実n次元数ベクトル空間の部分ベクトル空間の基底：トピック一覧　　〜　　数学についてのwebノート

　　・部分ベクトル空間の基底の定義、部分ベクトル空間における基底と線型独立なベクトルの最大個数の関係、
　　・部分ベクトル空間の次元

※関連ページ
・Rⁿの部分ベクトル空間：定義/具体例/部分空間における線型独立と線型従属/部分空間の集合算/〜に張られた部分ベクトル空間/和･直和分解･補空間/部分空間の次元　　
・実n次元数ベクトル空間：実n次元数ベクトル空間の定義、線形結合、一次独立・一次従属、次元　　　
※上位概念：一般のベクトル空間における基底、体上の数ベクトル空間における基底
※下位概念：実n次元数ベクトル空間の基底
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定義：実n次元数ベクトル空間の部分ベクトル空間における基底　basis　

設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rⁿ：実n次元数ベクトル空間　
+：実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているベクトルの加法　
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているスカラー乗法　
a₁, a₂, …, a_l ：スカラー。a₁, a₂, …, a_l ∈R　
W： Rⁿの部分ベクトル空間。
　　すなわち、Wは以下を満たす。　
　　　1. W⊂Rⁿ　かつ　W≠φ　　　　　
　　　2. 実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているベクトルの加法「+」に関して、　　　　　
　　　　　　Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルu,v に対して、u+v もWに属す。　
　　　3. 実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているスカラー乗法に関して、
　　　　　Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルvに対して、その任意のスカラー倍au、もWに属す。　
u₁, u₂, …, u_l：Rⁿの部分ベクトル空間Wに属すl個の実n次元数ベクトル。
　　　　　　　具体的に書くと、
　　　　　　　u₁=( u₁₁, u₁₂, …, u₁n )∈W⊂Ｒⁿ　（u₁₁, u₁₂, …, u₁n∈R）　
　　　　　　　u₂=( u₂₁, u₂₂, …, u₂n )∈W⊂Ｒⁿ　（u₂₁, u₂₂, …, u₂n∈R）　
　　　　　　　　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　　
　　　　　　　u_l=( u_l1, u_l2, …, u_ln )∈W⊂Ｒⁿ　（u_l1, u_l2, …, u_ln∈R）　　
　　　　　　　なお、個数lが有限個であること、個数lが、Ｒⁿのnと等しくなくてもよいことに注意。　　
v：Rⁿの部分ベクトル空間Wに属す実n次元数ベクトル。
　　　　　　　具体的に書くと、v₁, v₂, …, v_n∈Rとして、v=( v₁, v₂, …, v_n )　　　
　　　　　　　したがって、v∈Ｒⁿ 。

定義

「『Ｒⁿの部分ベクトル空間』Wに属す実n次元数ベクトルの有限集合
　　　　{ u₁, u₂, …, u_l }が、
　『Ｒⁿの部分ベクトル空間』Wの基底basisである」
　とは、
　{ u₁, u₂, …, u_l }が、次の2条件を満たすことを言う。
　　条件P1：u₁, u₂, …, u_lが線形独立となること。
　　条件P2：u₁, u₂, …, u_lの一次結合として、
　　　　　　　『Ｒⁿの部分ベクトル空間』Wに属す任意の実n次元数ベクトルを
　　　　　　　表せること。
　　　　　　　( ∀v∈W⊂Ｒⁿ) ( ∃a₁, a₂, …, a_l ∈R) ( v =a₁u₁+a₂u₂+…+a_lu_l )　
なお、この2条件は、次の条件と同値。
　　条件Q：u₁, u₂, …, u_lの一次結合として
　　　　　　　『Ｒⁿの部分ベクトル空間』Wに属す任意の実n次元数ベクトルを
　　　　　　　　一意的に表せる。

[文献]
柳井竹内
『射影行列･一般逆行列･特異値分解』定理1.2(p.7);
佐武
『線形代数学』�V§2(pp.94-95);
佐和
『回帰分析』2.1.2(p.18);

