非対角成分が「実数体Rにおける加法の単位元『０』」である、　n次正方行列のことをいう。　（クロネッカーのδをもちいた定義）　　n次単位行列とは、すべての( i, j )成分がδ_ijであるn次正方行列のこと。（具体的には）　　　（記号）　　n次単位行列は、I_n, E_n 、あるいは略して、I , E　と表す。　したがって、　　上記定義を記号で表すと、I=(δ_i j)　となる。　（性質）　　任意の (m,n)型実行列Aにたいして、　　I_m A= A 　　A I_n= A 　が成り立つ。（∵行列の積の定義にもどって考えればわかる）

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定義：直交行列 orthogonal matrix
設定	A： n次正方行列	[文献] ・永田『理系のための線形代数の基礎』1.8(p.43); ・佐武『線形代数学』Ⅲ§7(p.123); ・佐和『回帰分析』2.2.5(p.29); ・斎藤『線形代数入門』2章§6(p.64) ・戸田山田『計量経済学の基礎：統計的手法の理論とプログラミング』2.8.2(p.112) ・松坂『解析入門4』18.2-A (p.100); ・杉浦『解析入門』Ⅱ§8(p.154) ※実行列は　　　RⁿからR^mへの線型写像　　　　実ベクトル空間から実ベクトル空間への線形写像　を表す（→定理/定理）。　だから、実行列のタイプが論じられる際には、　　　　　それに対応する線形写像のタイプに思いをめぐらせるのが、肝要。　この「直交行列」というタイプの実行列は、　　　　　Rⁿ上の直交変換　　　　　　というタイプの一次変換を表す。
定義	「 n次正方行列Aが直交行列である」とは、その転置行列とそれ自身との行列積 ^tA A , A ^tAが、単位行列と等しい　　　　　　 ^tA A = A ^tA = I_n　ことをいう。
性質	1. 直交行列は、正則行列であって、その逆行列は、その転置行列に等しい。　※なぜ？→正則行列/逆行列の定義と、直交行列の定義から。 2. 「直交行列の行列式」は、±1。 3. 実n次元数ベクトルとしての「直交行列の各列」は、　　n次元ユークリッド空間Rⁿの正規直交系をなす。　　すなわち、　　　直交行列Aの各列a₁, a₂,…, a_nに対して、　　　　　　任意のi,j=1,2,…,nについて、a_i・a_j =δ_ij　　　　　　（δはクロネッカーのデルタを表す。・は自然な内積を表す。）　※なぜ？　　　(step1)　　　　 n次正方行列Aの第1列を、実n次元縦ベクトルa₁　　　 n次正方行列Aの第2列を、実n次元縦ベクトルa₂　　　　　　　　　　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　 n次正方行列Aの第n列を、実n次元縦ベクトルa_n　　　とおく。
	(step2)　　　・step1の設定にしたがうと、　　　^tAの第1行は、^ta₁　　　　　　　^tAの第2行は、^ta₂　　　　　　　　　　：　　　：　　　　^tAの第n行は、^ta_n　　　　　　となる。　・行列積の定義から、　　　　行列積 ^tA Aの i行j列成分は、　　　　　　　「^tAの第i行」^ta_iと「Aの第j列」a_jとの行列積　　　　　　　　　　　　　　　^ta_i a_j　　　　　　　　　となる。　　・「n次元ユークリッド空間Rⁿの自然な内積」の定義より、　　　　　　「^tAの第i行」^ta_iと「Aの第j列」a_jとの行列積　　　　　　　　　　　　　　　^ta_i a_j　　　　　　　　　　　と、　　　　　　a_i ,a_jの自然な内積a_I・a_j　　　　　　　　とは等しくなる。　　　　　　　したがって、　　　　　　　　行列積 ^tA Aの i行j列成分は、　　　　a_i・a_j　　　となる。　　　(step3)　　　・「 n次正方行列Aが直交行列である」とは、　　　^tA A = I_n　　　　　　　と定義された。　　　　・単位行列の定義により、　　　　I_nの i行j列成分は、δ_ij　である。　　　　・したがって、　　「 n次正方行列Aが直交行列である」とは、　　「^tA Aの i行j列成分は、δ_ijである」ということに他ならない。　(step4)　　　　step2とstep3の結果より、　　　　「 n次正方行列Aが直交行列である」とは、　　「^tA Aの i行j列成分a_i・a_j　が、δ_ijである」ということに他ならない。　　　　 [佐武p.133; 斉藤2章§6[6.4]' (p.65)証明は[6.4]を参考に]	[amazon:tate:jp:big]
	4. 次の二つの命題は同値。・「 n次正方行列Aが直交行列である」・「 n次正方行列Aの各列a₁, a₂,…, a_nは、　　　n次元ユークリッド空間Rⁿの正規直交基底をなす」 [松坂『解析入門4』18.2-A (p.100);杉浦『解析入門』Ⅱ§8(p.154)] ※なぜ？　　・「 n次正方行列Aが直交行列である」　⇒「 n次正方行列Aが正則行列である」　　　⇒「 n次正方行列Aの各列a₁, a₂,…, a_nは、Rⁿの基底をなす」（∵）・「 n次正方行列Aの各列a₁, a₂,…, a_nは、　　　n次元ユークリッド空間Rⁿの正規直交基底をなす」　　⇒	※関連事項：基底変換行列

