実2次元数ベクトル空間上の一次変換

実2次元数ベクトル空間R²上の一次変換の定義　　―　　トピック一覧
・定義：一次変換･線形変換･一次作用素･線形作用素/像Image/核Kernel/階数rank/退化次数nullity/可逆な一次変換・逆変換/零写像　・定理：零写像は一次写像
※関連ページ：R²上の一次変換の行列表示 ※一般化：Rⁿ上の一次変換/実ベクトル空間上の一次変換//2変数2値ベクトル値関数 ※線形代数目次・総目次

定義：実2次元数ベクトル空間R²上の一次変換・線形変換linear transformation　一次作用素・線形作用素

定義

[一次写像の概念を用いた定義]
　実2次元数ベクトル空間R²上の一次変換･線形変換とは、
　実2次元数ベクトル空間R²からR²自身への一次写像f:R²→R² のことをいう。

[一次写像の意味に遡る定義]
「R²上の一次変換･線形変換」とは、
　2変数2値ベクトル値関数f:R²→R²　（　(x',y')＝f(x,y)というかたちをとる）
　であって、
　　　　　（つまり、「実2次元数ベクトル空間R²から実2次元数ベクトル空間R²への写像」　f:R²→R²であって、）
　次の二要件を満たすもののこと。
　要件１：2変数2値ベクトル値関数f:R²→R²がベクトル和を保存すること。
　　　　　つまり、
　　　　　　・任意の実2次元数ベクトルの(R²で定義された)和の「2変数2値ベクトル値関数fがR²に写した像」
　　　　　と、　　
　　　　　　・それらの実2次元数ベクトルの「2変数2値ベクトル値関数fがR²に写した像」どおしの(R²で定義された)和
　　　　　とが、
　　　　　一致すること。
　　　　　　 (∀u∈R²) (∀v∈R²) ( f(u＋v)=f(u)＋f(v) )
　　　　　すなわち　
　　　　　　　 (∀(x_u,y_u)∈R²) (∀(x_v,y_v)∈R²) ( f(x_u+x_v,y_u+y_v)=f(x_u,y_u)＋f(x_v,y_v) )
　要件２： 2変数2値ベクトル値関数f:R²→R²がスカラー倍を保存すること。
　　　　　つまり、
　　　　　　　・「任意の実2次元数ベクトル」の任意の実数(Rの元)による(R²で定義された)スカラー倍を、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　「2変数2値ベクトル値関数fによってR²に写した像」
　　　　　　と、　　
　　　　　　・その実2次元数ベクトルの「2変数2値ベクトル値関数fがR²に写した像」の
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　任意の実数(Rの元)による(R²で定義された) スカラー倍
　　　　　　とが、
　　　　　一致すること。
　　　　　　(∀v∈R²) (∀a∈R) ( f(av)= a f(v) )　　
　　　　　　　すなわち、
　　　　　　 (∀(x,y)∈R²) (∀a∈R) (f (ax, ay)= a f ( x,y ) )　

[図例]
　実2次元数ベクトル(x,y)に対して、
　「(x,y)を、原点を中心に反時計回りに90度回転移動させた先」を表す実2次元数ベクトル (x',y')を像として返す
　2変数2値ベクトル値関数f は、
　「R²上の一次変換･線形変換」定義の2要件を満たす。
　・要件1を満たすこと、
　　すなわち、
　　「実2次元数ベクトル u,vの和」のfによる像　f(u＋v)　と、
　　「実2次元数ベクトルuのfによる像」との「実2次元数ベクトルvのfによる像」との和　f(u)＋f(v)　とが、
　　どんなu,vに関しても、一致することは、
　　下図をいじることで、わかる。
　　　　　　

	[図] 　u＝ ( , ) ,v＝ ( , ) とした場合の、　　　・　u＋vを　　　　・　「u,v,u＋vを原点を中心に90度回転移動させた先」f(u),f(v),f(u＋v)　を
		左図から、どんな風に、u,vをいじっても、「u＋vを原点を中心に90度回転移動させた先」　f(u＋v)　は、　　「uを原点を中心に90度回転移動させた先」f(u)　　　と　　「vを原点を中心に90度回転移動させた先」f(v)　　　との　　和　　　　f(u)＋f(v)　に、一致することがわかる。