※

『Ｒⁿの部分ベクトル空間』Wの基底（の定義を満たすWの部分集合）は、複数セット存在しうる。

※

上位概念： 一般のベクトル空間の有限集集合が基底であるということ / 体上の数ベクトル空間の有限集合が基底であるということ。
下位概念：Rⁿの基底

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性質：実n次元数ベクトル空間の部分ベクトル空間における基底と線型独立なベクトルの最大個数　　

設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rⁿ：実n次元数ベクトル空間　
+：実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているベクトルの加法　
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているスカラー乗法　
a₁, a₂, …, a_l ：スカラー。a₁, a₂, …, a_l ∈R　
W： Rⁿの部分ベクトル空間。
　　すなわち、Wは以下を満たす。　
　　　1. W⊂Rⁿ　かつ　W≠φ　　　　　
　　　2. 実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているベクトルの加法「+」に関して、　　　　　
　　　　　　Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルu,v に対して、u+v もWに属す。　
　　　3. 実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているスカラー乗法に関して、
　　　　　Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルvに対して、その任意のスカラー倍au、もWに属す。　
u₁, u₂, …, u_l：Rⁿの部分ベクトル空間Wに属すl個の実n次元数ベクトル。
　　　　　　　具体的に書くと、
　　　　　　　u₁=( u₁₁, u₁₂, …, u₁n )∈W⊂Ｒⁿ　（u₁₁, u₁₂, …, u₁n∈R）　
　　　　　　　u₂=( u₂₁, u₂₂, …, u₂n )∈W⊂Ｒⁿ　（u₂₁, u₂₂, …, u₂n∈R）　
　　　　　　　　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　　
　　　　　　　u_l=( u_l1, u_l2, …, u_ln )∈W⊂Ｒⁿ　（u_l1, u_l2, …, u_ln∈R）　　
　　　　　　　なお、個数lが有限個であること、個数lが、Ｒⁿのnと等しくなくてもよいことに注意。　　
v：Rⁿの部分ベクトル空間Wに属す実n次元数ベクトル。
　　　　　　　具体的に書くと、v₁, v₂, …, v_n∈Rとして、v=( v₁, v₂, …, v_n )　　　
　　　　　　　したがって、v∈Ｒⁿ 。

性質

1.
　『Ｒⁿの部分ベクトル空間』Wに属す実n次元数ベクトルの有限集合
　　　　{ u₁, u₂, …, u_l }が、
　『Ｒⁿの部分ベクトル空間』Wの基底をなす
　ならば、
　l個が「『Ｒⁿの部分ベクトル空間』Wにおける線形独立なベクトルの最大個数」。
2.
「『Ｒⁿの部分ベクトル空間』Wにおける線形独立なベクトルの最大個数」がl個ならば、
　Wに属す任意の「l個の線形独立な実n次元数ベクトル」は、
　『Ｒⁿの部分ベクトル空間』Wの基底をなす。　
3.
「『Ｒⁿの部分ベクトル空間』Wにおける線形独立なベクトルの最大個数」がl個ならば、
　l個に満たない「Wに属す線形独立な実n次元数ベクトル」は、　　
　『Ｒⁿの部分ベクトル空間』Wの基底になりえない。　

[文献]
佐武
『線形代数学』�V§2(pp.94-95);
柳井竹内
『射影行列･一般逆行列･特異値分解』定理1.2(p.7);
佐和
『回帰分析』2.1.2(p.18);