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定義：ベキ等行列・冪等行列 idempotent matrix
設定	A：n次正方行列	[文献] ・佐武『線形代数学』Ⅲ-研究課題1.冪等行列射影子(p.125); ・佐和『回帰分析』2.3.2(p.32); ・グリーン『計量経済分析』定義2.1(p.21) ・岩田『経済分析のための統計的方法』定理12.25;系12.1(p.309)
定義	n次正方行列Aがn次ベキ等行列であるとは、それ自身との行列積AAが、もとの行列Aと等しい　　　　　　A²=A　ことをいう。
性質	・n次正方行列Aが、ベキ等行列であり、かつ、対称行列であるならば、その転置行列とそれ自身との行列積 ^tA Aは、Aに等しい。　　　　　　 ^tA A =A
	・べき等行列の固有値は、1か0のいずれか。・べき等行列の階数は、そのトレースに等しい。	[文献] ・岩田『経済分析のための統計的方法』定理12.25;系12.1(p.309)
例	射影行列

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(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』岩波書店、1985年、項目83行列(pp.219-)
線形代数のテキスト
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.4行列と一次写像(pp.23-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、I.ベクトルと行列の演算§2-3行列の演算(pp.4-16)Ⅲ-研究課題1.冪等行列射影子(p.125)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§2.2一般の行列(pp.54-60)、§2.3行列の演算(pp.60-65)、§2.4行列の操作(pp.66-70).
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、2.1行列の定義と演算(pp.21-29)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第2章行列§1行列の定義と演算(pp.31-40);§6内積とユニタリ行列直交行列(pp.64-5)。

ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、一次方程式(pp.1-27)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、17講線形写像と行列(pp.107-112)。

数理経済学のテキスト
西村和雄『経済数学早わかり』日本評論社、1982年、２章線形代数§2行列と行列式(pp.46-72)。
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、5章行列(pp.161-199):一次写像の行列表現を中心にしている。
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、1.2ベクトルと行列(pp.6-25).

計量経済学のテキスト
William H. Greene（斯波・中妻・浅井訳）『経済学体系シリーズ：グリーン計量経済分析I：改訂4版』エコノミスト社、2000年、第２章行列代数2.2行列の用語(pp.10-12);2.3行列の算法(pp.12-21)。
岩田暁一『経済分析のための統計的方法(第2版)』東洋経済新報社、1983年、12.1行列の演算(pp.269-277);12.4.2逆行列(pp.294-5)。

佐和隆光『回帰分析』朝倉書店、1979年、2.ベクトルと行列。

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