体上の行列の積 : トピック一覧

 ・行ベクトルと列ベクトルの積の定義 
 ・行列の積の定義 
 ・行列の積の性質

【体上の行列関連ページ】
 ・体上の行列の定義/正方行 列に関する様々な定義 
 ・行列の和・スカラー倍の定義   
 ・逆行列・正則行列・特異行列の定義 
 ・転置行列の性質/行列の代数系  
 ・行列の階数

【体として実数体を指定した具体例】
 ・実行列の積の定義  
 

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定義:行列の積−もっとも単純なケース−行ベクトルと列ベクトル


【舞台設定】
  
 K:(例:有理数をすべてあつめた集合Q実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C) 

【まえがき】

 K上のn次元横ベクトルと、K上のn次元縦ベクトルも、K上の行列の一例であった。そこで、
 行列の積の定義の、もっとも単純な例として、n次元横ベクトルn次元縦ベクトルの積の定義を示し、行列の積の定義の導入とする。

【本題】

 ・体K上の横ベクトルAと、体K上の縦ベクトルBとの間に、ABが定義されるのは、両者が、n次元横ベクトル n次元縦ベクトルである場合だけ。 
  両者の次数が一致しない場合は、積を定義不能とする。
 
 












b1






 ・n次元横ベクトル A=(a1,a2,…,an) と n次元縦ベクトル B =   b2

 とのABは、 


 :




bn









  次のように定義される。 
 












b1






    AB = ( a1 a2 … an   b2

 


 :




bn









     
= a1b1a2b2a3b3+…+anbn = 
n  av bv 

v=1

【文献】
 永田『理系のための線形代数の基礎』1.4(p.24);藤原『線形代数』2.1(p.24);『高等学校代数幾何』(p.86)

【具体化】
 実行列の積の定義 



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定義:行列の積     

 [『岩波数学辞典』83行列B(pp.219-220);永田『理系のための線形代数の基礎』1.4(p.24);
  斎藤『線形代数入門』2章§1(p.33);藤原『線形代数』2.1(p.24);『高等学校代数幾何』(p.86)]

【舞台設定】
  
 K:(例:有理数をすべてあつめた集合Q実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C) 
 A, B :K上の行列 

【本題】

K上の行列 「AB」 が定義されるのは、《Aのの個数》と《Bのの個数》とが一致する場合だけ。
 《Aのの個数》と《Bのの個数》とが一致しない場合は、行列 「AB」は、考えない。

(m,n)型行列Aと(n,l)型行列Bとの 「AB」は、次の(m,l)型行列として定義される。

AB=












a11
a12
a1n




a21
a22 a2n

 :


am1
am2 amn



















b11
b12
b1l




b21
b22 b2l

 :


bn1
bn2 bnl







 
   
 












a11b11a12b21+…+a1nbn1 a11b12a12b22+…+a1nbn2
a11b1la12b2l+…+a1nbnl




a21b11a22b21+…+ a2nbn1 a21b12a22b22+…+a2nbn2 a21b1la22b2l+…+a2nbnl







am1b11am2b21+…+amnbn1 am1b12am2b22+…+amnbn2 am1b1lam2b2l+…+amnbnl




















n  
Σ a1vbv1
v=1
n  
Σ a1vbv2
v=1

n  
Σ a1vbvl
v=1





n  
Σ a2vbv1
v=1
n  
Σ a2vbv2
v=1
n  
Σ a2vbvl
v=1







n  
Σ amvbv1
v=1
n  
Σ amvbv2
v=1
n  
Σ amvbvl
v=1








 つまり、












a11
a12
a1n



 (m,n)型行列 A
a21
a22 a2n

 :


am1
am2 amn







 と












b11
b12
b1l



 (n,l)型行列 B
b21
b22 b2l

 :


bn1
bn2 bnl







 との 「AB」 とは、

 あらゆるij列成分(AB)ij (i=1,2,…,m 、 j=1,2,…,l ) を、
   
n
Σ
v=1
 aiv bvj = ai1 b1j + ai2 b2j + ai3 b3j + … + ain bnj   (ここでの和・積はKに定められている和積) 

 によって定めた(m,l)型行列である。


要するに、

 積ABのij列成分(AB)ij (i=1,2,…,m j=1,2,…,l )は、

 AのiBのjを取り出して、

 n次元横ベクトルになっているAのi ( ai1 , ai2 ,…, ain ) と、
 












b1j






 n次元縦ベクトルになっているBのj    b2j

  


 :




bnj









 とのを計算したもの。


・上記の定義は、多くの教科書で、次のように略記されている。
 
 (m,n)型行列A=(aij), (n,l)型行列B=(bjk)にたいして、  

 AB=(cik) ただし、 cik
n  aij bjk   

j=1




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(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典(第三版)』 岩波書店、1985年、項目83行列(pp.219-)
線形代数のテキスト
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.4行列と一次写像(pp.23-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、I.ベクトルと行列の演算§2-3行列の演算(pp.4-16)。
砂田利一『現代数学への入門:行列と行列式』2003年、§2.2一般の行列(pp.54-60)、§2.3行列の演算(pp.60-65)、§2.4行列の操作(pp.66-70).
藤原毅夫『理工系の基礎数学2:線形代数』岩波書店、1996年、2.1行列の定義と演算(pp.21-29)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第2章行列§1行列の定義と演算(pp.31-40)。

ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、一次方程式(pp.1-27)。
志賀浩二『数学30講シリーズ:線形代数30講』朝倉書店、1988年、17講線形写像と行列(pp.107-112)。
数理経済学のテキスト
西村和雄『経済数学早わかり』日本評論社、1982年、2章線形代数§2行列と行列式(pp.46-72)。
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、5章行列(pp.161-199):一次写像の行列表現を中心にしている。
William H. Greene(斯波・中妻・浅井訳) 『経済学体系シリーズ:グリーン計量経済分析I:改訂4版』エコノミスト社、2000年、第2章行列代数2.2行列の用語(pp.10-12);2.3行列の算法(pp.12-21)。
岩田暁一『経済分析のための統計的方法(第2版)』東洋経済新報社、1983年、12.1行列の演算(pp.269-277);12.4.2逆行列(pp.294-5)。