1の
証明

(step０)
　{ u₁, u₂, …, u_l }が部分ベクトル空間Wの基底をなすならば、
　部分空間の基底の定義(条件P1)から、
　u₁, u₂, …, u_lは一次独立。　　
(step1)
　{ u₁, u₂, …, u_l }が部分ベクトル空間Wの基底をなすならば、
　部分空間の基底の定義(条件P2)から、
　「Wに属す実n次元数ベクトル」はどれも、
　「{ u₁, u₂, …, u_l }の一次結合」として表してよい。
(step2)
　一次結合の個数・一次結合を構成するベクトルの個数と一次独立・一次従属から、
　「{ u₁, u₂, …, u_l }の一次結合」をl個よりも多く集めた集合は、
　一次従属となり、一次独立にはなりえない。
(step3)
・{ u₁, u₂, …, u_l }が部分ベクトル空間Wの基底をなすならば、
　　「Wに属す実n次元数ベクトル」をl個よりも多く集めた集合は、
　　(step1)より、「{ u₁, u₂, …, u_l }の一次結合」をl個よりも多く集めた集合として表せ、
　　したがって、(step2)より、これは、一次従属となり、一次独立にはなりえない。　　
・要するに、{ u₁, u₂, …, u_l }がWの基底ならば、
　　「Wに属す実n次元数ベクトル」をl個よりも多く集めた集合はどれも、一次従属。　　
(step4)
・(step０)から、{ u₁, u₂, …, u_l }という例から、
　{ u₁, u₂, …, u_l }がWの基底ならば、
　「Wに属す実n次元数ベクトル」をl個集めた集合は、一次独立になり得ることがわかる。
・(step3)から、　　
　{ u₁, u₂, …, u_l }がWの基底ならば、
　　「Wに属す実n次元数ベクトル」をl個よりも多く集めた集合は、一次従属となり、
　　一次独立にはなりえない。
・以上2点より、　{ u₁, u₂, …, u_l }がWの基底ならば、
　　Wにおける線形独立なベクトルの最大個数はl個であるといえる。　　
※「部分ベクトル空間Wにおいて一次独立・一次従属」と「実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて一次独立・一次従属」との関係は？→詳細　　　

[文献]
佐武
『線形代数学』�V§2(pp.94-95);

2の
証明

「部分ベクトル空間Wにおける線形独立なベクトルの最大個数」がl個ならば、
　　Wに属す任意の「l個の線形独立な実n次元数ベクトル」{ u₁, u₂, …, u_l }にたいして、
　　　Wに属す任意の実n次元数ベクトルv を付け加えてつくった
　　　( l＋1 ) 個の実n次元数ベクトル { u₁ , u₂ , … , u_l , v } は、線型従属であり、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵部分ベクトル空間における線形独立なベクトルの最大個数の定義
　　　a₁u₁+a₂u₂+…+a_lu_l +a_l+1v＝０　
　　　を満たすl個の実数a₁, a₂, …, a_l , a_l+1の組合せには、
　　　 a₁＝a₂＝…＝a_l＝a_l+1＝０に加えて、a₁＝a₂＝…＝a_l＝a_l+1＝０以外の組合せもある。
　　　ところが、{ u₁, u₂, …, u_l }は線形独立として与えられており、　
　　　　　a₁u₁+a₂u₂+…+a_lu_l＝０　
　　　　　を満たすl個の実数a₁, a₂, …, a_l の組合せは、
　　　　　　a₁＝a₂＝…＝a_l＝０だけであって、a₁＝a₂＝…＝a_l＝０以外の組合せは存在しない。
　　　この与件のもとで、
　　　a₁u₁+a₂u₂+…+a_lu_l +a_l+1v＝０　
　　　を満たすa₁＝a₂＝…＝a_l＝a_l+1＝０以外の組合せを考えると、
　　　a_l+1＝０だと与件を裏切るので、a_l+1≠０でなければならない。
したがって、
「部分ベクトル空間Wにおける線形独立なベクトルの最大個数」がl個ならば、
　　Wに属す任意の「l個の線形独立な実n次元数ベクトル」{ u₁, u₂, …, u_l }に
　　Wに属す任意の実n次元数ベクトルv を付け加えてつくった
　　　( l＋1 ) 個の実n次元数ベクトル { u₁ , u₂ , … , u_l , v } にたいして、
　　　a₁＝a₂＝…＝a_l＝０を満たさず、a_l+1≠０を満たす，l個の実数a₁, a₂, …, a_l , a_l+1の組合せが存在し、　
　　　v＝ (−a₁/a_l+1 ) u₁+ ( a₂/a_l+1 ) u₂+…+ (a_l /a_l+1 ) u_l 　　　
　　　と表すことができる。　　　
u₁, u₂, …, u_lが線形独立であって、u₁, u₂, …, u_lの一次結合としてWに属す任意の実n次元数ベクトルv を表せることが、u₁, u₂, …, u_lがWの基底をなすことの定義であったから、
以上から、
「部分ベクトル空間Wにおける線形独立なベクトルの最大個数」がl個ならば、
　　　Wに属す任意の「l個の線形独立な実n次元数ベクトル」{ u₁, u₂, …, u_l }は、Wの基底をなす
と結論できる。