　・要件2を満たすこと、
　　すなわち、
　　「実2次元数ベクトルvの実数k倍」kv のfによる像　f(kv )　と、
　　「実2次元数ベクトルvのfによる像」の実数k倍　 k f(v)　とが、
　　どんなk,vに関しても、一致することは、
　　下図をいじることで、わかる。
　　　　　　

	[図] 　k= , v＝ ( , ) とした場合の、　　　・　kvを　　　　・　「v,kvを原点を中心に90度回転移動させた先」f(v),f(kv )　を
		左図から、どんな風に、k,vをいじっても、「kvを原点を中心に90度回転移動させた先」　　f(kv ) は、「vを原点を中心に90度回転移動させた先」f(v)の実数k倍　　 k f(v)　に、一致することがわかる。

※実2次元数ベクトル空間R²上の一次変換･線形変換は、どれも、
　　　　　　　　　　　　　f(x,y) ＝( a₁₁x＋a₁₂y, a₂₁x＋a₂₂y)
　というかたちで表される。（→一次変換の行列表示）
　実2次元縦ベクトルvと2次正方行列Aを用いれば、
　実2次元数ベクトル空間R²上の一次変換･線形変換は、どれも、
　　　　　　　　　　　　　f(v) ＝Av　
　というかたちで表される。（→一次変換の行列表示）
　だから、一次変換の分類・操作などが論じられる際には、
　それに対応する2次正方行列の分類・操作に思いをめぐらせるのが、
　肝要。

[文献]
・佐武『線形代数学』Ⅰ§4(p.17)
・志賀『線形代数30講』
　　　・6講:R²からR²への線形写像・その図式化(pp.37-8)
　　　・10講:R³からR²への線形写像(p.63)
　　　・12講:R³からR²への線形写像(p.76)
・志賀『固有値問題30講』1講 R²からR²の線形写像・その図式化(pp.3-7)
※一次変換の諸属性：Image,核Kernel,階数rank,退化次数nullity　
※一般化：Rⁿ上の一次変換/実ベクトル空間上の一次変換　
※一般化：2変数2値ベクトル値関数　
※関連事項：一次変換の行列表示/一次変換の固有値と固有ベクトル　

設定

上記の一次写像の定義は、以下の舞台設定上で、なされる。
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
R²：実2次元数ベクトル空間　　
＋：実2次元数ベクトル空間 R²において定義されているベクトルの加法　
実数に続けて実2次元数ベクトルを並べて書いたもの：実2次元数ベクトル空間 R²において定義されているスカラー乗法
　

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定義：実2次元数ベクトル空間R²上の一次変換の像Image　像空間

設定	R：実数体(実数をすべて集めた集合）　 R²：実2次元数ベクトル空間　 f:R²→R² ：実2次元数ベクトル空間 R²上の一次変換	[文献] ・佐武『線形代数学』Ⅲ§4(p.103) ・佐和隆光『回帰分析』2.2.3線形写像(p.27) ※一般化：実ベクトル空間のあいだの一次写像の像
定義	一次変換f:R²→R²の像Imageとは、定義域R²全体のfによる像　　　　 { f (v) \| v∈R² } のこと。つまり、R²に属すあらゆる実2次元数ベクトルのfによる像をあつめた集合を、fの像と呼ぶ。　なお、一次変換fの行列がAであるならば、fの像は、{ Av \| v∈R² }と表される。
記号	一次変換fの像を、Image f , Im f などで表す。
意義	写像f:R²→R²　という概念は、　定義域R²全体のfによる像が、終集合R²と必ずしも一致しなくてもよいものとして定義されていた。（両者が一致する写像は、特に、全射と呼ばれる）一次変換f:R²→R²の定義は、写像f:R²→R²の概念に、ベクトル和保存・スカラー倍保存の演算則を付け加えただけのものだから、一次変換f:R²→R²定義も、定義域R²全体のfによる像が、終集合R²と一致することを要求していない。つまり、一次変換f:R²→R²には、定義域R²全体のfによる像と終集合R²とが一致しないものが多く含まれている。すると、終集合R²とは別に、定義域R²全体のfによる像を検討すべき機会が多々でてくる。そこで「定義域R²全体のfによる像」の略称・記号として、「fの像」「Im f 」が用意されることになる。
性質	一次変換f:R²→R²にたいして、 Image f は、R²の部分ベクトル空間となる。 ※なぜ？→証明　　 ※dim(Image f) を階数と呼ぶ。→詳細

