一次写像(線形写像)と線形独立(一次独立）：トピック一覧
・定理：一次写像と線形独立、単射である一次写像と線形独立、同型写像と一次独立、同型写像と基底
※一次写像関連ページ：定義/ベクトル演算の一次写像/一次写像の代数系/一次写像―全射･単射/階数/同型写像/同型写像と線形独立
定理：一次写像(線形写像)と線形独立(一次独立)
[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.3.4(p.20);砂田『行列と行列式』§5.3c問9(p.176)；]
(舞台設定)
R：実数体(実数をすべて集めた集合）
V：実ベクトル空間 （実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）
V' ：実ベクトル空間 （実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）
+：実ベクトル空間Vにおいて定義されているベクトルの加法
+：実ベクトル空間V'において定義されているベクトルの加法
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実ベクトル空間Vにおいて定義されているスカラー乗法
および、実ベクトル空間V'において定義されているスカラー乗法
f：V→V'：実ベクトル空間Vから実ベクトル空間V'への一次写像
(本題)
任意のv1, v2, v3,…, vl∈Vについて、次のことが成り立つ。
f (v1), f (v2), f (v3),…, f (vl)が一次独立ならば、v1, v2, v3,…, vlは一次独立。
定理：単射である一次写像(線形写像)と線形独立(一次独立)
[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.3.4(p.20);志賀『線形代数30講』16講(p.102);]
(舞台設定)
R：実数体(実数をすべて集めた集合）
V：実ベクトル空間 （実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）
V' ：実ベクトル空間 （実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）
+：実ベクトル空間Vにおいて定義されているベクトルの加法
+：実ベクトル空間V'において定義されているベクトルの加法
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実ベクトル空間Vにおいて定義されているスカラー乗法
および、実ベクトル空間V'において定義されているスカラー乗法
f：V→V'：実ベクトル空間Vから実ベクトル空間V'への一次写像
(本題)
一次写像f：V→V'が単射ならば、
任意のv1, v2, v3,…, vl∈Vについて、次の２つの命題は同値。
命題P：f (v1), f (v2), f (v3),…, f (vl)が一次独立
命題Q： v1, v2, v3,…, vlは一次独立。
定理：同型写像と線形独立(一次独立)
[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.3.4(p.20);志賀『線形代数30講』16講(p.102);砂田『行列と行列式』§5.3c補題5.49(p.176)；]
(舞台設定)
R：実数体(実数をすべて集めた集合）
V：実ベクトル空間 （実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）
V' ：実ベクトル空間 （実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）
f：V→V'：実ベクトル空間Vから実ベクトル空間V'への同型写像
(本題)
任意のv1, v2, v3,…, vl∈Vについて、次の２つの命題は同値。
命題P：f (v1), f (v2), f (v3),…, f (vl)が一次独立
命題Q： v1, v2, v3,…, vlが一次独立。
定理：同型写像と基底
[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.3.5(p.21);志賀『線形代数30講』16講(p.102);砂田『行列と行列式』§5.3c定理5.52(p.178)；]
(舞台設定)
R：実数体(実数をすべて集めた集合）
V：実ベクトル空間 （実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）
V' ：実ベクトル空間 （実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）
f：V→V'：実ベクトル空間Vから実ベクトル空間V'への同型写像
(本題)
任意のv1, v2, v3,…, vl∈Vについて、次の２つの命題は同値。
命題P：f (v1), f (v2), f (v3),…, f (vl)がV'の基底である。
命題Q： v1, v2, v3,…, vlがVの基底である。
(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、16講線形写像(pp.100-105)。
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.3基底と次元(pp.41-50)。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.1-c(p.157).
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。線形従属・独立については、数ベクトルに限定？
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。 線形従属・独立については、数ベクトルに限定？
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§2線形空間(p.96):実線形空間･複素線形空間のみ;附録Ⅲ§2体(p.249)。
代数学のテキスト
本部均『新しい数学へのアプローチ5：新しい代数』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：環と体の理論』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22)。:数ページしか触れていないが、逆に、一般の線形空間の理論の骨組みだけを浮かびあがってくるので、何が重要事項なのかを見極める上で便利。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。
→[トピック一覧：一次写像と線形独立]
→線形代数目次・総目次