3の
証明

(step０)
仮定1：「部分ベクトル空間Wにおける線形独立なベクトルの最大個数」がl個
仮定2：m＜l　　
仮定3：{ u₁, u₂, …, u_m }は、Wに属す任意の「m個の線形独立な実n次元数ベクトル」　
(step1)
仮定1・2・3より、「{ u₁, u₂, …, u_m ,u_m＋1 }を線形独立にする」あるu_m＋1 がWのなかに存在する。
(step2)
「{ u₁, u₂, …, u_m ,u_m＋1 }を線形独立にする」とは、
「{ u₁, u₂, …, u_m ,u_m＋1 }のどの一つも、残りのm個の実n次元数ベクトルの一次結合として表せないようにする」　
と言い換え可能。　（∵）　
したがって、step1は、次のようになる。
仮定1・2・3より、
「{ u₁, u₂, …, u_m ,u_m＋1 }のどの一つも、残りのm個の実n次元数ベクトルの一次結合として表せないようにする」
あるu_m＋1 がWのなかに存在する。
(step3)
「{ u₁, u₂, …, u_m ,u_m＋1 }のどの一つも、残りのm個の実n次元数ベクトルの一次結合として表せない」　ならば、
「u_m＋1 を、{ u₁, u₂, …, u_m }の一次結合として表せない」　　
この点と、step２から、
仮定１・２・３のもとでは、
「u_m＋1 を、{ u₁, u₂, …, u_m }の一次結合として表せないようにする」あるu_m＋1 がWのなかに存在する　
ことになる　
(step4)
「『u_m＋1 を、{ u₁, u₂, …, u_m }の一次結合として表せないようにする』あるu_m＋1 がWのなかに存在する」ならば、
{ u₁, u₂, …, u_m }は、Wの基底になるための要件P2を満たさない。
したがって、この点とstep3から、
仮定１・２・３のもとでは、
「u_m＋1 を、{ u₁, u₂, …, u_m }の一次結合として表せないようにする」あるu_m＋1 がWのなかに存在するゆえに、　
{ u₁, u₂, …, u_m }は、Wの基底にならない。　

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性質：実n次元数ベクトル空間の部分ベクトル空間の次元　　

設定

R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
Rⁿ：実n次元数ベクトル空間　
+：実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているベクトルの加法　
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているスカラー乗法　
a₁, a₂, …, a_l ：スカラー。a₁, a₂, …, a_l ∈R　
W： Rⁿの部分ベクトル空間。
　　すなわち、Wは以下を満たす。　
　　　1. W⊂Rⁿ　かつ　W≠φ　　　　　
　　　2. 実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているベクトルの加法「+」に関して、　　　　　
　　　　　　Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルu,v に対して、u+v もWに属す。　
　　　3. 実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているスカラー乗法に関して、
　　　　　Wに属す限りで任意の実n次元数ベクトルvに対して、その任意のスカラー倍au、もWに属す。　

性質

1.
『Ｒⁿの部分ベクトル空間』Wの基底をなす実n次元数ベクトルの個数は、
いつでも、
『Ｒⁿの部分ベクトル空間』Wにおける線形独立なベクトルの最大個数
に等しく（∵）、
したがって、『Ｒⁿの部分ベクトル空間』Wについて一定である。
2.
このことから、
『Ｒⁿの部分ベクトル空間』Wの次元 dim Wは、
Wにおける線形独立なベクトルの最大個数に等しい。　　。
　

[文献]
佐武
『線形代数学』�V§2(pp.94-95);
柳井竹内
『射影行列･一般逆行列･特異値分解』定理1.2(p.7);

※

この事実から、佐武『線形代数学』;柳井竹内『射影行列･一般逆行列･特異値分解』などは、
Wにおける線形独立なベクトルの最大個数を、Wの次元の定義としている。

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