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定義：実2次元数ベクトル空間R²上の一次変換の核・核空間　Kernel

設定	R：実数体(実数をすべて集めた集合）　 R²：実2次元数ベクトル空間　 f:R²→R² ：実2次元数ベクトル空間 R²上の一次変換	[文献] ・佐武『線形代数学』Ⅲ§4(p.103) ・志賀『線形代数30講』12講:R³からR²への線形写像(p.78) ・柳井竹内『射影行列･一般逆行列･特異値分解』§1.3(p.12); ※一般化：実ベクトル空間のあいだの一次写像の核(Kernel )
定義	一次変換f:R²→R² の核Kernelとは、fによる像がR²上の零ベクトルとなる実2次元数ベクトルの集合。つまり、R²上の零ベクトルのfによる逆像　　　f^－1 (０)={ v∈R² \| f (v)=０ } のこと。
記号	一次変換fの核を、Ker fで表す。
性質	一次変換f:R²→R²にたいして、 Ker f は、R²の部分ベクトル空間である。 ※なぜ？→証明　　 ※dim(Ker f) を退化次数と呼ぶ。→詳細　 ※活用例：一次写像が単射(1対1写像)であるための必要十分条件、

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定義：実2次元数ベクトル空間R²上の一次変換の階数　rank

設定	R：実数体(実数をすべて集めた集合）　 R²：実2次元数ベクトル空間　 f:R²→R² ：実2次元数ベクトル空間 R²上の一次変換	[文献] ・佐武『線形代数学』Ⅲ§4(p.105) ・佐和隆光『回帰分析』2.2.3線形写像(p.27) ・戸田山田『計量経済学の基礎：統計的手法の理論とプログラミング』2.5.1(p.87) ※一般化：実ベクトル空間のあいだの一次写像の階数
定義	一次変換f:R²→R²の階数rankとは、fの像[Image f ]の次元のこと。　　すなわち、rank f = dim(Image f) 　と定義される。
性質	rank f≦m　これは、　 Ker f が「R²の部分ベクトル空間」であること(∵)と、「Vの部分ベクトル空間」の次元は、Vの次元より大きくならないということによる。　　　 ※一次写像の階数の性質、行列の階数

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定義：実2次元数ベクトル空間R²上の一次変換の退化次数　nullity

設定	R：実数体(実数をすべて集めた集合）　 R²：実2次元数ベクトル空間　 f:R²→R² ：実2次元数ベクトル空間 R²上の一次変換	[文献] ・佐武『線形代数学』Ⅲ§4(p.105：脚注) ※一般化：実ベクトル空間のあいだの一次写像の退化次数
定義	一次変換f:R²→R²の退化次数nullityとは、　　fの核[Ker f]の次元、すなわち、dim ( Ker f ) 　のこと。
性質	dim ( Ker f ) ≦dimR²　これは、　 Ker f が「R²の部分ベクトル空間」であること(∵)と、「Vの部分ベクトル空間」の次元は、Vの次元より大きくならないということによる。

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定義：実n次元数ベクトル空間上の正則な一次変換・可逆な一次変換invertible linear transformation　逆変換

定義		[文献] ・松坂『解析入門4』158.1-G (p.14)：体上の線形空間上の一次変換について; ※一般化：　 ※関連事項：
設定	上記の定義は、以下の舞台設定上で、なされる。　R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　Rⁿ：実n次元数ベクトル空間　　　＋：実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているベクトルの加法　　実数に続けて実n次元数ベクトルを並べて書いたもの：　　　実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているスカラー乗法

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定義：零写像

定義	「一次変換f:R²→R²が零写像である」とは、任意の実2次元数ベクトルの「fがR²に写した像」がすべて、R²の零ベクトルとなることをいう。　　　　　(∀v∈R²) ( f (v)=０ )	[文献] ・ ※一般化：実ベクトル空間上の零写像
設定	上記の定義は、以下の舞台設定上で、なされる。 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　 R²：実2次元数ベクトル空間　 f:R²→R² ：実2次元数ベクトル空間 R²上の一次変換

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定理：零写像は一次変換

定義	R²からR²への零写像は、一次変換の定義を満たす。	[文献] ※一般化：実ベクトル空間のあいだの一次写像のケース
設定

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